§１２．５二项分布
１．条件概率
在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）>0）．
２．相互独立事件
（１）一般地，对于两个事件A，B，如果有P（AB）＝P（A）P（B），则称A、B相互独立．（２）如果A、B相互独立，则A与错误!、错误!与B、错误!与错误!也相互独立．
（３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有：P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
（１）每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”；
（２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p；
（３）各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验成功的次数，则
P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n）
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）．
１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（×）
（２）相互独立事件就是互斥事件．（×）
（３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．
（×）
（４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝
１—p. （×）
２．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案A
解析P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.
３．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为错误!，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是
（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案B
解析独立重复试验B（４，错误!），
P（k＝２）＝C错误!（错误!）２（错误!）２＝错误!.
４．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________．
答案0．１２8
解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率P＝１×0．２×0．8×0．8＝0．１２8．
５．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!，
且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为______________．
答案错误!
解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC错误!，且A，C，错误!之间彼此独立，且P（A）＝P（错误!）＝P（C）＝错误!.
所以P（A错误!C）＝P（A）P（错误!）P（C）＝错误!.
题型一条件概率
例１在１00件产品中有9５件合格品，５件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．
思维启迪直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型．
答案错误!
解析方法一设A＝{第一次取到不合格品}，
B＝{第二次取到不合格品}，则P（AB）＝错误!，
所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.
方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有４件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为错误!.
思维升华条件概率的求法：
（１）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝错误!.这是通用的求条件概率的方法．（２）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝错误!.
从１,２,３,４,５中任取２个不同的数，事件A＝“取到的２个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的２个数均为偶数”，则P（B|A）等于（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案B
解析P（A）＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!，
P（B|A）＝错误!＝错误!.
题型二相互独立事件的概率
例２（２0１２·重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球３次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为错误!，乙每次投篮投中的概率为错误!，且各次投篮互不影响．
（１）求乙获胜的概率；
（２）求投篮结束时乙只投了２个球的概率．
思维启迪将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解．
解设A k、B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则P（A k）＝错误!，P（B k）＝错误!（k＝１,２,３）．
（１）记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
P（C）＝P（错误!B１）＋P（错误!错误!错误!B２）＋P（错误!错误!错误!错误!错误!B３）
＝P（错误!）P（B１）＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B２）
＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B３）
＝错误!×错误!＋错误!２错误!２＋错误!３错误!３＝错误!.
（２）记“投篮结束时乙只投了２个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P（D）＝P（错误!错误!错误!B２）＋P（错误!错误!错误!错误!A３）＝P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B２）＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）·P（A３）＝错误!２错误!２＋错误!２错误!２×错误!＝错误!.
思维升华相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相应的公式计算求解．
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0．8，计算：
（１）两人都击中目标的概率；
（２）其中恰有一人击中目标的概率；
（３）至少有一人击中目标的概率．
解记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有１人击中目标”是A错误!∪错误!B；“至少有１人击中目标”是AB∪A错误!∪错误!B.
（１）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，∴P（AB）＝P（A）·P（B）＝0．8×0．8＝0．6４．
（２）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即A错误!），另一种是甲未击中乙击中（即错误!B）．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A错误!与错误!B是互斥的，所以所求概率为P＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）·P（错误!）
＋P（错误!）·P（B）＝0．8×（１—0．8）＋（１—0．8）×0．8＝0．１6＋0．１6＝0．３２．（３）“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P（AB）＋[P（A错误!）＋P（错误!B）]＝0．6４＋0．３２＝0．96．
题型三二项分布
例３乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局４胜制（即先胜４局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（１）求甲以４比１获胜的概率；
（２）求乙获胜且比赛局数多于５局的概率；
（３）求比赛局数的分布列．
思维启迪本题主要考查二项分布，解题关键是正确判断是不是服从二项分布及正确应用概率计算公式．
解（１）由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是错误!.
记“甲以４比１获胜”为事件A，
则P（A）＝C错误!（错误!）３（错误!）４—３·错误!＝错误!.
（２）记“乙获胜且比赛局数多于５局”为事件B.乙以４比２获胜的概率为
P１＝C错误!（错误!）３（错误!）５—３·错误!＝错误!，
乙以４比３获胜的概率为
P２＝C错误!（错误!）３（错误!）6—３·错误!＝错误!，
所以P（B）＝P１＋P２＝错误!.
