23个函数与导函数类型专题
1、函数第1题已知函数ln ()x 1f x x 1x =++，若x 0>，且x 1≠，ln ()x k
f x x 1x
>+-，求k 的取值范围.
解析：⑴ 将不等式化成()(*)k >=<模式
由ln ()x k f x x 1x >
+-得：ln ln x 1x k
x 1x x 1x +>++-，化简得：ln 2
2x x k 1x 1
<-- ① ⑵ 构建含变量的新函数()g x
构建函数：ln ()2
2x x g x x 1
=
- （x 0>，且x 1≠）
其导函数由'
''2u u v uv v v -??= ???求得：'()(ln ln )()
22
222g x x x x x 1x 1=---- 即：'()[()()ln ]()22
222
g x x 1x 1x x 1=--+-()ln ()222222x 1x 1
x x 1x 1??+-=- ? ?-+??
② ⑶ 确定()g x 的增减性
先求()g x 的极值点，由'()0g x 0=得：
ln 2002
0x 1x 0x 1
--=+
即：
ln 2002
0x 1x x 1
-=+ ③
由基本不等式ln x x 1≤-代入上式得：
2002
0x 1x 1x 1
-≤-+
故：2002
0x 1x 10x 1
---≥+即：()()02
01x 110x 1
--
≥+
由于
2
011x 1
≤+，即2
0110x 1
-
≥+，故：0x 10-≥，即0x 1≥
即：()g x 的极值点0x 1≥
在0x x 1≥≥时，由于22x 1
1x 1
-<+有界，而ln x 0>无界
故：
ln 22
x 1x 0x 1
--<+
即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减； 那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式
在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，
故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+??
= ?-?? 应用不等式：ln x x 1<-得：
ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-??????<== ? ? ?+??--???? 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1
代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式
在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，
故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+??= ?-?? 由于极限()lim ln x 0
x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤
⑹ 总结结论
综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞ 本题的要点：求出ln 2
2x x 1x 1
-
-的最小值或最小极限值.
特刊：数值解析
由①式ln 2
2x x k 1x 1
<-
-，设函数ln ()2
2x x K x 1x 1
=-
-
当x 1→时，用洛必达法则得：
ln (ln )'(ln )
lim
lim
lim
()
22x 1
x 1
x 1
2x x 2x x 2x 112x x 1
x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：
x
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
()K x 0.2062 0.1273 0.0758 0.0422 0.0209 0.0083 0.0018 0.0000 x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
()K x
0.0015 0.0055 0.0114 0.0186 0.0269 0.0359 0.0454 0.0553
其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤. 2、函数第2题已知函数()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322
a 53
-≤≤ 解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数
函数：()ln 2f x x ax =- ①
其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-=()()
12a x 12a x +-= ②
⑵ 给出函数()f x 的单调区间
由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()12a x -的符号决定. 当12a x 0->，即：x 2a <
'()f x 0>，函数()f x 单调递增；
当12a x 0-<，即：x 2a >'()f x 0<，函数()f x 单调递减；
当12a x 0-=，即：x 2a
=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.
⑶ 由区间的增减性给出不等式
由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈
若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x 2a
=
的两侧
即：2a
α<，2a
β>.
所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式
由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2
a 3
≤
⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32
a 5
-≥
⑥ ⑸ 总结结论
ln ln ln 322
a 53
-≤≤. 证毕. 本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题. 特刊：特值解析
由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-?，()ln 2f a βββ=-? 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-?=-? 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22
a βα
βα
-=
-
当：2β=，1α=时，ln 2
a 3=
当：3β=，2α=时，ln ln 32
a 5
-=
故：a ln ln ln 322
a 53
-≤≤
3、函数第3题已知函数()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于
,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01
x a
>
. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数
函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =
-+-()()1
12x a x
=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间
当
1a 0x ->，即(,)1
x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当
1a 0x -<，即(,)1
x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当
1a 0x -=，即1x a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a
. ()ln ()()21111f a 2a a a a a =-?+-?ln 11
1a a
=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间
由于lim ()x f x 0→+∞
<，lim ()x 0
f x 0→+<
若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1
f 0a >.
