同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，
今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.
1.圆的要素：
在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.
2.圆的定义：
描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.
描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
如图所示：O为定点（圆心），P为动点
()r
b
y
a
x=
-
+
-
?2
2
)
(
根据点到点距离公式
我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.
3.圆的标准方程：
()()
.
1
1
)0,0(
)
,
(
)0
(
2
2
2
2
2
称为单位圆
的圆
半径
单位圆：我们把圆心为
，半径
圆心
＞
=
+
=
=
-
+
-
y
x
r
r
b
a
r
r
b
y
a
x
理解：
所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点)
,
(b
a.现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.
※圆与方程
4.圆的一般方程：
2
4-
2
2
4-
2
2
2
2
2
2
F
E
D
r
E
D
F
E
D
F
Ey
Dx
y
x
+
=
-
-
+
=
+
+
+
+
）
，
圆心（
＞
圆的判别式：
一般方程：
.
2
2项
，也没有
的系数相同且
与
理解：xy
y
x≠
图像不存在
＜
③
表示点
②
表示圆
＞
①
一般方程：配方
?
+
-
-
?
=
+
?
+
+
=
+
+
+
?
?→
?
=
+
+
+
+
4-
)
2
,
2
(
4-
4-
4
4-
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
F
E
D
E
D
F
E
D
F
E
D
F
E
D
E
y
D
x
F
Ey
Dx
y
x
圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.
5.圆的参数方程：（一般用于求最值）
()()
[)π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2.0
(
sin
cos
sin
cos
1
)
(
)
(
)0
(2
2
2
2
22
∈
?
?
?
+
=
+
=
?
?
?
?
??
?
?
=
-
=
-
?
=
-
+
-
?
?
?
?
?
?→
?
=
-
+
-
为参数，
圆的参数方程
＞等号左右两边同除以
b
r
y
a
r
x
r
b
y
r
a
x
r
b
y
r
a
x
r
r
b
y
a
x r
圆成立的条件很重要:
4
2
2＞
F
E
D-
+
例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.
[)()
??
?∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341
)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：
064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x
2)1()2)(3(22=-++y x 3
1)33()4(22=+
+y x
2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x
例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 05242
2=+-++ .
例3：写出下列圆的方程
.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -
.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x
.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-
)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别
.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A
.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x
类型一：点与圆位置关系
()()())
(0)()3()
(0)()2()
(0)()1()
,(002
020********
020********
02
02202
000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-?++++-+-?==++++=-+-?
.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=
例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:2
2
=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？
：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：
，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？
：例4若点),15(a a M +在圆26)1(2
2=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？
1：图形表示与判断方法
关系 相交 相切 相离
图 像
几 何 法
r d ＜
r d =
r d ＞
联立方程
方程组两个解
方程组一个解
方程组无解
直线与圆交点个数
两个公共点
一个公共点
没有公共点
判别式法
0＞?
0=?
0＜?
：例1直线2+=kx y 与圆12
2=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？
：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆04222
22=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实
数a 的取值范围是？
：例3若圆4)1(2
2=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？
关系外离外切
相交
内切内含
图像
几何法
d为圆心距2
1
r
r
d+
＞
2
1
r
r
d+
=
2
1
2
1
r
r
d
r
r+
-＜
＜
2
1
r
r
d-
=
2
1
0r
r
d-
≤＜
公切线四条三条两条一条无
位置
关系
几个结论
(1)经过圆()()2
2
2r
b
y
a
x=
-
+
-上一点)
,
(
y
x
P的切线方程为
2
)
)(
(
)
)(
(r
b
y
b
y
a
x
a
x=
-
-
+
-
-.(掌握)
(2)已知圆2
2
2r
y
x=
+的切线的斜率为k，则圆的切线方程为1
2+
±
=k
r
kx
y.（了解）(3)切点弦方程：
过圆()()2
2
2r
b
y
a
x=
-
+
-外一点)
,
(
y
x
P引圆的两条切线，切点分别为B
A、，则过
B
A、的直线方程为2
)
)(
(
)
)(
(r
b
y
b
y
a
x
a
x=
-
-
+
-
-(掌握)
(4)圆与圆公共弦方程：
()0
)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆
(5)弦长公式
a
k d r AB
?
?