（３）设比赛的局数为X，则X的可能取值为４,５,6,7．
P（X＝４）＝２C错误!（错误!）４＝错误!，
P（X＝５）＝２C错误!（错误!）３（错误!）４—３·错误!＝错误!，
P（X＝6）＝２C错误!（错误!）３（错误!）５—３·错误!＝错误!，
P（X＝7）＝２C错误!（错误!）３（错误!）6—３·错误!＝错误!.
比赛局数的分布列为
X４５67
P错误!错误!错误!错误!
思维升华P n （k）＝C错误!p k（１—p）n—k的三个条件：１在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；２n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；３该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
（２0１３·山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜３局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是错误!外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是错误!.假设各局比赛结果相互独立．
（１）分别求甲队以３∶0,３∶１,３∶２胜利的概率；
（２）若比赛结果为３∶0或３∶１，则胜利方得３分，对方得0分；若比赛结果为３∶２，则胜利方得２分，对方得１分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解（１）设“甲队以３∶0,３∶１,３∶２胜利”分别为事件A，B，C，
则P（A）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
P（B）＝C错误!错误!２×错误!×错误!＝错误!，
P（C）＝C错误!错误!２×错误!２×错误!＝错误!.
（２）X的可能的取值为0,１,２,３．
则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝错误!，P（X＝１）＝P（C）＝错误!，
P（X＝２）＝C错误!×错误!２×错误!２×错误!＝错误!，
P（X＝３）＝错误!３＋C错误!错误!２×错误!×错误!＝错误!.
∴X的分布列为
X0１２３
P错误!错误!错误!错误!
∴EX＝0×错误!＋１×错误!
对二项分布理解不准致误
典例：（１２分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到
红灯的事件是相互独立的，并且概率都是错误!.
（１）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（２）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．
易错分析由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成错误!”．
规范解答
解（１）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为错误!，且每次试验结果是相互独立的，
故X～B错误!. [２分]
所以X的分布列为P（X＝k）＝C错误!错误!k·错误!6—k，k＝0,１,２,３,４,５,6．
[５分]
（２）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,１,２,３,４,５,6．其中：{Y＝k}（k＝0,１,２,３,４,５）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋１个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．[7分]
P（Y＝k）＝（错误!）k·错误!（k＝0,１,２,３,４,５），而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P（Y＝6）＝（错误!）6，[9分]
因此Y的分布列为
[１２分]温馨提醒（１）二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事
件又在相同的条件之下重复发生．
（２）独立重复试验中的概率公式P n（k）＝C错误!p k（１—p）n—k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与（１—p）的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.
方法与技巧
１．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P（A|B）＝错误!＝错误!，其中，在实际应用中P（A|B）＝错误!是一种重要的求条件概率的方法．
２．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P（AB）＝P（A）P（B）．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
３．二项分布概率概型中，事件A恰好发生k次可看做是C错误!个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与n—k个错误!事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k（１—p）n—k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为
C错误!p k（１—p）n—k.
失误与防范
１．运用公式P（AB）＝P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．
２．二项分布概率概型中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件．
A组专项基础训练
（时间：４0分钟）
一、选择题
１．已知A，B是两个相互独立事件，P（A），P（B）分别表示它们发生的概率，则１—P（A）P（B）是下列哪个事件的概率（）
Ａ．事件A，B同时发生
Ｂ．事件A，B至少有一个发生
Ｃ．事件A，B至多有一个发生
Ｄ．事件A，B都不发生
答案C
解析P（A）P（B）是指A，B同时发生的概率，１—P（A）·P（B）是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
２．设随机变量X～B（２，p），Y～B（４，p），若P（X≥１）＝错误!，则P（Y≥２）的值为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案B
解析P（X≥１）＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝C错误!p（１—p）＋C错误!p２＝错误!，解得p＝错误!.
（0≤p≤１，故p＝错误!舍去）．
故P（Y≥２）＝１—P（Y＝0）—P（Y＝１）＝１—C错误!×（错误!）４—C错误!×错误!×（错误!）３＝错误!.
３．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案D
解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为错误!，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为错误!×错误!＝错误!，故甲队获得冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.４．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是错误!.质点P移动五次后位于点（２,３）的概率是
（）Ａ．错误!５Ｂ．C错误!错误!５
Ｃ．C错误!错误!３Ｄ．C错误!C错误!错误!５
答案B
５．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案B
解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，
则P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）
＝错误!×（１—错误!）＋（１—错误!）×错误!＝错误!.
