专题7.1 复数的概念
知识储备
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )
平面向量OZ .
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题
1．（2020·山东高三期中）复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=
得222x yi i +=，
所以2022x y ??+=?=??
，解得1x y ?=???=?
，
因为1x y ?=???=?
时，不能满足20x =，舍去；
故31x y ?=-???=?
，所以z i =
，其对应的点?? ? ???位于第二象限，故选：B. 2．（2020·湖南师大附中高三月考）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）
A
B
．C ．2 D ．8
【答案】B
【解析】由图象可知1z i =，2
2z i =-，则1222z z i -=-+，
故12|22|z z i -=-+==故选:B .
3．（2020·上海高三）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，
故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B .
4．（2020·全国高三专题练习（文））已知,a b ∈R ，若2
()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a
的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<<
D ．21a -<<
【答案】A
【解析】因为,a b ∈R ，2
()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-.故选：A
5．（2020·重庆巴蜀中学高三月考）复数z 满足|1|1z -=，则z 的最大值为（ ）
A ．1 B
C D ．2
【答案】D
【解析】由复数的几何意义知，|1|1z -=即复数z 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，
而||z 表示复数z 表示的动点与原点之间的距离，结合图象，易见||z 的最大值为2， 故选：D.
6．（2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中（理））设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．
7．（2020·江苏省如皋中学高三月考）对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，则1z -的取值范围是（ ）
A ．2??
B ．1??
C ．2??
D ．1??
【答案】A
【解析】满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4i ，半径为2，
1z -表示点Z 到1对应的点的距离，又14i -=
∴12]z -∈，故选：A ．
8．（2020·天津南开区·高三期中）已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66
z i ππ
=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】由717sin
sin()sin ,cos cos()cos 66626662
ππππππππ=+=-=-=+=-=-
即复数771sin
cos 662z i ππ=-=-，
所以复数对应的点为1(2-位于第二象限.故选：B 二、多选题
9．（2020·全国高一课时练习）已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2)
B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称
C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上
D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为
2
【答案】ACD
【解析】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确； 复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；
设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即
=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；
易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可
=
，故D 正确.故选：ACD 10．（2020·山东日照市·高一期末）已知复数1cos 2sin 22
2z i π
πθθθ??=++-<< ???（其中i 为虚数
单位），则（ ）
A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B ．z 可能为实数
C ．2cos z θ=
D ．
1
z 的实部为12
- 【答案】BC 【解析】因为2
2
π
π
θ-
<<
，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，
所以A 选项错误； 当sin 20θ=，,22ππθ??
∈-
??
?时，复数z 是实数，故B 选项正确；
2cos z θ=
==，故C 选项正确：
()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1
z
的实部是
1cos 21
22cos 22
θθ+=+，故D 不正确.故选：BC
11．（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A ．复数z 的虚部为i
B ．
z =C ．复数z 的共轭复数1z i =- D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；
z ==B 正确；
复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；
复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD. 12．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z = C ．若12z z >则12z z > D ．若12z z >，则12z z >
【答案】BCD
【解析】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，
比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD. 三、填空题
13．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）已知复数z a =+（a R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且2z =，则复数z =_________.
【答案】1-+
【解析】因为z a =+，所以2z =
=，解得1a =±.
又因为z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，所以1a =-.
所以1z =-+.故答案为：1-
14．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，1z =，且 1z z +=，
则z =____________.
【答案】
122
- 【解析】设()0,0z a bi a b =+><，依题意1z =，1z z +=，
即22121a b a bi a bi a ?+=?++-==?
，
解得122a b ?=????=-??
，所以122z =-.
故答案为：
12-. 15．（2020·宁夏石嘴山市第一中学高三期中）设i 为虚数单位，若复数2
28()()2z m m m i ++=--是纯虚数，则实数m =_________． 【答案】4-
【解析】由题意，复数2
28()()2z m m m i ++=--是纯虚数，
则满足228020m m m ?+-=?-≠?
，解得4m =-.故答案为：4-.
四、双空题
16．（2020·浙江台州市·高二期中）已知复数(
)(
)
2
2
lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________. 【答案】3-
21m <<
【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．
z 对应点在第二象限，则22lg(2)0
230
m m m m ?-?
