二重积分的解法技巧及应用研究
摘要
二重积分是多元函数积分学中的一部分，而二重积分的概念和解法技巧是多元函数微积分学的重要部分，二重积分是联系其他多元函数积分学内容的中心环节，故而它也是核心。二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。
本文主要研究的是二重积分的解法技巧，对于二重积分的解法主要利用在直角坐标系下求解，极坐标的方法，积分次序的交换与坐标系的转换的方法，选择适当的积分次序求二重积分，用适当方法计算二重积分（奇偶性，周期性等）的计算技巧。本文首先主要介绍二重积分的概念以及性质；其次介绍二重积分的解法技巧；最后主要根据二重积分的概念和性质，给出实例分析二重积分在物理、经济以及工程上的一些应用问题。
二重积分是《数学分析》中的重要内容，它涉及到多个学科领域，并且起着至关重要的作用，在计算过程中通常寻求更好的解题技巧，从而在实际应用中获得更高的效率。
关键词：二重积分；性质；解法技巧；应用研究
Double integral solution techniques and application research
Abstract
The double integral is part of a multivariate function in integral calculus. The concept of double integrals and the techniques of solutions are an important part of multi-variate calculus.The double integral is the center link with other multivariate function integration of content.Therefore ,it is also the core. The double integral is important in multivariate integral calculus. Understanding the concept of double integral and mastering the double integral calculation method are the key to learn the multivariate function in integral calculus.
This paper mainly studies the solutions for double integral and application research.Dou- ble integral to the solution of the main use is solved in the Cartesian coordinate system, polar coordinates method, method of integral order exchange and coordinate system, selecting the integral order appropriate for calculation of double integral, double integral with the appropri- ate method (parity, periodic etc.) on the computational techniques.Firstly,this paper introduces the concept and properties of double integral solution skill; Secondly,it introduces the introdu- ction of double integral; finally, according to the concept and nature of the double integral, it gives examples to analyze some application problems in physics, economics and engineering of the double integral.
The double integral is the important content of "mathematical analysis", which involves many fields and plays a vital role. we often seek better problem-solving skills in the process of calculation, so as to gain higher efficiency in practical application.
Keywords:double integral; properties; solution techniques; application research
目录
引言 (1)
第1章二重积分的概念与性质........................................... - 2 -1.1二重积分的概念...................................................... - 2 -1.2二重积分的性质...................................................... - 6 -第2章二重积分的解法技巧.............................................. - 7 -2.1计算二重积分的方法步骤.............................................. - 7 -2.2直角坐标中下二重积分的计算 .......................................... - 7 -2.3特殊类型的二重积分解题技巧.......................................... - 8 -2.4极坐标系下计算二重积分............................................. - 11 -2.5用变量替换计算二重积分............................................. - 12 -2.6无界区域上的二重积分............................................... - 13 -第3章二重积分的应用研究............................................ - 14 -3.1物理上应用研究..................................................... - 14 -3.2经济上的应用....................................................... - 16 -3.3工程力学上的应用 ................................................... - 18 -结论与展望 ............................................................ - 22 -致谢 ................................................................ - 23 -参考文献 .............................................................. - 24 -附录 .................................................................. - 25 -附录A外文文献及翻译 ................................................. - 25 -附录B 主要参考文献的题录及摘要 ....................................... - 33 -
插图清单
图1-1 直线网图 (3)
图1-2 曲顶柱体图 (5)
图1-3 曲顶柱体分割图 (5)
引言
目前，关于二重积分方面的讨论非常活跃，随着二重积分的不断发展与创新，为使二重积分在各个学科领域中得到更广泛的应用，还得继续探讨与研究。在直角坐标系中积分区域和积分函数的研究（如函数奇偶性、区域对称性等等），已经得出一些计算函数二重积分的相应定理，本文在直角坐标系下，将进一步类推其极坐标系下函数二重积分的周期性和对称性。
二重积分是多元函数积分学中的一部分，二重积分是联系其他多元函数积分学内容的中心环节，故而它也是核心。二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。在直角坐标系中积分区域和积分函数的研究（如函数奇偶性、区域对称性等等），已经得出一些计算函数二重积分的相应定理，本文在直角坐标系下，将进一步类推其极坐标系下函数二重积分的周期性和对称性。
郭晓梅在《极坐标系下二重积分计算方法浅析》中认为，讨论二重积分计算方法，有利于学生解决学习中的难点，学好数学分析这门学科。二重积分的计算，是在熟悉定积分计算的基础上进行的，所用的方法是将二重积分化为两次定积分来计算，这种方法叫做累次积分法。对二重积分化为累次积分（两次定积分），重点应放在配置积分限，然后是计算定积分的问题。计算二重积分常用的方法有：(1)若有对称性，要充分利用对称性；(2)恰当选择积分次序，对二重积分来说，有先积x后积y，或先积y后积x的问题；(3)选择变量替换。
随着科学技术的革新与发展，为满足其他学科需要，国内外对极坐标变换下函数的二重积分已经取得较大的突破与成就，并且对基础数学与应用数学以及其他学科的发展进一步奠定理论基础。许许多多研究成果有了一定的指导意义。
第1章 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
1.1.1 平面图形的面积
为了研究在平面图形（平面点集）上函数的积分，首先定义平面图形的面积，所谓一个平面图形P 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形R ,使得R P ?。
设P 是一平面有界图形，用平行于两坐标轴的某一组直线网T 分割这个图形 (图1-1)，这时直线网T 的网眼 (小闭矩形)i ?可分为一下三类：
(1)i ?上的点都是P 的内点； (2)i ?上的点都是P 的外点；
(3)i ?上含有 P 的边界点。
将所有属于直线网的第(1)类小矩形(图1-1中紫色部分)的面积加起来，记这个和数()T s p ，则有()R p T s ?≤（这里R ?表示包含P 的那个矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形的面积加起来(图1-1中着色部分),记这个和数为()T S p ，则有()()T S T s p p ≤由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,数集(){}T s p 有上确界，
(){}T S p 有下确界。记
(){}，T s I p p sup =(){}T S I
p p
inf =—.
