第四讲 二项式分布
一.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义
对于两个事件A 和B ,在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率,称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率公式,即P (B |A )=
P (AB )
P (A )
. 二.二项分布
在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则P (X =k )=C k n p k
(1-p )
n -k
(k =0,1,2,…,n ),此时称随机变量X 服从二项分布,记为X ~B (n ,p ).
考向一 条件概率
【例1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下,第2次取到的是卡口灯泡的概率为________. 【答案】 79
【解析】 方法一 设事件A 为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B 为“第2次取到的是卡口灯泡”, 则P (A )=310,P (AB )=310×79=730,则所求概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=7
30310
=7
9
.
方法二 第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡,其中有7只卡口灯泡,故第2次取到卡口灯泡的概率为C 1
7
C 1
9=79
.
【举一反三】
1.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为________.
【答案】
499
【解析】 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A 为“第一次取到不合格品”,事件B 为“第二次取到不合格品”,则所求的概率为P (B |A ),
因为P (AB )=C 25
C 2100=1495,P (A )=C 15
C 1100=120,所以P (B |A )=P (AB )P (A )=1
495120
=4
99
.
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有99件产品,其中有4件不合格品,因此第二次取到不合格品的概率为4
99
.
2. 某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【答案】(1)0.55 (2)
3
11
. (3)1.23. 【解析】(1)设A 表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P (A )=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)设B 表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P (B )=0.1+0.05=0.15.
又P (AB )=P (B ),故P (B |A )=
P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311.因此所求概率为3
11
. (3)平均保费E (A )=0.85a ×0.3+0.15a +1.25a ×0.2+1.5a ×0.2+1.75a ×0.1+2a ×0.05=1.23a , 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23a
a
=1.23
考向二 二项分布
【例2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h 的有40人,不超过100 km/h 的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h 的有20人,不超过100 km/h 的有25人.
(1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率;
(2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ,求X 的概率分布.
【答案】(1)25
52
(2)见解析
【解析】 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人,从中随机抽取2人的方法总数为C 2
40,记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ,则事件A 所包含的基本事件数为C 1
15C 125,所以所求的概率P (A )=C 1
15C 1
25C 240=15×2520×39=25
52
.
(2)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为
40
100=25,故X ~B ? ????3,25.所以P (X =0)=C 03? ????250? ????353
=27125
, P (X =1)=C 13? ????25? ????
352=
54
125, P (X =2)=C 23? ????252? ????
35=36
125,P (X =3)=C 33? ????253? ????
350=8
125
. 所以X 的概率分布为
【举一反三】
1.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角
仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(Ⅰ)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(误差)
(Ⅱ)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值)
【答案】(Ⅰ)是成功的;(Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)小球落入4号容器的概率的理论值为.
小球落入4号容器的概率的估测值为.
误差为,故该实验是成功的.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,每个小球落入4号容器的概率为,未落入4号容器的概率为.,
,
,
,
.
的分布列为
0 1 2 3
由于,所以.
2.某市交通管理部门为了解市民对机动车“单双号限行”的态度,随机采访了100名市民,将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计,得到了如下的列联表:
赞同限行不赞同限行合计
没有私家车15
有私家车45
合计100
已知在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”;
(3)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该市大量市民中,采用随机抽样方法每次抽取1名市民,抽取3次,记被抽取的3名市民中的“赞同限行”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、
期望和方差.
附:参考公式:,其中.
临界值表:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3)见解析
【解析】(1)因为在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是,
所以“赞同限行”的市民共75人,其中没有私家车的30人,
从而,所给列联表补充如下:
赞同限行不赞同限行合计
没有私家车30 15 45
有私家车45 10 55
合计75 25 100
(2)依据表中数据,易得的观测值为
.
因为,
因此,在犯错误概率不超过0.10的前提下,能够判断市民“对限行的态度与是否拥有私家车有关” .
(3)由题意,得~,从而
::
;.
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
故:.
考向三超几何分布与二项分布区分
【例3】某地区为调查新生婴儿健康状况,随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重(单位:千克),称量结果分别为6,8,9,9,9.5,10.已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克,不超过9.8千克为“标准体重”,否则为“不标准体重”.
(1)根据样本估计总体思想,将频率视为概率,若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重,则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少?