，解得21m <<．
故答案为：3-
；21m <<+．
§3.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标： 了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标： 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标： 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点： 复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点： 虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程： 一、创设情境、新课引入： 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫
高中数学《函数的概念》教学反思 反思类型可有纵向反思、横向反思、个体反思和集体反思等，反思方法可有行动研究法、比较法、总结法、对话法、录相法、档案袋法等等。以下是3篇关于中数学《函数的概念》教学反思，供大家参考! 高中数学《函数的概念》教学反思一 学习培训提供的视频，结合本节课的上课经历，我反思如下： 一、备课要完备，上课按照备课来走 备课要多研究课本，研究课本的题目设置，备课前还要翻看海南省五年来高考题，以做到和编书者出题者步调一致。比如新课改后课本多是举例引入或得出概念、公式、定理，淡化逻辑证明，而高考更多是考基础性常规题，那么老实备课的时候就要注意重视应用，淡化理论。 我个人的问题是上课思路容易混乱，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。那么解决方法就是(1)备课的时候，通过举例和好玩的生活实例直接引入核心内容，从直观上接受重点“任意x唯一y”，尽可能简化解释，多做具体示例;(2)上课时铺开课本和备课本，是不是扫两眼，禁止临时加话。(3)在备课基础上，上课讲完备课的内容即可，在各内容之间加一句简单的承上启
下的连接就行了。 二、对学生睡觉者记名上报德育处，没有观众的表演没有激情 我认为学习是学生的权利，而不是我强迫学，所以之前我从不管学生讲话玩手机睡觉。但是后面发现居然有一大片睡觉，而且我明明很有激情，讲着讲着我就困了。于是我采用了请班长科代表记名，每堂课交名单给我，期末汇总上交德育处的方法，正好12月12日学校在升旗时，发布了一个自动退学处分，学生都是害怕开除的，所以后面每节课，只有个别自我放弃的学生睡觉了。上课一眼扫下去，都坐得端端正正，我就有更多表演的欲望和随机应变的串场内容。 三、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高难度带来的乏味 数学对海南学生来说，难是肯定的，所以极易疲惫。老师要充满爱的去搞笑，娇嗔耍宝装萌讲笑话，或者夸张发音，故意带口音，跟学生一唱一和瞎说，都可以带来学生一笑。长期还会融洽师生关系，得到学生的喜爱。 四、核心还是重点反复强调，难点要技巧性突破 对一个老师来说，不管你的课堂多么生动活泼，这只是形式，核心还是在知识点够不够精简好记，重点难点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了，这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己想透了没，找到合
3．1.1数系的扩充和复数的概念 预习课本P102～103，思考并完成下列问题 (1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？ (2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？ [新知初探] 1．复数的有关概念 a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其我们把集合C＝{} 中i叫做虚数单位． 全体复数所成的集合C叫做复数集． 复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部． [点睛]复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非b i. (3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等 a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规在复数集C＝{} 定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d. 3．复数的分类 对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋b i可以分类如下：
复数z ? ?? ?? 实数b ＝0，虚数b ≠0 当a ＝0时为纯虚数. [点睛]复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．() (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．() (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．() 答案：(1)×(2)√(3)√ 2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是() A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i 答案：C 3．复数z ＝(m 2 －1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有() A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1 答案：B 复数的概念及分类 [典例]实数x 分别取什么值时，复数z ＝x ＋3 ＋(x 2 －2x －15)i 是(1)实数？(2)虚 数？(3)纯虚数？ [解](1)当x 满足??? ? ? x 2 －2x －15＝0，x ＋3≠0， 即x ＝5时，z 是实数． (2)当x 满足? ?? ?? x 2 －2x －15≠0， x ＋3≠0， 即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念（第一课时） 教学反思 1、本节课是数系的扩充和复数的概念第一课时，学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的的概念、分类问题及复数相等的充要条件。复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受。教学时，我采用讲解或体验已学过的数系的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要。通过介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展历史、规律及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识。从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、分类及复数相等的充要条件等知识，从而实现教学目标要求。 