关于和差化积以及积化和差的两句口诀
sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin
一、阐述
1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。
2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。
3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。
4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。
5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。
注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。
二、规律
观察如下积化和差 以及 和差化积公式：
()()1sin cos =sin sin 2?Θ?+Θ+?-Θ???
? ()()1cos sin =sin sin 2?Θ?+Θ-?-Θ???
? ()()1cos cos =cos cos 2
?Θ?+Θ+?-Θ???? ()()1sin sin =cos cos 2?Θ-?+Θ-?-Θ???
? ()()
sin +sin =2sin cos 22?+Θ?-Θ?Θ
()()
sin sin =2cos sin 22?+Θ?-Θ?-Θ
()()
cos cos =2cos cos 22?+Θ?-Θ?+Θ
()()cos cos =2sin sin 22?+Θ?-Θ?-Θ-
最主要的规律：“和必同名，和积互逆”
1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和） 我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有
sin sin ?±Θ、cos cos ?±Θ均没有出现sin cos ?±Θ、cos sin ?±Θ
可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。
2）“和积互逆”，和差化积四条公式与积化和差四条公式是一一对应且互逆的，这就为我们记忆公式提供了方便，我们把重点放在和差化积，相对复杂的积化和差也就很容易写出来了。我们口诀只需记住函数名即可。至于填入的?Θ还是他们的加减除2等都是简单的印象记忆罢了。
三、总结公式 “sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin ”
1）首先关注sin sin ?±Θ即“sin 和差”，口诀一“sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
| |
前 后 积
我们认为“sin ”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和cos 相乘时，sin 在前还是在后，如下
()()sin cos 22?+Θ?-Θ 为 前积 对应 sin 和
()()cos
sin 22?+Θ?-Θ 为 后积 对应 sin 差
由口诀“sin 和差前后积”迅速写出：
(
)()sin +sin =sin cos ?Θ sin 和 — 前积 (
)()sin sin =cos sin ?-Θ sin 差 — 后积
再填入内容可得： ()()
sin +sin =2sin cos 22?+Θ?-Θ?Θ
()()
sin sin =2cos sin 22?+Θ?-Θ?-Θ
从而写出积化和差公式中的 前积、后积公式：
(
)()sin cos =sin +sin ?Θ (
)()cos sin =sin -sin ?Θ
再填入内容可得： ()()1sin cos =sin sin 2?Θ?+Θ+?-Θ???
? ()()1cos sin =sin sin 2
?Θ?+Θ-?-Θ????
2）关注cos cos ?±Θ即“cos 和差”，口诀二“cos 和差cos 负sin ”其形象记忆其实是 cos 和 差
| |
cos -sin
其中关于cos+cos 其公式中，函数名全是cos
()()c o s c o s =2c o s c o s 2
2?+Θ?-Θ?+Θ cos 和 — cos 而关于cos-cos 其公式中，变换后函数名全是sin 加多一个负号 ()()c o s
c o s =2s i n s i n 22
?+Θ?-Θ?-Θ- cos 差 — 负sin 由口诀“cos 和差cos 负sin ”迅速写出：
()()c o s c o s
=c o s c o s ?+Θ cos 和 — cos ()
()c o s c o s
=s i n s i n ?-Θ- cos 差 — 负sin 再填入内容可得： ()()cos cos =2cos cos 22
?+Θ?-Θ?+Θ ()()cos cos =2sin sin 22
?+Θ?-Θ?-Θ- 从而写出 cos cos 和 sin sin 化成和差的公式：
(
)()cos cos =cos +cos ?Θ (
)()()sin sin =cos cos ?Θ--
再填入内容即可： ()()1cos cos =
cos cos 2?Θ?+Θ+?-Θ???
? ()()1sin sin =cos cos 2?Θ-?+Θ-?-Θ????
