福建省福州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图，复平面上的点Z1、Z2、Z3、Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z的共轭复数所对应的点为（）
A．Z1B．Z2C．Z3D．Z4
2．（5分）已知tan（+α）=3，则tanα=（）
A．B．1C．D．2
3．（5分）已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值，若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）
A．8B．15 C．29 D．36
5．（5分）如图，若在矩形OABC中随机一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（） A ． A ． 60° B ． 75° C ． 90° D ．120°
9．（5分）若双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点（4，0）到其渐近线的距离为
2，则双曲线的离心率为（）
A ．
B ．
C ． 2
D ．4
10．（5分）定义运算“*”为：a*b=，若函数f （x ）=（x+1）*x ，则该函数的
图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（5分）已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），
O 为坐标原点，动点P 满足|
|=1，则|
+
+|的最小值是（）
A．4﹣2B．﹣1 C．+1 D．
12．（5分）已知直线l：y=ax+b与曲线F：x=+y没有公共点，若平行于l的直线与曲线F
有且只有一个公共点，则符合条件的直线l（）
A．不存在B．恰有一条C．恰有两条D．有无数条
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若变量想x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为．
14．（4分）已知（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0，a1，…，a6中的所有偶数的和等于．
15．（4分）已知椭圆x2+3y2=9的左焦点为F1，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点D是线段PF1的中点，则△F1OD的周长为．
16．（4分）若数列{a n}满足a n+1+a n﹣1≥2a n（n≥2），则称数列{a n}为凹数列．已知等差数列{b n}的公差为d，b1=2．且数列{}是凹数列，则d的取值范围为．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{2n?a n}的前n项和S n．
18．（12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）假定（1）中被邀请到的3个人中恰有两个接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．
19．（12分）已知函数f（x）=2sin（x）在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中
O为坐标原点，P为函数图象的最高点，Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点．（1）试判断△OPQ的形状，并说明理由．
（2）若将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角a（0＜a＜）时，顶点P，Q，恰好同时
落在曲线y=（x＞0）上（如图所示），求实数k的值．
20．（12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）
变化的函数关系式近似为y=m?f（x），其中f（x）=．
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
21．（12分）已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．
（1）求抛物线F的方程；
（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；
（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）
22．（14分）已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；
（2）?x1∈，?x2∈，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；
（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．
福建省福州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图，复平面上的点Z1、Z2、Z3、Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z的共轭复数所对应的点为（）
A．Z1B．Z2C．Z3D．Z4
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：分别设出复平面上的点Z1、Z2、Z3、Z4对应的复数，复数z所对应的点为Z1，由共轭复数的概念即可得到复数z的共轭复数所对应的点．
解答：解：复平面上的点Z1、Z2、Z3、Z4到原点的距离都相等，设为a，
则复平面上的点Z1、Z2、Z3、Z4对应的复数分别为：ai，﹣a，﹣ai，a，
若复数z所对应的点为Z1，则复数z的共轭复数所对应的点为Z3．
故选：C．
点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的概念题．
2．（5分）已知tan（+α）=3，则tanα=（）
A．B．1C．D．2
考点：两角和与差的正切函数．
专题：三角函数的求值．
分析：根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=3，解方程求得tanα的值．
解答：解：∵已知tan（α+）=3，
∴=3，解得tanα=，
故选：A．
点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
3．（5分）已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用真子集的定义以及充要条件判断即可．
解答：解：A?B，说明A是B的真子集，则“x∈A”一定有“x∈B”，反之不成立，所以A?B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
点评：本题考查真子集的定义以及充要条件的判断，基本知识的考查．
4．（5分）某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值，若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）
A．8B．15 C．29 D．36
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序框图，可知该程序的功能是利用条件结构，计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
