第三章 算符和力学量算符
算符概述
设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：
?Fu
v = （） ?
F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3
v =，
(,)
x t ?∞
-∞
，(,)x i p x h
x e
dx C p t -=，则d
dx ，x dx ∞
-∞
，x i
p x h
e
-?都是算符。
1．算符的一般运算
（1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu
Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu
Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG
GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符
对于任意涵数u ，若?I
u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符
对于任意函数u 与v ，若**1212
???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符
对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F
G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：?()()Fu
x af x =，其中?F 为d
dx
与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。因0
?0Fu =，所以不存在1?F -使100
??F Fu u -=。一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1
?F
-使1
1
????F
Fv FF v v --==，从而由?Fv
af =得：1?F af υ-=。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。 （4）转置算符
令~??Fu u F =，则称~?F 与?F 的转置算符，~
?F 是一个向左作用的算符。若算符?F 表示一般函数（或
常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。 定义波函数?与φ的标积为： *
|d ?φ?φτ∞
<>=
? （）
?与?F
φ的标积以及~
?G ?与φ的标积为： *??||F F d ?φ?φτ∞
<>=?
~
!
*
??||G
G
d ?φ?
φτ∞
<>=? 若上两式中的?与φ都是任意波函数，则称上两式中的?F
与~
?G 为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中
d
dx
的性质。 *
*
*
*
()()d d d x x dx dx dx dx dx dx
?φ
?φφ?φ?∞
∞∞
∞-∞
-∞-∞-∞
==-???波函数()x ?与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：
()()??∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得：
*
*d d
dx dx dx dx
?φ?φ∞
∞-∞
-∞=-?
?
可见在任意标积中，
d d dx dx
=-。 （5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符
转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。以?F
+
标记?F 的转置共轭算符，则*
~??F
F +
= *??uF F u += 若在任意标积中，??F
F +
=，则称?F 为厄密算符。即厄密算符的定义为：
**??()F d F d ?φτ?φτ∞
∞
=?
?
或写为??||||F
F ????+<>=<> （） 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因x 是实数，而x x =，所以x x +
=。在任意标积
中，因d d dx dx =-，所以*
??x x h h P P i x i x ++??????==-= ? ???????
。也可以直接从定义式（）出发，来证明?x
P 是厄密算符。 *
*
**??|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ??φ?φφ?φ∞
∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=???，所以?x P 是厄密算符。 （6）幺正算符
若在任意标积中，1
??F
F +
-=，则称?F
为幺正算符。设??iA
T e ±=，若?A
为厄密算符，则?T 必为幺正算符。
（7）算符的函数
设函数F （A ）的各阶导数都存在，则定义算符?A
的函数F （?A ）为： ()
()0
??()n o n n F F A A ni ∞
==∑ （） 其中?n A
表示n 个?A 的乘幂，即????n A A A A =?。例如?01?F n n e F ni
∞
==∑ 算符的对易关系
定义算符的泊松（Poisson ）括号为：
??????[,]A
B AB BA =- （） 一般说来????AB
BA ≠，例如???[,]A B ik =，这样的关系或称为对易关系式。??[,]0A B =是对易关系式中的特例，这时????AB
BA =，称?A 与?B 是对易的。
1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，
??(,,)()x x
h h h h P x x y z x x xP i x i i x i
????????==+=+??，即
??()x x xP P x ih ??-=，此式对任意的?都成立，所以得：?[,]x
