二项分布及其应用
引入
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少?
问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少?
解读
1、条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()()
P A B P B A P A =
I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或
积）．
把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法：
①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()
P A B P B A P A =
I ．
②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()()
n A B P B A n A =
I ．
2、相互独立事件同时发生的概率
（1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．
如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =???I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．
（2）“相互独立”与“事件互斥”
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．
3、二项分布
（1）独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复
试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k
k n k n n
P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．
（2）二项分布
若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验
中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k
n P X k p q
-==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X
由于表中的第二行恰好是二项展开式
001110()C C C C n n n k k n k n
n n n n n q p p q p q
p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．
典例精讲
一．选择题（共10小题）
1．（2018春?抚顺期末）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D （X ）=2.1，P （X=4）＜P （X=6），则P=（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3
2．（2015春?庐江县期末）已知随机变量ξ～N （2，4），则D （12
ξ+1）=（ ）
A ．1
B ．2
C ．0.5
D ．4
3．（2016秋?武汉期末）已知随机变量X ～B （n ，13），若D （x ）=4
3
，则P （X=2）
=（ ） A ．1315
B ．
2
81
C ．
13
243
D ．
80
243
4．（2017春?城北区校级期末）已知随机变量ξ，η满足ξ+η=8，且ξ服从二项分布ξ～B （10，0.6），则E （η）和D （η）的值分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6
5．（2016春?福建月考）已知随机变量X 服从二项分布B （4，1
2
），则D （3X +1）
=（ ） A ．3 B ．4
C ．9
D ．10
6．（2016春?曲靖校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且Eξ=30，
Dξ=20，则p 等于（ ）
A ．23
B ．13
C ．12
D ．34
7．（2016春?邯郸期中）设随机变量X ～B （2，p ），Y ～B （4，p ），若P （X ≥1）
=5
9，则P （Y ≥1）为（ ） A ．12 B ．1681
C ．
6581
D ．1
8．（2015春?重庆期末）若随机变量X ～B （n ，p ），其均值是80，标准差是4，则n 和p 的值分别是（ ） A ．100，0.2 B ．200，0.4 C ．100，0.8 D ．200，0.6
9．（2014春?东莞期末）若随机变量X 服从两点分布，其中P （X=0）=13
，则E
（3X +2）和D （3X +2）的值分别是（ ） A ．4和4 B ．4和2 C ．2和4 D ．2和2
10．（2014?赣州一模）设随机变量X 服从二项分布X ～B （5，1
2
），则函数f （x ）
=x 2+4x +X 存在零点的概率是（ ）
A ．56
B ．45
C ．
3132
D ．12
二．填空题（共5小题）
11．（2017春?福州期末）若ξ～B （n ，p ）且E （ξ）=43，D （ξ）=8
9
，则P （ξ=1）
的值为．
12．（2013春?鼓楼区校级期末）某篮球运动员在三分线外投球的命中率是1
2
，他
投球5次，恰好投进2个的概率是．
13．（2015春?珠海期末）已知随机变量ξ～B（6，1
3
），则E（2ξ）=．
14．（2015春?曲靖校级期中）设ξ～B（n，p），E（ξ）=12，V（ξ）=4，则n的值是．
15．（2017春?兴化市校级月考）已知随机变量X服从二项分布X～B（6，2
3），
则P（X=2）的值为．三．解答题（共4小题）
16．（2013秋?宜昌期末）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是2
3
，乙
胜的概率是1
3
，不会出现平局．
（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；
（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率．
17．（2016秋?清城区期末）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进
行统计，最近50天的统计结果如下： 日销售量 1 1.5 2 天数 10 25 15 频率
0.2
a
b
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．
18．（2015秋?渭城区校级期末）五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （1）已知顾客甲消费后获得n 次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p ，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转
盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ=1
25，标准差σξ=3√1150
，求n 、p
的值；
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望． 指针位置
A 区域
B 区域
C 区域
返券金额（单位：元） 60
30
19．（2014春?桥西区校级月考）某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
ξ0123
p0.10.13a a
（1）求a的值和ξ的数学期望；
（2）假设两天内产生的次品数互不影响，求该工人两天内产生的次品数共2个的概率．
社会统计学讲义（卢淑华） 第一章社会学研究与统计分析 一、社会调查资料的特点（随时掌握） 随机性、统计规律性； 二、统计学的作用：为社会研究提供数据分析和推论的方法 三、统计分析的作用及其前提。 四、统计分析方法的选择 1、全面调查和抽样调查的分析方法 2、单变量和多变量的统计分析方法 五、不同变量层次的比较；定类、定序、定距、定比 定义、数学特征、运算特性、涵盖关系、等 第二章单变量统计描述分析 一、统计图表，熟悉不同层次变量对应的分析图表，不能混淆。尤其是直方图的意义。 二、标明组限与真实组限的换算，重要。 三、集中趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项； 2、众值：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、中位值：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项； 4、均值：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 5、众值、中位值和均值的关系及其相互比较，会用众值和中位值估算均值； 四、离散趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项，与集中趋势的关系； 2、异众比例：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、质异指数：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 4、四分位差：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项；要会举一反三，如求十分位差、以及根据数据求其在总体中的位置。 4、方差及标准差：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 第三章概率 一、概率：就是指随机现象发生的可能性大小。随机现象具有不确定性和随机性。 二、概率的性质： 1、不可能事件的概率为0； 2、必然事件的概率为1； 3、随机事件的概率在0-1之间； 三、概率的计算方法： 1、古典法：计算等概率事件，P＝有效样本点数/样本空间数； 2、频率法：求随机事件在多次试验后的极限频率。 3、概率是理论值，只有一个，频率是试验值，不同的试验有不同的频率。 四、概率的运算：会画文氏图 1、加法公式：两个或多个随机事件的求和概率‘ 2、乘法公式：两个或多个随机时间共同发生的概率。分为独立事件的乘法和条件概率的乘法公式。 （1）独立：P(AB)=P(A)*P(B) （2）条件：PAB)=P(A)*P(A/B)=P(B)*P(B/A) 3、条件概率：将（2）反过来即可。P(B/A)是指在A发生的条件下B发生的概率。 4、全概公式：互不相容的完备事件组，求任意一个事件的发生 5、逆概公式：与4相反。
第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定 第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验·关于总体成数的检验一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（正态）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( 显著性水平，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（大），原假设为真而被拒绝的概率越（小）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p视为（( np ，npq查表进行计算。 5．已知连续型随机变量～(0,1，若概率P{≥}=0.10，则常数= （）。 6．已知连续型随机变量～(2,9，函数值，则概率=（）。 二、单项选择