2、本节课的设计，力求体现"以学生发展为本"的教学理念，以教师设置问题情景，使学生通过对问题的解决很自然地达到新课标的要求，在学习过程中，在课堂中为学生提供可以发挥的平台，为他们提供适当的引导，使学生通过探索与交流，理解掌握本节知识。 3、教学中较好的运用多媒体技术优化教学过程，有效地化枯燥为有趣，化抽象为具体，化静态为动态，突出重点，化难为易，使学生观察、思维、想象等能力有很大提高。本节课以先呈后讲的形式讲练结合，力求使教学活动成为师生交往互动、共同发展的过程，体现新的教育理念。 4、学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者和合作者。从学生已有的知识经验和已有的知识背景出发。以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间，锻炼和提高学生分析、解决问题的能力。 5、例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展。 6、课外习题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生进一步提升自己应考能力。 7、注重抓好暴露问题。在教学中，对于那些学生典型问题，带有普遍性的问题都及时解决，注重教学的实效性。 8、不足之处：教学设计显得不够严谨，没有留给学生更多的时间和空间去交流和探索，教师在归纳结论时急于推销自己的想法不利于学生探究能力的培养。这些问题都是教育观念没有根本转变所致。在今后的工作中要努力学习新课程理念，不断地完善教育教学方法，使自己的教学理念与时俱进，教学实践更趋合理，同时要正确认识自我，不断提高自己的综合素质，为培养全面发展的人才努力奋斗！ 2017年4月19日
高考数学新版一轮复习教程学案 第58课 复数的概念及其运算 1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算. 1. 阅读：选修 22 第109～117页. 2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一. 3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题. 基础诊断 1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 . 解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2. 2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3. 3. 已知复数z ＝ 11＋i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 . 解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－1 2i ，所以|z|＝ ????122＋????122 ＝22 . 4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 3 5 . 解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝3 1＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实 数为3 5 . 范例导航 考向? 复数的基本运算 例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ） i 3 ； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2 ； (3) (－1＋3i )3；
《复数的概念》教学设计 教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导． 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解． 课时分配 1课时． 1．了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2．通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． ~ 难点：虚数单位i的引进及复数的概念． 引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗
(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗 (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗 ) 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数； 问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充每一次扩充的主要原因是什么每一次扩充的共同特征是什么 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要． $ 扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图 回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征． 探究新知 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0
函数的概念第一课时教学反思 烟台四中李颖昕赵志丽 函数概念本质理解并非一次就能实现，它有一个循序渐进逐步完善通过多角度多章节的学习，学生才能有一个较完整的深刻理解。但我们在一开始让学生接触理解高中数学函数概念时尽可能的让学生从多角度的去思考理解。 首先从初中与高中数学中对函数定义的比较中，让学生能从初中的描述性概念把函数看成变量之间的依赖关系到高中用集合与对应的语言定义函数，从而达到函数概念的提升，从而更好地解决如y=3这样的常数函数概念的解释。 其次要用好课本，用课本教，而非教课本。充分利用好课本中函数概念的背景教学，通过三个实例：炮弹发射；大气层臭氧问题，恩格尔系数问题培养学生观察问题提出问题的探究能力，培养学生抽象概括逐步学会数学表达和交流。 第三充分发挥函数图像的集合直观作用，加强数形结合思想。 本节课有几个主要问题：首先，由三个实例归纳共性会遇到困难。原因是由具体实例到抽象的数学语言，要求学生具备较强的归纳概括能力，而高一学生抽象思维能力相对较弱。 其次，学生不容易认识到函数概念的整体性。原因是把函数单一的理解成对应关系等，甚至认为函数就是函数值。 第三，函数符号f(x)比较抽象，学生难以理解。 所以预想到这些问题后，我就把三个实例设计的问题是一致的，实例一的问题我提前预设，实例二和实例三的问题让学生类比实例一提出问题并回答，让学生积极参与到主动思考主动学习中来。组内合作交流选派代表回答问题，老师在黑板板书三个实例的集合对应，最后总结共性的时候还比较顺利，因为指向比较明确。 对例题的解答，看图像判断是否是函数没有问题，理解比较好。对f(a-1)有些疑惑，不确定是否整体代入进去即可，有的学生认为要关注a-1是否在定义域内，思维不错。 最后的本节课的学习过程回顾，让学生起来总结比较流利，说明这个学生对本节参与的比较认真扎实，对过程记忆比较清楚清晰，效果不错。 整体课堂比较流畅，学生参与积极度高，小组加分奖励实物制比较能刺激他们的积极性。要持续进行下去，以锻炼他们的思维主动性。 一点其他反思： 教师在教学生是不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 学生情况分析： 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 一、教学目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 3.了解复数的代数表示法及其几何意义。 4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、教学重难点 重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用．