显然
p p I I ≤≤0. (1.1) 常称p I 为P 的内面积，p I 为P 的外面积。
图1-1 直线网图
定义1 若平面图形P 满足p p I I =, 则称P 为可求面积的图形,并称其共同值
p p p I I I ==作为P 的面积。
定理1.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是:对任给的0?ε，总存在直线网T ,使得
()()ε?T s T S p p -. (1.2)
证明：必要性：设平面有界图形P 的面积为p I ，由定义1，有p p p I I I ==，对0??ε，
由p p I I ，
的定义可知，分别存在1T 与2T ,使得：
()()2
,221ε
ε+?-?p p p p I T S I T s . (1.3)
记T 为1T 与2T 这两个直线网合并所成的直线网,可证得
()()()()T S T S T s T s p p p p ??21,. 则由(1.3)可得
()()2
,2ε
ε+?-?p p p p I T S I T s .
从而对直线网T 有()()ε?T s T S p p -。
充分性：设对任给的0?ε，存在某直线网T ，使得()()ε?T s T S p p -，但
()()T S I I T s p p p p ≤≤≤，所以()()ε?≤T s T S I I p p p p --—
。由ε的任意性，p p I I =，因而
平面图形P 可求面积。
推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=p I ，即对任给的
0?ε，存在直线网T , 使得()ε?T S p ，或者对任给的0?ε，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的小矩形所覆盖。
定理1.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是:P 的边界K 的面积为零。 证明：由定理1.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给的0?ε，存在直线网T ,使得()()ε?T s T S p p -。由于
()()()T s T S T S p p k -=，
所以也有()ε?T S k 。由上述推论,P 的边界K 的面积为零。
定理1.3 若曲线K 为定义在[]b a ,上的连续函数()x f 的图像, 则曲线K 的面积为零。
证明：由于()x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以它在[]b a ,上一致连续。因而对任给的0?ε，总存在0??σ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]）（b x a x n i x x n i i ===-,,,,2,1,01 ，并且满足
{}δ?=-=?-n i x x x i i i ,,2,1|m ax 1
时，可使()x f 在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立，a
b w i -?
ε
，现把曲线K 按自变量
n x x x x ,,,10 =分成n 个小段,这时每一小段都能被以i x ?为宽，i w 为高的小矩形所覆盖。由于这n 个小矩形面积的总和为
∑∑==?-??n
i i
n
i i
i
x
a b x w 1
1
ε
，
因此由定理1.1的推论即得曲线K 的面积为零。
除此之外，由参量方程()()()βαψ?≤≤==t t y t x ,所表示的平面光滑曲线（即ψ?，在[]βα，上具有连续的导函数）或按段光滑曲线，其面积一定为零。 1.1.2 二重积分的定义及其存在性
求曲顶柱体的体积，设()y x f ,为定义在可求面积的有界闭域D 上的非负连续函数。
求以曲面()y x f z ,=为底，D 为底的柱体 (图1-2) 的体积V 。
图1-2 曲顶柱体图
采用类似于求曲边梯形面积的方法：
(1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T 把区域D 分成n 个小区域
()n i ,2,1i =σ
称T 为区域D 的一个分割。以i σ?表示小区域i σ的面积。这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n 个以i σ为底的小曲顶柱()n i V i ,,2,1 =。
(2) 近似求和：由于()y x f ,在D 上连续,故当每个i σ的直径都很小时， ()y x f ,在i
σ上各点的函数值相差无几,因而可在i σ上任取一点()i i ηξ,，用以()i i f ηξ,为高，i σ为底的小平顶柱体的体积()i i f ηξ,i σ?作为i V 的体积i V ?的近似值(如图1-3),即
()i i i i f V σηξ?≈?,
把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体体积V 的近似值。
()i i i n
i i i f V V σηξ?∑≈?∑≈==,1
n
1
图1-3 曲顶柱体分割图
(3)取极限: 当直线网T 的网眼越来越细密, 即分割T 的细度i n
i d ≤≤=1max ||T ||（i d 为i
σ的直径）趋于零时, 就有
()V f i i i n
i →?∑=σηξ,1
.
求曲顶柱体与定积分概念一样，是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到的，这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 比如求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等等。这些都是所要讨论的二重积分的实际物理背景。
下面叙述定义在平面有界闭区域上函数()y x f ,的二重积分概念：
设D 为xy 平面上可求面积的有界闭域,()y x f ,为定义在D 上的函数,用任意的曲线网把D 分成n 可求面积的小区域
n σσσ，，， 21
以i σ?表示小区域i σ的面积, 这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的
直径, 称 i n
i d ≤≤=1max ||T ||为分割T 的细度，在每个i σ上任取一点()i i ηξ,作和式：
()i i i n
i f σηξ?∑=,1
.
称它为函数f 在D 上属于分割T 的一个积分和。
定义2 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭域D 上的函数，J 是一个确定的实数, 若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T , 当它的细度δ≤||T ||时, 属于T 的所有积分和都有
()εσηξ??∑=|J -,|1
i i i n
i f .