1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（ B ）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差 2．二项分布的数学期望为（ C ）。 A n(1-np B np(1- p C np D n(1- p。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（ D ）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。 4．假设检验的基本思想可用（ C ）来解释。 A 中心极限定理 B 置信区间 C 小概率事件 D 正态分布的性质 5．成数与成数方差的关系是（D）。 A 成数的数值越接近0，成数的方差越大 B 成数的数值越接近0.3，成数的方差越大 C 成数的数值越接近1，成数的方差越大 D 成数的数值越接近0.5，成数的方差越大 6．在统计检验中，那些不大可能的结果称为( D 。如果这类结果真的发生了， 我们将否定假设。 A 检验统计量 B 显著性水平 C 零假设 D 否定域 7．对于大样本双侧检验，如果根据显著性水平查正态分布表得Zα/2＝1．96，则当零假设被否定时，犯第一类错误的概率是( C 。 A 20% B 10% C 5% D．1% 8．关于二项分布，下面不正确的描述是（ A ）。 A 它为连续型随机变量的分布；
二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例
）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布
以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。
正面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= 1.58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。 图形特点 （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； （2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 注：[x]为不超过x的最大整数。 应用条件 1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。 二项分布公式 3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。 应用实例 二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。下面给出一个例子。 已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素?
二项分布与正态分布 1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于1 3 的概率为( ) A.1 27 B.23 C. 827 D.49 解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于1 3的概率为P ＝ 1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为? ????233＝8 27.故选 C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和3 4，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中 恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×? ????1－34＋34×? ????1－23＝5 12 ，故选D. 3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23? ????352? ????1－35＝ 54 125 . 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.2 9 B.49
C.23 D.79 解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 3 3＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 2 2＝8 种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79 .故选D. 5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的1 10，则此次数学考试成绩在100 分到110分之间的人数约为( ) A ．400 B ．500 C ．600 D ．800 解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2× 1 10＝45，所以P (100≤X ≤110)＝2 5，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×2 5 ＝400.故选A. 6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5， 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝1 5，则在第一次闭合后出现红灯的条件 下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝1 512 ＝25 .故选C. 7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～ N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移 【模块讲解】 知识回顾： 1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ???， 并且()() 1n k k k n P k C p p ξ?==?（其中0,1,2,,k n =???），即分布列为 ()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=? 【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星) <讲解指南> 一.题型分类： 1.二项分布基本概念题型； 2.根据二项分布求某一事件的概率；
3.根据二项分布求某一范围的概率； 4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形； 5.根据EX 求概率 p 及某一事件的概率 6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤： 1.根据条件判断是否服从二项分布； 2.根据二项分布的性质列出相应的分布列 3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。 <题目讲解> 例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。 （1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； （3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数 ()M N ＜； （4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜ A. ()2 ()3 B. ()1 ()4 C. ()3 ()4 D. ()1 ()3 练1. 下面随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设 在这一周内，某电脑从该网站下载数据n 次中被感染这种病毒的次数为 X B 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次
第十节 二项分布、超几何分布、正态分布 知识梳理 一、独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发 生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p . 为参数，p 叫成功概率． 令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p ) n ＝(1－p )n . 令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0 ＝p n ., 三、超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生 的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N * X 服从超几何分布． 四、正态分布密度函数 φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ2 2σ2 ，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2 )． 1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
二项分布与正态分布 [最新考纲] 1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．条件概率及其性质 设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发 生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 4．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a
机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)． 函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ 数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)： 离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布 二项分布与正态分布的特点及他们的联系 2008-05-23 09:22:10| 分类：数学|举报|字号订阅 正态分布的特点如下： 1．正态分布的形式是对称的，它的对称轴是过平均数点的垂直线，即关于x=u对称。 2．曲线在Z=0处为最高点，向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。从正负1个标准差开始，既向下又向外弯。拐点位于正负一个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸和接近，但不相交。 3．正态分布下的面积为1，过平均数的垂直线将面积分为左右各0.50的部分。正态曲线下的每一面积都可以被看成是概率，即对应着横坐标值的随机变量出现的概率。 4．正态分布是一族分布，它随着随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但是所有的正态分布都可以通过公式Z＝(Xl—M)／S，转换成标准正态分布，即平均数为0，标准差为1的正态分布。 5．在正态分布曲线中，标准差与概率(面积)有一定的关系。 二项分布的特点如下： 1、二项分布的均值为np，方差为npq。 2、以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的。p>q 时，呈负偏态； 一般1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布。 二项分布函数在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限，例如，求测验猜测行为的判断标准：在选择题测验中，通过二项分布计算得出被试凭猜测答对N道以上的概率。 阅读(744)|评论(0) 目录 1定义 ?统计学定义 ?医学定义 2概念 3性质 4图形特点 5应用条件 6应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为 的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。 