圆
易错点1：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.
易错题1：已知A 、B 、C 三点都在⊙O 上，若⊙O 的半径为4cm ，BC ＝
，则∠A 的度数为_____________________.
错解：60°
正解：60°或120°
赏析：本题错解的主要原因是没有考虑到弦BC 所对的圆周角∠A 有两种情况.如图1，当点A 在优弧
上时，连接OA ，OB ，过点O 作OD ⊥BC 于点D .由垂径定理得BD ＝CD ＝
12BC ，∵BC ＝cm ，∴BD ＝1
2
×＝.又∵OB ＝4cm ，∴在Rt △OBD 中，cos ∠OBD ＝
BD OB ==，∴∠OBD ＝30°，∴∠BOD ＝∠COD ＝90°－30°＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴∠A ＝
12∠BOC ＝1
2
×120°＝60°；当点A 在劣弧如图2，在优弧 上任取一点E （不与点B 、C 重合），连接EB ，EC ，由前面的解法可得∠E ＝60°，又∵四边形ABEC 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠E ＝180°，∴∠A ＝180°－60°＝120°.∴综上，∠A 的度数为60°或120°.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角有两种，它们是互补的关系.
O
B
C
D A
图1
O
E B
C
D A
图2
易错点2：运用垂径定理的有关计算与证明，不善于添加辅助线构造直角三角形解决相
关问题.
易错题2：已知梯形ABCD 的各个顶点均在⊙O 上，AB ∥CD ，⊙O 的半径为8，AB ＝12，CD ＝4，则梯形ABCD 的面积S ＝______________________.
错解：＋正解：＋
赏析：本题由于没有对圆中的平行弦的位置分类讨论而造成错解.圆中的平行弦在题目
BC BC BC
中没有明确位置时，应分在圆心同侧和圆心两侧两种情况求解.如图1，当AB、CD位于圆心O的两侧时，过点O作ON⊥CD于点N，延长NO交AB于点M，连接OB、OC.∵ON
⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝1
2
CD＝2，BM＝
1
2
AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2
＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM
=，ON
=∴MN
＝OM＋ON＝
＋
2.∴S＝
1
2
(AB＋CD)MN＝
1
2
×(12＋4)×(
2＋
)＝
＋
2，当AB、CD位于圆心O的同侧时，过点O作ON⊥CD于点N，
交AB于点M，连接OB、OC.∵ON⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝1
2
CD＝2，BM
＝1
2
AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM
＝=ON
=∴MN＝ON－OM＝
.∴S＝
1
2
(AB ＋CD)MN＝
1
2
×(12＋4)×(
2
)＝
.故答案为
＋
16
或
M
N
O
B
C
D
A
图1
M
N
O
B
C
D
A
图2
易错点3：切线的定义以及性质与判定的综合应用.
易错题3：已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切.
错解：如图1，连接DE、DF，∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB，∴
∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中，∵
OD OD
DOE DOF
DE DF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△ODE≌△ODF（SAS），
∴∠DEO ＝∠DFO ，∴DF ⊥OB ，∴OB 与⊙D 相切.
图1
图2
正解一：如图2，连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F .∵OA 切⊙D 于点E ，∴DE ⊥OA ，∵OC 平分∠AOB ，∴DE ＝DF ，∴OB 与⊙D 相切.
正解二：如图2，连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，则∠DFO ＝90°.∵OA 切⊙D 于点E ，∴DE ⊥OA ，∴∠DEO ＝90°,∴∠DFO ＝∠DEO .∵OC 平分∠AOB ，∴∠DOE ＝
∠DOF .在△ODE 和△ODF 中，∵DEO DFO DOE DOF OD OD ∠=∠??
∠=∠??=?
，∴△ODE ≌△ODF （AAS ），∴
DE ＝DF ，∴OB 与⊙D 相切.
赏析：本题由于没有理解切线的两种判定方法而出错.当直线经过圆上的某一点时，采用“连半径，判垂直”的方法；当不知道直线经过圆上哪一点时，采用“作垂直，判半径”的方法，此方法中千万要注意，不能从图形判断直线经过圆上哪一点，应从题目的条件中判断直线是否经过圆上哪一点.
易错点4：圆周角定理及其推论，特别是运用推论时易出错.
易错题4：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝2，求⊙O 的半径
.