则称()y x f ,在D 上可积, 数J 称为函数()y x f ,在D 上二重积分, 记作：
??=D
d y x f J σ),(，
其中()y x f ,称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量, D 称为积分区域。
当()0,≥y x f 时，二重积分()σd y x f D
??,在几何上就表示以()y x f z ,=为曲顶,D 为底
的曲顶柱体的体积。
当()1,=y x f 时，二重积分()σd y x f D
??,的值就等于积分区域D 的面积。
定理1.4 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是:)(lim )(lim 0
||||0
||||T s T S T T →→=。
定理1.5 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是: 对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T , 使得()()ε?T s T S -。
定理1.6 有界闭域D 上的连续函数必可积。
定理1.7 设),(y x f 是定义在有界闭域D 上的有界函数。若),(y x f 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则),(y x f 在D 上可积。
证 不失一般性, 可设),(y x f 的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上,并记L 的
长度为l 。于是对任给的0?ε，把L 等分成1
+??
????
=εl n 段： n L L L ,21 ，，.
在每段i L 上取一点i P ，使i P 与其一端点的弧长为n
l
2。以i P 为中心作边长为ε的正方形
i ?，则i i L ??。从而有i n i L ??=1
。记i n
i ?=?=1
，则?为一多边形。设?的面积为W ，那
么
()εεεεεεε+=??? ??+≤?
??
? ??+??????=≤l l l n W 2
2211. 现在把区域D 分成两部分: 第一部分?= D D 1，第二部分12-D D D =。由于),(y x f 在2D 上连续，根据定理1.6与定理1.5, 存在2D 的分割2T ，使得()()ε?T s T S -。又记),(inf ),,(sup ),(),(y x f m y x f M y x y x ?
∈??
∈?==，以T 表示由2T 与多边形?的边界所组成的区域
D 的分割，则
()()()()[][]()()εεωωεωεεωε++=++≤+?+≤??l l W W m W M T s T S T s T S 1---22, 其中ω是),(y x f 在D 上的振幅。由于),(y x f 在D 上有界，故ω是有限值，再由定理1.5,
这就证得了),(y x f 在D 上可积。
1.2 二重积分的性质
性质1若),(y x f 在区域D 上可积，k 为常数, 则),(y x kf 在D 上也可积，且
σσd y x f k d y x kf D
D
????=),(),(.
性质2 若),(),,y x g y x f （在D 上都可积, 则),(),y x g y x f ±（在D 上也可积，且
()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f D
D
D
??????±=±,,,,.
性质3 若),(y x f 在1D 与2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在2
1D D 上也可积，且
σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ???????+=2
211),(),(),(.
性质4 若),y x f （与),(y x g 在D 上可积，且()D y x y x g y x f ∈≤,),(),(，
,则 σσd y x f d y x f D
D
????≤),(),(.
性质5 若),(y x f 在D 上可积，则函数|),(|y x f 在D 上也可积，且
()σσd y x f d y x f D
????≤|,||),(|D
.
性质6 若),(y x f 在D 上可积，且D y x M y x f m ∈≤≤),(,),(，则有
D D
D MS d y x f mS ??≤≤σ),(.
这里D S 是积分区域D 的面积。
性质7（中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在()D ∈ηξ,,使得
D
D
S
f d y x f ),(),(ηξσ=??.
这里D S 是积分区域D 的面积。
积分中值定理的几何意义: 以D 为底,以)0),()(,(≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶柱体体积,等于一个同底的平顶柱体的体积,这个平顶柱体的高等于),(y x f 在区域D 中某点()ηξ,的函数值()ηξ,f 。
第2章 二重积分的解法技巧
2.1 计算二重积分的方法步骤
二重积分的计算有一定的方法和步骤,如果按照步骤进行分析和解题,就比较容易做题。计算二重积分的一般步骤如下:
第一, 根据所给的二重积分, 画出积分区域的草图； 第二, 选择适当的坐标系；
第三, 确定积分次序并写出积分区域的不等式组。如果是在直角坐标系,就把积分区域向轴或向轴投影,并写出表示的不等式组；如果是在极坐标系,则根据极点是在区域之外、之上、之内来写出的不等式组；
第四, 将二重积分化为累次积分然后进行计算；
第五, 如果平行于坐标轴的直线与区域的边界的交点多于两点时,先将分成若干个小区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再将它们累加即可。
2.2直角坐标中下二重积分的计算
用D 表示平面区域，主要分为以下两大类：
(1)X-型区域()()(){}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=,|,21??，其中()()x x 21??，分别表示区域D 的上边界曲线和下边界曲线。
(2)Y-型区域()()(){}d y c y x y y x D ≤≤≤≤=,|,21ψψ，其中()()y y 21ψψ，分别表示区域D 的左边界曲线和右边界曲线。
X-型区域的特征：界定x 的取值范围后，在x 的取值范围内用平行于y 轴的直线与D 的边界曲线交点不多于两个，沿y 轴由下而上的方向，先交的点所在曲线为下边界曲线，后交的点所在的曲线为上边界曲线。
Y-型区域的特征：界定y 的取值范围后，在y 的取值范围内用平行于y 轴的直线D 的边界曲线交点不多于两个，沿x 轴由左而右的方向，先交的点所在曲线为左边界曲线，后交的点所在的曲线为右边界曲线。
此时可得，当D 是X-型区域时dy y x f dx d y x f x x b
a D
?
???=)
()
(21),(),(??σ 当D 是Y-型区域时dx y x f dy d y x f x x d c
D
?
???ψψ=)
()
(21),(),(σ
例1：计算dxdy y x D ?????
?
?--341，其中D 表示为：11,22-≤≤-≤≤y x
解法一：先对y 再对x 累次积分（对y 积分时要固定x 为常数）
8412226143413412
2222221
1222-11-=??? ?
?
