1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算
对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)
f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即
{}
12
(,)()(),
D x y x x x a x b
??
=≤≤≤≤，其中
12
(),()
x x
??在[,]
a b上连续，则有
2
1
()
()
(,)(,)
b x
a x
D
f x y d dx f x y dy
?
?
σ=
????；（1）
若D为y型区域（如图2），即{}
12
(,)()(),
D x y y y y c y d
ψψ
=≤≤≤≤，其中
12
(),()
y y
ψψ在[,]
c d上连续，则有
2
1
()
()
(,)(,)
d y
c y
D
f x y d dy f x y dx
ψ
ψ
σ=
????．[1]（2）例1 计算
2
2
D
y
dxdy
x
??，其中D是由2
x=，y x
=，及1
xy=所围成．
分析积分区域如图3所示，为x型区域()1
D=,12,
x y x y x
x
??
≤≤≤≤
??
??
．确定了积分区
域然后可以利用公式（1）进行求解．
解 积分区域为x 型区域
()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤????
则
1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计
算
当被积函数的原函数比较容易求出，
是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计
算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或
y 型区域，然
后利用公式
1
2
3
(,)(,)(,)(,)D
D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3）
进行计算，
例2 计算二重积分D
d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．
分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划
分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤??
??=≤≤≤≤-均为x 型
区域，
进而通过公式（3）和（1）可进行计算．
解 D 划分为
()1,01,22x D x y x y x ??
=≤≤≤≤????
，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-
则
1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算
二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．
例3 计算二重积分
D
，其中D 为区域1x ≤，
02y ≤≤．
分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本
身，不难
发现当我们把积分区域划分为212
11
x y D x ?≤≤=?-≤≤?，
2
2011y x D x ?≤≤=?-≤≤?两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很
容易求得．
解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中
21211x y D x ?≤≤=?-≤≤?，2
2011
y x D x ?≤≤=?-≤≤?
由公式（3）则
2 利用变量变换法计算
定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域?一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在
?内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()
()
,,0,x y J u v u v ?=
≠?，(),u v ∈?．则
()()()()(,),,,,D
f x y d f x u v y u v J u v dudv σ?
=???? （4）
（4）式叫做二重积分的变量变换公式，
2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化
当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．
例4 求x y x y
D
e
dxdy -+??，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）
分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像?如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．
解 做变换()()
12:12
x u v T y u v ?=+????=-?? ()1,02J u v =>
所以
1
2x y u
x y
v
D
e
dxdy e dudv -+?
=????1012u v v v du e du -=??
2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分
当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有
()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，
则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域?，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．
例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ． 分析 D 的面积()D
D dxdy μ=??．实际是计算二重积分D
dxdy ??，其被积函数很简单，但
是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y y
x x αβ==，如果设
2,y y
u v x x
==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，
解 D 的面积()D
D dxdy μ=??
作变换
2:u x v T v y u ?=????=??
，[][],,m n αβ?=?
所以
()()()22334433=6n m D n m u
dv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ?--===??????． 例6 求23
3D
x
dxdy y xy
+??
．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2
,y u xy v x
==，它把xy 平面上
的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域?．
解 令
在变换T 作用下，区域D 的原像
(){},13,13u v u v ?=≤≤≤≤， ()1
,03J u v v
=
≠ 所以
233113D
x dxdy dudv y xy v uv v ?
=?++??
??()3311du
dv v v uv =+??2ln 23=． 2.3 利用极坐标变换计算二重积分
当被积函数含有()22f x y +、x f y ??
???
或
y f x ??
???
形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换
cos :sin x r T y r θ
θ
=??
=?，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .
（1）如果原点0D ?，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为
()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．
则有
()()()()
21
,cos ,sin r r D
f x y dxdy d f r r rdr β
θαθθθθ=???? （5）
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为
()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤
那么
()()()
()
2
21
1,cos ,sin r r r r D
f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=??
??
（6）
（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则?可表示成
()0r r θ≤≤，0θπ≤≤
则有
()()()
20
,cos ,sin r D
f x y dxdy d f r r rdr π
θθθθ=???
