总结：利用导数研究函数单调性的三个应用
(1)利用导数判断函数图像：通过求导找出增减区间，结合排除法和特殊值法解题。
(2)利用导数解不等式：这类题目很多时候要构造特殊函数，通过观察式子的特点，构造特殊函数，然后求导找其增减区间，进而对不等式求解。
(3)求参数的取值范围：已知函数)(x f y =在)(b a ，的单调性，求参数的范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：)(x f y =在)(b a ，上单调，则区间)(b a ，是相应单调区间的子集。②转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则0)(≥'x f ；若函数单调递减，则0)(≤'x f ”。
例3-2．函数x x x a x f ln 2)1
()(--=(R a ∈)，x
a x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使得)()(00x g x f >成
立，则实数a 的范围为( )。
A 、)0[∞+，
B 、)0(∞+，
C 、)1[∞+，
D 、)1(∞+， 【答案】B
【解析】由题意知0ln 2>-x ax 在]1[e ，上有解，满足min )ln 2(x
x
a >即可， 设x
x
x h ln 2)(=
，2
2)ln 1(2)()(ln 2)ln 2()(x x x x x x x x h -='-'='，∵]1[e x ，∈，∴0)(≥'x h ， ∴)(x h 在]1[e ，上恒为增函数，∴0)1()(=≥h x h ，∴0>a ，故选B 。 变式3-2．设函数522
1)(2
3+--
=x x x x f ，
若对于任意]21[，-∈x 都有m x f <)(成立，求实数m 的取值范围。 【解析】23)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得3
2
-=x 或1=x ， 2分 ∵当32-
x 时，0)(>'x f ，当13
2
<<-x 时，0)(<'x f ， 4分 ∴)(x f y =在)3
2
(--∞，和)1(∞+，上为增函数，在)13
2(，-上为减函数， 6分 ∴)(x f 在3
2-
=x 处有极大值，在1=x 处有极小值，极大值为2722
5)32(=-f ， 8分
而7)2(=f ， ∴)(x f 在]21[，-上的最大值为7，
对于任意]21[，-∈x 都有m x f <)(成立，得m 的范围7>m 。 10分 例3-3．若对)0[∞+∈?，、y x ，不等式2422++≤---+y x y x e e ax 恒成立，则实数a 的最大值是( )。
A 、
41 B 、2
1
C 、1
D 、2 【答案】B
【解析】∵)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，即ax e x 4)1(22≥+-，
当0=x 时恒成立，当0>x 时，可得x e a x 212-+≤，令x
e x g x 2
1)(-+=，
则2
21
)1()(x x e x g x --='-，可得0)2(='g ，且在)2(∞+，上0)(>'x g ，在)20[，上0)(<'x g ，
故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是12≤a ，即2
1
≤a ，故选B 。 变式3-3．已知函数x x x f ln )(?=。 (1)求)(x f 的最小值；
(2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。
【解析】(1))(x f 的定义域为)0(∞+，，)(x f 的导数1ln )(+='x x f ， 1分 令0)(>'x f ，解得e x 1>
，令0)(<'x f ，解得e
x 1
0<<， 3分 从而)(x f 在)10(e
，单调递减，在)1
(∞+，e 单调递增， 5分
∴当e
x 1=
时，)(x f 取极小值也是最小值，则e e f x f 1
)1()(min -==； 6分
(2)依题意得1)(-≥ax x f 在)1[∞+，上恒成立， 即不等式x
x a 1
ln +≤对于)1[∞+∈，x 恒成立， 7分 令x x x g 1ln )(+
=， 则221
11)(x
x x x x g -=-='， 8分 当1>x 时，01
)(2
≥-=
'x
x x g ，故)(x g 是)1[∞+，上的增函数， 10分 ∴)(x g 的最小值是1)1(=g ，∴1≤a 从而a 的取值范围是]1(，-∞。 12分 总结：研究极值、最值问题应注意的三个关注点：
(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点。
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论。 (3)含参数时，要讨论参数的大小。 例3-4．设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈。 (1)求)(x f 的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围。 (3)已知当)1(∞+∈，x 时，)1()(-≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围。
【解析】(1))2(3)(2-='x x f =)2(32-x ，令0)(='x f 得21-=x ，22=x ， 2分 ∴当2-x 时0)(>'x f ，当22<<-x 时0)(<'x f ，
∴)(x f 的单调递增区间是)2(--∞，
及)2(∞+，，单调递减区间是)22(，-， 5分 当2-=x ，)(x f 有极大值245+，当2=x ，)(x f 有极小值245-； 6分 (2)由(1)的分析可知)(x f y =图像的大致形状及走向，
∴当245245+<<-a 时直线a y =与)(x f y =的图像有3个不同交点，
即方程a x f =)(有三解； 8分 (3))1()(-≥x k x f 即)1()5)(1(2-≥-+-x k x x x ，