解答：解：输入a=8后，满足进条件，则输出a=15，
输入a=15后，满足条件，则输出a=29，
输入a=29后，不满足条件，则输出a=8，
故第三次输出的值为8，
故选：A
点评：本题考查的知识点是程序框图，模拟运行法是解答此类问题常用的方法，要注意分析模拟过程中变量值的变化情况．
5．（5分）如图，若在矩形OABC中随机一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：求出图中阴影部分的面积为S=cosxdx=sinx=1，矩形的面积为，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．
解答：解：图中阴影部分的面积为S=cosxdx=sinx=1，矩形的面积为，
∴豆子落在图中阴影部分的概率为=，
故选：B．
点评：本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．．
6．（5分）已知函数f（x）=lg（1﹣x）的值域为（﹣∞，1]，则函数f（x）的定义域为（）A．，则lg（1﹣x）≤1，即有0＜1﹣x≤10，解得即可得到定义域．
解答：解：函数f（x）=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减，
由于函数的值域为（﹣∞，1]，
则lg（1﹣x）≤1，
则有0＜1﹣x≤10，
解得，﹣9≤x＜1．
则定义域为
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．
10．（5分）定义运算“*”为：a*b=，若函数f（x）=（x+1）*x，则该函数的图象大致是（）
A． B．
C．D．
考点：函数的图象．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：由题意，化简函数f（x）=（x+1）*x=，从而作其图象．解答：解：由题意，
f（x）=（x+1）*x=，
由题意作出其函数图象如下，
故选D．
点评：本题考查了函数的图象的作法与应用，属于中档题．
11．（5分）已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），
O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）
A．4﹣2B．﹣1 C．+1 D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆．
分析：设点P（x，y），则由动点P满足||=1，可得圆C：x2+（y+2）2=1，
根据|++|=，表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间
的距离．
显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得AC的值，则AC﹣1即为所求．
解答：解：设点P（x，y），则由动点P满足||=1，
可得x2+（y+2）2=1．
根据++的坐标为（+x，y+1），
可得|++|=，
表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间的距离．
显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，
求得AC=，
则|++|的最小值为AC﹣1=﹣1，
故选B．
点评：本题主要考查两点间的距离公式，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于中档题．
12．（5分）已知直线l：y=ax+b与曲线F：x=+y没有公共点，若平行于l的直线与曲线F
有且只有一个公共点，则符合条件的直线l（）
A．不存在B．恰有一条C．恰有两条D．有无数条
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：向量与圆锥曲线．
分析：由直线L和T无公共点，可知平移直线后直线与曲线F相切，即可得到结论．
解答：解：由曲线T：x=+y，得或．
∵直线L：y=ax+b与曲线T：x=+y没有公共点，
∴直线y=ax+b与双曲线的渐近线平行，
∴平移后直线y=ax+b与曲线F相切，
各有一条切线，
∴平行L的直线与曲线T有且只有一个公共点的直线有2条，
故选：C
点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断，利用条件转化切线问题是解决本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若变量想x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为﹣2．
考点：简单线性规划．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．
解答：解：由题意作出其平面区域，
将z=x+y化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，
故当过点（﹣2，0）时，有最小值，
z=x+y的最小值为z=﹣2+0=﹣2；
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．
14．（4分）已知（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0，a1，…，a6中的所有偶数的和等于32．
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题；二项式定理．
分析：分别取x=1、﹣1求出代数式的值，然后相加计算即可得解．
解答：解：x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=（1+1）6=64①，
x=﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=0②，
①+②得，2（a0+a2+a4+a6）=64，
所以，a0+a2+a4+a6=32．
故答案为：32．
点评：本题考查了代数式求值，根据系数特点x取三个特殊值并求出系数的和是解题的关键．
15．（4分）已知椭圆x2+3y2=9的左焦点为F1，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点D是线段PF1的中点，则△F1OD的周长为3+．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由椭圆的方程求出a、b、c，画出图形，利用椭圆的性质以及椭圆的定义，求解即可．
解答：解：椭圆x2+3y2=9，可得a=3，b=，∴c=．由题意可知如图：
连结PF2，点D是线段PF1的中点，可得OD PF2，
有椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，
∴|DF1|+|DO|=a=3．
△F1OD的周长为：a+c=3+．
故答案为：3+．
点评：本题考查椭圆的解答性质的应用，椭圆的定义的应用，考查计算能力．
16．（4分）若数列{a n}满足a n+1+a n﹣1≥2a n（n≥2），则称数列{a n}为凹数列．已知等差数列{b n}的公差为d，b1=2．且数列{}是凹数列，则d的取值范围为（﹣∞，2]．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：求出b n=2+（n﹣1）d，利用数列{}是凹数列，结合新定义，求出d的取值范围．
解答：解：∵等差数列{b n}的公差为d，b1=2，
∴b n=2+（n﹣1）d，