+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k
（6）半圆、直线、射线、点
29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()
042
222=-++y x x
241y x -=- ()0412
2=-+-+y x y x 22x y --=
类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
1.已知圆1)1(2
2
=+-y x O ：
，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．
2.两圆01112
2
1=++++F y E x D y x C ：与02222
2
2=++++F y E x D y x C ：相交于A 、
B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．
3.过圆12
2=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习：
1.求过点(3,1)M ，且与圆5)1(2
2
=+-y x 相切的直线l 的方程
2.过坐标原点且与圆02
5
2422=++-+y x y x 相切的直线的方程为
3.已知直线0125=++a y x 与圆022
2
=+-y x x 相切，则a 的值为 .
※ 题 型
总 结
类型二：弦长、弧长
1.求直线063:=--y x l 被圆042:2
2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长
2.直线0323=-+y x 截圆42
2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为
3.求两圆022
2
=-+-+y x y x 和52
2
=+y x 的公共弦长
类型三：直线与圆的位置关系
1.若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围
2.圆9)3()3(2
2
=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 个
3.直线1=+y x 与圆)0(022
2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是
4.若直线2+=kx y 与圆1)3()2(2
2
=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
5.圆03422
2
=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 ．
6.过点()43--，P 作直线l ，直线l 与圆()()4212
2
=++-y x C ：有公共点,求直线的斜率取
值范围.
类型四：圆与圆的位置关系
1.圆02662:2
2
1=--++y x y x C 与圆0424:2
2
2=++-+y x y x C 的位置关系
2.圆022
2
=-+x y x 和圆042
2
=++y y x 的公切线共有 条.
类型五：圆中的对称问题
1.圆2
2
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
2.圆2
2
2690x y x y +--+=关于)1,1(P 对称的圆的方程是
类型六：圆中的最值问题
1.圆010442
2=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
2.已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求2
2y x d +=的最大、最小值．
3.已知圆1)2(2
22=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求1
2
--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．
4.已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(2
2
=-+-y x 上运动，则2
2
PB PA +的最小值是 .
练习：
1.已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. （1）求2
1
--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.
类型七：轨迹问题
1.已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2
1
，求点M 的轨迹方程.（定义法）
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2
2
=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.（中线坐标公式——相关点法） 练习：
1.由动点P 向圆12
2
=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是
类型八：圆的综合应用
1.已知圆062
2
=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且
OQ OP ⊥，求实数m 的值．
2.已知对于圆1)1(2
2
=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．
1．求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程 .
2．求过点(2,4)A 向圆42
2=+y x 所引的切线方程 .
3．圆042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 .
4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆
C 的方程为 .
5．若直线2=-y x 被圆4)(2
2
=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为 .
6．若)1,2(-P 为圆25)1(22
=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 .
7．直线032=--y x 与圆9)3()2(2
2
=++-y x 交于F E 、两点，则EOF ?（O 是原点）的面积为 .
※ 过 手 训 练
8.求圆心在直线03=-y x 上，与x 轴相切，且被直线 0=-y x 截得的弦长为27的圆
的方程.
9．方程0)4(0)4(2
22222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ）
.A 都表示一条直线和一个圆 .B 前者是一条直线或一个圆，后者是两个点
.C 都表示两个点 .D 前者是两个点，后者是一直线和一个圆
10.方程-
=y ( )
A .一条射线 .
B 一个圆 .
C 两条射线 .
D 半个圆
11．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是
（ ）
A ．一条直线及一个圆 .
B 两个点 .
C 一条射线及一个圆 .
D 两条射线及一个圆
12.若直线b x y += 与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .
13.点),(y x P 在圆42
2
=+y x 上，则4
4
y x --的最大值是
14.已知04242
2
=--++y x y x ，则2
2
y x +的最大值为____________
15.设点),(00y x M 为圆2
22r y x =+上一点，如何求过点M 的圆的切线方程.
16.设点),(00y x M 为圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-上一点，如何求过点M 的圆的切线方程.
17.已知动点M 到点)0,2(A 的距离是它到点)0,8(B 的距离的一半，求:（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．
18．点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；
（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.
19．如图，圆：．
（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知，圆与x轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点A,B．问：是否存在实数a，使得=？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
20．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交与两点，是的中点，直线与直线相交于点。
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
21．已知过点，且斜率为的直线与圆相交于两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：为定值；