即：ln 1110a a +->，即：ln 11
1a a
>- ③
考虑到基本不等式ln
111a a ≤-及③式得：ln 111
11a a a
-<≤- 即：1111a a -
<-，即：2
2a
>，即：a 1<
结合ln
1
a
，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C
,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <
，B 1x a
> 设：A 11x x a =
-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11
x a <（因x 0>） 设：C 11x x a =
+则C x 与B x 处于相同得单调递减区间(,)1
x a
∈+∞. 于是：()()A B f x f x 0==，即：()11
f x 0a -=
故：()ln()()()()2A 111111
f x x a x 2a x a a a
=---+--
ln()()()2
111121112a x a 2x x 2a x a a a a
-=---??++--
ln()ln 2
11111ax a 1ax ax 0a
=--+
-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：
()()ln()ln 2
C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a
=+=+-+--- ⑥
⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置
构造函数：()()()()()1C A 1111
g x f x f x f x f x a a
=-=+--
将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：
'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-221
2a
2a 1a x =--22
1221a x 2a 1a x =?- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11
x a
<
，所以'()1g x 0>.
即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.
当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211
x x x x a a
=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论
那么，由⑨式得：
()0A B 1x x x 2=
+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a
=+-> 01
x a
>
. 证毕. 本题的关键：首先求得极值点m 1
x a
=
，以m x 为对称轴看,A B 的对称点就可以得到结论. 具体措施是：设C 点，利用函数的单调性得到C B x x < 4、函数第4题已知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21
f x x ax b 2
≥++，求()a 1b +的最大值.
解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式
由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+
，则：()A
f 0B e
== 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 2
1f x e x x 2
=-+
①
⑵ 化简不等式()2
1f x x ax b 2
≥
++ 即：()x 22
11f x e x x x ax b 22
=-+
≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ② ⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点
构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④
要使②式得到满足，必须()g x 0≥.即：'()g x 0≥，或()g x 的最小值等于0 故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值
由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）
其导函数为：'()(ln )()(ln )21
h y 2y 1y y y 12y y
=-+-=- ⑦
当ln 12y 0->，即：(y 0e ∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增； 当ln 12y 0-<，即：,)y e ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减； 当ln 12y 0-=，即：y e ='()h y 0=，()h y 达到极大值. 此时，()h y 的极大值为：()()()2e
h e e 1e 2
=-= ⑧ ⑸ 得出结论
将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤
()a 1b +的最大值为e 2
本题的关键：利用已知的不等式()2
1f x x ax b 2
≥++得到关于()a 1b +的不等式即⑥式，然后求不等式⑥式的极值.
5、函数第5题已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的
[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.
解析：⑴ 利用基本不等式求出a
利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=
或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a
函数()f x 的导函数为：'()1
f x 1x a
=-
+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x
当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③ 则函数()g x 0≤，即()g x 的最大值为0. 实数k 的最小值对应于()g x 的最大值点. ⑷ 确定()g x 的单调区间和极值
于是由③式得导函数为：
'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1
=-
-=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；
则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞ 当
12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当
12k x 1<+，即1
x 12k
>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当
12k x 1=+，即m 1
x x 12k
==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x
将最值点m x x =代入③式得：（m 1
x x 12k
==
-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =
----()[()]ln()11
11k 12k 2k 2k =---+ (
)()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k 2k 2k 2
-+=+ ()()
ln()12k 12k 2k 4k
+-=
+
由()g x 的最大值为0得：()()
()ln()m 12k 12k g x 2k 04k
+-=
+=
即：2k 1=，即：1k 2
=
， 此时m 1
x 12k
=
-，即：
m 12k 1x 1==+，即：m x 0=
⑹ 给出结论
由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：
()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.