-=??? ??-=??????????? ??--=????????? ??--=???
??------??????x x dx x dx y y x y dx dy y x dxdy y x D
解法二：先对x 再对y 累次积分（对x 积分时要固定y 为常数）
8384344381341341112111122211-22-=??? ??-=??? ??-=???
???????? ??--=????????? ??--=???
?
?------??????y y dy y dy x y x x dy dx y x dxdy y x D
2.3 特殊类型的二重积分解题技巧
2.3.1 利用对称性和二元函数的相对奇偶性计算二重积分
和定积分一样, 对积分区域具有一定的对称性且被积函数为或的奇函数或偶函数的二重积分, 利用对称性可以大大简化计算。
(1)如果积分区域D 对称于x 轴,1D 是D 在x 轴的上半部分,则
()()()()???
??=--=-=????1
),(,,2),(,0,D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f ，，σσ (2)如果积分区域D 对称于y 轴,2D 是D 在轴y 的右半部分,则
()()()()???
??=--=-=????2
),(,,2),(,0,D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f ，，σσ (3)如果积分区域D 对称于原点,21,D D 如上面定义,21,D D 即是D 在第一象限的部
分区域, 则
()()()()???
??=---=--=????1),(,,2),(,0,D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f ，，σσ (4)如果积分区域D 对称于直线x y =,即D x y f D y x f ∈?∈),(),(,21,D D 分别是直
线x y =的上、下方部分, 则
????=D
D
d x y f d y x f σσ),(),(
例2：()1|||:|,|y ||x |≤++??y x D d D
σ
解：区域D 关于坐标轴、坐标原点都对称,被积函数关于y x ,都是偶函数,故:
()()σσd d D D
????+=+1
|y ||x |4|y ||x |
其中,1D 为D 中第一象限部分,表示为:0,0,1>>≤+y x y x 。由于1D 关于直线x y =对称,
()()x y f y x f ,,=,所以:
()()(
)
3
4
888|y ||x |4|y ||x |1
210
10
1
1
=
-===+=+?
?
???????-dx x x xdy dx d x d d x
D D D
σσ
σ
2.3.2 分段函数的二重积分
计算分段函数的二重积分，一般要根据被积函数积分区域的特点，选择适合的坐标系（直角坐标系或极坐标系），画出积分区域的图形，然后由被积函数的分段点将积分区域分成若干部分区域，使得在每个部分区域的函数表达式明确，再利用二重积分的区域可加性进行计算。根据分段函数的定义，含有绝对值的函数、符号函数、含max 和min 的函数，取整函数等都可以归为分段函数，它们的二重积分可利用上述方法进行计算[6]。
(1)被积函数为符号函数的二重积分对于被积函数为符号函数的二重积分的计算，应利用符号函数的定义，使其在各个区域上的表达式明确，然后进行分域研究。
例3：求()(){}10,10|,,)sgn(≤≤≤≤=-+??y x y x D dxdy y x y x D
解：如图2-2所示，画出积分区域D ，被积函数())sgn(),(y x y x y x f -+=的分段点为(){}x y y x =|,用x y =将分D 为21,D D ，即21D D D =。 其中
(){}
(){}
1,10|,0,10|,21≤≤≤≤=≤≤≤≤=y x x y x D x y x y x D
则
()()()??
?∈--∈+=-+=2
1
,,,,)sgn(),(D y x y x D y x y x y x y x y x f 故
()()0
)()()()sgn(1
10
10
2
1=+-+=+-+=-+??????????dy y x dx dy y x dx dxdy y x dxdy y x dxdy y x y x x
x D D D
(2)含绝对值的二重积分均为分段函数的积分，可通过令绝对值中函数为零，求出积分区域的分界线，从而在每个子区域上确定绝对值中函数符号，去掉绝对值[10]。
例4：计算{}(){}10,10|,,,min ||2≤≤≤≤=-=??y x y x D dxdy y x x y I D
解：在D 内作2,x y x y ==，则D 分为321,,D D D ，如图2-1。
{}{}{}{}(
)
(
)
()840
89
,min ||,min ||,min ||,min ||2
23
2
1
2
1
2
10
1
2
10
2222=-+-+-=-+-+-=-=?
?????????????ydy x y dx dy x y dx xdy x y dx dxdy y x x y dxdy y x x y dxdy y x x y dxdy
y x x y I x x
x
x
D D D D
图2-1 图2-2
(3)含max 和min 的二重积分均为分段函数的积分，可令符号中两个函数相等，从而求得积分区域的划分界限，然后在每个子区域确定符号max 和min 中函数的大小，去掉符号max 和min 算出结果。
例5：{
}(){}10,10|,,2
2,max ≤≤≤≤=??y x y x D dxdy e
D
y x
解：画出积分区域D ，以x y =为界，将积分区域D 分为21,D D ,即21D D D =。如图2-2所示。 其中
(){}
(){}10,10,|,10,10,|,21≤≤≤≤<=≤≤≤≤>=y x x y y x D y x x y y x D
且有
{}()()?