(2)从抽取的6名婴儿中,随机选取4名,设X表示抽到的“标准体重”人数,求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
20
()
27
P A= (2)见解析
【解析】(1)抽取的6名婴儿中“标准体重”的频率为42 63 =
故从该地区中任取1名婴儿为“标准体重”的概率为:2 3
设“在该地区8个月龄婴儿中任取3名,至少2名为‘标准体重’”为事件A
则:()2130
2333212120333327
P A C C ????????=+= ? ? ? ?
???????? (2)由题意知,X 的可能取值为2,3,4
()222446622155C C P X C ∴====;()1324468315C C P X C ===;()04244
61
415
C C P X C === X ∴的分布列为:
()234515153
E X ∴=?+?+?=
【举一反三】
1.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
(1)若将频率是为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案1:不分类卖出,单价为20元/kg . 方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:
从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X 表示抽取的是精品果的数量,求X 的分布列及数学期望()E X .
【答案】(1)
96
625
;(2)第一种方案;(3)详见解析 【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A ,则()201
1005
P A =
= 现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X ,则1~4,5X B ??
???
∴恰好抽到2个礼品果的概率为:()22
244196255625
P X C ????=== ? ?
???? (2)设方案2的单价为ξ,则单价的期望值为:
()1342165488481618222420.61010101010
E ξ+++=?
+?+?+?== ()20E ξ>
∴从采购商的角度考虑,应该采用第一种方案
(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个 现从中抽取3个,则精品果的数量X 服从超几何分布,所有可能的取值为:0,1,2,3
则()36310106C P X C ===;()2164310112C C P X C ===;()12643103210C C P X C ===;()3
43
101
330
C P X C ===
X
∴的分布列如下:
X0123
P
1
6
1
2
3
10
1
30
()0123
6210305
E X
∴=?+?+?+?=
2.某机构对A市居民手机内安装的“APP”(英文Application的缩写,一般指手机软件)的个数和用途进行调研,在使用智能手机的居民中随机抽取了100人,获得了他们手机内安装APP的个数,整理得到如图所示频率分布直方图:
(Ⅰ)从A市随机抽取一名使用智能手机的居民,试估计该居民手机内安装APP的个数不低于30的概率;(Ⅱ)从A市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研,用X表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数.
①求随机变量X的分布列及数学期望;
②用Y1表示这3人中安装APP个数低于20的人数,用Y2表示这3人中手机内安装APP的个数不低于40的人数.试比较EY1和EY2的大小.(只需写出结论)
【答案】(Ⅰ)0.48;(Ⅱ)①详见解析;②.
【解析】(Ⅰ)由得.
从市随机抽取一名使用智能手机的居民,该居民手机内安装“APP”的数量不低于30的概率估计为
.
(Ⅱ)①从市随机抽取一名使用智能手机的居民,该居民手机内安装“APP”的数量在
的概率估计为.
所有的可能取值为0,1,2,3,则X∽B(3,).
,
,
,
.
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的数学期望为
.(或者.)
②.
考向四二项分布求最值
【例4】.一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的
个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.
(1)当取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?
(2)当时,用表示要补播种的坑的个数,求的分布列与数学期望.
【答案】(1)当或时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为;(2)见解析.
【解析】(1)对一个坑而言,要补播种的概率,
有3个坑要补播种的概率为.
欲使最大,只需,
解得,因为,所以
当时,;
当时,;
所以当或时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为.
(2)由已知,的可能取值为0,1,2,3,4.,
所以的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望.
【举一反三】
1.为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元,试计算居民用电户用电410度时应交电费多少元?
(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.
【答案】(1)元;(2)分布列见解析,期望为;(3).
【解析】(1)元
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有3户,则可取0,1,2,3,
,,,
故的分布列为
∴
(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足,
可知()
令
解得:,
∴当时概率最大,
∴.
1.4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格,每次任取一个,不放回地取两次.若第一次取到合格的高尔夫球,则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A.1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
【答案】B
【解析】记事件A={第一次取到的是合格高尔夫球},
事件B={第二次取到的是合格高尔夫球}.
由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)=3×2=6,事件A发生所包含的基本事件数n(A)=3
×3=9,所以P(B|A)=
()62
()93
n A B
n A
?
