摘 要:积分思想是分割思想的充分体现，而二重积分又是积分中的重难点之一，如何让积分运算简单化，关键在于不仅要理解积分定义，还要熟练的掌握一些积分运算技巧。
关键词:二重积分；对称区域；奇偶性；极坐标；积分次序
Several calculation methods of double integral
PENG YI
(Class ( 2 ) Grade 2013，Mathematics and applied mathematics，
School of Mathematical Science)
Abstract: the integral thought is divided ideas fully manifests, the double integral is one of the difficult point of integration, how to make integral operation simple, the key lies in not only to understand the integral definition, but also skilled master some integral operation skill.
Key words: double integral; Symmetrical area; Parity; Polar coordinates; Integral order
0引言
在整个数学分析课程中，无疑我们接触最多的思想莫过于分割思想。从极限理论到函数连续性，从微分学再到积分学，分割思想无处不在；由二重积分的定义知道，若在区域D上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 ，只要当 ，即分割细度无限小时，属于 的所有积分和都有 成立。因此对于二重积分的运算，我们不仅要把握积分定义，还要对积分区间的对称性、被积函数的奇偶性、换元思想、积分次序等计算方法熟悉掌握，从而能做到把二重积分转化为累次积分的简化计算；当然也不排除用积分定义、直角坐标系下求解二重积分、与积分路劲无关的格林公式等这些普遍通用的二重积分运算方法；但针对某些复杂的积分运算，为了避免耗时费力，不得不采取一些较为特殊的简化方法，极大地减少计算量！
1绪论
1.1研究背景及其研究意义
微积分学起源于生产实践和科学实验 , 它的建立对现代科学技术的发展起到了巨大的推动作用。积分学的起源可追溯到公元前 3 世纪，古希腊数学家欧几里得和阿基米德用“穷竭法”——分割与求和的方法近似计算一些不规则平面图形的面积和立体的体积。穷竭法一方面包含了极限的思想雏形，另一方面也包含了积分学的思想方法。但直到 17世纪，历经约 2000 年的发展 , 在众多数学家们的不懈努力之下，穷竭法终于在数学大厦中找到了归属——建立在极限理论之上的积分学。
求积分不是一件容易的事情。一方面，不是所有连续函数都可求出其积分，对于不能用初等函数表达的积分，即便绞尽脑汁对被函数进行各种变形，最终还是徒劳而无所获。另一方面，求积分是一种数学运算，不仅要对积分技巧要熟练，还要有过硬的数学功底，对于积分运算不能说热爱和熟练就可以了，还要通过大量的练习去掌握基本积分公式、法则和技巧。只有善于归纳才能提高积分的运算能
力以及兴趣，根据被积函数和积分区间的特点对积分题的解法从方法、技巧上进行归纳。有一类积分题目，它的积分区间关于坐标轴、特殊直线对称，以及它的被积函数是奇函数或偶函数，这类题目可采用对称性的计算方法进行积分运算化简了。本文将着重研究这几种方法，以定积分的对称性、奇偶性计算性质为基础，推导并证明二重积分相应的计算性质。
关于二重积分在直角坐标系下的运算，教材侧重从几何推理出发，推导相应的积分运算公式。而对于二重积分的计算，研究积分区域关于直线对称、关于坐标轴对称、积分区域关于特殊直线对称、一般直线对称、积分区域为圆域或多条曲线围成的区域、积分运算极坐标转化等都只是一笔带过，而没做过多说明。二重积分的计算技巧极为重要，正确选取坐标系、进行适合的坐标变换、注重积分次序等都会给计算积分带来一定的简便，若选取不当!不仅会感觉积分繁杂，甚至积不出结果！当积分区域为对称区域时，一定要检验被积函数或被积函数的某一部分是否对某一变量具有奇偶性，尤其是对奇函数的部分!合理选择积分坐标运算、利用对称性，奇偶性，对于运算来说无疑是一种快车道。
二重积分的计算是微积分学中的重点，也是一个难点，而对称性在积分学中可以简化积分的计算过程，利用对称性计算积分是一种重要的积分计算!在积分计算中，根据相应题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，就会使计算省时…
计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。为此，必须注意: 选取适合坐标，是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方法有: 利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等!通过以上介绍的几种方法能大大简化二重积分的计算，只要方法选得适当，二重积分的运算量就会小很多。
2定积分的对称性、奇偶性计算
若为奇函数,则 ；若 偶函数，则 。
例1:计算 (1)
(2)计算积分 ，其中
解：(1) 因为 为偶函数，且积分区间是对称的，所以：
(2) 此题很容易出现计算错误
因为 是偶函数，且积分区间是对称的，所以
当处理到这一步时，发现无法做下去了，此积分不存在，那么哪里错了呢，回头再分析一下题目就会发现，原来积分里出现了断点 和 ，而且即使是采用积分区间可加性的性质，最后计算下来积分也不存在。
3二重积分的对称性计算性质及其归纳
由定积分的对称性、奇偶性，我们就很容易推广到二重积分的对称性、奇