错解：如图1，连接OA ，OB ，由圆周角定理得∠AOB ＝∠C ，∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝45°，∴⊙
O
的半径为
11
sin 22
AB AOB ?==∠
图
1
图2
正解一：如图1，连接OA ，OB ，由圆周角定理得∠AOB ＝2∠C ，∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝45°×2＝90°，设OA ＝OB ＝x ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得x 2＋x
2＝22，解得x
x ＞0，∴x
， ∴⊙O .（或：如图1，连接OA ，OB ，由圆
周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，又∵OA＝OB，∴∠
OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△AOB中，sin∠OAB＝OB
AB
，∴OB＝AB sin45°＝2
×
2
，即
.）
正解二：如图2，作直径AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∴∠DAB＝180°－∠DBA－∠D＝180°－90°－45°＝45°，∴∠D＝∠DAB，∴DB＝AB，∵AB＝2，∴DB＝2，在Rt△DAB中，由勾股定理得AB2＋DB2＝AD2，
∴AD2＝22＋22，解得AD＝
，∴⊙O的半径为
÷2
.（或：如图2，作直径
AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，在Rt△DAB
中，sin∠D＝AB
AD
，AB＝2，∴AD＝
sin
AD
D
∠
2
＝
，⊙O的半径为
÷2
.）
赏析：本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过程过多.利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都需要连接某条弦或作直径，以得到90°角或实现角的等量转换.
易错点5：点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法.
易错题5：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心、R为半径所作的圆⊙C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是……………………………………（）
A.R＝2.4
B.3＜R＜4
C.R＝2.4或3＜R≤4
D.R＝2.4或3＜R＜4
错解：A
正解：C
赏析：本题仅从“只有一个公共点”得出直线与圆相切的关系来求解而出错，没有审清题意，因为斜边是线段，所以题中圆与斜边的关系应分类讨论求解.当⊙C与斜边AB相切时，如图1，此时，⊙C与斜边AB只有一个公共点.设⊙C与斜边AB相切于点D，则CD
⊥AB，又∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得AB
=
＝5，由三角形的面积公式可得S△ABC＝1
2
AC×BC＝
1
2
AB×CD，∴CD＝
34
5
AC BC
AB
??
=
＝2.4，即R＝2.4；当R＝AC时，如图2，此时，⊙C与斜边AB恰有两个公共点；当AC ＜R≤BC时，如图3，⊙C与斜边AB只有一个公共点；当R＞BC时，如图4，此时，⊙C 与斜边AB无公共点.∴综上，R的取值范围是R＝2.4或3＜R≤4.另外，当R＜2.4时，⊙C与斜边AB无公共点；当2.4＜R≤AC时，⊙C与斜边AB有两个公共点.
图1
图2
图4
易错点6：正多边形与圆的有关计算；弧长与扇形面积的计算.
易错题6：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路经长是…………………（）
A.25
2
πB.13πC.25π
D.
l
B C
D
A
错解：B
正解：A
赏析：本题可能以为两次旋转中点B经过的路经是以点D为圆心，以DB长为半径的半圆弧长而造成错解.本题中点B经过的路经长应分两部分求解：如图1，第一次旋转时，
点B经过的路经长是以点D为圆心，以DB长为半径的1
4
圆弧长，即BB1的长，∵四边形
ABCD是矩形，∴旋转角∠BDB1＝90°，在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝5，AD＝CB＝
12
，∴由勾股定理得BD
13
==，∴BB1的长度为
1
4
×2π×13
＝13
2
π；第二次旋转时，点B经过的路经长是以点C1为圆心，以C1B1长为半径的
1
4
圆弧
长，即B1B2的长，∵旋转角∠B1C1B2＝90°，C1B1＝CB＝12，∴B1B2的长度为1
4
×2π×
12＝6π.∴两次旋转过程中点B经过的路经长为13
2
π＋6π＝
25
2
π.
B2
B1
C1l
B C
D
A
图1
易错练
1.已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，且AB＝8cm，则AC的长为…………………………………………………………………………………………（）
A.
B.
或
cm C.
D.
或
2.如图，已知⊙O是以坐标原点为圆心，以1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与AO平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是_________________
.
3.周长为12的正三角形、正方形、正六边形的外接圆的面积分别是S3，S4，S6，则它们的大小关系是…………………………………………………………………………………（）
A. S6＞S4＞S3
B. S3＞S4＞S6
C. S6＞S3＞S4
D. S4＞S6＞S3
4.如图，已知⊙O中EF过圆心O，且垂直于弦AD，B、C两点在直线DE上，且AD平分∠BAC.求证：DE2＝BE·CE.