三、教具 多媒体 四、教学过程 （一）引入 1.前面我们学习的数系扩充：N Z Q R 思考：如何解决方程210x +=在实数集中无解的问题？ （二）新知导学 探究1复数的引入 引导1: 为了解决方程210x +=在实数集中无解的问题，我们设想我们 引入一个新数i ，并规定：（1）=2i -1 ； （2）实数可以与i 进行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为： a i + ；实数b 与数i 相乘记为：bi ；实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记为：bi a +； （3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 引导2:复数的有关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：
《函数的图象》的教学反思 《函数的图象》是九年制义务教育新课程标准八年级第十九章第二节第一课时的内容。它是在初中用变量的观点初步探讨函数的概念的基础上，对函数的再认识，即通过图象再认识，进一步加深对函数概念的理解，在初中数学的学习中起着重要的作用。函数的图象以几何形式直观地表示变量间的对应关系，是研究函数的重要工具。学习函数的图象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中包含的数形结合地研究问题的思想。 出示股票走势图和心电图引入新课，包含生活元素的函数图象吸引学生的兴趣，从横纵坐标的单位简要分析图象的变化规律及特殊点的意义，感悟事物变化无常和对生命的认识。用正方形与边长的关系作为背景，合作探究出正方形的面积与边长之间的函数关系，列表求出相应函数值，使用五点法画图，强调自变量的取值范围对图象的影响。 为了巩固先列表、再描点、最后连线的作图过程，再讲两个典型例子，至此共展示了一次函数、二次函数、反比例函数三种常见的函数图象。 画图比较枯燥，但也是动手操作的必备技能，在图象上找点很不准确，但是根据解析式判断某个点是否在图象就很有说服力，学生也喜欢用计算来验证。虽然代入横纵坐标都能验证，但是为了方便学生选择代入自变量。 再次回到生活中温度随着时间而变化的图象中研究问题，引导学生从横纵坐标的意义出发，先研究具体点，描述点的意义，根据两点判断温度变化趋势，看看把握住时间永远是一往无前的这一特点，对比多点的横纵坐标分段得出详细的变化趋势。 带着图象特殊点及走势的分析经验，学生先自学小明的一天活动轨迹，然后再合作交流补充完整问题。老师指一名学生说出答案，并
及时提问，督促全体学生总结到位，都有收获。 遗憾的是，在反比例函数图象的处理上过于粗糙，没能将两支分别讲解，造成学生见识了不同的函数的图象，但是浅尝辄止没能真正的形成基本印象。而且在列表时为什么没有自变量为零，这个知识点并没有讲出来。
课题名称《复数复习小结》 莆田第十三中学李春涵 一、概述 本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。教学对象是本校高二（4）班。所需课时一节课。《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。 教学重点： 复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用． 教学难点： 梳理复数的知识结构。 二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观） 1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值. 3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义 5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。 6.领会数系扩充的过程。 三、学习者特征分析 1.学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。 2.作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望； 3.学生有过较多的小组合作经验； 4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识； 5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识； 6.学生能够进行简单的复数计算和应用； 四、教学策略选择与设计 这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT，让学生阅读知识点。老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。而复习的根本目的是提高知识的应用能力，由于学生都有预习，所以对－111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学，时间控制在10分钟内。对于补充例题，先用PPT播放题目，让学生思考，老师进行点拨指导，后给出PPT答案，时间控制也在10分钟内。特别要强调的是老师指导的内容侧重于数学思想方法的启发应用。最后，为巩固知识，
八年级数学变量与函数教学反思 函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是：1有两个变量，2一个变量的值随另一个变量 的值的变化而变化，3一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定 的值与其对应;函数的实质是：两个变量之间的对应关系;学习函数 的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究， 有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函 数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函 数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学 认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义 的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。 