==.故选:B
2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口,根据经验,在第一个路口遇到红灯的概率为0.4,在第二个路口遇到红灯的概率为0.5,在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯,则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】D
【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A,“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
“小明在第一个路口遇到了红灯,在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则()0.4P A =,()0.5P B =,()0.2P AB = ()0.2
(|)0.5
()0.4
P AB P B A P A ===故选D. 3.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min ,这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )
A .
B .1
C .
D .
【答案】D
【解析】由题可得,遇到红灯的次数服从二项分布
即:,所以
所以因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为故选:D
4.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的,学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握,最后选择题的得分为分,学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其它三个选项都没有把握,选择题的得分为分,则
的值为( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】设学生答对题的个数为,则得分(分),,,所以,同理设学生答对题的个数为,可知,
,所以
,所以
.故选A.
5.从1,2,3,4,5,6,中任取2个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=”取到的两个数均为偶数”,则(|)
P B A=_______.
【答案】1 2
【解析】依题意,事件A所包含的基本事件为13,15,24,26,35,46共六种,而事件AB所包含的基本事件
为24,26,46共三种,故()31
|
62
P B A==.
6.“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜,也可以与其他用户进行运动量的或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人,记录他们某一天的行走步数,并将数据整理如下:
步数/步0~2000 2001~5000 5001~8000 8001~10000 10000以上
男性人数/人 1 6 9 5 4
女性人数/人0 3 6 4 2
规定:用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”,否则为“懈怠型”.
(1)将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人,记为“运动型”用户的人数,求和的数学期望;
(2)现从这40人中选定8人(男性5人,女性3人),其中男性中“运动型”有3人,“懈怠型”有2人,女性中“运动型”有2人,“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人,记选到“运动型”的人数为,求的分布列和数学期望.
【答案】(1),(2)分布列见解析,
【解析】(1)由题意可知,“运动型”的概率为,
且 ,则,
.
(2)由题意可知,的所有取值为,
相应的概率分别为:
,,
,,
所以的分布列为:
2 3 4 5
.
7.为了调查某款电视机的寿命,研究人员对该款电视机进行了相应的测试,将得到的数据分组:,,,,,并统计如图所示:
并对不同性别的市民对这款电视机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示:
愿意购买该款电视机不愿意购买该款电视机总计
男性800 1000
女性600
总计1200
(1)根据图中的数据,试估计该款电视机的平均寿命;
(2)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的性别”有关;
(3)以频率估计概率,若在该款电视机的生产线上随机抽取4台,记其中寿命不低于4年的电视机的台数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)该款电视机的平均寿命约为7.76年;(2)在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的性别”有关.;(3).
【解析】(1)
,
故该款电视机的平均寿命约为7.76年.
(2)依题意,完善表中的数据如下表所示:
愿意购买该款电视机不愿意购买该款电视机总计
男性800 200 1000
女性400 600 1000
总计1200 800 2000
计算得的观测值为.
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的性别”有关. (3)依题意,,
故,,,
,.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
8.某地因受天气,春季禁渔等因素影响,政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计,如下表所示:
捕鱼量(单位:吨)
频数 2 7 7 3 1
高考数学选修 二项分布及其应用 知识点 一、条件概率 1.一般的,设A,B 为两个事件,且0)(>A P ,则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作:A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质: (1)1)|(0≤≤A B P ; (2)必然事件的条件概率为1;不可能事件的条件概率为0. (3)若事件B 与C 互斥,)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ,B 为两个事件,若)()()(B P A P AB P =,则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质: (1)若事件A 与B 相互独立,则)()|(B P A B P =,)()|(A P B A P =,)()()(B P A P AB P =。 (2)如果事件A 与B 相互独立,则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验: 一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布: 一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布,记作),(~p n B X
题型一 条件概率 【例1】已知P (B |A )=13,P (A )=2 5,则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A ={2,3,5},B ={1,2,4,5,6},则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点,问: (1)该点落在区间????0,1 3内的概率是多少? (2)在(1)的条件下,求该点落在???? 15,1内的概率. 【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80,开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A .0.75 B .0.60 C .0.48 D .0.20 2.设A ,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为3 10,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率 为1 2 ,则事件A 发生的概率为________. 3.如图,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,则P (B |A )=________.
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;