教学内容
【知识结构】 1、圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2、圆的标准方程
圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-
方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆 3、圆的一般方程
二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得
（x +
2
D ）2
+（y +
2
E ）2
=
4
42
2
F
E D
-+
把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 其中，半径是2
42
2
F
E D
r -+=
，圆心坐标是??
?
?
?-
-
22
E D ，叫做圆的一般方程 （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项
（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－
2
D ，－
2
E ）；
当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形
（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4、二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分
在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+
A
D x +
A
E y +
A
F =0，
仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆
故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：
①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0
5、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆)0()()(:222>=-+-r r b y a x C ， （1）点M 在圆C 外()()22
200CM r x a y b r ?>?-+->； （2）点M 在圆C 内?()()22
200CM r x a y b r
0CM r x a ?=?-()2
20y b r +-=
【例题精讲】
标准方程——请看圆心和半径
所谓标准方程，就是能显示图形特征的方程.
从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2 = r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r. a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.
确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.
例1：已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程.
【思考与分析】求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，
再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程.（注意：法二：圆心在其中垂线上）解：设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）. 又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|=|CB|.
解得a＝－2，
∴圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝
故所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2=10.
拓展：
1、已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选 B.设P(x，y)，由题意知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x －2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.
2、已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程.
【思考与分析】根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：
解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r. 由中点坐标公式，得a＝＝5，b＝＝6.
∴C（5，6），再由两点间距离公式，得
∴所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.
解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3），∴圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，
化简得（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求.
解法3：设P（x，y）是圆上任意一点. 由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，
∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，
化简得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.∴（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程.
解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点.
∵直径上的圆周角为直角，∴PP1⊥PP2.（可以用向量）
（1）当PP1、PP2的斜率都存在时，
（2）当PP 1、PP 2的斜率有一个不存在时，PP 1、PP 2的方程为x ＝4或x ＝6， 这时点P 的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）. 又P 1（4，9）、P 2（6，3）也满足方程（*），所以，所求圆的方程为 （x －5）2＋（y －6）2＝10. 【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°”这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路 【点评】 具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程. 如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程. 当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，
再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定.
3、已知点P 是曲线y=22x -上的点，则点P 到点Q （0，-1）距离的最大值是 ． 2 ＋1．提示：所给曲线是上半个圆．
一般方程——看圆的代数式特征
如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.
圆的一般方程为 022=++++F Ey Dx y x ① 这是一个缺“混合二次项xy ”、且x 2和y 2
两项系数相等且不为零的二元二次方程. 它的图形是否为圆，还有限制条件.
将①配方得整理得()
F E D E y D x 44122222
2
-+=
??? ?
?++??? ??+ ② (1)当042
2>-+F E D 时，依②知①表示以???
?
?-
-
22
E ，D 为圆心，
F E D 42
12
2-+为半径的圆；
（2）当042
2=-+F E D ，①表示点圆??
? ?
?-
-
22
E ，D ； （3）当042
2<-+F E D ，①不表示任何图形.
例2：△ABC 的三个顶点坐标分别为A （－1，5）、B （－2，－2）、C （5，5），求其外接圆的方程. 【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点 都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程. 解： 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得方程组
解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝-20.
∴ △ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－4x －2y-20=0.
【小结】 通过这部分知识的学习，我们要掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的 标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；掌握圆的一般方程及圆的一般方程
的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径
拓展：
1、求下列各圆的圆心坐标和半径:
（1）x 2
+y 2
－x=0； （2）x 2
+y 2
+2ax=0（a≠0）； （3）x 2
+y 2
+2ay －1=0. 【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方
∴ 圆心为半径为r=.