四、关于应用
积化和差和差化积公式应用的前提是对规律“和必同名，和积互逆”的把握，看到规律且应用公式后有利于下一步操作的就可以用。题目千变万化，首先要多默写公式，熟稔于心。
揭阳邱金元纪念中学2014届高三一班
黄国盛
写于2019年12月26日
英语语法记忆口诀 1.初中阶段常见的以Ｏ结尾的名词变复数需加-es的，可以这样记忆： 两人两菜（Negro，ｈero,ｐotato,tomaｔo)； 一句话(Negrｏeｓandｈｅroeｓliｋe to eａt poｔaｔｏes and tｏmaｔoes) 生命的加-es（如:heｒｏes，phatoes）,无生命的加-ｅs (如：zoo?zｏos, pianｏpｉaｎos）． 2.某国人变复数 中日不变英法变,其余-S加后面。 3.人称代词主格、宾格记忆口诀 人称代词分主、宾，只有八对要区分; 你(们)、它主、宾同形，其余主、宾要分清。 4.人称代词排序口诀 人称代词并列观，注意顺序礼貌见; 单数人称二、三、一，复数人称一、二、三； 麻烦事情“我”站前,其他人称没意见； 两性并用为三单,男先女后是习惯。 5.形容词性物主代词与名词性物主代词之间词形转换口诀记忆法 一变:mｙ变ｍine, 二留：his,iｔｓ不变； 三加尾:其余直接加－S. 6.反身代词的构成规律记忆口诀 反身代词有规律, 第三人称宾格加, 其余开头用物主, 复数-ves替-f 7.不定冠词a,ａn用法口诀 冠词a,an两种帽，单数可数名词要; 选帽只要听读音，不看字母能做到； 若是元音来开头,一定需要选aｎ帽; 辅音起首戴a帽，记住规律别乱套。 8.定冠词ｔｈe的用法记忆口诀 特指、重提和唯一,岛屿、海峡和海湾; 海洋、党派、最高级，沙漠、河流与群山； 方位、顺序和乐器,年代、团体与机关; 船名、建筑和组织，会议、条约与报刊； 姓氏复数、国全名,记住定冠thｅ加在前。 9.零冠词用法口诀 月份、星期、节假洲，呼语、头衔职务前； 三餐、球类、惯用语，学科、棋类名词前。 10.英语基数词巧记口诀 英语数词不难记,找出规律很容易；
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
英语语法记忆口诀 1、一般现在时 一般现在时态中，动词一般用原形。 表述事实讲真理，习惯动作常发生。 动词词尾加－s(es)，只表单数三人称。 若变一般疑问句，得看句型是哪种。 系表结构和there be, be放句首可完成； 若遇实义动词句，do或does莫忘用！ 2、现在进行时 Look, Listen是标志，现在进行正发生； 有时now在句中现，“be＋v－ing”时态成。 若问be用何形式，须看主语数、人称。 He ／She is, I am．We, you, they后are紧跟。 v－ing形式更好记，三种构成要分清。 一般问句be提前，be后加not否定成！ 3、基数词变序数词 基变序，很容易，一二三，特殊记，th从四起。八去t来九去e，遇到ve，f替，ty变为tie，后加th莫迟疑，若想表示几十几，只变个位就可以。 时间介词巧记歌 年、月、季节前须用in，（如：in 2008, in September, in spring） 日期前面行不通。 遇到几号改用on，(如：on January 1) 上午、下午、晚上仍用in。(如：in the morning／afternoon／evening) 若是某日上下午，也是用on才能行。 (如：on the evening of the Mid－autumn Day) 正午、夜里用at，(如：at noon, at night) 时、分用法也同理。（如：, at two, at two） 如若“差”点须加to，(如：two to two) 如若“过”点改past。(如：half past one) 多说勤练牢牢记，学好英语非儿戏。 4、谓语be的用法 我用am，你用are 除此之外的单数
和差化积公式记忆口诀顺口溜 和差化积公式，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是 三角函数中的一组恒等式，可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到， 为了方便同学们记忆，小编整理了和差化积公式记忆口诀，供参考。 和差化积公式记忆口诀1帅+帅=帅哥，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2帅- 帅=哥帅，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2哥+哥=哥哥，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2哥-哥=负嫂嫂。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2(反之亦然)和差化积公式记忆口诀2正和正在先，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正差正后迁，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余和一色余，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2余差翻了天。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀3口口之和仍口口，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2赛赛之和赛口留，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2口口之差负赛赛，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2赛赛之差口赛收。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀4正弦加正弦，正弦在前面，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正 弦减正弦，余弦在前面，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余弦加余弦，余弦 全部见，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余弦减余弦，余弦(负)不想见。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2注：角度(a+β)/2在前，(a-β)/2在后的标准形式和差化积公式记忆口诀5正加正，正在前，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β) /2正减正，余在前，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余加余，余并肩， cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余减余，负正弦。cosa-cosβ=-2sin(a+β) /2*sin(a-β)/2以上就是小编收集整理的和差化积公式记忆口诀，希望对同学们 记忆和差化积公式有所帮助。