由m 1x 102k =
-=得出实数k 的最小值为：1k 2
= 故：实数k 的最小值1
k 2
=
. 本题关键：用构建新函数()g x 代替不等式()2f x kx ≤，通过求导得到极值点. 特刊：特值解析
由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0= 由()g x 0=得：ln()
2
x x 1k x
-+=
，令ln()
()2
x x 1K x x
-+=
我们只要求出ln()
()2
x x 1K x x
-+=
在极值点的值就好.
用洛必达法则：ln()
lim ()lim
lim
2
x 0
x 0
x 0
11x x 1x 1K x 2x
x
→+→+→+-
-++== lim lim ()x 0x 0x
11
x 12x 2x 12
→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=
，即：实数k 的最小值1k 2
=. 6、函数第6题已知函数()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.
解析：⑴ 确定曲线的切线方程
曲线：()x 2f x e ax ex =+- ① 其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②
设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：
()()'()()P P P y x f x f x x x =+- ③
⑵ 构建新函数()g x ，并求导
构建函数()()()g x f x y x =-则切线与曲线的交点就是()g x 的零点. 则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤
由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：
'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值
当a 0≥时：
若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.
此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一， 所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥不满足P 点唯一的条件. ⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线
当a 0<时：
由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：
a> ()P x x P e e 02a x x 0
?-=??-=??即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.
b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=
此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦ ⑦式的解是曲线P x x y e -=与直线()P x P y 12ae x x -=--的交点.
曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.
故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P P
x x x x k e 1-===
于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标
当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.
由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：
()()ln ()ln()P x 2
2P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---
得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论
切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+--- 本题要点：利用图象法解超越方程⑦.
7、函数第7题已知函数()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点
(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.
解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数
由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：
()()()()
21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==
-- ()()()2121ax ax ax ax 212121
e e x x e e 1x x x x ----==--- ①
函数()ax f x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ② ⑵ 构建新函数()g x ，并求导
判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.
所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立. 则：()
()21ax ax ax
21
e e g x ae
x x -=-
- ③ 导函数：'()2ax g x a e = ④ ⑶ 求()g x 在区间端点的函数值
由③式得：
()()211
ax ax ax 121e e g x ae
x x -=--()[()]121ax a x x 2121
e a x x e 1x x -=--+-
()[()]1
21ax a x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤
()()212
ax ax ax 221e e g x ae
x x -=--()[()]212ax a x x 2121
e a x x 1e x x -=--+-
()[()]2
12ax a x x 1221
e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在
利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号. 即：x e x 10--≥ ⑦
将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠） 将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）
则()()12g x g x 0?<，证明其存在性.
函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在. 由④式得：'()2ax g x a e 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.
()g x 是单调函数，则证明其唯一性.
由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.
⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置
设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213
ax ax ax 321
e e g x ae
0x x -=-=- （a 0≠）
即：ln ()21
ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈
⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x
由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故： 在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=； 在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=； 在03x x =时，()()03g x g x 0==.
故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21
ax ax 02211e e x x a a x x -∈-
本题要点：构建函数关系式③，由其导数得出单调性、增减性，得出零点. 8、函数第8题已知函数()ln()f x x 1x 11=+++.证明：当0x 2<<时，()9x
f x x 6
<+ 证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导
构建函数()ln()9x
g x x 1x 11x 6
=+++-
+ ①
导函数'()()2
154
g x x 12x 1x 6=
+-
+++ ② 即：'()()()
22x 154
g x 2x 1x 6++=
-++ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，
现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9x
f x x 6
<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.
要保持不等号的方向不变，只有
(*)2x 1
≤+即：(*)x 1+≥
或(*)x 1+. （(*)代表某个不含根号的式子）
由于有(*)x 1+和(*)x 1+≤的两种选项，所以采用化掉x 1+. 由均值不等式：(2221x 11x 1x 2?+≤++=+得：x
x 112
++ 代入③式得：'()()()()()
22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+
++≤-=-++++ 即：()()'()()()
32
x 6454x 1g x 4x 1x 6+-??+≤
++()()()()
332
x 66x 14x 1x 6+-?+=
++ ④
⑶ 求函数()g x 的极值点
当()g x 取极值时，'()g x 0=.
