重庆三峡学院数学分析课程论文
二重积分的计算方法
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学（师范）
姓名
年级 2010级
学号
指导教师刘学飞
2014年5月
二重积分的计算方法
(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)
摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算
引言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重
要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被
积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求
二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
1.1二重积分的定义
设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数
ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有
()1
,n
i
i
i
i f J ξησ
ε=?-<∑,
则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D
J f x y d σ=
??,
其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.
1.2二重积分的若干性质
1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且
(),D
kf x y d σ??(),D
k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且
()()[,,]D
f x y
g x y d σ±??()(),,D
D
f x y d
g x y d σσ=±????.
1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在1
2D D 上也可积,且
()12
,D D f x y d σ??()()1
2
,,D D f x y d f x y d σσ=±????
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d
c f x y dy ?存
在,则累次积分
(),b
d
a
c
dx f x y dy ?
?也存在,且
(),D
f x y d σ??
(),b d
a
c
dx f x y dy =??.
同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b
a
f x y dx ?存在,在上述条件上可得
(),D
f x y d σ??
(),d b
c
a
dy f x y dx =??
2.求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型、Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.
2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算
X -型区域: ()()(){}12,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}12,,D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤
定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则
(),D
f x y d σ??()()()
21,b
y x a
y x
dx f x y dy =??
即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
(),D
f x y d σ??
()()
()
21,d
x y c
x y dx f x y dy =??
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V .
解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222
x y a +=与2
2
2
x z a +=.
只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以
z =,以四分之一圆域D
:
00,y x a ??≤≤?
≤≤??
为底的曲顶柱体,所以
2230012()83a a D
V dx a x dx a σ===-=??
于是3
163
V a =
. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.
2.2 二重积分的变量变换公式
定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由
按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy 平面上的闭区域
D ,函数
(),x x u v =,(,)y y u v =在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()()
,,0,x y J u v u v ?=≠?, (),u v ∈?,
则
()()()()(),,,,,D
f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ?
=????.
用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例2 求
x y x y
D
e
dxdy -+??,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.
解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2x u v =
+,1
()2
y u v =-,则 ()1
11
2
2,01122
2
J u v =
=>-. 即
111100111()2224x y u u v x y
v
v
v D
e e e
dxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-?
-==-=???????
例3 求抛物线2y mx =，2
y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ
(0,0)m n αβ<<<<．
解 D 的面积()D
D dxdy μ=
??．
为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =，u
y v
=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ?=?．
由于
()2
3
421
2,01u
u v v J u v u v v
v
-
=
=>-，(),u v ∈?， 所以
()()22334433()6n m D n m u
dv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ?
--====?????? 2.3 用极坐标计算二重积分
定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θ
θ=??
=?
0r ≤<+∞，
02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域?对应，则成立
()(),cos ,sin (,)D
f x y dxdy f r r J r drd θθθθ?
=????．
其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθ
θ
-=
=．
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为()
22
,f x y 时，采用该极坐标变
换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i ）若原点O D ?，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则?必可表示成
12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，
于是有
21()
()
(,)(cos ,sin )r r D
f x y dxdy d f r r rdr β
θα
θθθθ=??
??
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则?必可表示成
12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，
所以
221
1()
()
(,)(cos ,sin )r r r r D
f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=??
??
.
（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则?可表示成0()r r θ≤≤，
02θπ≤≤.
所以
2()
(,)(cos ,sin )r D
f x y dxdy d f r r rdr
πθθθθ=??
??
.
(iii)若原点O 在D 的边界上,则?为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是
()
(,)(cos ,sin )r D
f x y dxdy d f r r rdr βθα
θθθ=??
??
例4 计算2
2()
x
y D
I e d σ-+=??,其中D 为圆域: 222x y R +≤.
解 利用极坐标变换,由公式得
22
20
(1)R
r R I re dr e π
π--==-?
?
.
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
T ：cos sin x ar y br θ
θ
=??
=? 0r ≤<+∞，02θπ≤≤，
cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθ
θ
-=
=．
如求椭球体222
2221x y z a b c
++≤的体积时，就需此种变换．
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)D
f x y dxdy ??在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为底
的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分
(,)D
f x y dxdy ??的值就等于积分区域的面积．
例5
计算：D
I σ=，其中D ：22221x y a b +≤．
解
因为被积函数z =0≥，
所以I 表示D
为底的z =为顶的曲顶柱体体积．
由平行xoy 面的截面面积为
()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
1
01
(1)3
I ab z dz ab ππ=-=?