小学英语语法快速记忆口诀 在实用英语备受青睐的现在，小学就开始开设英语这门科目，很多家长越来越重视小学孩子的英语学习。老师为大家推荐小学英语语法快速记忆口诀。 1.Be 动词的用法 我用am，你用are，is连接他，她，它。 单数名词用is，复数名词全用are变疑问，往前提，句末问号莫丢弃。变否定更容易，be后not莫忘记。疑问否定任你变，句首大写莫迟疑。 2.have/has 的用法 have/has 表拥有，你有我有大家有；两种形式有不同，男他女她动物它，张三李四单个他，has 与之紧相伴；其他形式都跟have。简单规则记心上，记心上。 3.疑问词的用法 疑问词放句首，what 什么；where 哪里；when 问时间；how 怎样；要问原因为什么，why 放句首就可以；疑问句有点难，勤做笔记多思考，遇问题别着急，先思考来后提问。 4.人称代词的用法
I 是我；you 是你；he，she ，it 他她它；I 的复数是个we；you 的复数还是you；男他女她动物它，张三李四单个他，他们的复数都是they；简单口诀要牢记，要牢记。 5.现在进行时用法 主语在句首，am, is, are跟在后，现在分词跟着走，其他成分不可丢。表示动作正进行，句中now时间定。一般问句，把be提到句前去。否定句式也简单，be后只把not添。 6.特殊疑问句用法 What用途广，要问“什么”它当先。（What’s this?） How开头来“问安”。(How are you?) Who问“谁”。（Who’s that man?） “谁的”Whose来承担。（Whose eraser is this?） 询问“某地”用Where。（Where is her cat?） “哪一个”Which句首站。（Which one?） 7.动词加-s或-es方法歌诀 动词三单现在式，一般词尾加-s。s, x, ch, sh在词尾，直接加上-es。词尾若是字母o，加上-es不用愁。“辅音字母+y“来结尾，变y为i是正规。-es后边紧跟随，study→studies看明白。
高中数学诱导公式大全 常用的诱导公式有以下几组：；公式一：；设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等；sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)；cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)；tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)；cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)；公式二：；设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值；sin(π+α)=-sinα；cos(π+α 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα
cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 法2 根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b） =e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb +sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立
积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( )
A.18 B.14 C.12 D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－12 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ????x －π6cos x 的最大值为( )
A.12 B.14 C ．1 D.22 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13 ，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ????x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2 ])的值域是( ) A ．[－2,2] B.??????－12 ，32 C.??????12，1 D.??????12 ，32 答案 1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、 B 、 C 正确． 2解析：选B.sin15°sin75°＝－12 [cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]
三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 （一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）= cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec (—α) = secα csc (—α) =—cscα 4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）= sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα 5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）= cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα
正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
小学英语语法快速记忆口诀 1.Be 动词的用法 我用am，你用are，is连接他，她，它。 单数名词用is，复数名词全用are变疑问，往前提，句末问号莫丢弃。变否定更容易，be后not莫忘记。疑问否定任你变，句首大写莫迟疑。 2.have/has 的用法 have/has 表拥有，你有我有大家有；两种形式有不同，男他女她动物它，张三李四单个他，has 与之紧相伴；其他形式都跟have。简单规则记心上，记心上。 3.疑问词的用法 疑问词放句首，what 什么；where 哪里；when 问时间；how 怎样；要问原因为什么，why 放句首就可以；疑问句有点难，勤做笔记多思考，遇问题别着急，先思考来后提问。 4.人称代词的用法
I 是我；you 是你；he，she ，it 他她它；I 的复数是个we；you 的复数还是you；男他女她动物它，张三李四单个他，他们的复数都是they；简单口诀要牢记，要牢记。 5.现在进行时用法 主语在句首，am, is, are跟在后，现在分词跟着走，其他成分不可丢。表示动作正进行，句中now时间定。一般问句，把be提到句前去。否定句式也简单，be后只把not添。 6.特殊疑问句用法 What用途广，要问“什么”它当先。（What’s this?） How开头来“问安”。(How are you?) Who问“谁”。（Who’s that man?） “谁的”Whose来承担。（Whose eraser is this?） 询问“某地”用Where。（Where is her cat?） “哪一个”Which句首站。（Which one?） 7.动词加-s或-es方法歌诀 动词三单现在式，一般词尾加-s。s, x, ch, sh在词尾，直接加上-es。词尾若是字母o，加上-es不用愁。“辅音字母+y“来结尾，变y为i 是正规。-es后边紧跟随，study→studies看明白。
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1．下列等式错误的是( ) A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B 整理为word格式
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( ) A.1 8 B. 1 4 C. 1 2 D．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 6 4 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.3 4 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 4 整理为word格式
整理为word 格式 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－1 2 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2 C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ? ???x －π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.2 2 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝1 3，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ? ???x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )
英语语法快速记忆口诀 1.人称代词用法歌 人称代词分两格，主格宾格来分说。主格用来作主语，宾语用的是宾格。人称代词都有数，单数复数莫用误。 人称代词主格趣记歌 I 是我；you 是你；he，she ，it 他她它；I 的复数是个we；you 的复数还是you；男他女她动物它，张三李四单个他，他们的复数都是they；简单口诀要牢记，要牢记。 人称代词主格宾格之歌 I 是主格me 是宾，请你一定记在心；主格用在动词前，动词介词后用宾。 you 是主格，也是宾；he 是主格him 是宾，she 是主格her 是宾，it 是主格，也是宾，we 是主格us 是宾，you 是主格，也是宾，they 是主格them 是宾。 2.be动词用法歌
我用am，你用are，is连接他，她，它。 单数名词用is，复数名词全用are。变疑问，往前提，句末问号莫丢弃。变否定，更容易，be后not莫忘记。疑问否定任你变，句首大写莫迟疑。 3.疑问词的用法 疑问词放句首，what 什么；where 哪里；when 问时间； how 怎样；要问原因为什么，why 放句首就可以； 疑问句有点难，勤做笔记多思考，遇问题别着急，先思考来后提问。 4.特殊疑问句用法 What用途广，要问“什么”它当先。（What’s this?） How开头来“问安”。(How are you?) Who问“谁”。（Who’s that man?）
“谁的”Whose来承担。（Whose eraser is this?） 询问“某地”用Where。（Where is her cat?） “哪一个”Which句首站。（Which one?） 5.祈使句用法 祈使句，祈使句，请求、命令或建议。主语是you常省去，动词原形开头记。否定形式要注意，句首要把Don’t加。要讲客气用please，句首句末没关系。 6.动词加-s或-es方法歌诀 动词三单现在式，一般词尾加-s。 s, x, ch, sh在词尾，直接加上-es。 词尾若是字母o，加上-es不用愁。 “辅音字母+y“来结尾，变y为i是正规。
A.sin(A＋B）+ｓin（A－B）=2ｓｉn AｃosＢ B.ｓｉｎ（A＋B)—siｎ(A－B)=2cos Aｓin B C.ｃos(Ａ+B）＋coｓ(A-Ｂ）=２coｓＡcos B D.ｃos（A＋Ｂ)－cｏs(A—B）=２siｎA cos B 2.siｎ1５°siｎ75°=（） Ａ、错误!Ｂ、错误! C、错误!