?
（7）
（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则?为
()0r r θ≤≤，αθβ≤≤
那么
()()()
,cos ,sin r D
f x y dxdy d f r r rdr βθα
θθθ=??
??
（8）
例7
计算D
I =，其中D 为圆域：221x y +≤
分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故
可采用极坐标变换cos ,01
:sin ,02x r r T y r θθθπ
=≤≤??=≤≤?，可以达到简化被积函数的目的．
解 作变换
cos ,01
:sin ,02x r r T y r θθθπ
=≤≤??
=≤≤?，
则有
1
20
d π
θ?=??
202d π
θπ=
=?． 例8 计算二重积分D
ydxdy ??，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==
，以及曲线
x =
分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区圆区
域D 与1D 一起围成规则图形正方形，且1D 为半域，根据极坐标变换简化被积函数．
区域，
解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形
1D 为半圆区域，则有
1
1
D
D D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-????
??，
而
1
22
2
4D D ydxdy dx dy -+==????，
又
故原式
281cos 212cos 23422
ππθ
π
θ+??=
-+=
?????． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分
与极坐标类似，作如下广义极坐标变换： 并且雅可比行列式(),J u v abr =
同样有
()(),cos ,sin D
f x y dxdy f ar br abrdrd θθθ?
=???? （9）
例9
计算D I =??，其中(
),0D x y y x a ????
=≤≤≤≤??????
分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换
cos ,01
:sin ,02
x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．
解 作广义极坐标变换
cos ,01
:sin ,02
x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，(),J u v abr =
由（9）知
3 某些特殊函数的计算
3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算
如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1
D 和2D ，那么有
如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么 如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么
()()()1
2
,2,2,D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ
==??
????[3]
例10 计算2D
x ydxdy ??，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．
分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．
解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又
()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有
宜选择先对x 后对y 的积分次序
故原式
()31220213y y dy =+?(
)()
5
21
20
22
1115
15
y =+=
． 3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算
分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．
被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．
例11 求224D
x y dxdy +-??，其中D 为229x y +≤围成的区域．
分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得
22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．
解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即
在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+-
故原式
()()1
2
222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-????，
利用极坐标计算有
故原式2541
822
πππ=+
=． 例12 求(),D
f x y dxdy ??,其中
()(),0,0,0,x y e
x y f x y -+?>>?=???其他
,D 由
,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成
()0b a >>.
分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,
分
12
别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.
解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =U U . 在1D 上有 (),0f x y =,则
()1
,0D f x y dxdy =??.
因而
1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数 (,)f x y 在积分区域D 上连续时，若 D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=??? ? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2 D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 22 2 1221x x D y y dxdy dx dy x x =???? 32 121 3x x y dx x ??= ???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1
2 51 133x dx x ?? =- ???? 22 1 412761264 x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积 分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是 y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){} 12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 12 D D D d d d σσσ=+??????12230122x x x x dx dy dx dy -=+???? 120112322x x dx x dx ???? =-+-- ? ??????? 12 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后 y 图 4
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 （第1课时） 教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点：选择合适的方法计算二重积分. 教学方法：直观教学，启发式讲授. 教学过程： 一、利用直角坐标系计算二重积分 1．积分区域D的分类
（1）积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域 图3 图3，图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2．二重积分计算公式 （1）积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体（图5）的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1
二重积分计算中的积分限的确定
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要 将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法
本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3． 例题解析 例1 计算??D xydxdy ,其中D 是由直线x y y x ===,1,2所围成的区域. 解:作出积分区域D 的图形 在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选 择先对 先定下 的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其
1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区
域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为
计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法. 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法 1 引言 本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。 2 积分的计算方法 2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法 定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ?∈，定积分 ()(),d c I x f x y dy =?存在，则累次积分 (),b d a c f x y dy dx ?????? ??也存在，且(,)(,)b d a c R f x y dxdy f x y dy dx ??=???? ?? ?? 证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是 011011i i n k k m a x x x x x b c y y y y y d --=<