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线F A⊥x轴于点A，点D 在F A上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C.
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设点D的坐标为（﹣2，4），试求MC的长及直线DC的表达式
.
参考答案
易错练
1.B 解析：解析：如图1，当弦AB 在圆心O 的左侧时，连接OA ，∵直径CD ⊥AB ，∴AM ＝
1
2
AB ＝4，∵OA ＝5，∴在Rt △AMO 中，由勾股定理得OM ＝3，∴CM ＝OC －OM ＝5－3＝2，∴在Rt △ACM 中，由勾股定理得AC ＝224225+=；如图2，当弦AB 在圆心O 的右侧时，连接OA ，∵直径CD ⊥AB ，∴AM ＝
1
2
AB ＝4，∵OA ＝5，∴在Rt △AMO 中，由勾股定理得OM ＝3，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8，∴在Rt △ACM 中，由勾股定理得AC ＝224845+=.∴选B .
2.﹣2≤x ≤2且x ≠0 解析：解析：当点P 向右运动到如图1的位置时，过点P 的直线与⊙O 只有一个公共点，则此直线与⊙O 相切，设切点为C ，则OC ⊥PC ，又∵OA ∥PC ，∠AOB ＝45°，∴△OPC 为等腰直角三角形，∵OC ＝1，∴由勾股定理得OP ＝2，∴此时点P 的坐标为（2，0）；当点P 向左运动到如图2的位置时，过点P 的直线与⊙O 只有一个公共点，则此直线与⊙O 相切，设切点为C ，则OC ⊥PC ，又∵OA ∥PC ，∠AOB ＝45°，∴△OPC 为等腰直角三角形，∵OC ＝1，∴由勾股定理得OP ＝2，∴此时点P 的坐标为（﹣2，0）；当x ＝0时，点P 与圆心O 重合，此直线与OA 重合，不合题意，舍去.∴综上，x 的取值范围是﹣2≤x ≤2且x ≠0.
3.B解析：如图1，∵AB＝4，∴AD＝2.又∵∠OAD＝30°，∴OA
＝
243 cos303
3
2
AD
==
?
.
∴
S3＝π·OA2＝π×(
43
3
)2＝
16
3
π.如图2，∵DC＝3，∠ODC＝45°，∴OD＝
32
2
.
∴S4＝π·OD2＝π×(32
2
)2＝
9
2
π.如图3，∵DC＝2，∴OC＝2.∴S6＝π·OC2＝π×
22＝4π.又∵16
3
π＞
9
2
π＞4π，∴S3＞S4＞S6 ，故答案选B.
4.如图，连接AE.∵EF⊥AD，且EF过圆心O，∴EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠EAD ＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD，∠ECA＝∠
EDA＋∠DAC，∴∠EAB＝∠ECA.又∵∠AEB＝∠CEA，∴△AEB∽△CEA，∴AE BE CE AE
=，
∴AE2＝BE·CE.∵AE＝DE，∴DE2＝BE·CE.
5.解：（1）直线DC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OM，∵OD∥MB，∴∠OBM＝∠AOD，∠OMB＝∠DOM，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠AOD＝∠MOD.在△DAO
和△DMO中，∵
OA OM
AOD MOD
DO DO
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△DAO≌△DMO（SAS），∴∠OMD＝∠OAD，
∵直线F A⊥x轴于点A，∴∠OAD＝90°，∴∠OMD＝90°，∵OM是半径，∴直线DC切⊙O于点M.
（2）由D（﹣2，4）可得OA＝OM＝2，AD＝4.又由（1）可知，DM＝AD＝4，∵∠OMC
＝∠DAC＝90°，∠OCM＝∠DCA，∴△OMC∽△DAC，∴
1
2 MC OM
AC DA
==
，∴AC＝2MC.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴(2MC)2＋42＝(MC＋4)2，解得MC＝
8
3
，MC＝0（不合题意，舍去）.∴MC＝
8
3
，AC＝
16
3
，∴OC＝AC－OA＝
16
3
－2＝
10
3
，∴C 点坐标为（
10
3
，0）.设直线DC的表达式为y＝kx＋b，把C、D两点坐标代入，得
10
3
24
k b
k b
?
+=
?
?
?-+=
?
，