偶性计算了……
3.1积分区域关于坐标轴对称
有以下情况：
积分区域 关于 轴对称
积分区域 关于 轴对称
积分区域 关于 轴、 轴均对称
[2]以积分 为例，若曲面 可关于坐标轴分成对称的两部分 ；在对称点上 的值相等，则
由此可以看出利用积分区间对称性确实能给运算带来很大的便利，这个性质不仅适用于定积分，二重积分，而且还可以推广到多重积分的运算。
3.2积分区域关于原点对称
若积分区域 关于原点对称，则区域 可分为两个子区域，且这两个子区域关于过原点的某条直线对称，即： ，则
其中 是表示区域 ，被经过原点的某条直线分成的一半
例2:计算二重积分 ，其中 。
解：因为 ，所以由 有
故当 时，
① 直接解法
② 利用积分区域关于原点对称性
因为
故由积分区间关于原点对称性，可知
观察本题，可以发现积分里出现了函数极限，而针对不同函数可能会有不同的求解方法，如我们熟悉的等价代换和初等变形求极限、变量替换求极限、两边夹法则、洛必达法则求极限等，由此可知，函数极限的知识点也为积分的求解打下了基础，例如， 也可为以下情形 , , 。再观察以上两种解法，同一结果，选择不同的计算方法有不同的计算量，而本题，我们很容易发现积分区域关于原点对称，则区域可分为两个子区域，且这两个子区域关于过原点的某条直线对称，所以利用积分区域关于原点对称的性质就能很快计算出结果，从而很巧的避免了被积函数的复杂性。
3.3积分区域关于直线 或 对称
对于积分区域，我们看了关于坐标对称、关于原点对称问题，那么会不会有关于特殊直线对称的问题呢？下面我们来看看关于直线 或 对称的问题
3.3.1若积分区域 关于直线 对称，则
证明：假设 是 型区域， 是 型区域
左边
需要注意：其中区域 被直线 均分为两个子区域，即： ，如果 是 型区域， 是 型区域，则直接按照二重积分的积分次序计算，把二重积分转化为累次积分进行积分运算；如果 不是 型区域， 不是 型区域；则要把 进行区域分割，分割成无数个 型区域，相应地把区域 分割成无数个 型区域。
3.3.2若积分区域 关于直线 对称，则
需要注意：其中区域 被直线 均分为两个子区域，即： ，如果 是 型区域， 是 型区域，则直接按照二重积分的积分次序计算，把二重积分转化为累次积分进行积分运算；如果 不是 型区域， 不是 型区域；则要把 进行区域分割，分割成无数个 型区域，相应地把区域 分割成无数个型 区域。
[13]例3:计算： .其中区域 为 ..
解：因直线 将区域 分成两个区域，
于是有
4用极坐标计算二重积
分
在解题过程中，我们会发现，有些题目可以直接进行积分计算，而有的题目则就需要利用对称性、奇偶性、选择适合的积分次序来简化计算；但有的题用了对称性、奇偶性也会感觉计算量很大，此时也就可能要进行相应的变量替换运算了。即我们将要介绍的极坐标系下积分。
当二重积分的积分区域边界以及被积函数用极坐标来表示较为简单时，我们常常考虑用极坐标来计算二重积分。一般会考虑以下两个方面：一方面是将被积函数极坐标化；另一方面是将面积元素 极坐标化
当选取直角坐标系的原点为极点、坐标轴为极轴时，则直角坐标系与极坐标系的关系可表示为 即 ，又当我们把 与 看成极坐标里的极轴时，就可以把直角坐标系里的区域分割成无数多个子域，此时面积元素就可以极坐标化，即 ,于是二重积分的极坐标可表示为
极坐标下的二重积分计算一般分三种情况
4.1极点o在区域外
从原点做两条射线 夹紧区域 。 分别是对 积分的下线和上线。在与之间任做一条射线与积分区域 的边界交于两点，它们的极半径分别为 ， 。若 ，那么 与 分别对 积分的上限和下限，即
4.2极点o在区域D的边界上
区域 可表示为 于是有
4.3极点o在区域D的边界内部
区域 可表示为 于是有
[13]例4：计算曲面积分 ，其中 为锥面 及平面 所围成的立体的表面外侧.
解：
采用极坐标，设 ， 为瑕点，有
所以：
一般遇到如下情况时，大多用极坐标变换进行运算，如：○1. ，○2. （ 为常值函数），○3. ，○4.三重积分下的球坐标变换与柱面坐标变换的积分运算，○5. （可令 ，则 ， ，从而可用 来割取积分区域。）等情况，在进行极坐标变换时，应注意极点所在积分区域的位置，还应注意被积函数在积分区域内是否存在间断点的问题。
5二重积分运算时正确选取积分次序
对于二重积分的运算，我们不仅要掌握由繁杂化简单的运算方法，比如前面所提到的积分区域对称性、被积函数奇偶性、积分区域关于某条特殊直线的对称性、被积函数及面积元素极坐标化等方法，还要对其积分方法的一般性进行熟练掌握，如：二重积分转化为累次积分的积分次序法，这里主要会考虑 型、 型，另还要特别注重曲线积分与路径的无关性判定方法，即格林公式...
例5： 计算 ，其中区域 是由曲线 ，以及曲线 ， 所围成的区域.
解： 可以利用积分次序，选定积分区域，把二重积分转化为累次积分；
又因为 的交点为
观察题目，我们发现积分区域无对称性可言，而被积函数也没有所谓的奇偶性，也用不上极坐标进行坐标转换运算、变量替换等；既然这些简便方法都
用不上，再看一下题目，会发现原来积分区域可以关于交点分为两个子区域，而被积函数又是简单函数，故可以用积分次序，既 -型或 -型来解决积分问题。由此可以看出，并不是所有的积分问题都可以避重就轻的，我们只有认真分析题目，掌握基本的一些积分方法，这样在处理积分问题时，才能针对不同的积分问题采取简便的积分方法。
6结束语
分割、求和、取极限这是积分学里惯用的思维。二重积分的积分运算，务必注意定义、几何意义；二重积分的运算方法大致有：利用对称性、奇偶性、极坐标转换、变量替换、积分次序、必要时还要注意积分区域分割等思想；要根据相应题目选取适当的积分方法，以达到化难为易的简化运算。
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