翻折圆专题
一．选择题
1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）
A ．
2
5 B ．
2
2
3 C ．5 D ．7
2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB
⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）
A ．11
B ．22
C ．5
D ．3
3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB
⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）
A ．3
B ．
3
4 C ．2+3 D ．1+2
4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若3
2
DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）
A ．54
B ．34
C ．24
D ．4
5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB
⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）
A ．32
B ．23
C ．
2
3
5 D ．
2
65 二．填空题
6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为 ．
7．如图，AB是⌒O的弦，点C在AB⌒上，点D是AB的中点．将AC⌒沿AC折叠后恰好经
2，AB＝8．则AC的长是．
过点D，若⌒O的半径为5
8．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为．
⌒上一点，连接AD，交AB⌒于点C，9．如图，将⌒O的劣弧AB⌒沿AB翻折，D为优弧ADB
连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝．
10．如图，将BC⌒沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是．
11．已知：如图，在半径为8的⌒O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC⌒折
叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC 的长为 ．
12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ＝ ．
13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O 的半径为 ．
14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝
2
1
，且AD ＝4，则AB ＝ ．
15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF 的长 ．
16．如图，扇形OAB的半径为4，⌒AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．
（1）当P是OB中点，且PQ⌒OA时（如图1），弧AQ的长为；
（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为．
三．解答题
17．如图，将弧AB⌒沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．
（1）求证：BC＝BD；
⌒＝120°，求弦AB的长和圆的半径．（2）若AC＝1，CD＝4，弧AB
18．如图1和图2，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将BC⌒沿弦BC翻折，
交AB于点D．
（1）若点D与圆心O重合，直接写出⌒B的度数；
（2）设CD交⌒O于点E，若CE平分⌒ACB，
⌒求证：⌒BDE是等腰三角形；
⌒求⌒BDE的面积；
⌒沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的BD⌒的中点，（3）将图1中的BD
直接写出⌒B的度数．
19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．
（1）当AD＝2时，BE的长是．
（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O的距离是．
⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．（4）如图2，设BDC
20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是
⌒上的一动点，连接PQ．
半径OB上一动点，Q是AB
（1）当⌒POQ＝度时，PQ有最大值，最大值为．
⌒的长；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．
（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
21．如图，AB为⌒O的直径，点C为⌒O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作⌒MPB＝⌒ADC．
（1）判断PM与⌒O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝3，求四边形OCDB的面积．
22．如图，AB为⌒O的直径，点C是⌒O上一点，CD是⌒O的切线，⌒CDB＝90°，BD交⌒O于点E．
⌒＝CE⌒．
（1）求证：AC
（2）若AE＝12，BC＝10．
⌒求AB的长；
⌒如图2，将BC⌒沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为
23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．
24．如图，⌒O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．
（1）如图⌒，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图⌒）⌒O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，
求CD的长度的变化范围．
25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝2时，
⌒求BF的长；
⌒如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．
翻折圆小专题 参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）
A ．
2
5 B ．
2
2
3 C ．5 D ．7
【分析】求出⌒CDB 为等边三角形，求出BE 和DE 的长，求出AE ，再根据勾股定理求出AB 即可．
【解答】解：
过点O 作OF ⌒AB 于F ，过点B 作BE ⌒AC 于E ，连接OA 、OB 、BD 、BC ， ⌒OF ＝
2
1
OA ， ⌒⌒AOF ＝⌒BOF ＝60°， ⌒⌒ADB ＝⌒AOB ＝120°，⌒ACB ＝2
1
⌒AOB ＝60°， ⌒⌒CDB ＝⌒ACB ＝60°， ⌒⌒CDB 为等边三角形，
⌒CD ＝2，
⌒DE ＝1，BE ＝3，
⌒AB ＝
22BE AE +＝
()(
)
2
2311++＝7，
故选：D ．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB
⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）
A ．11
B ．22
C ．5
D ．3
【分析】首先作出ACB
⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接，O ′C ，OB ，由垂径定理，可求得OE 的长，即可求得OO ′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：作出ACB ⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接O ′C ，OB ， ⌒OC 是⌒O ′的切线， ⌒O ′C ⌒OC ， ⌒BE ＝
21AB ＝2
1
×8＝4， ⌒OE ＝2
2
BE OB -＝3，
⌒OO ′＝2OE ＝6，
⌒OC ＝2
2
C O O O '+'＝11562
2
=-． 故选：A ．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB
⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）
A ．3
B ．
3
4
C ．2+3
D ．1+2
【分析】作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．首先证明CH 是⌒O 的直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形，再证明⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5即可解决问题； 【解答】解：作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．
⌒所在圆的圆心在直线AH上，根据对称性可知，ADB
⌒所在的圆于点A，
⌒AC切ADB
⌒AC⌒AH，
⌒⌒CAH＝90°，
⌒CH是⌒O的直径，
⌒⌒CBH＝90°，
⌒⌒ABD＝⌒ABH＝45°，
⌒⌒AHC＝⌒ABC＝45°，
⌒⌒ACH＝⌒AHC＝45°，
⌒AC＝AH，
⌒OC＝OH，
⌒AD垂直平分线段CH，
⌒DC＝DH，
⌒⌒DCH＝⌒DHC，
⌒BD＝BH，
⌒⌒BDH＝⌒BHD＝45°，
⌒⌒BDH＝⌒DCH+⌒DHC，
⌒⌒DCH ＝22.5°， ⌒⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5°，
设BD ＝BH ＝a ，则CD ＝DH ＝2a ，
⌒tan⌒ACB ＝tan⌒CHB ＝
212+=+=a
a
a BH BC 故选：D ．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH 是直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形．
4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若3
2
=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）
A ．54
B ．34
C ．24
D ．4
【分析】作AB 关于直线CB 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．
【解答】解：如图，若
3
2
=DB AD ，且AB ＝10， ⌒AD ＝4，BD ＝6，
作AB 关于直线BC 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′， 可得A 、C 、A ′三点共线，
⌒线段A ′B 与线段AB 关于直线BC 对称，
⌒AB ＝A ′B ，
⌒AC ＝A ′C ，AD ＝A ′D ′＝4，A ′B ＝AB ＝10． 而A ′C ?A ′A ＝A ′D ′?A ′B ，即A ′C ?2A ′C ＝4×10＝40． 则A ′C 2＝20， 又⌒A ′C 2＝A ′B 2﹣CB 2， ⌒20＝100﹣CB 2， ⌒CB ＝45． 故选：A ．
【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．
5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB
⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）
A ．32
B ．23
C ．
2
3
5 D ．
2
65 【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图，利用垂
径定理得到OD ⌒AB ，则AD ＝BD ＝
2
1
AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC ⌒ ＝CD ⌒ ，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝32． 【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点， ⌒OD ⌒AB ， ⌒AD ＝BD ＝
2
1
AB ＝2， 在Rt⌒OBD 中，OD ＝
()2
2
2
5-＝1，
⌒将弧BC
⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ⌒AC ⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ， ⌒AE ＝DE ＝1，
易得四边形ODEF 为正方形， ⌒OF ＝EF ＝1，
在Rt⌒OCF 中，CF ＝
()2
2
2
5-＝2，
⌒CE ＝CF +EF ＝2+1＝3， 而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3，
⌒BC ＝32．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题
2．⌒ACB＝120°，以AB为直径在⌒ABC另一侧作6．如图，等腰⌒ABC中，AC＝BC＝3
半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD
与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为
【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⌒O于点E，设⌒O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′⌒BE，即⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M，在Rt⌒O′AM中，O′A＝3，⌒O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．
【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，
⌒AC＝BC＝23．⌒ACB＝120°，
⌒AB＝6，
⌒O′A＝OA＝3，
延长BC交⌒O于点E，
⌒AB是⌒O的直径，
⌒⌒E＝90°，
设⌒O′与BC相切于点G，则⌒O′GB＝90°，⌒⌒E＝⌒O′GB，
⌒AE⌒O′G，
⌒⌒ABC＝30°，AB＝6，
⌒AE＝O′G＝3，
⌒四边形O′AEG为平行四边形，
⌒AO′⌒BE，
⌒⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，
作O′M⌒AF于M
⌒O′A＝3，⌒O′AB＝30°，
⌒AM＝MF＝
23
3
，
⌒AF＝2AM＝3
3．
故答案为：3
3．
【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定
和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB
⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经
过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC
【分析】如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．首先证明⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，推出⌒BOC ＝90°，推出BC ＝210，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，根据CH 2+BH 2＝BC 2，构建方程求出x 即可解决问题； 【解答】解：如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ． ⌒AD ＝DB ， ⌒OD ⌒AB ， ⌒⌒ADO ＝90°，
⌒OA ＝25，AD ＝DB ＝4，
⌒OD ＝2
2AD OA ＝2， ⌒BE 是直径， ⌒⌒BAE ＝90°， ⌒AD ＝DB ，EO ＝OB ， ⌒OD ⌒AE ，AE ＝2OD ＝4，
⌒AE ＝AD ， ⌒AD
⌒ ＝AE ⌒ ， ⌒EC
⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°， ⌒⌒BOC ＝2⌒CAB ＝90°， ⌒BC ＝2OC ＝210， ⌒CH ⌒AB ，
⌒⌒CAH ＝⌒ACH ＝45°，
⌒AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ， 在Rt⌒BCH 中，⌒CH 2+BH 2＝BC 2， ⌒x 2+（8﹣x ）2＝（210）2， ⌒x ＝6或2（舍弃），
在Rt⌒ACH 中，⌒AC ＝
22CH AH ，
⌒AC ＝62．
故答案为62．