∵1>x ，∴52-+≤x x k 在)1(∞+，上恒成立， 10分 令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，)(x g 在)1(∞+，上是增函数，
∴3)1()(-=>g x g ，∴所求k 的取值范围是3-≤k 。 12分 变式3-4．已知函数)1ln(2)(2x ax x f -+=(a 为实数)。 (1)若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值；
(2)若)(x f 在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围。 【解析】(1))(x f 的定义域为)1(，-∞，又x ax x f --='12
2)(，012)1(=--=-'a f ，2
1-=a ； 3分 (2) 0)(>'x f 对]23[--∈，x 恒成立， (3) ∴0122>--
x ax ，x ax ->12
2，4
1)21(1122+
--=+-1)21(2+--x 的最大值为641
)212(2-=+--， 7分
∴
x
x +-21的最小值为61
-
，又因61-=a 时符合题意，∴61-≤a 。 10分 变式3-5．已知函数x x x f ln 2
1)(2
+=
。 (1)求函数)(x f 在]1[e ，上的最大值、最小值；
(2)求证：在区间)1[∞+，上，函数)(x f 的图像在函数3
3
2)(x x g =
图像的下方。 【解析】(1)由x x x f ln 21)(2
+=有x
x x f 1)(+='，当]1
[e x ，∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数， 2分 ∴12
1)()(2max +=
=e e f x f ，21
)1()(max ==f x f ； 4分
(2)设323
2ln 21)(x x x x F -+=，则x x x x x x x x F )21)(1(21)(22
++-=-+='， 6分
当)1[∞+∈，x 时，0)(<'x F ，则)(x F 单调递减，且06
1
)1(<-=F ， 8分 故)1[∞+∈，x 时0)(2
ln 21x x x <+，得证。 10分
专题04导数及其应用(解析版)
大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（北京卷） 专题04导数及其应用 本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳. 1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1 x+1 +lnx的定义域是____________． 【答案】(0,+∞) 【解析】 由题意得{x>0 x+1≠0，∴x>0 故答案为：(0,+∞) 2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是． 【答案】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x， 若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1， 函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x 若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立， 变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]． 3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3?3x，x≤a ?2x，x＞a ． ①若a＝0，则f（x）的最大值为； ②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是． 【答案】解：①若a＝0，则f（x）={x3?3x，x≤0?2x，x＞0 ，
则f ′（x ）={3x 2?3，x ≤0 ?2，x ＞0 ， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={ 3x 2?3，x ≤a ?2，x ＞a ， 令f ′（x ）＝0，则x ＝±1， 若f （x ）无最大值，则{a ≤?1 ?2a ＞a 3 ?3a ，或{a ＞?1 ?2a ＞a 3?3a ?2a ＞2， 解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1） 4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12?x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于?2的切线方程； （Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y ?13=0，（Ⅱ）32. 【解析】 （Ⅰ）因为f (x )=12?x 2，所以f ′(x )=?2x ， 设切点为(x 0,12?x 0)，则?2x 0=?2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y ?11=?2(x ?1)，即2x +y ?13=0. （Ⅱ）显然t ≠0， 因为y =f (x )在点(t,12?t 2)处的切线方程为：y ?(12?t 2)=?2t (x ?t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t ， 所以S (t )=1 2×(t 2+12)? t 2+122|t| ， 不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )= t 4+24t 2+144 4t =14(t 3+24t + 144t )， 所以S ′(t )=1 4(3t 2+24?144 t )=3(t 4+8t 2?48) 4t
高中导数经典知识点及例题讲解.
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.