∵数列{}是凹数列，
∴+≥×2，
∴d≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
点评：本题考查等差数列的通项，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{2n?a n}的前n项和S n．
考点：数列的求和；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）依题意，易求a1=1，a2=2，从而得q=2，于是可得数列{a n}的通项公式；
（2）由（1）知2n?a n=n?2n，S n=1×2+2×22+…+n×2n，利用错位相减法即可求得数列{2n?a n}的前n项和S n．
解答：解：（1）方程x2﹣3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分）
依题意得a1=1，a2=2，…（2分）
所以q=2，…（3分）
所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；…（4分）
（2）由（1）知2n?a n=n?2n，…（5分）
所以S n=1×2+2×22+…+n×2n，①
2?S n=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n×2n+1，②
由①﹣②得：
﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，…（8分）
即﹣S n=﹣n×2n+1，…（11分）
所以S n=2+（n﹣1）?2n+1…（12分）
点评：本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基本知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．
18．（12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）假定（1）中被邀请到的3个人中恰有两个接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）由已知得每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是，由此能求出这3个人中至少有2个人接受挑战的概率．
（Ⅱ）X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，由此得X～B（6，），从而能求出
X的分布列和数学期望．
解答：解：（1）∵每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，
∴每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是，
设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则P（M）==．
（Ⅱ）∵X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，∴X～B（6，），
P（X=0）=，P（X=1）=，
P（X=2）=，P（X=3）=，
P（X=4）=，P（X=5）=，
P（X=6）=，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
∴EX=+=3．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．
19．（12分）已知函数f（x）=2sin（x）在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中
O为坐标原点，P为函数图象的最高点，Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点．（1）试判断△OPQ的形状，并说明理由．
（2）若将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角a（0＜a＜）时，顶点P，Q，恰好同时
落在曲线y=（x＞0）上（如图所示），求实数k的值．
考点：正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）先求函数f（x）的周期，从而可求|OQ|，由P为函数图象的最高点，可得|OP|的值，又由Q坐标，可求|PQ|，从而可证△OPQ为等边三角形．
（2）由|OP|=|OQ|=4，得点P′，Q′的坐标分别为（4cos（），4sin（）），（4cosα，4s inα），由，可解得sin2α=．从而可得所求实数k
的值．
解答：解：（1）△OPQ为等边三角形．
理由如下：
∵函数f（x）=2sin（x），
∴T==8，∴函数f（x）的半周期为4，
∴|OQ|=4，
∵P为函数图象的最高点，
∴点P的坐标为（2，2），∴|OP|=4
又∵Q坐标为（4，0），∴|PQ|==4，
∴△OPQ为等边三角形．
（2）由（1）知，|OP|=|OQ|=4，
∴点P′，Q′的坐标分别为（4cos（），4sin（）），（4cosα，4sinα），
∵点P′，Q′在函数y=（x＞0）的图象上，
∴
∴
消去k得，sin2α=sin（2α），
∴sin2α=sin2αcos+cos2αsin
∴sin2α=cos2α
∴tan2α=
∵0＜a＜
∴2α=
∴sin2α=．
∴k=4．即所求实数k的值为4．
点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，反比例函数的性质，二倍角公式等基础知识，考察运算能力，考察数形结合思想，化归与转化思想，函数与方程思想，属于中档题．
20．（12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）
变化的函数关系式近似为y=m?f（x），其中f（x）=．
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
考点：函数模型的选择与应用；函数恒成立问题；分段函数的应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1将m=3代入得y=；从而解不等式即可．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4﹣x）+m=8﹣x+，即8﹣x+≥2对6≤x≤8恒成立，即
m≥对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．
解答：解：（1）∵m=3，∴y=；
当0≤x＜6时，＞=3＞2；
当6≤x≤8时，12﹣x≥2得，x≤；
故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4﹣x）+m
=8﹣x+，
∵8﹣x+≥2对6≤x≤8恒成立，
故m≥对6≤x≤8恒成立，
令g（x）=，
则g（x）在上是增函数，
故g max（x）=；
故m≥；
故m的最小值为．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．
（1）求抛物线F的方程；
（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；
（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）设出抛物线的方程，根据焦点的坐标，求出抛物线的方程健康；
（2）设出切点坐标，得到方程组，分别用斜率表示切点的横坐标，设出定点的坐标并求出定点的坐标，从而得证，
（3）根据（2）的条件和结论写出即可．