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算
2.51利用变量代换计算
设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}
(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当
x a =时，t α=；当x b =时，t β=。设(,)f x y 在D 上连续，且存在(,)P x y ，(,)x y D ∈使
得
(,)P
f x y y
?=?，则 '(,){[(),()][(),]}()D
f x y dxdy P t t P t c t dt β
α=Φψ-ΦΦ??
?
2.52利用格林公式计算
定理 若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
(
)L
D
Q P
d Pdx Qdy x y
σ??-=+?????
这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤：
（1）构造函数(,)P x y ，(,)Q x y 使Q x ??(,)P
f x y y
?-=?，但(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上应具有一阶连续偏导数；
（2）利用格林公式化曲线积分求之． 例6计算
34
D
x y dxdy ??，D 是由椭圆cos x a θ=，sin y b θ=所围成．
解法一（利用变量代换）设1D 为D 在第一象限，则
1
352
4
2
4
2535352
0444cos ,sin cos sin (sin )5564D D a b x y dxdy x y dxdy x y dx x a y b a b d ππθθθθθθ====-=??????作变换 解法二（利用格林公式）令2515P x y =-
，0Q =，则24P
x y y
?=-?，0Q x ?=?． 3522
4
2525
011(cos )(sin )(sin )5564L D
a b x y dxdy x y dx a b a d ππθθθθ=-=--=???? 2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法
2.71积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重积分满足下列性质：
1
0,(,)(,)2(,),(,)D
D
f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ?
?
=?????
??为关于（或）的奇函数为关于（或）的偶函数 其中1D 为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一． 例7 计算
(23)D
h x y dxdy --??，其中D 是由2
22x
y R +=所围成的闭区域．
解 由于积分区域D 关于x 轴、y 轴均对称性，只需考虑被积函数(,)23f x y h x y =--关于x 或y 的奇偶性．易见，(,)f x y 关于x 或y 既非奇函数，也非偶函数．若记()2f x x =-，
()3f y y =-，则(,)()()f x y h f x f y =++且()f x 为x 的奇函数，()f y 为y 的奇函数．由此
由性质１，有
4
1
12
20
00cos()cos()02
2
2cos()2cos()1
2
y
y D dxdy LDy y xx x y x y x y D D x y dxdy dy x y dx ππ
π
π
ππ
-=====
≤+=
≤++≤=+=+=
-????，
2
0D
hdxdy hR π=?? 故有
(,)D
f x y dxdy =??
()D
f x dxdy ??+
()D
f y dxdy ??
+
D hdxdy ??=D
hdxdy ??
=2
hR π
2.72积分区域关于某直线L 对称
性质２ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于L 对称，则二重积分满足下列性质：
1
0,(,)(,)2(,),(,)D
D f x y L f x y dxdy f x y dxdy f x y L ?
?
=?????
??为关于直线的奇函数为关于直线的偶函数
其中1D 为区域D 被L 所分割的两个对称子域之一． 例8 求，其中D 由直线0y =，y x =，2
x π
=
围成．
解 对任意(,)x y D ∈，有0x y π≤+≤．而当02
x y π
≤+≤
时，cos()0x y +≥．当
2
x y π
π≤+≤时，cos()0x y +≤．故作直线L ：2
x y π
+=
，把D 分成1D 和2D 两部分，而1
D 和2D 关于直线L 对称．又cos()x y +关于直线L 偶对称．故
}cos()D x y dxdy +??4
1
202cos()2cos()12
y
y D x y dxdy dy x y dx π
π
π
-=+=+=
-????
2.8 运用导数的定义求极限 例9 计算)0(ln )ln(lim
0>-+→h x
h
x h x
思路：对具有0
00
)
()(lim
x x x f x f x --→或h x f h x f h )()(lim 000-+→形式的极限，可由导数的定义来进行计算. 解：原式=h
x h x 1
|)'(ln =
= 2.9运用定积分的定义求极限]3[
例10
计算01lim 1cos
n n
→++ 思路：和式极限，利用定积分定义1001
1lim ()()n n i i
f f x n n →==∑?dx 求得极限.
解：原式
1
1
lim
2
n
n
i
n
x
dx
π
→
=
=
=
==
∑
?
?
2.10 运用微分中值定理求极限
例11：计算
sin
lim
sin
x x
x
e e
x x
→
-
-
思路：对函数()
f x在区间[sin,]
x x上运用拉格朗日中值定理，即可求得.
解：原式
lim1
eα
α→
==（其中α在[sin,]
x x区间内）
总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001.
[2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003.
[3]李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.
Calculation Method of Double Integral
（Class one of Grand 2010, Mathematics and Application Mathematics, School of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Georges University)
Abstract：The write sums up in this article several ways of exacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.