典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
导数压轴题处理专题讲解
导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -
专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e(新高考专用)专题 导数(含详细解析)
初高中数学学习资料的店 初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 13 页 专题12 导数 1．已知函数()()211ln ,022 f x x a x a R a =--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =-+（2）当0a <时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+； 当0a >时，函数()f x 的递增区间为 )+∞ ，递减区间为(； （3）()(],00,1-∞ 【解析】（1）3a =时，()2113ln 22f x x x = --，()10f =()3f x x x '=-，()12f '=- ∴()y f x =在点()() 1,1f 处的切线方程为22y x =-+故答案为：22y x =-+; （2）()()20a x a f x x x x x -'=-=>①当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+ ②当0a >时，令()0f x '= ，解得x = x = 所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为( 当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+; 当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(. （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥而()111ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；
专题13 导数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题13 导数（知识梳理） 一、基本概念 1、导数定义：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x f x x ?-?+=??→?→?) ()(lim lim 0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0|x x y ='，即x x f x x f x f x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000。 附注：①导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率； ②定义的变化形式：x x x f x f x y x f x x ??--=??='→?→?)()(lim lim )(0000； 000) ()(lim lim )(0x x x f x f x y x f x x x --=??='→→?；x x f x x f x f x ?--?-='→?-)()(lim )(000； 0x x x -=?，当0→?x 时，0x x →，∴0 0) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→。 ③求函数)(x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 2、基本初等函数的八个必记导数公式 3(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '?+?'='?； (3)[]2 )() ()()()(])()([ x g x g x f x g x f x g x f '-'= '(0)(≠x g )。 特别提示：)(])([x f C x f C '?='?，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。 4、复合函数的导数 (1)复合函数定义：一般地对于两个函数)(x f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，就称这个函数为)(x f y =和)(x g u =的复合函数，记作)]([x g f y =。 (2)复合函数求导法则：复合函数)]([x g f y =的导数和函数)(x f y =、)(x g u =的导数的关系为x u x u y y '?'='， 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。 例1-1．求函数23x y =在1=x 处的导数。 分析：先求2)(6)1()1(x x f x f y f ?+?=-?+=?=?，再求 x x f ?+=??6，再求6lim 0=??→?x f x 。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数 一、单选题（共3题；共6分） 1、（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A、 B、 C、 D、 2、（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（） A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题（共8题；共50分）
4、（2017?浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥ ）． （Ⅰ）求f（x）的导函数； （Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 5、（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分） （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017?北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个 零点x0， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 8、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b2＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分） (1)讨论f（x）的单调性； (2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 10、（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
(完整版)函数与导数经典例题(含答案)
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
(完整版)高三复习导数专题
导 数 一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1 ' )(-=n n nx x （R n ∈） x x e e =')( a a a x x ln )('= x x 1)(ln '= e x x a a log 1)(log '= x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-= 3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=- [()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+g g g 2 ()()()()() [ ]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()b f x ax x =+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称 （2）三次函数32 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 比较两个的代数式大小 导数与不等式 讨论零点的个数 求切线的方程
导数的基本题型和方法 1、、导数的意义：（1）导数的几何意义： () k f x ' =（2）导数的物理意义：() v s t' = 2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b] f x f x '≥?在[a,上递增()0()b] f x f x '≤?在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；() f x c ≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。 3、、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值；0 ()0 f x= x是极值点（2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。 4、导数与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式 ⑴证明不等式f(x)>g(x)在区间A上成立 方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求出函数在区间A上的最小值 min ()0 F x> 方法二：转化为证明 min max ()() f x g x > ⑵ f(x)>g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在 区间A上的最小值 min ()0 F x>,解此不等式既得参数的范围 ⑶不等式f(x)>g(x)的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出 函数在区间A上的最小值 min ()0 F x≤解此不等式既得参数的范围 ⑷不等式f(x)>g(x)的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出 函数在区间A上的最小值 max ()0 F x>解此不等式既得参数的范围 ⑸比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在 区间A上的最值，若最小值 min ()0 F x≥，则()() f x g x ≥；若最大值 min ()0 F x≤，则()() f x g x ≤ 5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨 论零点的个数 三次函数32 () f x ax bx cx d =+++(0) a≠的图像 > a0 a< ≤ ?0 > ?0 ≤ ?0 > ? 三次函数是关于M对称的中心对称图
导数典型例题包括答案.doc
导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 .
专题03 导数及其应用 解析版
专题03 导数及其应用（原创） 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1 (1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+ 【答案】B 【解析】 ()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-， 因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y x 2+y 2=1 5 都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x + 12 C. y = 1 2 x +1 D. y = 12x +12 【答案】D 【解析】设直线l 在曲线y = (0x ，则00x >， 函数y = y '= ，则直线l 的斜率k = ， 设直线l 的方程为)0y x x = - ，即00x x -+=， 由于直线l 与圆22 15x y += = 两边平方并整理得2 005410x x --=，解得01x =，01 5 x =- （舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122 y x =+. 【2019年】 1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D
【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．（2019·天津卷）已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[]0,2 C ．[] 0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 112201x x ???? =--+-≤-= ? ? ?-???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤ 恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，
专题05 导数的计算及其几何意义(解析版)
第5讲导数的计算及其几何意义 考点1：导数基本知识 导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率： 已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1?x0，Δy=y1?y0= f(x1)?f(x0)=f(x0+Δx)?f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)?f(x0) Δx =Δy Δx 称作函数y=f(x) 在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率． 2. 函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)?f(x0)． 如果当Δx趋近于0时，平均变化率Δy Δx =f(x0+Δx)?f(x0) Δx 趋近于一个常数l（也就是说平均变 化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． “当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)?f(x0) Δx 趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时， f(x0+Δx)?f(x0) Δx →l”，或记作“lim Δx→0 f(x0+Δx)?f(x0) Δx =l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的 瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是 可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)?f(x0) Δx →f′(x0)”或 “lim Δx→0f(x0+Δx)?f(x0) Δx =f′(x0)”． 3. 可导与导函数： 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．
高中数学导数典型例题精讲(详细版)
导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．