??∈∈=22
1
22
2
,,,,,max D y x x D y x y y x 在直角坐标系下，有
{}1
1
1
,max 2
2
2
2
1
22
2
-=+=+=
??????????e dy e dx dy e dx dxdy e dxdy e dxdy e x
x y y D x
D y D
y x
2.3.3 交换积分次序计算二重积分
若给定的积分为二次积分，但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大可考虑交换积分次序，其一般步棸为：(1)先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依此作出区域的图形；(2)根据区域的图形，重新选择积分限，化为另
一种类型的二重积分。特别地，若积分被积函数中出现x
x sin ,2sinx ,2
x e -,x y e 等函数时，
也可利用分部积分法来计算。
例6：计算dy e
dx I x y ??-=1
12
解：
()
1
2101
1
1
1
121
012
121222
2
2
-------=-=====??????e e dy e dy
ye dx e dy dy e dx I y y y y
y x
y
2.3.4 用二重积分的几何意义计算二重积分
在用一般计算方法(累次积分法)计算之前,提出先利用二重积分的几何意义:曲顶柱体体积的代数和及区域D 的面积??=D
d σσ,及二重积分的对称性(奇零偶倍,轮换对
称),计算时兼顾积分区域的对称性与被积函数的奇偶性,可以将所求问题大大简化。
例7：1:,122
222222≤+--=??
b
y a x D dxdy b y a x I D
解：因为被积函数012222≥--=b y a x Z ，I 表示D 为底的0122
22≥--=b
y a x Z 为顶的
曲顶柱体体积。又平行于xoy 面的截面面积为：
()()()10,12≤≤-=z z ab z A π
因而, 根据平行截面面积为已知的立体体积公式有：
()
ab dz z ab I ππ3
1
1102=-=?
2.4 极坐标系下计算二重积分
在极坐标系下的面积元素θσrdrd d =，极坐标与直角坐标的关系是：
θθsin ,cos r y r x ==,一般情况下,当从极点出发的射线穿过积分区域的内部时,与边界的交点不多于两个,则积分区域D 一般有如下三种情形： 2.4.1 原点O 在区域D 的外部
区域D 可表示为()()βθαθ?ρθ?≤≤≤≤,21，相应地，二重积分就可以转化为极坐标系下的二次积分，
()()()()
()
rdr r r f d rdrd r r f d y x f x x D
D
?
?????
==21sin ,cos sin ,cos ,??β
α
θθθθθθσ
2.4.2 原点O 在区域D 的边界上
区域D 可表示为：()βθαθ?≤≤≤≤,0r ,相应地，二重积分就可以转化为极坐标系下的二次积分，
()()()()
rdr r r f d rdrd r r f d y x f D
D
?
?????==θ?β
αθθθθθθσ0
sin ,cos sin ,cos ,
2.4.3 原点O 在区域D 的内部
区域D 可表示为：()πθθ?20,0≤≤≤≤r ，相应地，二重积分就可以转化为极坐标系下的二次积分
()()()()
rdr r r f d rdrd r r f d y x f D
D
?
?????
==θ?π
θθθθθθσ0
20
sin ,cos sin ,cos ,
当积分区域是圆形区域，扇形区域，圆环区域，并且被积函数中含有x
y
及22y x +的表达式时，用极坐标计算二重积分比较简单。
例8：计算()??+D
d y x σ,其中D 是由直线x y =,圆x y x 222=+以及x 轴围成的平面
区域。
解：在极坐标系θθsin ,cos r y r x ==中积分区域()?
??
???≤≤≤≤=θπθθcos 20,40|,r r D
()()()()()()
()674cos 31cos 323612cos 322cos 3443438411322cos 2cos 2132044cos 22cos 138sin cos cos 38cos sin cos 38sin cos sin cos sin ,cos ,2022040240402
4042
4034044
3cos 20
24
cos 20
4
+=+++=++??? ??+=??? ??-+++=???
?????-??? ??+=??? ??+=+=
+=+==???????????
?
?
????
ππθθθθπθθθπθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθσπππππππππ
θ
πθ
πtdt tdt d d d d d d d dr r d r r rdr
r r d rdrd r r f d y x f D
D
2.5 用变量替换计算二重积分
如果在直角坐标系下积分无法计算，则可考虑采用变量替换。
(1)若被积函数为 ()
?
??
?
????? ??+y x f x y f y x f 、、22的形式，或者积分区域是圆域、环域，扇域及环扇域时，考虑的变量替换是极坐标变换，即在极坐标系下计算二重积分。
(2)如果在直角坐标和极坐标系下计算都比较困难时，则可考虑一般的变量替换，即令 ()),(,,v u y y v u x x ==或者),(),(y x v y x u u ==，
引理1: 设变换),(),,(v u y v u x T ==：将uv 平面上按段光滑封闭曲线所围的闭区域?, 一对一地映成xy 平面上的闭区域D , 函数),(),,(v u y v u x ==在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式为:
()()
()?∈≠??=
v u v u y x v u J ,,0,,),( 则区域D 的面积
()()dudv D ???
=|v u,J |μ
定理1: 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换),(),,(v u y v u x T ==：将uv 平面上按段光滑封闭曲线所围的闭区域?,一对一地映成xy 平面上的闭区域D ,函数),(),,(v u y v u x ==在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式为
()()
()?∈≠??=
v u v u y x v u J ,,0,,),( 则()dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D
|),(|)),(),,((,?????
=
例9：计算二重积分：(
)dxdy x
y x I D
??
+=
2
2
,式中D 是x 轴，1,
=+=y x x y
2=+y x 围城的区域。
解：作变换：?
?
?
??=+=x y
v y
x u
则：(){}
u
x J v u v u 2
210,21|,?=≤≤≤≤=?， (
)32221102
222
2
==??=
+=??????
du u dv dudv u x x u dxdy x y x I D
2.6 无界区域上的二重积分
用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分。设函数()y x f ,在无界区域D 上有定义，且在区域D 的任何有界部分上可积，则函数()y x f ,在无界区域D 上的二重积分
()()????Γ
Γ→=D D
D D
d y x f d y x f σσ,lim ,
其中ΓD 是由曲线Γ从D 中分割出来的有界区域，且当Γ移动时ΓD 趋向于无界区域D 。 通常取+∞→b D 作为从无界区域中分割出来的有界区域，不难发现，当+∞→b ， +∞→b D
例题10：计算二重积分()??+-D
y x d ye σ，其中D 是由直线x y =与y 轴在第一象限围成
的区域。
解：无界区域D 的走边界是y 轴，右边界是x y =，而y 的取值范围是+∞<≤y 0，不难发现，当+∞→b 时，{}(){}y x b y y x b y D D b ≤≤≤≤=≤=0,0, ，将趋向于无界区域D ，从而:
()
()
()
(
)
()4
31lim 412lim 4314141
21lim 04121lim 21021lim 21lim
lim
1lim
lim lim 222220220
20
20
=
+-???