解答：解：（1）由题意设抛物线的方程为：x2=2py，（p＞0），
由焦点为F（0，1）可知=1，∴p=2，
∴所求抛物线方程为：x2=4y；
（2）设切点A、B坐标为（x1，），（x2，），设P（m，﹣1），
易知直线PA、PB斜率必存在，
可设过点P的切线方程为：y+1=k（x﹣m），
由，消去y并整理得：x2﹣4kx+4（km+1）=0，…①，
∵切线与抛物线有且只有一个交点，
∴△=（4k）2﹣16（km+1）=0，整理得：k2﹣mk﹣1=0，…②，
∴直线PA、PB的斜率k1，k2为方程②的两个根，故k1?k2=﹣1，
由△=0可得方程①的解为x=2k，
∴x1=2k1，x2=2k2，
假设存在一定点，使得直线AB恒过该定点，
则由抛物线对称性可知该定点必在y轴上，
设该定点为C（0，c），
则=（x1，﹣c），=（x2，﹣c），
∴∥，
∴x1（﹣c）﹣（﹣c）x2=0，
∴c（x1﹣x2）=（x2﹣x1），
∴x1≠x2，
∴c=﹣=﹣=1，
∴直线AB过定点（0，1），
（3）若点P为直线l：y=t（t＜0）上的任意一点，过点P作抛物线F：x2=2py（p＞0）的切线PA、PB的切点分别是A、B，
则直线AB恒过定点（0，﹣t）．
点评：本题考查了抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．
22．（14分）已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；
（2）?x1∈，?x2∈，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；
（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；
（2）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；
（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x ＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．
解答：解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，
理由如下：∵f（x）=e x sinx﹣cosx，
∴f′（x）=e x（sinx+cosx）+sinx，
∵x∈（0，），
∴f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（0，）上单调递增，
∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，
根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1．
（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，
∴f（x1）≥m﹣g（x2），
∴f（x1）min≥min，
∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，
∴f（x）min≥f（0）=﹣1，
∵g（x）=xcosx﹣e x，
∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，
∵x∈，
∴0≤cosx≤1，xsinx≥0，e x≥，
∴g′（x）≤0，
∴函数g（x）在上单调递减，
∴g（x）max≥g（0）=，
∴﹣1≥m+，
∴m≤﹣1﹣，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣）；
（3）x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，
只要证f（x）＞g（x），
只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，
只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，
由于sinx+＞0，x+1＞0，
只要证＞，
下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，
令h（x）=，x＞﹣1，
∴h′（x）=，x＞﹣1，
当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（0）=1
令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，
∴直线AB的方程为y=k（x+），
由于点A在圆x2+y2=1上，
∴直线AB与圆相交或相切，
当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，
∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，
综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．
点评：本题考查了函数零点存在性定理，导数和函数的最值的关系，以及切线方程，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．注意认真体会（3）问中几何中切线的应用，属于难题．
2020年高三数学上期末试卷(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．数列{}n a 满足() 11n n n a a n ++=-?，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100 C ．-110 D ．110 3．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10 5 S S 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．33 D ．－31 5．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967 a a a a +=+ A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．已知01x <<，01y <<，则 ()() () ()2 2 2 2 22221111x y x y x y x y +++-+-++ -+-的最小值为（ ） A ．5 B ．22 C ．10 D ．23 7．已知数列{}n a 中，( )111,21,n n n a a a n N S * +==+∈为其前n 项和，5 S 的值为（ ） A ．63 B ．61 C ．62 D ．57 8．在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a = ， 7 cos 8 A = ，则ABC ?的面积为（ ） A ．17 B ．3 C ．15 D ． 15 9．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶 B 处分别测得仰角为=60βo ，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2） 一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分) 1．复数2 2 )1(i i += 2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖块。 3．若不等式121 +-≥+ a x x 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是______； 4．已知关于x 的不等式12011x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ． 二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5．在ABC ?中，已知2 2 2 a b c ab +-=，且sin() 2cos sin A B A B +=， (1)求C ∠的大小; (2)证明ABC ?是等边三角形. 第1个 第2个 第3个