Key Words：function limit；computing method；L’Hospita l rules; four fundamental rules
二重积分的几种计算方法 二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下： 1) 画出积分区域D 的草图； 2) 求交点； 3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序； 5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。 一．二重积分的直接计算方法 所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数 max 0 max 0 (,)lim (,)i j i j x i j y f x y dxdy f x y x y ?→Ω ?→= ??∑∑?? 其中11,i i i j j j x x x y y y --?=-?=-，而其和为对所有j i ,，使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。 若域Ω有下面的不等式所给出 ,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤ 其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算 ???? Ω =b a x y x y j i dy y x f dx dxdy y x f ) () (21),(),( 例1. 计算??D xydxdy ，其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。 解: 积分区域D 如图1所示，有定义D 是简单区域，边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。 若选择先对y 积分，则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线，该线的与D 下边界交点在2x y =上，与D 上边界交点在x y =上，所求积分为 221 1 002x x x x D y xydxdy dx xydy x dx ?? ==??????????
1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即 {}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=?? ?? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 2 2 21221x x D y y dxdy dx dy x x =???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1
32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计 算，这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
第二节二重积分的计算 教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）重点：直角坐标和极坐标下二 重积分的计算。 难点：1、坐标系的选取。 2、直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。 课时安排：6学时。 教学法：讲授法 一?直角坐标下的计算: 1 ?计算方法 V z = f x y D: l.a, b\ lc, d 1 d 在点^x0处，薄片的体积：dv=Ax0dx A Xo j： _| f Xo,y dy C 2 b b b d b d V「a dv’a A x dx = ：a c f八 dy dx =?dx°f x, y dy d b =c dy a f x,y dx 2 z = f x y “ X - 型”区域：D: a _ x _ b, V x _ y _ 2 x 3 积分区域的要求： ①、“X-型”区域: A、特点：a乞x乞b, V x岂y乞2 x ; 在点X =x g处，薄片的体积： b b .V dv A x dx = -a y dv =A X。dx A & i kJ 'f b 2 X U )*(x, y My dx = J a dx【 x°,y dy i x b 2 x —1 x f X, y dy
A 、特点：c 乞x 乞d, ;: i y 乞x 乞；2 y ; ③、非“ X -型”非“丫 -型”： 变成“ X -型”和“ 丫-型”（将D 分块） 4 总结：穿刺法。 ② 、有无奇偶对称性 ③ 、交换积分次序： i 、 题目本有要求； ii 、 出现 e ax dx 或 Sinx dx ^ — dx; ' x 'I n x iii 、 二重积分恒等式证明。 ④ 、积分原则：与定积分计算基本一致； （对x 积分，视y 为常量，对y 积分，视x 为常量） ⑤ 、何时不得不将积分域 D 分块？穿入穿出不唯一。 3、例题分析： B 、限的确定： b Qf x \ ° f x,y d 、. =.a dx — f x,y dy. y ②、“ 丫一型”区 域: d c B 、限的确定：JJ f (x, y )d § = [ dy (x, y )dx. 2.计算中的技巧（问题）： ①、先画图； ..f x, y dxdy 二 D f x, y 关于x 奇，D 关于y 轴对称, f x, y 关于y 奇，D 关于x 轴对称; 2. f x, y dxdy, D i 丄关于x 偶, 关于y 偶, D 关于y 对称, D 关于x 对称.
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 （第1课时） 教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点：选择合适的方法计算二重积分. 教学方法：直观教学，启发式讲授. 教学过程： 一、利用直角坐标系计算二重积分 1．积分区域D的分类
（1）积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域 图3 图3，图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2．二重积分计算公式 （1）积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体（图5）的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1
1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区
域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为
三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)
这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d（详 细介绍见https://www.doczj.com/doc/3117047769.html,/viewthread.php?tid=873479），但没有一般区域三重 积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。 本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积 分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的 思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入 很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。 譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以 很容易用符号积分算出结果 1.syms x y 2.int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ] 3.结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 = -0.635412702399943 复制代码 如果你用的是2009a，你可以用 1.quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12) 复制代码 得到上述结果。 如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。 那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？ 答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化 形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码 1.function IntDemo 2.function f1 = myfun1(x) 3.f1 = zeros(size(x)); 4.for k = 1:length(x) 5.f1(k) = quadl(@(y) x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k))); 6.end 7.end 8.y = quadl(@myfun1,1,2) 9.end
计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法. 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法 1 引言 本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。 2 积分的计算方法 2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法 定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ?∈，定积分 ()(),d c I x f x y dy =?存在，则累次积分 (),b d a c f x y dy dx ?????? ??也存在，且(,)(,)b d a c R f x y dxdy f x y dy dx ??=???? ?? ?? 证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是 011011i i n k k m a x x x x x b c y y y y y d --=<