??++=??????+--+??? ??-=???
?????? ??-+??? ??-=???
?????? ??--??? ??-=??
?
??-=-=-===-+∞→-+∞→----+∞→----+∞
→----+∞
→--+∞→--+∞→--+∞→--+∞→+-+∞
→+-??
??
??
????b b b b b b b b b y y b b b b y y y y b b
y y b b
y y b b
y y b y
x b
y b D y x b D
y x e b e b e e e e b b e e e e b dy e e yd b e e y dy e e yd dy e e y dy e ye dx
ye dy ye d ye d ye b
σσ
第3章 二重积分的应用研究
3.1 物理上应用研究
3.1.1平面薄片的质心
设空间有n 个质点，分别位于),,(k k k z y x ，其质量分别为),,2,1(n k m k =。由力学知,该质点系的质心坐标为：
∑∑===
n
k k
n
k k
k m
m
x x 1
1，∑∑===
n
k k
n
k k
k m
m
y y 1
1，∑∑===
n
k k
n
k k
k m
m
z z 1
1
设物体所占有的平面域D ，有连续密度函数()z y x ,,ρ，则采用“大化小,常代变,近似和, 取极限”可导出其质心公式。若物体为占有xoy 面上区域D 的平面薄片，其面密度为),(y x μ，则它的质心坐标为：
M
M y x y x y x y x x x y
D
D ==????d d ),(d d ),(μμ
M
M y x y x y x y x y y x
D
D ==????d d ),(d d ),(μμ
ρ=常数时，则得D 的质心坐标：
A
y x x x D
??=
d d
A
y
x y y D
??
=
d d (A 为D 的面积)
例11：求位于两圆()4222=-+y x 和()112
2=-+y x 之间均匀薄的质心. 解: 利用对称性可知0=—
x
3
7
sin 956sin 956sin 31d d sin 31120404sin 4sin 220
2
===
=
=
=???
?
????ππθ
θ
π
θθπθθπθθπ
θ
θπ
d d dr r d r r
ydxdy A y D
D
3.1.2平面薄片的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算。设物体占有平面区域D ,有连续分布的密度函数()y x ,ρ该物体位于()y x ,处的微元。对x 轴的转动惯量为()σρd y x y dI x ,2=。因此物体对x 轴的转动惯量:
()??=D
x d y x y I σρ,2
()??=D
y dxdy y x x I ,2ρ ()??+=
D
o dxdy y x y x I ,)(22ρ 例12：已知均匀矩形板（面密度为常数ρ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板
对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
解：先求质心，建立坐标系：
2
1
b
bh
xdy
dx xdxdy A x h
b
D
=
==??
??-
2
1
h bh
ydy
dx ydxdy A y h
b
D
=
==
??
??-
对直线μ的转动惯量
12)(32
2
ρ
ρbh dxdy y I D
h u =-=??
对直线v 的转动惯量
12)(32
2ρρh b dxdy x I D
b v =-=??
3.1.3平面薄片对质点的引力
设物体占有平面区域D ,其密度函数()y x ,ρ连续求该薄片对于点()()0,0,00>a a M ，处单位质点的引力利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别为：
()σρd r x
y x G dF x 3
,= ()σρd r y
y x G dF y 3
,= ()σρd r z
y x G dF z 3
,=
在D 上积分即得各引力分量:
()σρd a y x x
y x F D
x ??++=23
222)(, ()σρd a y x y
y x F D
y ??++=2
3
222)(, ()σρd a y x z
y x F D
z ??++=23
222)(,
例13：设面密度为μ，半径为R 的圆形薄片022=≤+z R y x ，，求它对位于点处的单位质量质点的引力.
解: 由对称性知引力()z F F ,0,0=
2
3
2222)(d d a y x G d
a d G dF z ++-=?-=σ
σμ
()
??
?
? ??-+=+-=++-=?
???
a a R Ga a
r
rdr
Ga a y x Ga F R D
z 112d )
(d 220
2
322
20
2
322
2
μπθμσμπ
3.2 经济上的应用
3.2.1已知边际函数求原经济函数
已知某经济函数的变化率(边际函数)())(x f x F =，，则此经济函数为: ()()?+=x
a
dt t f a F x F )(
当自变量由x a =变为x x b ?+=时，经济函数()x F 的增量为:
()dx x f x F x
x x
?
?+=?)(
3.2.2已知边际函数求总量函数
成本：()?'+
=x
dx x C C x C 0
)(0)(
成本增量：?'=-=?21
)()()(12x x dx x C x C x C C 收益：()?'+=2
1
)(0)(x x dx x R R x R
收益增量：?'=-=?2
1
)()()(12x x dx x R x R x R R
利润：)0()()(0
C dx x L x L x
-'=?
)0()]()([0
C dx x C x R x
-'-'=?