在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种 关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变 化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概 念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生 反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化 关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、 代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这 些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现 为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引 例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不 同的提问方式：1.教师问，学生答;2.学生自主回答;3.学生合作交 流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中， 让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，
推理与证明、算法初步、复数 【教材分析】 算法初步是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第一章的内容，推理与证明是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）第二章的内容，复数是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修2-2）第三章的内容。其中合情推理、演绎推理、程序框图、复数的相关概念及计算相对简单，故复习的时候将这三章放在一起。【学情分析】 在目前小班化形势下，学生已经分组并要求进行捆绑评价。知识方面学生已经学习完了高中所有课程，对推理、算法初步、复数掌握较好，在本阶段需重点复习数学归纳法。【教学环境分析】 根据本节内容程序框图比较多的特点，选择多媒体教室环境，程序框图用多媒体展示很大程度上提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标：了解合情推理与演绎推理的含义，并能运用它们进行一些简单推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环．能力目标：培养类比推理和转化能力思想。 情感目标：体验数学中的美感，体验自主学习的成就感，提高学习探究的兴趣。 【教学重点】复数、程序框图、数学归纳法 【教学难点】数学归纳法 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案（导学案附在后面）。 学生完成并上交导学案（完成1-4,8-28题），准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课： 教师活动： 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示合情推理与演绎推理的概念，复数的概念以及四则运算法则。 二、新课讲解 （一）合情推理与演绎推理
1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…则a 10＋b 10等于 ( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 2．(2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第30行从左到右第3个数是________ 3．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋ 1 AC 2 ，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明： (1)数列???? ?? S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 学生活动：四个小组成员用小白板展示并讲解1-4题。 教师活动：引导学生归纳鹤庆推理与演绎推理的区别。 【设计意图】区分合情推理与演绎推理：（1）合情推理的过程概括为 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想 （2）演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． （二）数学归纳法 （1）用数学归纳法证明等式 5．用数学归纳法证明：
§3.1.1《数系的扩充和复数的概念》导学案 审核: 高二数学组 班级 组别 姓名 【学习目标】 1、了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念；理解并掌握虚数的单位i 。 2、通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法；让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念。 3、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。 【重点难点】 ▲重点：1、理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念。 2、复数的分类及相等。 ▲难点：复数的有关概念及应用。 预习案 阅读课本第50页到51页的内容，尝试回答以下问题： 1、复数及有关概念： ⑴我们把形如 的数叫做复数，其中i 叫做 。 ⑵全体复数所组成的集合叫做 ，常用大写．． 字母C 表示。即C ＝ 。 2、复数的代数形式： 复数通常用小写字母z 表示，即z = ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的 ，b 叫做复数z 的 。a ,b ∈ 。 3、复数相等的定义： 如果两个复数的 和 分别相等，那么这两个复数就相等。即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi ＝c +di ? 。 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。 4、复数的分类： 对于复数a +bi （a ，b ∈R ），当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数。 )a bi ??+ ?? ?? ?? 实数（）复数（纯虚数（）虚数（） 非纯虚数（） 5、复数集与其它数集之间的关系：