D.1 3.ｓiｎ105°+siｎ1５°等于( ） A、错误! B、错误! C、错误! ?D、＼f（＼r（６),4） ４.sｉn3７、5°cos７、５°=_＿______、 5、sin70°cｏｓ２0°－sin１0°ｓiｎ５0°得值为（） A、错误!Ｂ、错误!C、错误! D、错误! 6、cos７2°－cｏs36°得值为（） A.3－2 3 B、错误! C．-错误!D．3 ＋２错误! 7、在△ＡBC中,若ｓinＡsin B＝coｓ2错误!，则△ABＣ就是（) A。等边三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ.不等边三角形Ｄ。直角三角 形 ８．函数y＝sin错误!coｓｘ得最大值为( ） A、错误! B、错误!C。1 D、错误! ９。若cos（α＋β）cos(α—β）＝1 3 ,则cos2α—ｓｉn２β等于( ）
A。—＼f（2,3) B。－错误!C、错误! D、错误! 10.函数y＝sin错误!－siｎx(x∈[0,错误!］)得值域就是（ ) A.[－2,２］Ｂ、错误! C、错误!Ｄ、错误! 答案 1解析:选D、由两角与与差得正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确. ２解析：选B、sｉn1５°ｓin75°=－错误!［cos(15°＋7５°)－ｃos(15°-75°)] ＝—错误!（ｃos90°－ｃos60°）＝－错误!（０-错误!）=错误!、 ３解析:选C、sin105°+sｉn１5°=2sｉｎ＼f(1０5°+15°，2)cos错误! ＝２siｎ６0°coｓ45°=错误!、 答案：错误!=错误!错误!=错误!、=错误!（sin4５°＋sin30°） 4解析:sin３7、5°cos7、5°＝＼f(1,2）[sin（３7、5°＋7、5°)＋sｉn(37、５°—7、5°）] 5解析:选A、 sｉn70°coｓ20°—siｎ10°sin50°=＼f（1，２)（siｎ90°＋ｓin50°)＋＼f（1,２)（ｃoｓ60°－cｏｓ４0°） ＝错误!+错误!sin5０°＋错误!－错误!ｃos４0°＝错误!、 6解析：选C、 原式=-2siｎ错误!sin错误!＝—2siｎ54°·sin18°＝—2cｏs3６°ｃos７2° ＝—2·错误!＝-错误!＝－错误!=－错误!,故选Ｃ、
初中英语语法巧记口诀 在中考即将到来之际，同学们要如何学习语法呢?接下来是我为大家带来的关于，希望会对大家有所帮助。 ： 一、冠词基本用法 【速记口诀】 名词是秃子，常要戴帽子， 可数名词单，须用a或an， 辅音前用a， an在元音前， 若为特指时，则须用定冠， 复数不可数，泛指the不见， 碰到代词时，冠词均不现。 【妙语诠释】冠词是中考必考的语法知识之一，也是中考考查的主要对象。以上口诀包括的意思有：①名词在一般情况下不单用，常常要和冠词连用;②表示不确指的可数名词单数前要用不定冠词a或an，确指时要用定冠词the;③如复数名词表示泛指，名词前有this，these，my，some等时就不用冠词。 二、名词单数变复数规则 【速记口诀】 单数变复数，规则要记住， 一般加s，特殊有几处：
/s/结尾，es不离后， 末尾字母o，大多加s， 两人有两菜，es不离口， 词尾f、fe，s前有v和e; 没有规则词，必须单独记。 【妙语诠释】①大部分单数可数名词变为复数要加s，但如果单词以/t?蘩/、/?蘩/、/s/发音结尾(也就是单词如果以ch，sh，s，x等结尾)，则一般加es;②以o结尾的单词除了两人(negro，hero)两菜(tomato，potato)加es外，其余一般加s;③以f或fe结尾的单词一般是把f，fe变为ve 再加s;④英语中还有些单词没有规则，需要特殊记忆，如child—children，mouse—mice，deer—deer，sheep—sheep，Chinese—Chinese，ox—oxen，man—men，woman—women，foot—feet，tooth—teeth。 三、名词所有格用法 【速记口诀】 名词所有格，表物是"谁的"， 若为生命词，加"s"即可行， 词尾有s，仅把逗号择; 并列名词后，各自和共有， 前者分别加，后者最后加; 若为无生命词，of所有格， 前后须倒置，此是硬规则。
积化和差与和差化积公式 田云江 [基本要求] 能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。 [知识要点] 1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个： sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] 2、和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin cos sinθ-sinφ=2cos sin cosθ+cosφ=2cos cos
cosθ-cosφ=-2sin sin 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 ④合一变形也是一种和差化积。 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。 [例题选讲] 1、求下列各式的值 ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26° ③csc40°+ctg80° ④cos271°+cos71°cos49°+cos249° 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°=
一、一般现在时 一般现在时态中，动词一般用原形。 表述事实讲真理，习惯动作常发生。 动词词尾加－s(es)，只表单数三人称。 若变一般疑问句，得看句型是哪种。 系表结构和there be, be放句首可完成； 若遇实义动词句，do或does莫忘用！ 二、现在进行时 Look, Listen是标志，现在进行正发生； 有时now在句中现，“be＋v－ing”时态成。 若问be用何形式，须看主语数、人称。 He ／ She is, I am． We, you, they后are紧跟。 v－ing形式更好记，三种构成要分清。 一般问句be提前，be后加not否定成！ 三、基数词变序数词 基变序，很容易，一二三，特殊记，th从四起。八去t来九去e，遇到ve，f替，ty变为tie，后加th莫迟疑，若想表示几十几，只变个位就可以。 四、时间介词巧记歌 年、月、季节前须用in，（如：in 2008, in September, in spring） 日期前面行不通。 遇到几号改用on，(如：on January 1) 上午、下午、晚上仍用in。(如：in the morning／afternoon／evening) 若是某日上下午，也是用on才能行。 (如：on the evening of the Mid－autumn Day) 正午、夜里用at，(如：at noon, at night) 时、分用法也同理。（如：, at two, at two） 如若“差”点须加to，(如：two to two) 如若“过”点改past。(如：half past one) 多说勤练牢牢记，学好英语非儿戏。 五、谓语be的用法 我用am，你用are 除此之外的单数 包括他她还有它 统统都是用is 我们你们和他们 只要复数都用are
