中考数学专题复习六 几何（圆）
【教学笔记】
一、与圆有关的计算问题（重点）
1、扇形面积的计算
扇形：扇形面积公式 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
圆锥侧面展开图：
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
2、弧长的计算：弧长公式 180
n R
l π=； 3、角度的计算
二、圆的基本性质（重点）
1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；
推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。 （4）90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
三、圆与函数图象的综合
一、与圆有关的计算问题
【例1】（2016?资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）
A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π
【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，
∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．
【例2】（2014?资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）
A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣
解答：连接OC，
∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，
∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，
故选A．
【例3】（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）πBππ
=
【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这
个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）
A ．2，3
π
B ．π
C 23π
D ．43π
【课后练习】
1、（2015南充）如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P =40°，则
∠ACB 的大小是（ B ）
A ．40°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
2、（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ B ）
A ．12π
B ．24π
C ．6π
D ．36π
3、（2015内江）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD =120°，过D 点的切线PD 与
直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．45°
解析：连接BD ，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB 是直径，∴∠ADB =90°，∠ABD =90°-∠DAB=40°，∵PD 是切线，∴∠ADP =∠B=40°．故选A ．
4、（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为 A ．2π B ．π C ．3π D ．32π
解析：∠BOD ＝60°
5、（2015凉山州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=40°，则∠A 的度数为（ ） A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°
6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2
的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径 （ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．4cm
7、（2015泸州）如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C =65°，则∠P 的度数为（ ） A ．65° B ．130° C ．50° D ．100°
8、（2015眉山）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO =450，则∠B 的度数为（ ） A ．300 B ．350 C ．400 D 450
9、（2015巴中）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC =50°，则∠OAB 的度数为（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．30°
10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A B C ．29π D ．49
π
11、（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣4
12、（2015达州）已知正六边形ABCDEF cm，则正六边形的半径为cm．
13、（2015自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝3，则劣弧AD的长为．
14、（2015遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．
15、（2015宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．
16、（2015泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．
17、（2015眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．
18、（2015广安）如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．
19、24．（2015巴中）圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为cm．
20、（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．
二、圆的基本性质
【例1】（2016?资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即
∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．
【例2】（2015?资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E 为BC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.
解答：解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，
∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x，在RT△ABE中，AE==x，
∴sin∠CAE==．
【例3】（2014?资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB=2，∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．
【例4】（2013?资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
AC=
OE=
r
根据翻折的性质，
所对的圆周角等于
所对的圆周角，【课后练习】
1、（2015达州）如图，AB 为半圆O 的在直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连
接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC =90°，②AD +BC =CD ，③22
ΔAOD ΔBOC ::S S AD AO =，④OD ：OC =DE ：
EC ，⑤2
OD DE CD =?，正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：如图，连接OE ，
∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE ，CE=CB ，AD ∥BC 。 ∴CD=DE+EC=AD+BC 。结论②正确。
在Rt △ADO 和Rt △EDO 中，OD=OD ，DA=DE ，∴Rt △ADO ≌Rt △EDO （HL ）
∴∠AOD=∠EOD 。同理Rt △CEO ≌Rt △CBO ，∴∠EOC=∠BOC 。又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC ）=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。 ∴∠DOC=∠DEO=90°。又∠EDO=∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC 。∴，即OD 2=DC ?DE 。结论①正确。
而
，结论④错误。由OD 不一定等于OC ，结论③错
误。∴正确的选项有①②⑤。故选A 。
2、（2015遂宁）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB =6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC =（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
【解析】连接OA ，∵AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，∴AC=AB=×6=3cm ， ∵⊙O 的半径为5cm ，∴OC==
=4cm ，
故选B ．
3、（2015广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错误的是（）
D．△OCE≌△ODE
A．CE=DE B．AE=OE C．BC BD
4、（2015广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．
其中正确结论是（只需填写序号）．
5、（2015成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及A B的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG?HB的值．
6、（2015遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）
求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AM?AB；（3）若AM=18
5
，sin∠ABD=
3
5
，求线段BN的长．
解答：（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，
∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；
（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，
∴，∴AD2=AMAB；
（3）解：
∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD=
=8，
∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴
sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．
7、（2015宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）
求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO，求AO的长．
8、（2015泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．
解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，
∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD
与点N，M，∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE2=EC?DE，∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF=x，OH=Y，FH=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3
﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，∴，，
即，①②，①+②得：，①÷②得：，
解得，∵x2=y2+z2，∴，∴x=，∴OF=．
9、（2015绵阳）如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接DC ，DA ，OA ，OC ，四边形OADC 为平行四边形．（1）求证：△BOC ≌△CDA ；（2）若AB =2，求阴影部分的面积． 【解析】
（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD ∥CO,AD=CO ，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）
由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ∴△ABC 是等边三角形，∴O 是△ABC 的内心也是外心，∴OA=OB=OC
设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC.在Rt △OCE 中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30o，
∴OA=OB=OC=.∵∠AOC=120o，∴.