二、填空题
6．明天上午李明要参加校运动会，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0．80，乙闹钟准时响的概率是0．90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．答案0．98
解析１—0．２0×0．１0＝１—0．0２＝0．98．
7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为错误!，则该队员每次罚球的命中率为________．
答案错误!
解析设该队员每次罚球的命中率为p（其中0 8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9，服用这种新药的有甲、乙、丙３位病人，且各人之间互不影响，有下列结论： １３位病人都被治愈的概率为0．9３； ２３人中的甲被治愈的概率为0．9； ３３人中恰有２人被治愈的概率是２×0．9２×0．１； ４３人中恰好有２人未被治愈的概率是３×0．9×0．１２； ５３人中恰好有２人被治愈，且甲被治愈的概率是0．9２×0．１． 其中正确结论的序号是________．（把正确的序号都填上） 答案１２４ 三、解答题 9．如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为１∶１∶２．某同学 向该靶投掷３枚飞镖，每次１枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投 中靶内各点是随机的． （１）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率； （２）设X表示该同学在３次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列； （３）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得３分，２分，１分，求他投掷３次恰好得４分的概率． 解（１）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P（A），依题意，P（A）＝错误!. （２）依题意知，X～B（３，错误!），从而X的分布列为 X0１２３ P错误!错误!错误!错误! （３）设B i表示事件“第i i i次击中目标时，击中C 区域”，i＝１,２,３． 依题意知P＝P（B１C２C３）＋P（C１B２C３）＋P（C１C２B３）＝３×错误!×错误!×错误!＝错误!.１0．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为错误!与p，且乙投球２次均未命中的概率为错误!. （１）求乙投球的命中率p； （２）求甲投球２次，至少命中１次的概率； （３）若甲、乙两人各投球２次，求共命中２次的概率． 解（１）方法一设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B. 由题意得（１—P（B））２＝（１—p）２＝错误!， 解得p＝错误!或p＝错误!（舍去）， 所以乙投球的命中率为错误!. 方法二设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B. 由题意得：P（错误!）P（错误!）＝错误!， 于是P（错误!）＝错误!或P（错误!）＝—错误!（舍去）． 故p＝１—P（错误!）＝错误!. 所以乙投球的命中率为错误!. （２）方法一由题设知，P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!. 故甲投球２次，至少命中１次的概率为 １—P（错误!·错误!）＝错误!. 方法二由题设知，P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!. 故甲投球２次，至少命中１次的概率为 C错误!P（A）P（错误!）＋P（A）P（A）＝错误!. （３）由题设和（１）知， P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!，P（B）＝错误!，P（错误!）＝错误!. 甲、乙两人各投球２次，共命中２次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中２次，乙２次均不中； 甲２次均不中，乙中２次． 概率分别为C错误!P（A）P（错误!）C错误!P（B）P（错误!）＝错误!， P（A）P（A）P（错误!）P（错误!）＝错误!， P（错误!）P（错误!）P（B）P（B）＝错误!. 所以甲、乙两人各投球２次，共命中２次的概率为 错误!＋错误!＋错误!＝错误!. B组专项能力提升 （时间：３0分钟） １．某种元件的使用寿命超过１年的概率为0．6，使用寿命超过２年的概率为0．３，则使用寿命超过１年的元件还能继续使用的概率为（） Ａ．0．３Ｂ．0．５Ｃ．0．6 Ｄ．１ 答案B 解析设事件A为“该元件的使用寿命超过１年”，B为“该元件的使用寿命超过２年”，则P（A） ＝0．6，P（B）＝0．３． 因为B?A，所以P（AB）＝P（B）＝0．３，于是P（B|A）＝错误!＝错误!＝0．５． ２．如图，用K、A１、A２三类不同的元件连接成一个系统．当K正常 工作且A１、A２至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、 A１、A２正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为（）Ａ．0．960 Ｂ．0．86４ Ｃ．0．7２0 Ｄ．0．５76 答案B 解析方法一由题意知K，A１，A２正常工作的概率分别为P（K）＝0．9，P（A１）＝0．8，P（A ）＝0．8， ２ ∵K，A１，A２相互独立， ∴A１，A２至少有一个正常工作的概率为P（错误!A２）＋P（A１错误!２）＋P（A１A２）＝（１—0．8）×0．8＋0．8×（１—0．8）＋0．8×0．8＝0．96． ∴系统正常工作的概率为P（K）[P（错误!A２）＋P（A１错误!２）＋P（A１A２）]＝0．9×0．96＝0．86４． 方法二A１，A２至少有一个正常工作的概率为１—P（错误!１错误!２）＝１—（１—0．8）（１—0．8）＝0．96， ∴系统正常工作的概率为P（K）[１—P（错误!１错误!２）]＝0．9×0．96＝0．86４． ３．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占３0%，甲厂产品的合格率是9５%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________． 答案0．66５ 解析记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P（A）＝0．7，P（B|A）＝0．9５． ∴P（AB）＝P（A）·P（B|A）＝0．7×0．9５＝0．66５． ４．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由 下落．小球在下落的过程中，将３次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是错误!， 则小球落入A袋中的概率为________． 答案错误! 解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下， 故P（B）＝错误!３＋错误!３＝错误!， 从而P（A）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!. ５．甲罐中有５个红球，２个白球和３个黑球，乙罐中有４个红球，３个白球和３个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A１，A２和A３表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号） １P（B）＝错误!；２P（B|A１）＝错误!；３事件B与事件A１相互独立；４A１，A２，A３是两两互斥的事件；５P（B）的值不能确定，因为它与A１，A２，A３中究竟哪一个发生有关． 答案２４ 解析P（B）＝P（BA１）＋P（BA２）＋P（BA３） ＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，故１５错误； ２P（B|A１）＝错误!＝错误!，正确； ３事件B与A１的发生有关系，故错误； ４A１，A２，A３不可能同时发生，是互斥事件，正确． 6．（２0１３·辽宁）现有１0道题，其中6道甲类题，４道乙类题，张同学从中任取３道题解答．（１）求张同学至少取到１道乙类题的概率； （２）已知所取的３道题中有２道甲类题，１道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是错误!，答对每道乙类题的概率都是错误!，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望． 解（１）设事件A＝“张同学所取的３道题至少有１道乙类题”，则有错误!＝“张同学所取的３道题都是甲类题”． 因为P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（错误!）＝错误!. （２）X所有的可能取值为0,１,２,３． P（X＝0）＝C错误!·错误!0·错误!