和差化积公式 正弦、余弦的和差化积 公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ= 2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sinβ= 2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cosβ= 2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 法2 根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b） =e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinb cosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
三角函数和差积公式的记忆口诀 三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆 正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb 余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 前面是a后面b 二、积化和差与和差化积公式记忆 积化和差公式： sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加 cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差 cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加 sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦 记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法 就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。 2歌诀记忆法 就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。”采用这种方法来记忆，学生不仅喜欢记，而且记得牢。 3规律记忆法。 即根据事物的内在联系，找出规律性的东西来进行记忆。比如，识记长度单位、面积单位、体积单位的化法和聚法。化法和聚法是互逆联系，即高级单位的数值×进率=低级单位的数值，低级单位的数值÷进率=高级单位的数值。掌握了这两条规律，化聚
趣味口诀记忆英语语法 一、只能接-ing分词作宾语的动词： 建议冒险去献身，忍受期待不停顿; 放弃延期悔失去，坚持欣赏实践成; 注意原谅避反对，考虑要求不自禁; 允许习惯不介意，价值开始想动名。 如：建议：advise,suggest,冒险:risk,献身:devote oneself to 二、定冠词用法小结口诀： 1.有水无湖：海、洋、海湾、河等，都用the;单个湖不用the,(但多个湖用the); the Red Sea,the Pacific Ocean,the Persian Gulf, the Yangtze River The Great Lakes(五大湖);Lake Erie(伊利湖) 2.有球无星：地球，月亮用the;行星不用the: Mars,Venus; 3.有山无峰：The Huangshan Mountains(黄山);Mount Everest(珠穆朗玛峰); Mount(or Mt.) Tai(泰山) 4.有独无欧(偶)：独一无二的，the earth,the moon,the sun用the; 欧洲等七大洲不用the. Europe,Africa,Asia,North America,South America,Antarctica,Oceania 5.有(足)族无球(运动)：种族用the:the Indians(印第安人);球类运动：baseball,basketball 6.有文无章：历史性的文件用the;小说等的章节不用the The Constitution(宪法); chapter one 7.学而不专：学校放在词组的前面时用the;专有名词放在词组的前面时不 用the; The University of Fudan; Fudan University
关于和差化积以及积化和差的两句口诀 sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin 一、阐述 1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。 2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。 3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。 4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。 5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。 注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。 二、规律 观察如下积化和差 以及 和差化积公式： ()()1sin cos =sin sin 2?Θ?+Θ+?-Θ??? ? ()()1cos sin =sin sin 2?Θ?+Θ-?-Θ??? ? ()()1cos cos =cos cos 2 ?Θ?+Θ+?-Θ???? ()()1sin sin =cos cos 2?Θ-?+Θ-?-Θ??? ? ()() sin +sin =2sin cos 22?+Θ?-Θ?Θ ()() sin sin =2cos sin 22?+Θ?-Θ?-Θ ()() cos cos =2cos cos 22?+Θ?-Θ?+Θ ()()cos cos =2sin sin 22?+Θ?-Θ?-Θ- 最主要的规律：“和必同名，和积互逆” 1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和） 我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有 sin sin ?±Θ、cos cos ?±Θ均没有出现sin cos ?±Θ、cos sin ?±Θ 可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。