10、（2015广元）如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点．过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ．且CE =CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD =15，
BE =10，sinA =
5
13
．求⊙O 的半径． 解：（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB ，∴∠A=∠OBA ，∠CEB=∠ABC 又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °∴∠OBA+∠ABC=90 ° ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OF ，AF ，BF ， ∵DA=DO ，CD ⊥OA ，
∴△OAF 是等边三角形， ∴∠AOF=60 °∴∠ABF=∠AOF=30 ° （3）过点C 作CG ⊥BE 于点G ，由CE=CB ，∴EG=BE=5 又Rt △ADE ∽Rt △CGE ，∴sin ∠ECG=sin ∠A=， ∴CE=
=13
∴CG=
=12，
又CD=15，CE=13， ∴DE=2， 由Rt △ADE ∽Rt △CGE 得=
，∴AD=
CG=
，∴⊙O 的半径为2AD=
．
11、（2015广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接P A、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）
若
2
3
OC
AC
，且OC=4，求P A的长和tanD的值．
解：（1）证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵PA＝PBPO＝POOA＝OB，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵2+OC2=213，∴AE=2OA=413，OB=OA=213，在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，∴AC2=OC?PC，
解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=OP2-OA2=313，∴PB=PA=∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵OCAC=23，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=AC13，∵AC=BC，OA=OE，
∴OC=12BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴BDPD＝BEOP，
即BD313+BD＝813，解得：BD=24135，在Rt△OBD中， tanD=OBBD=21324135=512．
12、（2015巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
解：（1）证明：连接OC，
∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，
又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，
∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，
∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，
又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB，
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．
三、圆与函数图象的综合
【例1】（2015?资阳）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O
的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）
解答：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，
∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；
（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．
【例2】(2013年四川巴中)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(－1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴的正半轴于点C.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；
(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）∵A（4，0），B（－1，0），
∴AB=5，半径是PC=PB=PA=。∴OP=。
在△CPO中，由勾股定理得：。∴C
（0，2）。
设经过A、B、C三点抛物线解析式是，
把C（0，2）代入得：，∴。∴。
∴经过A、B、C三点抛物线解析式是，
（2）∵，∴M。
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M代入得：，解得。
∴直线MC对应函数表达式是。
（3）MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下：设直线MC交x轴于D，
当y=0时，，∴，OD=。∴D（，0）。
在△COD中，由勾股定理得：，
又，，∴CD 2 +PC 2 =PD2 。∴∠PCD=90 0 ，即PC⊥DC。∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切。
【课后作业】
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.如图，已知A，B，C在⊙O上，下列选项中与∠AOB相等的是（）
A． 2∠C B． 4∠B
C． 4∠A D．∠B＋∠C
2.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是（）
A．35° B． 45°
C．55° D．65°
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）
A．CM＝DM B．CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
4．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）
A． 6 B．5
C． 4 D．3
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
5. 已知⊙O 的半径为6，圆心到直线l 的距离为8，则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定
6. 圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ） A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm
7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 的长为（ ） A ． 2.5 B ． 1.6 C ． 1.5 D ． 1
8. 如图，直线y =
+x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O.若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D.5
第7题图 第8题图
二、填空题：(每小题3分，共24分)
9.如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，25ACD =∠，则BAD ∠的度数为 . 10.如图，在△ABC 中∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数
为 ．
11.如图，ABC ?的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线,你所添加的条件为 .
第9题图第10题图第11题图
12.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．
13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为 .
14. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB＝10,CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为 .
15.如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心得到△ABC,则图中阴影部分的面积之和是 .
16.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是
．
第14题图第15题图第16题图
三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）：
17. （本题4分）如图，圆弧形桥拱的跨度12
AB=米，拱高
4
CD=米，试求拱桥的半径.
18．（本题4分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值.
