12.4 复 数
【知识梳理】 1.复数的有关概念
(1)复数的定义
形如_______(a 、b ∈R )的数叫做复数，其中实部是____，虚部是_____. (2)复数的分类
复数z ＝a ＋b i a ，b ∈R
?
??
实数b ＝0，
虚数b ≠0???
?
? 纯虚数a ＝0，b ≠0，
非纯虚数
a ≠0，
b ≠0.
(3)复数相等
a ＋
b i ＝
c ＋
d i ? _______ (a ，b ，c ，d ∈R )．
(4)共轭复数
a ＋
b i 的共轭复数为 _______ (a ，b ，
c ，
d ∈R )．
(5)复数的模
向量OZ →
的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作 _______ 或|z |， 即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ _______ (r ≥0，a 、b ∈R )． 2.复数的几何意义 (1)复平面的概念
建立 _______ 来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴
在复平面内，x 轴叫做_______ ，y 轴叫做_______ ，实轴上的点都表示_______；除 原点以外，虚轴上的点都表示_______ . (3)复数的几何意义
3.复数代数形式的四则运算
(1)运算法则:设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
加减法：_______
乘法： _______ 除法：_______ (2)复数加法的运算律
设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： 交换律：z 1＋z 2＝ _______ ； 结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝ _______
【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( ) 【双基自测】 1．给出下列结论：
①任何数的平方都不小于0；
②已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时复数z 为纯虚数； ③两个虚数的和还是虚数；
④复数的模就是复数在复平面内对应向量的模． 其中正确的是( )
A ．②
B ．④
C ．②③
D ．①④ 2．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1 3．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．若z ＝1＋2i
i
，则复数z ＝( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
【典型例题】
题型一 复数的概念
例1.(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1
z 2
的虚部为( )
A ．1
B ．i C.25
D ．0
(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
变式1. (1)(2013·安徽)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
(2)(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 题型二 复数的运算
例2.计算：(1)3(1＋i )2i －1＝________；
(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
＝________ 变式2.(1)(2014·广东)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( )
A ．－3＋4i
B ．－3－4i
C ．3＋4i
D ．3－4i
(2)(2014·北京)复数2
i -1i 1??
?
??+＝________.
(3)（3）
(1＋2i )2＋3(1－i )
2＋i
(4)1－3i (3＋i )2
题型三 复数的几何意义
例3.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，
试求：
(1)AO →、BC →
所表示的复数； (2)对角线CA →
所表示的复数； (3)B 点对应的复数．
变式3．(1)(2014·重庆)在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)已知z 是复数，z ＋2i 、z
2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，
求实数a 的取值范围．
（3）(2011·江苏苏北四市期末)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，
C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围为________________．
【巩固练习】 1.下面四个命题：
①0比－i 大； ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；