6．先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题： 若123 123,,,1a a a R a a a ∈++=,则22212313 a a a ++≥. 证明:构造二次函数2 2 2 123()()()()0,f x x a x a x a =-+-+-≥将()f x 展开得： 2222123123()32()f x x a a a x a a a =-+++++2222 12332x x a a a =-+++ 对一切实数x 恒有()0f x ≥，且抛物线的开口向上 222 123412()0a a a ∴?=-++≤，22212 313 a a a ∴++≥． （1）类比猜想： 若1212,, ,,1n n a a a R a a a ∈+++=,则22 2 12n a a a ++ +≥． （在横线上填写你的猜想结论） （2）证明你的猜想结论． 7．某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有 10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖． （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从 盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是 15 2 ，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求 ξ的分布列及ξE ．
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题 1. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合为（） A . [1，2） B . （1，3] C . [1，2] D . （2，3] 2. 若复数z 满足z（1+i）=﹣2i（i为虚数单位），是z 的共轭复数，则?z=（） A . B . C . 2 D . 1 3. 已知函数的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（） A . g（x）为奇函数 B . 关于直线对称 C . 关于点（π，0）对称 D . 在上递增 4. 设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A . B . C . D . 5. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）
A . ， B . ， C . ， D . ， 6. 《九章算术?均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（） A . 钱 B . 钱 C . 钱 D . 钱 7. 已知函数f（x）= ，则函数y=f （1﹣x）的大致图象是（） A . B . C . D . 8. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
第一学期期中检测试卷 高 三 数 学（理） 考试时间：120分钟 试卷分值：150 分 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{} (5)4A x x x =-，{}|B x x a =≤，若A B B ?=，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. (,1)-∞- D. (1,)+∞ 3.已知1sin 123πα?? - = ? ? ?，则17cos 12πα? ? + ?? ? 的值等于（ ） A. 13 B. 3 C. 13- D. 3 - 4.若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20192019log log a b > B. log log c b a a > C. ()()c b c b a c b a ->- D. ()()c b a c a a c a ->- 5.在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则 (1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）
A. 2[1,]3 - B. 1[1,]3 - C. [1,1]- D. 1[,1]3 7.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且AM ?????? =45 AB ????? ，连接 ,AC MN 交于P 点，若AP ????? =411 AC ????? ，则点N 在AD 上的位置为（ ） A. AD 中点 B. AD 上靠近点D 的三等分点 C. AD 上靠近点D 的四等分点 D. AD 上靠近点D 的五等分点 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 16 3 C. 7 D. 173 9.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ） A. 32k < B. 33k < C. 64k < D. 65k < 10.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12 π 个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[ ,]63ππ上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调递减，则实数ω的值
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
2020-2021高三数学上期末试题(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C ．2 D ． 22 3．已知在 中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且， ， ，则 的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤?? +≥??≥-? ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 7．数列{}n a 中，对于任意,m n N * ∈，恒有m n m n a a a +=+，若11 8 a = ，则7a 等于( ) A ． 7 12 B ． 7 14 C ． 74 D ． 78 8．设实数,x y 满足242210 x y x y x -≤??+≤??-≥? ，则1 y x +的最大值是（ ） A ．-1 B ． 12 C ．1 D ．32 9．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足 sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =
数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题）
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
高三数学上册期末试卷 一、填空题（4x12=48分） 1．若函数()2 x f x x = +的反函数是y f x =-1 ()，则f -?? ???=113________________ 2．方程2 lg x 2lg x 3=0--的解集是________ 3．在等比数列{}n a 中，4732 a a π=，则()38sin a a =___________ 4．在无穷等比数列{a n }中，n n n n T a a a a T q a ∞→++++===lim ,,2 1,1222624221则记Λ等于 ____________ 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()21A ， ，()x,y B 若点B 满足OA AB ⊥u u u r u u u r ，则点B 的轨迹方程为____________ 6．在ABC ?中，43 AB B π == ，，ABC ?AC =______ 7．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外15人选修B 课程，其它人不选任何课 程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为_________ 8．用一张长宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱的侧面，则四棱柱的对角线长为 9．（理）若3y x π =+，则sinx ·siny 的最小值为___________ （文）sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α,β在第三象限，则cos β= 10．将正奇数按如下规律填在5列的数表中： 则xx 排在该表的第 行，第 列 （行是从上往下数，列是从左往右数） 11．已知函数b ax x a x f +++=2 )((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b 应满足的条件________________________________ 12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ?? += ??? 且()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____________________ （用()()a ,b H H 的代数式表示）；
黄州区一中高三理科数学综合测试题（十二） 命题：杨安胜 审题：高三数学组 考试时间：-11-20 第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，且， ，，设，则（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2．已知函数()f x 是奇函数，当0,()(01)x x f x a a a >=>≠时且，且12 (log 4)3,f =- 则a 的值为（ ） A ．3 B ．3 C ．9 D ． 3 2 3．如右图，在ABC ?中，||||BA BC =，延长CB 到D ，使 ,AC AD AD AB AC λμ⊥=+若，则λμ-的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．-1 D ．2 4．若0a 2≠=b ，，且，则向量与的夹角为( ) A 30° B 60° C 120° D 150° 5．等差数列{}n a 中，386,16,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若12 11 1n n T S S S = +++ ，则952 T 最接近的整数是 （ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 6．已知函数3 2 2 ()23f x x ax ax a =+-+，且在()f x 图象上点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是 （ ） A ．（-1，1） B ．2 (,1)3 C ．2(,1)3 - D ．2(1,)3 - 7．将函数2()1cos 22sin ()6 f x x x π =+--的图象向左平移(0)m m >个单位后所得的图象 关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A ． 6 π B ． 12π C ． 3 π D ． 2 π 8．已知定义域为R 的函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） {}{}{} Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈+==∈==,13,,13,,3M a ∈N b ∈P c ∈c b a d +-=M d ∈N d ∈P d ∈b a c +=a c ⊥a b )(x f 1)1(=f )(x f ()2 1 < 'x f 2 1 2)(+< x x f
【常考题】高三数学上期末试卷(带答案) 一、选择题 1．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3 A b π ==ABC ?则a 的值为（ ） A ．2 B C ． 2 D ．1 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C D ． 2 3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ?< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 6．在ABC ?中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3 cos 5 A =，则sin B =（ ） A ． 25 B ． 35 C ． 45 D ． 85 7．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且 2 S =，则A 等于（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 8．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则 cos2A =（ ） A ．78 B ． 18 C ．78 - D ．18 - 9．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56