19.（满分6分）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D ．
⑴.求证：AC＝BD；
⑵.若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
20.（本题6分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D 作⊙O的切线交AC于点E．
⑴.求证：DE⊥AC；
⑵.若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．
21. （本题6分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，
∠DBC＝∠BED．
⑴.求证：BC是⊙O的切线；
⑵.已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．
22. （本题8分）已知：如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P ，连结PD ．
⑴.求证：PD 是⊙O 的切线．
⑵.求证：2
PD PB PA =? ⑶.若PD ＝4，1
tan 2
CDB ∠=
，求直径AB 的长．
23. （本题8分）已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ． ⑴.求证：△ACB ∽△CDB ；
⑵.若⊙O 的半径为1，∠BCP ＝30°，求图中阴影部分的面积．
24. （本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0），B（0，6），圆M经过原点O及点A、B.
⑴.求圆M的半径及圆心M的坐标；
⑵.过点B作圆M的切线l，求直线l的解析式；
⑶.∠BOA的平分线交AB于点N，交圆M于点E，求点N的坐标和线段OE的长.
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 2020年中考数学圆专题复习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E． (1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=8，DE=5，求BC的长． 2.已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D． （1）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长； （2）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长． 3.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切 线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G． （1）求证：△EFD为等腰三角形； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长． 4.如图，已知在△ABC中，⊙O在AB上，AC为⊙O的弦，延长BC至D，使AD为⊙O切线， 且DA=DC. （1）求证：BD为⊙O切线； （2）若AB=9，AD=12，求BD的长及⊙O的半径； （3）若⊙O的半径为6，tan∠BAC=，求CD的长. 5.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长． 6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积． 7.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长． 8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF． (1)求证：CF是⊙O的切线． (2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC． 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 初中数学圆的专题圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若 半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2 之间的关系是 （） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分） 的面积为（） 例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时 例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B 中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图 初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 中考数学试题专题复习：圆 【学生版】 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点， 过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 中考数学专题复习六 几何（圆） 【教学笔记】 一、与圆有关的计算问题（重点） 1、扇形面积的计算 扇形：扇形面积公式 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 圆锥侧面展开图： （1）S S S =+侧表底=2 Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2 13 V r h π= 2、弧长的计算：弧长公式 180 n R l π=； 3、角度的计算 二、圆的基本性质（重点） 1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半； 推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。 （4）90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。 3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 三、圆与函数图象的综合 一、与圆有关的计算问题 【例1】（2016?资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（） A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π 【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2， ∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A． 【例2】（2014?资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（） A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣ 解答：连接OC， ∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2， ∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为， ∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2， 故选A． 【例3】（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）πBππ = 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切． （2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =5 45=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴11 32322 AFG S FG AE ?= ??=??=． 2021中考数学专题训练——圆 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是?( ) A.3 cm B.6cm C. 2.5cm D.5cm 答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=2 1BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm. 连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴CE=8 cm.∴BC=54 cm. 又∵OF ⊥BC,∴CF=2 1BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D. 2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则?( ) A.DE=EB B.?DE=2EB C.3DE=DO D.DE=OB 答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB, ∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC, ∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D. 3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ . 答案 52° 解析 由题意得∠D=180°-∠ABC=116°, ∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上, ∴∠D=∠AEC=116°, ∴∠BAE=116°-64°=52°. ? 4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O 2008年中考总复习专题训练(圆) 一、选择题（每小题3分，共45分） 1．在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）。 A ．C 在⊙A 上 Ｂ．C 在⊙A 外 C ．C 在⊙A 内 Ｄ．C 在⊙A 位置不能确定。 2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。 A ．16cm 或6cm Ｂ．3cm 或8cm C ．3cm Ｄ．8cm 3．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 4．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ）。 A ．130° Ｂ．60° C ．70° Ｄ．80° 5．如图1，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°， 则∠DFE 的度数是（ ）。 A ．55° Ｂ．60° C ．65° Ｄ．70° 6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树， 且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 图1 图2 7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。 A ．内含 Ｂ．内切 C ．相交 Ｄ． 外切 8．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。 Ａ．10π B ．12π Ｃ．15π Ｄ．20π 9．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是 （ ）。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．下列语句中不正确的有（ ）。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个 11．先作半径为2 3的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。 中考初三数学专题 隐形圆 辅助圆 模型一：“隐形圆”解点的存在性 模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； （2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； （3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值 模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G. 4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个； （2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值 模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）： 第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）； 第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）； 第三种：当点D在⊙O内时，d2020年中考数学 圆专题复习(中等生) 学生版
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