２·错误!＝错误!； P（X＝１）＝C错误!·错误!１·错误!１·错误!＋C错误!错误!0·错误!２·错误!＝错误!；P（X＝２）＝C错误!·错误!２·错误!0·错误!＋C错误!错误!１·错误!１·错误!＝错误!；P（X＝３）＝C错误!·错误!２·错误!0·错误!＝错误!. 所以X的分布列为 所以EX＝0×错误!＋１× 社会统计学讲义（卢淑华） 第一章社会学研究与统计分析 一、社会调查资料的特点（随时掌握） 随机性、统计规律性； 二、统计学的作用：为社会研究提供数据分析和推论的方法 三、统计分析的作用及其前提。 四、统计分析方法的选择 1、全面调查和抽样调查的分析方法 2、单变量和多变量的统计分析方法 五、不同变量层次的比较；定类、定序、定距、定比 定义、数学特征、运算特性、涵盖关系、等 第二章单变量统计描述分析 一、统计图表，熟悉不同层次变量对应的分析图表，不能混淆。尤其是直方图的意义。 二、标明组限与真实组限的换算，重要。 三、集中趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项； 2、众值：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、中位值：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项； 4、均值：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 5、众值、中位值和均值的关系及其相互比较，会用众值和中位值估算均值； 四、离散趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项，与集中趋势的关系； 2、异众比例：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、质异指数：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 4、四分位差：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项；要会举一反三，如求十分位差、以及根据数据求其在总体中的位置。 4、方差及标准差：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 第三章概率 一、概率：就是指随机现象发生的可能性大小。随机现象具有不确定性和随机性。 二、概率的性质： 1、不可能事件的概率为0； 2、必然事件的概率为1； 3、随机事件的概率在0-1之间； 三、概率的计算方法： 1、古典法：计算等概率事件，P＝有效样本点数/样本空间数； 2、频率法：求随机事件在多次试验后的极限频率。 3、概率是理论值，只有一个，频率是试验值，不同的试验有不同的频率。 四、概率的运算：会画文氏图 1、加法公式：两个或多个随机事件的求和概率‘ 2、乘法公式：两个或多个随机时间共同发生的概率。分为独立事件的乘法和条件概率的乘法公式。 （1）独立：P(AB)=P(A)*P(B) （2）条件：PAB)=P(A)*P(A/B)=P(B)*P(B/A) 3、条件概率：将（2）反过来即可。P(B/A)是指在A发生的条件下B发生的概率。 4、全概公式：互不相容的完备事件组，求任意一个事件的发生 5、逆概公式：与4相反。 二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 ）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 二项分布 以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。 正面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= 1.58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。 图形特点 （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； （2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 注：[x]为不超过x的最大整数。 应用条件 1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。 二项分布公式 3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。 应用实例 二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。下面给出一个例子。 已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素? 【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移 【模块讲解】 知识回顾： 1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ???， 并且()() 1n k k k n P k C p p ξ?==?（其中0,1,2,,k n =???），即分布列为 ()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=? 【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星) <讲解指南> 一.题型分类： 1.二项分布基本概念题型； 2.根据二项分布求某一事件的概率； 3.根据二项分布求某一范围的概率； 4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形； 5.根据EX 求概率 p 及某一事件的概率 6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤： 1.根据条件判断是否服从二项分布； 2.根据二项分布的性质列出相应的分布列 3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。 <题目讲解> 例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。 （1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； （3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数 ()M N ＜； （4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜ A. ()2 ()3 B. ()1 ()4 C. ()3 ()4 D. ()1 ()3 练1. 下面随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设 在这一周内，某电脑从该网站下载数据n 次中被感染这种病毒的次数为 X B 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次 二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数) 第十节 二项分布、超几何分布、正态分布 知识梳理 一、独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发 生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p . 为参数，p 叫成功概率． 令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p ) n ＝(1－p )n . 令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0 ＝p n ., 三、超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生 的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N * X 服从超几何分布． 四、正态分布密度函数 φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ2 2σ2 ，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2 )． 1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++) 第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公 式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布． 实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言 二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概 率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的 值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近 用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。 