例14：已知生产某产品x 万件时，边际成本为()2x x C =，
万元/万件。固定成本为9万元，又知该产品的边际收益44)(+='x x R 万元/万件
求：(1)()x C ，()x R
(2)产量从8增加到12时，利润改变多少？
解：dx x
dx x C C x C x x ??+='+=0029)()0()(
??+='=x x dx x dx x R x R 00)44()()(x x 48
2
+=
6)4
4()()8()12(12
8
128
=-='=-=???dx x
dx x L L L L
3.2.3投资问题
以0A 元存入银行，年复利率为r ，t 年后变为()t r A +10元， 称()t
t r A A +=10为本金0A 的终值；反之，若要t 年后有t A 元，现在只需存入银行()t
t r A A -+=10元，即t 年后的t A 元
只相当于现在 的()t t r A A -+=10元，称()t
t r A A -+=10为t 年后资金t A 的现值，此时r 也称为贴现率。
若计算连续复利，则本金0A 在t 年后的终值为rt e A 0；t 年后资金A 的现值为rt Ae -。
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
在极坐标系下二重积分的计算 第九节在极坐标系下二重积分的计算 根据微元法可得到极坐标系下的面积微元 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为 内容分布图示 ★ 利用极坐标系计算二重积分 ★ 二重积分化为二次积分的公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题6-9 ★ 返回 内容提要： 一、二重积分的计算 1．如果积分区域D介于两条射线之间，而对D内任一点，其极径总是介于曲线之间（图6-9-2），则区域D的积分限 于是
Df(x,y)dxdy 具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间上任意作一条极角为的射线穿透区域D（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径 就分别为内层积分的下限与上限. 2．如果积分区域D是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当的特例，此时，区域D的积分限 于是 3．如果积分区域D如图6-9-4所示，极点位于D的内部，则可以把它看作是第二种情形中当的特例，此时，区域D的积分限 于是 注：根据二重积分的性质3，闭区域D的面积在极坐标系下可表示为 如果区域D如图6-9-3所示，则有 例题选讲： 例1（讲义例1）计算
2222，其中D是由所确定的圆域. 例2（讲义例2）计算 其中积分区域D是由 所确定的圆环域. 例3（讲义例3）计算 Dyx22dxdy, 其中D是由曲线所围成的平面区域. 22 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域 D 22例5 计算其中D为由圆及直线 D 所围成的平面闭区域. 例6 将二重积分 化为极坐标形式的二次积分,其中D是曲线 及直线所围成上半平面的区域. 例7（讲义例5）求曲线和所围成区域D的面积. 例8（讲义例6）求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）. 课堂练习 1.计算 其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域. 22.计算其中
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
学号14051103 学年论文 论文题目：二重积分的计算与应用研究 院（系）名称：信息工程学院 专业名称：数学与应用数学专业 学生姓名：丁乾龙 指导教师：王君（讲师） 哈尔滨学院 2017年9月
学号14051103 密级公开 二重积分的计算与应用研究Double Integral Calculation and Its Application 学生姓名：丁乾龙 所在学院：信息工程学院 所在专业：数学与应用数学 指导教师：王君 职称：讲师 所在单位：哈尔滨学院 论文提交日期：2017年08月25日 论文答辩日期： 学位授予单位：
目录 摘要........................................................................................................................................ I V ABSTRACT ............................................................................................................................. V 前言 (1) 第1章绪论 (2) 1.1 选题背景 (2) 1.2 选题意义 (2) 1.3研究现状 (2) 1.4研究思路 (3) 第2章二重积分的基本计算方法 (4) 2.1 二重积分的定义与性质 (4) 2.2 利用直角坐标系计算二重积分 (5) 2.3 利用变量替换法计算二重积分 (7) 2.4利用极坐标系计算二重积分 (9) 第3章特殊二重积分的计算技巧 (12) 3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算 (12) 3.2 利用格林公式计算 (13) 3.3 利用轮换法计算 (14) 3.4 利用二重积分的几何意义计算 (14) 结论 (18) 参考文献 (19)
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.二重积分的概念 (1) 1.1二重积分的定义 (1) 1.2可积条件 (2) 1.3可积类 (2) 1.4二重积分的性质 (2) 2.二重积分的计算方法 (3) 2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3) 2.2二重积分的变量变换 (4) 2.2.1普通情况下的变换 (4) 2.2.2极坐标计算二重积分 (4) 3.广义二重积分 (6) 4.二重积分的应用 (6) 4.1体积 (7) 4.2曲面的面积 (8) 4.3其它 (8) 参考文献 (9)
二重积分的计算与应用 学生姓名： 学号： 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： 职称： 摘 要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法. 关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体 The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method. Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder 前言 我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助. 1.二重积分的概念 1.1[]2二重积分的定义 设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数.J 是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D 的任何分割T ，当它的细度||T ||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||n i i i i f J ξσσε=?-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称
《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．
（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘要：二重积分对于工程技术有着十分重要的作用．对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积．比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等．因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等．另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积．而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积如何计算这些建筑物顶部的表面积都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。 关键词：二重积分，应用，体积 The Application of Double Integral ABSTRACT :The double integral plays an important role in engineering. For the architectural design, requires not only the appearance design is beautiful, sometimes need to calculate their volume. For example, the stadium in the game hall, film and Television Institute audience hall. Because the volume size directly affects the sound propagation effect and air quality and so on. In addition to the cost calculation, calculation the raw materials required for the building, but also to calculate the surface area. While some of the top public facilities building is a top volume, then how to calculate these buildings How to calculate the surface area of the top of the building Need to use mathematics in double integrals. Application of double integral in architectural design, many practical problems to mathematical problems, make the problem easy to understand. At the same time the application of double integral in architectural design can be combined with mathematical modeling, mathematical practice. KEYWORDS ：Double integral, applications, volume 一． 二重积分的应用 （1）在力学上的应用 1）质量（薄板） 假设薄板xy 在平面上覆盖区域δ，设在点(,)x y 的密度为δ (,)x y （质量／单位体积）。把S 分成小矩形12 ,,k R R R ，在k R 上找一点__(,)k k x y ，那么k R 的质量近似于δ __ (,)k k x y ()k A R ，整个薄板 的质量近似于__ 1 (,)()n k k k k m x y A R δ=≈ ∑ 实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到(,)S m x y dA δ= ??。 ［1］