九年级数学二次函数的概念教学反思 “课内比教学”是教育本质的回归，是提高教师专业素质、促进教师专业成长的重要 途径。在此次活动中，我主讲的课题是《二次函数的概念》。通过讲课、评课，我收获颇多。 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数，在历年来的中考中题中都 占有较大的分值。二次函数不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系，而且对 培养学生“数形结合”的数学思想具有重要作用。而二次函数的概念是以后学习二次函数 的基础，在整个教材体系中起着承上启下的作用。 本节课的具体内容是让学生理解二次函数的概念，会判断一个函数是否是二次函数， 并能够用二次函数的一般形式解决一些问题。为此，我先带领学生复习了什么是一次函数，然后设计具体的问题情境让学生自己“推导” 出一个二次函数，并观察、总结它与一次 函数有什么不同。在此基础上，逐步归纳出二次函数的一般解析式：y=ax2+bx+ca,b,c是 常数,a≠ 0。最后，通过“一题多练”巩固二次函数的概念并解决一些简单的数学问题。 我个人以为，本节课的成功之处有以下几点。一是在教学设计上“步步为营”、学生 的思维能力“层层提高”。在教学设计上，根据内容的发展，我合理设计了具有针对性 的问题，借助学生已有的知识背景展开教学，同时，在解决“老”问题的过程中巧妙地 “埋设”新问题，环环相扣、引人入胜，充分激发学生的求知欲、调动学生学习的主动性。 二是在总结中不仅注重对知识的梳理和巩固，而且注重提炼出让学生终生受用的思考 方法，使学生的思维水平有所提高。这样不仅提高了学生独立发现问题、解决问题的能力，避免学习落入程式化的窠臼，而且也让学生体验到了成功的快乐。 三是学生的能力得到发展。常言道：尺有所短、寸有所长。不同的学生的个体差异， 再加上受教学目的等因素的限制，导致一些学有余力的学生会感到“吃不饱”，久而久之 就会失去主动思考、主动探究的兴趣。在本节课的最后，我补充的练习题，对这部分学生 开阔视野、提高探究能力，都很有好处。 本节课的不足是，一是细节上还有待完善，比如在二次函数的表示上,强调按自变量 的降幂排列进行整理还不够突出;再如，课堂放得很开，但有时在该收回的时候收得不够，等等。在今后的教学中,我会特别注意这些方面的问题。 从本节课的设计上看，我自认为知识全面，讲解透彻，条理清晰，系统性强，讲练结合，训练到位，一节课下来后学生在基础知识方面不会有什么漏洞。因为复习课的课堂容 量比较大，需要展示给学生的知识点比较多，训练题也比较多，所以我选择在多媒体上课。应该说在设计之初，我是在两种方案中选出的一种为学生节省时间的复习方法，课前的工 作全由教师完成，教师认真备课，查阅资料，搜集有针对性的训练题，学生只要课堂上能
§5.1 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 （1） 了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示， 理解虚数单位，理解复数相等的充要条件. （2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的 对应关系. （3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 （4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解. 教学方法：1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备：多媒体，投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境，探究实践 问题①：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？
19.2.2 一次函数 青海一中 李清 上大附中 何小龙 第1课时 一次函数的概念 1．一次函数的定义及解析式的特点；(重点) 2．一次函数与正比例函数的关系．(难点) 一、情境导入 1．仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q 与星期数t 之间的函数关系式． 2．今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，求树高(米)与年数之间的函数关系式，并算一算4年后这些树约有多高． 3．小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄．首次存入1万元，以后每个月存入500元，存满3万元止．求存款数增长的规律．几个月后可存满全额？ 以上3道题中的函数有什么共同特点？ 二、合作探究 探究点一：一次函数的定义 【类型一】 辨别一次函数 下列函数是一次函数的是( ) A ．y ＝－8x B ．y ＝－8x
C ．y ＝－8x 2＋2 D ．y ＝－8x ＋2 解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故选A. 方法总结：一次函数解析式的结构特征：k ≠0；自变量的次数为1；常数项b 可以为任意实数． 【类型二】 一次函数与正比例函数 已知y ＝(m －1)x 2－|m |＋n ＋3. (1)当m 、n 取何值时，y 是x 的一次函数？ (2)当m 、n 取何值时，y 是x 的正比例函数？ 解析：(1)根据一次函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，n ＋3＝0，据此求解即可． 解：(1)根据一次函数的定义得2－|m |＝1，解得m ＝±1.又∵m －1≠0即m ≠1，∴当m ＝－1，n 为任意实数时，这个函数是一次函数； (2)根据正比例函数的定义得2－|m |＝1，n ＋3＝0，解得m ＝±1，n ＝－3.又m －1≠0即m 1，∴当m ＝－1，n ＝－3时，这个函数是正比例函数． 方法总结：一次函数解析式y ＝kx ＋b 的结构特征：k ≠0，自变量的次数为1，常数项b 可以为任意实数．正比例函数y ＝kx 的解析式中，比例系数k 是常数，k ≠0，自变量的次数为1. 探究点二：根据实际问题求一次函数解析式 【类型一】 列一次函数解析式 写出下列各题中y 与x 的函数关系式，并判断y 是否是x 的一次函数或正比例函数？ (1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面y (平方米)人数x (人)之间的函数关系； (2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km ，气温下降5℃，气温x (℃)与高度y (km)之间的函数关系． 解析：(1)根据人均占有耕地面积y 等于总面积除以总人数得出即可；(2)
专题7.1 复数的概念 知识储备 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ . 能力检测 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题 1．（2020·山东高三期中）复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B
【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i += 得222x yi i +=， 所以2022x y ??+=?=?? ，解得1x y ?=???=? ， 因为1x y ?=???=? 时，不能满足20x =，舍去； 故31x y ?=-???=? ，所以z i = ，其对应的点?? ? ???位于第二象限，故选：B. 2．（2020·湖南师大附中高三月考）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A B ．C ．2 D ．8 【答案】B 【解析】由图象可知1z i =，2 2z i =-，则1222z z i -=-+， 故12|22|z z i -=-+==故选:B . 3．（2020·上海高三）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，