联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。 我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图 练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图 根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。 定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。 由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e 目录 1定义 ?统计学定义 ?医学定义 2概念 3性质 4图形特点 5应用条件 6应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为 的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。 所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。 概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： §21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布 五年高考 考点一相互独立事件 1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为. 答案0.648 2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B1={顾客抽奖1次获一等奖}, B2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}. 由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因为P(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =×+×=. 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B. 于是P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0 0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0 高中数学人教版选修2-3（理科）第二章随机变量及其分布 2.2.3独立重复试验与 二项分布D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共19分) 1. （2分） (2016高一下·兰州期中) 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（） A . 0.62 B . 0.38 C . 0.7 D . 0.68 2. （2分）已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=7，D（ξ）=6，则p等于（） A . B . C . D . 3. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若P（X≥1）= ，则P（Y≥1）为（） A . B . C . D . 1 4. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）= ，则D（ Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 5. （2分）设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 6. （2分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（） A . B . 0 C . 1 D . 7. （2分）某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2017高二下·南阳期末) 设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（） A . B . C . 1 D . 9. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若随机变量X服从二项分布,且 ,则 =________ , =________. 10. （1分） (2018高二下·枣庄期末) 已知随机变量，且，则 ________． 二、填空题 (共2题；共6分) 11. （1分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=40，D（X）=30，则p=________ 12. （5分）(2019·天津) 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 三、解答题 (共2题；共20分) 13. （10分）(2019·大连模拟) 随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： §１２．５二项分布 １．条件概率 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）>0）． ２．相互独立事件 （１）一般地，对于两个事件A，B，如果有P（AB）＝P（A）P（B），则称A、B相互独立．（２）如果A、B相互独立，则A与错误!、错误!与B、错误!与错误!也相互独立． （３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有：P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： （１）每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”； （２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p； （３）各次试验是相互独立的． 用X表示这n次试验成功的次数，则 P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n） 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）． １．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（×） （２）相互独立事件就是互斥事件．（×） （３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立． （×） （４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝ １—p. （×） ２．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（） Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案A 解析P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!. ３．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为错误!，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是 （）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案B 解析独立重复试验B（４，错误!）， P（k＝２）＝C错误!（错误!）２（错误!）２＝错误!. ４．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案0．１２8 解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率P＝１×0．２×0．8×0．8＝0．１２8． ５．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为______________． 答案错误! 解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC错误!，且A，C，错误!之间彼此独立，且P（A）＝P（错误!）＝P（C）＝错误!. 所以P（A错误!C）＝P（A）P（错误!）P（C）＝错误!. 