所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。 概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： §21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布 五年高考 考点一相互独立事件 1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为. 答案0.648 2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B1={顾客抽奖1次获一等奖}, B2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}. 由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因为P(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =×+×=. 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B. 于是P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0 0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0 二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均 为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ???，． 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴； 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????； 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????； 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 超几何分布和二项分布都是离散型分布 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： §１２．５二项分布 １．条件概率 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）>0）． ２．相互独立事件 （１）一般地，对于两个事件A，B，如果有P（AB）＝P（A）P（B），则称A、B相互独立．（２）如果A、B相互独立，则A与错误!、错误!与B、错误!与错误!也相互独立． （３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有：P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： （１）每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”； （２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p； （３）各次试验是相互独立的． 用X表示这n次试验成功的次数，则 P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n） 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）． １．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（×） （２）相互独立事件就是互斥事件．（×） （３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立． （×） （４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝ １—p. （×） ２．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（） Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案A 解析P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!. ３．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为错误!，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是 （）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案B 解析独立重复试验B（４，错误!）， P（k＝２）＝C错误!（错误!）２（错误!）２＝错误!. ４．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案0．１２8 解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率P＝１×0．２×0．8×0．8＝0．１２8． ５．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为______________． 答案错误! 解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC错误!，且A，C，错误!之间彼此独立，且P（A）＝P（错误!）＝P（C）＝错误!. 所以P（A错误!C）＝P（A）P（错误!）P（C）＝错误!. 题型一条件概率 二项分布？还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率 均为1 ， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 1 ，．5X~B 35 0312 ∴ P(X 0) C301 464 ；P(X 1)C31 1 448 ； 5512555125 21 P(X 3) C33 130 P(X 2) C321 412 ；4 1 ．5512555125 因此， X 的分布列为 X0123 P 6448121 125125125125 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有： P(Y 0)C20C837 ；P(Y1)C21C82 7 ；P(Y2)C22C81 1 ． C10315C10315C10315 因此， Y 的分布列为 Y012 771 P 1515 15 例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 （ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 , （ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克 的产品数量，求Y 的分布列； （ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率。 第六节 二项分布与正态分布 突破点一 事件的相互独立性及条件概率 [基本知识] 1．条件概率 定义 设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 性质 ①0≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.事件的相互独立性 定义 设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立 性质 ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (A )P (B )； ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B － 也都相互独立 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( ) (4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题 1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________. 答案：14 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________． 答案：12 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案： 0.72 [全析考法] 考法一 条件概率 [例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( ) A.2 9 B.13 C.49 D.59 (2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79 [解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况， 即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 4 4＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝ n AB n B ＝24108＝2 9 . (2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝7 30. 则所求概率为P (B |A )＝P AB P A ＝7 30310 ＝79 . 概率论讲义(茆诗松) 第二章 随机变量及其分布 教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。 教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。 教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程： §2.1 随机变量及其分布 例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X ：1、2、…、6； (2) n 个产品中的不合格品个数Y ：0、1、2、…、n ； (3) 某商场一天内来的顾客数Z ：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T ：[0,)+∞。 §2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量，常用大写X 、 Y 、Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x 、y 、z 等表示。 注意：(1) 随机变量()X ω是样本点ω的函数，其定义域为Ω，其值域为 (,)R =-∞+∞，若X 表示掷一颗骰子出现的点数，则{ 1.5}X =是不可能事件； (2) 若X 为随机变量，则{}X k =、{}a X b <≤、…均为随机事件，即： {}{:()}a X b a X b ωω<≤=<≤?Ω； (3) 注意以下一些表达式： {}{}{}X k X k X k ==≤-< {}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ {}{}X b X b >=Ω-≤ (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量： 若随机变量X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称X 为离散随机变量；数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解
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