量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为:
若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得:
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
关于量子力学中的算符 1对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述，而引入了一种新的数学手段——力学量用算符来表示，这实际上是量子力学的基本假设之一。 2在物理学中，只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。厄米算符的平均值是实数，因此，表示力学量的算符必须是厄米算符。 3由于量子力学中的态满足迭加原理，所以表示力学量的算符还应当是线性的。 4线性厄米算符作用在波函数上，其物理意义为：在波函数所描述的状态下，对微观粒子的某个力学量F进行测量，在测量过程中可能会出现不同的结果，但对同一状态进行多次测量，力学量F的平均值将趋于一个确定的值A。而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差 ? F- = F F ?来表示力学量的偏差，故力学量均方偏差的平均值为在量子力学中，引入算符F ?? F F- = 由力学量算符的厄米性，上式可写成 5在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时，一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的，即使是从理论上也是如此。这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关，而是微观粒子的二象性所带来的必然结果，这就是量子力学中的不确定关系。不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限，以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性，是量子力学中的一个十分重要的原理。算符理论对此关系给出了严格的证明，并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系：
6 所谓“力学量用算符表示”这一量子力学假设，包含着如下物理意义： （1） 力学量的平均值与算符的关系为： r d r F r F )(?)(*ψψ?= （2） 力学量的测量值与该力学量算符之间的关系：实验中测得的力学量的值，就是该力 学量所对应算符的一系列本征值； （3） 力学量之间的关系也可以通过算符之间的关系反映出来：相互对易的算符，它们对 应的力学量同时具有确定的测量值。 7 力学量在一般情况下不能同时确定，若系统处于某力学量的本征态中，这个力学量就有 确定值。对两个或多个力学量同时进行测量，只要系统同时处于每个力学量共同的本征态时，它们就同时具有确定值。由于力学量是用厄米算符表示的，两个力学量能否同时确定就反映在两个力学量的算符之间的关系上。可以证明两个算符具有同样的完全本征函数系，则这两个算符是对易的；它的逆定理也成立。推广到两个以上的情况，如果一组算符有共同的本征函数，而这些本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余算符对易。 若两力学量的算符之间不对易，就不能同时确定，它反映在不确定度关系上，即由 K i F G G F ?????=- 可得一般表达式为： ()()4222K G F ≥??? 当0→?F 时，∞→?G ，而当0→?G 时，∞→?F 。它是微观粒子波粒二象性的反映，只要承认微观粒子有波动性的一面，就必有此规律。 在算符的对易关系中，其基本对易关系是x 与其相应的动量x p ?之间满足： i p p x x x =-?? 或 [] i p x x =?, 由此得到 [])(?),(x f x i p x f x ??= 其不确定度关系为 ()()4222 ≥???x p x 8 量子化是算符表示力学量的必然结果。至于为什么力学量要用算符表示，没有更深入的物理上的起源。有人认为（刘全慧，刘天贵，朱正华，曾永华，量子力学定态不是驻波，物理[J]，33卷 (2004年)3期，223~224）量子力学定态是由波的干涉形成的驻波。但该文作者认为，量子力学中的定态和驻波实质上是有区别的。
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻 910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散 布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψ ψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。 这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的 算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义
2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:
则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:
可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：
3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??
算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?
第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到
论文题目： ?L算符及其本征函数 量子力学中2 （理工类）
?L算符及其本征函数 1量子力学中2 摘要 角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2?L的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2?L算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2?L是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2?L 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。 关键词 角动量算符；空间转子；角量子数；自旋 The 2?L in the Quantum Mechanics and Its Eigenfunction Abstract Angular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2?L operator , and gives the expression of 2?L operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2?L operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research. Keywords angular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning 1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
第三章 算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v,用算符表示为: ?Fu v = (3、1-1) ?F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。例 如, 1 1du v dx =,22 xu v =, 3v =, (,)x t ?∞ -∞ ,(,) x i p x h x e dx C p t -=,则 d dx dx ∞ -∞ ? ,x i p x h e -?都就是算符。 1.算符的一般运算 (1)算符的相等:对于任意函数u,若??Fu Gu =,则??G F =。 (2)算符的相加:对于任意函数u,若???Fu Gu Mu +=,则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 (3)算符的相乘:对于任意函数u,若???FFu Mu =,则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =,则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若?I u=u,则称?I 为单位算符。?I 与1就是等价的。 (2)线性算符 对于任意函数u 与v,若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数 u,若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=,111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:?()()Fu x af x =,其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符,a 为常数。其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。与非齐次方程的特解υ之与,即0u u v =+。因0 ?0Fu =,所以不存
第三章 算符和力学量算符 ３.1 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为: ?Fu v = (3.1-1） ? F 称为算符。ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。例如，11du v dx =,22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ,(,)x i p x h x e dx C p t -=,则d dx dx ∞ -∞ ? ，x i p x h e -?都是算符。 1.算符的一般运算 (1)算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =,则??G F =。 (2）算符的相加：对于任意函数u,若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3)算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 （１）单位算符 对于任意涵数u,若?I ｕ=u ，则称?I 为单位算符。?I 与１是等价的。 (2)线性算符 对于任意函数ｕ与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=,111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
量子力学期末复习完美总结 一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =? ，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2 r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5． 波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为： 1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδ φφτδλλ** '' ==- ??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ， 所描写 的态中测量粒子动量所得结果在p p dp → +范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。 16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2 n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时，能级的简并度为 2 2n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+ j 。 17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量 力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为： ?F ψ λψ = 。 18．力学量算符 在态 下的平均值可写 为 的条件为：力学量算符的本征 值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19． 希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多 个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态 ， 为 归一化波函数， 为球谐函数，则系数c 的取值为： ， 的可能值为： 13 ， 本征值为 出现 的几率为： 1 2 。 21．原子跃迁的选择定则为：101l m ?=±?=±；， 。