题型一条件概率 附录 附表一：随机数表 _________________________________________________________________________ 2附表二：标准正态分布表 ___________________________________________________________________ 3附表三：t分布临界值表____________________________________________________________________ 4 附表四： 2 分布临界值表 __________________________________________________________________ 5 附表五：F分布临界值表（α=0.05）________________________________________________________ 7附表六：单样本K-S检验统计量表___________________________________________________________ 9附表七：符号检验界域表 __________________________________________________________________ 10附表八：游程检验临界值表 _________________________________________________________________ 11附表九：相关系数临界值表 ________________________________________________________________ 12附表十：Spearman等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 13附表十一：Kendall等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 14附表十二：控制图系数表 __________________________________________________________________ 15 第六节 二项分布与正态分布 突破点一 事件的相互独立性及条件概率 [基本知识] 1．条件概率 定义 设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 性质 ①0≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.事件的相互独立性 定义 设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立 性质 ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (A )P (B )； ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B － 也都相互独立 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( ) (4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题 1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________. 答案：14 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________． 答案：12 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案： 0.72 [全析考法] 考法一 条件概率 [例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( ) A.2 9 B.13 C.49 D.59 (2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79 [解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况， 即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 4 4＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝ n AB n B ＝24108＝2 9 . (2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝7 30. 则所求概率为P (B |A )＝P AB P A ＝7 30310 ＝79 . 1. 分布列定义： 设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布 像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释： (1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生 婴儿的性别； 投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝ 发生的概率为, 其中，且 ． 称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈ 要点一、条件概率的概念 1.定义 设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。用符号表示。 读作：发生的条件下B 发生的概率。 要点诠释 在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别 P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。 P （AB ）是事件A 与事件B 同时发生的概率，无附加条件。 P （B ）是事件B 发生的概率，无附加条件． 它们的联系是：． 要点诠释 一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B 发生的条件下，事件A 发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得蓝球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A 包含的样本点总数为11，故。 如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故。 要点二、条件概率的公式 A B ()0P A >A (|)P B A (|)P B A A () (|)() P AB P A B P B =11()16 P A = 42(|)63 P A B = = 附表1 二项分布临界值表 在p=q=下，x或n–x（不论何者为大）的临界值 n 单侧检验（）双侧检验（）0.050.010.050.01 55———66—6—7777—8788—98989 10910910 119101011 1210111011 1310121112 1411121213 1512131213 1612141314 1713141315 1813151415 1914151516 2015161517 2115171617 2216171718 2316181719 2417191819 2518191820 2618201920 2719202021 2819212022 2920222122 3020222123 附表2 正态分布概率表 Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z) 0.000.00000.350.27370.700.5161 1.050.7063 0.010.00800.360.28120.710.5223 1.060.7109 0.020.01600.370.28860.720.5285 1.070.7154 0.030.02390.380.29610.730.5346 1.080.7199 0.040.03190.390.30350.740.5407 1.090.7243 0.050.03990.400.31080.750.5467 1.100.7287 0.060.04780.410.31820.760.5527 1.110.7330 0.070.05580.420.32550.770.5587 1.120.7373 0.080.06380.430.33280.780.5646 1.130.7415 0.090.07170.440.34010.790.5705 1.140.7457 0.100.07970.450.34730.800.5763 1.150.7499 0.110.08760.460.35450.810.5821 1.160.7540 0.120.09550.470.36160.820.5878 1.170.7580 0.130.10340.480.36880.830.5935 1.180.7620 0.140.11130.490.37590.840.5991 1.190.7660 0.150.11920.500.38290.850.6047 1.200.7699 0.160.12710.510.38990.860.6102 1.210.7737 0.170.13500.520.39690.870.6157 1.220.7775 0.180.14280.530.40390.880.6211 1.230.7813 0.190.15070.540.41080.890.6265 1.240.7850卢淑华讲义全
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