故由④式得：()()33x 66x 10+-?+=，即：3x 6x 1+=+ ⑤ 令3
t x 1=
+（31t 3<<
则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥ 分解因式法：
()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-
()()2t 1t t 50=-+-=
故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231120
t -±+=由于31t 3<<2211
t -=
所以有：1t 1=，2211
t 2=
，即：1x 0=，3
2211x 12??=- ? ???
由于()()()
=3
321121121122221288??-= ? ??
? ()()161112536
444
-?>
=>
所以2x 3>
函数在两个相邻极值点之间[,]03是单调的. ⑷ 由单调性证明不等式
由①式()ln()9x
g x x 1x 11x 6
=+++-
+得： ()g 00=，()ln ln 93
g 344142036
?=+-
=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.
就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9x
f x x 6
<
+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间
(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.
9、函数第9题已知a 0>，n 为正整数，抛物线n
2
a y x 2
=-+与x 轴正半轴相交于点A .
设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a 17≥对所有n 都有：
()()3
3f n 1n f n 1n 1
-≥
++. 证明：⑴ 先求A 点的坐标(,)A x 0
将A x x =，A y y 0==代入抛物线n
2
a y x 2
=-+得：n
A a x 2
=
⑵ 求过A 点的切线方程
抛物线的导数为：'y 2x =- ①
故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-
即：()2
A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②
⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n
由②式，当x 0=时，()y f n =.
故：()2
n 2n A a f n 2x 2a 2=== ③ ⑷ 分析待证不等式
()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++， 即：()32111f n 1n 1-
≥-++，即：()321f n 1n 1
≤++，
即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+
将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：n
3a 2n 1≥+ ④
证明了④式，就证明了不等式()()3
3
f n 1n f n 1n 1-≥++ ⑸ 数值分析
由④式
当n 1=时，a 3≥；
当n 2=时，2a 17≥，即a 17≥
当n 3=时，3a 55≥，即3a 55≥35517<2553025=，3174913=） 因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31
a 2n 1n
≥
+ ⑤ a 的最小值，就是ln()31
2n 1n
+的最大值. ⑹ 构建新函数()g n 构建函数：()ln()31
g n 2n 1n
=
+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()2
332
6n n 2n 12n 1g n n
?-++=
当'()g n 0=时，即：
ln()3336n 2n 12n 1
=++，
即：ln()33332n 12n 1
-
=++ ⑥
令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 3
3t t
-
= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值
虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3
t 33t
=-
<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13< 于是满足⑤式的n 的最大值是n 2=
代入④式n 3a 2n 1≥+ 2
3a 22117≥?+= ⑧ ⑻ 证明结论
满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.
当a 17≥时，对所有n 都有：()()3
3f n 1n f n 1n 1
-≥
++. 证毕. 10、函数第10题已知函数ln ()x
x 1f x e +=
，'()f x 为()f x 的导数.设()()'()2g x x x f x =+，
证明：对任意x 0>，()2g x 1e -<+ 解析：⑴ 求函数()g x 的解析式
函数ln ()x
x 1f x e
+=
的导函数为：
'()(ln )(ln )x x
2x x 1
111f x e e x 1x 1x x e e
=
-+=--[] ① 函数()()'()2g x x x f x =+得：
()()(ln )(ln )x x x 1x 1x 1g x x 11x x x x e e
++=
--=-- ② ⑵ 构造新函数()h x
由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）得:x
1x 1e
+≤
代入②式得：()ln g x 1x x x <-- （x 0>） 令：()ln h x 1x x x =-- ③ 则上式为：()()g x h x < ④ ⑶ 分析()h x 的单调性，并求其极值
由③式得()h x 导函数为：'()(ln )h x 2x =-+ ⑤ 当2x e ->，即ln 2x 0+>时，'()h x 0<，()h x 单调递减； 当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增；