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次 方程。 一元二次方程的一般式为()200ax bx c a ++=≠。 与一元二次方程定义有关的参数问题： 处理方法：对照方程的一般形式。 条件中出现方程的根 处理方法：将根带入方程。 一、直接开平方法 二、配方法 一、直接开平方法 【例1】 ⑴2120y -= ⑵228x = ⑶()21382x -= 【例2】 用直接开平方法解方程： ⑴(3x ＋2)(3x －2)＝12 ⑵() 2 2463x -= ⑶(x －m )2＝n 一元二次方程基本解法
解关于x 的方程： ⑴()()222332x x +=+ ⑵()()225293x x -=+ ⑶()()22425931x x -=- 二、配方法 【例4】 填空：⑴()2210______x x x ++=+ ⑵()2 212_______x x x -+=- ⑶()2 25________x x x ++=+ ⑷() 2 22_______3x x x -+=- 【例5】 用配方法解方程： ⑴2420x x ++= ⑵211063x x +-= ⑶231y += ⑷ 3x 2－6x ＋4＝0
配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x＋m)2＝n的形式； =-±若n＜0时，方程无实数解。 ④求解：若n≥0时，方程的解为x m 知识框架重现 一、直接开平方法 二、配方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 ＝0(a≠0)， 把方程ax2+c 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； ； 2．(3x+2)2-4＝0 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 25 9x2＝ 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 2±2 3x＝-
4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除 + 以二次项系数，使二次项系数为1，如x2 1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 7 (x-2)2＝
3．4x2+4x+1＝ 7
一元二次方程ax2+bx+c＝ 0(a 广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； ． 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x) 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． 81 b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝
4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0 ∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2 b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2 ＝a2-4ab+4b2 ＝(a-2b)2 2b≥0)时，得 当(a- 【不完全的一元二次方程的解法】 在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法： 例：解下列一元二次方法： ．
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1
一元二次方程的解法知识点汇总 知识点一：直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于形如x=a（a≧0）的方程，根据平平方根的定义，可解的x =，x=-。 知识点二：用因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的意义：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的 方法，如对于方程x-4=0，左边分解因式可得（x+2）（x-2）=0， 则必有x+2=0或x-2=0，所以x=-2，x=2，这种解法叫做因式分解 法，即利用因式分解法的方法解方程称为因式分解法。 2.因式分解法一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为0 ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 ③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 知识点三：配方法 把一个一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 知识点四：公式法
1.一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），如果b-4ab≥0， 那么方程的两个根为x=-b±/2a。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做求根公式法。 2.一元二次方程的求根公式的推导过程 一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的过程。 解：a≠0，方程两边都除以a，得x+bx/a+c/a=0 移项，得x+bx/a=- c/a， 配方，得x+2*x*b/2a+（b/2a）=（b/2a）- c/a 即（x+ b/2a）=b-4ac/4a ∵a≠0，∴4a＞0，当b-4ac≥0时，直接开平方，得 x+ b/2a=±/2a ∴x=- b/2a±/2a， 即x=-b±/2a
二重积分的计算及应用 学生姓名：*** 学号：*** 学院：*** 专业：*** 指导老师：*** 职称：*** 摘 要：本文介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法．最后对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，也将给出两种不经消参数而直接计算的方法． 关键词：二重积分；被积函数；积分区域 The Calculate and Application of Double Integral Abstract ：The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably.At last,for the double integral which the boundary curve of its domain of integration is denoted by the panameter equation,it supplies a directed method which does not eliminate the parameter. Key word ：Double integral ；Integralted function ；Integral region 引言 二重积分是一类非常重要的积分形式，主要用于求平面面积，将实际问题数学化，有利于计算． 1.二重积分的定义 定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积． 定义2：设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数．J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T δ<时，属于T 的所有积分和都有 1 (,)n i i i i f J ξησ ε=?-<∑，
一元二次方程的解法 (1) 一元二次方程的概念 一、考点、热点回顾 1、一元二次方程必须同时满足的三个条件： (1) ___________________________________________________ ⑵ ___________________________________________________ ⑶ ___________________________________________________ 2、一元二次方程的一般形式： 二、典型例题 ③ x 2 2x 3y 0 ④ x 2 3 (x 1)(x 4) 三、课堂练习 1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是() 2 1 1 A3(x 1) 2(x 1) Br 2 0 x y 2 2 2 C.ax bx c 0 D.x 2x x 1 2、 用换元法解方程(x 2+x)2+ (x 2 + x) = 6时，如果设x 2 + x = y ,那么原方程可变 形为() 2 2 2 2 C 、 y — y + 6— 0 D 、y + y + 6— 0 例2: 元— 一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 . (1)x 2 10x 900 0 ⑵5x 2 10x 2.2 0 (3)2 x 2 15 0 (4)x 2 3x 0 ⑸(x 2)2 3 ⑹ (x 3)(x 3) 0 例3: 当m 时 ， 关于x 的方程(m+2 x |m| +3mx+1=0是一 儿二次方 程。 ⑤ ax 2 bx c 0 ⑥mx 2 0 (m 是不为零常数) 例1:判断下列方程是否为 儿二次方程: ① x 2 x 1 ② x 2 1