2018年师大附中、临川一中高三联考数学试卷（理科） 时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（每小题5分，共50分） 1．已知集合{|014}A x N x =∈<-<，2{|560}B x Z x x =∈-+=,则下列结论中不正确的是（ ） A.R R C A C B ? B.A B B = C.()R A C B =? D.()R C A B =? 2. 已知数列{}n a 的通项为83+=n a n ，下列各选项中的数为数列{}n a 中的项的是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．36 3、 函数x xa y x =(01)a <<的图象的大致形状是 ( ) 4．设函数x x x f 3)(3+=)(R x ∈，若2 0π θ≤ ≤时，)1()sin (m f m f -+θ＞0恒成 立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（－∞，0） C ．（－∞，1 2） D ．（－∞，1） 5．如图，△ABC 中，GA GB GC O ++= ，CA a = ， =. 若CP ma = ，CQ nb = .H PQ CG = ， 2=，则11 m n +=（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 6．数列{}n a 满足121 1,,2 a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第 2010项为（ ） A . 10012 B .20102 1 C .20101 D . 1100 7.对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,[ 1.08]2π=-=-．如 A C B G H Q P
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1 ?答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2?回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ?考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1?已知集合 A={x|x<1}, B={x|3x 1},则 A. AI B {x|x 0} B. AU B R C. AU B {x|x 1} D. AI B 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图， 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 3.设有下面四个命题 1 P 1 :若复数z 满足一R ，则z R ; z P 2 :若复数z 满足z 2 R ，则z R ; P 3 :若复数 w, Z 2满足 Z 1Z 2 R ，贝y Z 1 z 2 ; P 4 :若复数z R ，则z R . 其中的真命题为 绝密★启用前 的中心成中心对称 A. B.n D.
A.10 B.12 C.14 D.16 8?右面程序框图是为了求出满足 填入 3n -2n >1000的最小偶数 n ,那么在 两个空白框中，可以分别 A. P l , P 3 B.P l ,P 4 C.P 2，P 3 D. P 2, P 4 4.记S n 为等差数列｛aj 的前n 项和.若a 4 24 , S 4 8，则｛a n ｝的公差为 A . 1 B . 2 C . 4 D . 8 5 .函数f (x)在( ,)单调递减，且为 奇函数?若 f (1) 1 , 则满足1 f(x 2) 1的x 的取值范 围 是 A . [ 2,2] B . [ 1,1] C . [0,4] D . [1,3] 1 6 2 6.(1 —)(1 x)展开式中x 的系数为 x A. 15 B.20 C.30 D.35 7?某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
烟台2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合題目要求的。 1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B= A.{x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0} 2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是 A.《 B.x∈R, X2-X+1≤0 B. x∈R, x2-x+1<0 C. x∈R, x2-x+l<0 D. x∈R, x2-x+l≤0 3.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为 A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 河南省开封市 —高三第一次模拟考试 数 学 试 题（理） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。 参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式 ])()()[(1 22221x x x x x x n S n -++-+-= Sh V 3 1= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 Sh V = 323 4 ,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。） 1．若2 2 2 {|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （ ） A ．[0 B ．{1111}（,）,(-,) C ． D ．[ 2．已知i 为虚数单位，复数121i z i +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a = （ ） A ．38()2 n B ．28()3 n C ．138()2n - D ．128()3 n - 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设i i i z 211++-=，则=z A.0 B. 2 1 C.1 D.2 2. 已知集合{ } 02|2 >--=x x x A ，则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>- 线方程为 A.x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 6.在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 43 41- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4 341+ 7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A.172 B.52 C.3 D.2 8.设抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为 3 2 的直线与C 交于N M ,两点，则=?FN FM A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=?? ?>≤=,0 ,ln 0 ,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,，ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,,p p p ，则 A B 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2高三数学理科一模试卷及答案
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