（2）配方得（x+a ）2
+y 2
=a 2
， ∴ 圆心为（-a ，0），半径为r=
（注意：这里字母a 不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）. （3）配方得x 2+（y+a ）2=1+a 2， ∴ 圆心为（0，-a ），半径为r=
变式：讨论方程x 2
+y 2
+2ay+1=0（a ∈R ）表示曲线的形状. 解： 配方得x 2+（y+a ）2=a 2-1，
当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a ），半径为r=
的圆；
当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a ）； 当-1 2、若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、如果圆的方程为x 2＋y 2 ＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________． 解析：将方程配方，得(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝－3 4 k 2＋1. ∴r 2＝1－3 4 k 2>0，r max ＝1，此时k ＝0. ∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1) 4、方程0)4(0)4(2 2 2 2 2 2 =-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ） A ．都表示一条直线和一个圆 B ．都表示两个点 C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 D ．前者是两个点，后者是一直线和一个圆 C ．提示：注意“或”与“且”的区别． 5、已知方程x 2+y 2-2(m +3)x +2·(1-4m 2)·y +16m 4+9=0表示一个圆. (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程. (1) 方程表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F >0，即：4(m +3)2+4(1-4m 2)2-4(16m 4+9)>0，解之得-7 1 (2) r = .7740,7747167372 ≤<∴≤+?? ? ?? --r m (3) 设圆心为(x ，y )，则???-=+=1 432 m y m x 消去m 得：y =4(x -3)2 -1，∵-71 即轨迹为抛物线的一段：y =4(x -3)2 -1( 7 20 【点评】二元二次方程x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是判别式D 2 +E 2 -4F >0. 6、（1）已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＋2x －2 3 y =0，则x 2＋y 2的最大值是 （1）16 提示：x 2＋y 2 表示圆上点到原点的距离的平方。 设x ＋y =z 代入圆的方程，用△法求解，也可依据圆的参数方程求解。 还可数形结合，找x ＋y 的几何意义。 （2） 已知A B P ()()-1010，，，，是圆C ：()()x y -+-=3442 2 上的任意一点， 求P A P B 2 2 +的最大值与最小值。 分析：设P 点的坐标为()x y ，，则()()() P A P B x y x y x y 2 2 2 22 2221122+=+++-+=++， 但到此，要知道利用x y 22+的几何意义，从而无从下手， 实际上 x y 2 2 +表示坐标原点O 到圆上的点P 的距离， 而O CRO P O CR -≤≤+（R 为圆C 的半径），即 3722≤+≤x y ， 所以P A P B 22 +的最大值是100，最小值是20。本题也可利用圆的参数方程来解。 【解法一】 连结PO 并延长一倍至Q ，则PO 为△PAB 的中线，PQ 为平行四边形的一条对角线， 利用三角形中线长公式或利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和， 得∣AP ∣2＋∣BP ∣2=2＋2∣OP ∣2 当PO 经过已知圆圆心C （3，4）时，∣OP ∣有最大值和最小值． 此时PO 的方程为y= 43 x , 该方程与圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4联列解得P 1（95 ，125 ），P 2（215 ，28 5 ）． 由圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4知，圆的半径为r=2，∣OC ∣=22 34+=5 故∣OP ∣最大值为∣OP 2∣=5＋2=7，∣OP ∣的最小值为∣OP 1∣=5－2=3． ∣AP ∣2＋∣BP ∣2 的最大值为2＋2×49=100， ∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为2＋2×9=20． 【解法二】 设p (3＋2cosθ，4＋2sinθ），则 ∣AP ∣2＋∣BP ∣2 =（4＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2 ＋(2＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2 =60＋24cosθ＋32sinθ=60＋40cos(θ－φ)（cosφ= 35 ,sinφ=4 5 ) ∵cos(θ－φ)max =1, cos(θ－φ)min =－1, ∴∣AP ∣2＋∣BP ∣2 的最大值为60＋40=100， ∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为60－40=20． 当cos(θ－φ) =1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ= 35 ，sinθ = 45 此时P 点坐标为（215 ，285 ）． 当cos(θ－φ) =－1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ=－ 35 ， sinθ=－45 此时P 点坐标为（95 ，12 5 ）． 5、 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |=2|OA |， 且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量AB 的坐标； （2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程； 【解析】 （1）设???=-=+?????=?==,034100,0 ||||| |2||),,(22v u v u OA AB OA AB 、v u AB 即则由 得},3,4{.8 6,86 -+=+=???-=-=?? ?==v u AB OA OB v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}. （2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.2 1x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y (y +1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则 ,31,2 3 1021223 ?? ?==???????-=-+=-?-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2 =10. 例3、 点P(5a+1,12a)在圆(x-1)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13 1||< a ） 拓展：已知点P (1，2)和圆C ：02222=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条， 则k 的取值范围是_________.23233 3 k - << 提示：P 在圆外． 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k 江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程教案 教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基 本量a 、b 、r ． 重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ． 引入新课 问题1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？ 问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 建构教学 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：_________________________________________________________． 3． 点P 圆O 的位置关系的判断： 例题剖析 例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程． 例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？ 思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？ 例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21 ( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程． （2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程． 例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程． （2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C 课堂小结 圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程． 数学（理）即时反馈作业 编号：010 圆的标准方程 1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________ 2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB 相交时，实数a 的取值范围是 ___________ 3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是____________ 4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________ 5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________ 6、写出满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为6： ； （2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ： ； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ： ； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ； （5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ． 7、在圆)0()()(2 22>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点； 满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切； 满足 条件时，圆与两坐标轴都相切； 8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程． 10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -， P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程． 12．求过两点)40( ， A 和)64( ， B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程． 13．求圆1)1()1(2 2=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程 14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。 中国书法艺术说课教案 高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 （D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1圆的参数方程及应用
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