x P ih = 在动量表象中
??(,,)()x x y z x x x x x
xP
P P P ih P ih ihP ih P x
P P φ
?φφφφ??==+=+??，即??()x x xP P x ih φφ-=，此式对任意的φ都成立，所以得：
?[,]x x
P ih = 可见在位置表象中与动量表象中都得：
??[,]x
x P ih = （） 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如，在位置表象中，?y
y =所含的变量是y ，而?x
h P i x
?=?所含的变量是x ，所以?[,]x y P =0。又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r ，而2?L
所含的变量是,θφ，所以2?[(),]0U r L =。此外，相同的算符一定对易。 以(1,2,3)i x i =表示x ，y ，z ，以?i
P 表示???,,x y z P P P ，则应有： ??[,]0??[,]0
i j i j x
x P P =???=?? （）
??[,]i j ij
x P ih δ= （）式就是量子力学中的基本对易关系式。 2．线性算符泊松括号的性质
根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：（其证明供练习）
????[,][,]A
B B A =- （） ?[,]0A
C = C 为常数 （） ????[,][,]CA
B C A B = C 为常数 （） 1212
???????[,][,][,]A A B A B A B +=+
121212
?????????[,][,][,]A A B A B A A A B =+
??????[,][,][,]A B A B A B t t t
???=+??? 3．其他对易关系
（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
???[,][,,]0x z y
L x yP zP x == ?????[,][,][,][,]x z y y y
L y yP zP y z P y z y P ihz =-=-== 同理可得：?[,]x L z ihy =-，……，各对易关系可合写为： ??[,]i
j ijk k
k
L x ih x ε
=∑
采用爱因斯坦记号，则上式可写为：
??[,]i
j ijk k L x ih x ε= （） 其中ijk ε称为勒维——奇维塔（Levi-Civita ）符号。123ε=1，ijk ε对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，2131ε=-，3211ε=-。若ijk ε中有两个角标相同，则其值为零。ijk ε具有以下数学性质：
2ij ij ijk k i j i j αβαβ
αβαββαεεδεεδδδδ=???
=-?? （） ()2
i j j i
k ijk i j ijk
A B A B A B A B εε-?==
上式中将i j A B 改写为
2
i j j i
A B A B -称为将i j A B 反对称化，之所以能将i j A B 反对称化是由于ijk ε对角
标i ，j 反对称之故。
（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系
???[,]i j ijk k L P ih P ε= （）
（3）角动量算符的对易关系
???[,]i j ijk k L L ih L ε= （）
上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：
,L L ih L ∧∧∧
= （）
若令??????,x y x y
L L iL L L iL +-=+=-，则可得： ???[,]2???[]z
z L L hL L L hL +-±±
?=??=±?? （）
2??[,]0i
L L = （） （4）算符的函数之间的对易关系
[(,,),](,,)f x y z P ih f x y z ∧
=? （）
1
???[,()]0,[()]0A f A f A == 必须注意，若??[,]0F
G ≠，则??
??F
G F G e e e +≠?。
线性厄密算符和力学量算符
1．厄密算符的性质
（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。
设?F
与?G 是对易的厄密算符，利用（）式可得： ****????????()()()FG d F G d GF d FG d ?φτφφτφφτ?τ∞
∞
∞
∞
===?
???
所以??FG
也是厄密算符。 （2）厄密算符的本征值必为实数。
设?F
为厄密算符，其本征方程为： ?F
F ??=，则***?()F F ??= 根据（）式得：
**??()F d F d ??τ??τ∞
∞
=??
则***F d F d ??τ??τ∞
∞
=?
?
因
*
0d ??τ∞
≠?，则得F=F*，所以F 为实数。
（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。
设k ?，l ?为厄密算符?F 分别对应本征值k F ，e
F 的本征函数，则
*
*??()k
l
k e
F d F d ??τ??τ∞
∞
=
??
即*
()
0e k k l F F d ??τ∞
-=?
当e k F F ≠时得：
*
0k l
d ??τ∞
=?
上式称为正交关系式。若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得： 当F 为分立谱时，*k l kl d ??τδ∞
=?
（） 当F 为连续谱时，
*()F
F d F F ??
τδ'
∞
'=-? （）
如果?F
中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。例如，当粒子在有心力场中运动时，经向方程是厄密算符的本征方程，其本征值为能量E （对束缚态，E 由径向量子数r n 确定）。角量子数l 是径向方程中的参变量。径向波函数()El R r 的正交关系式为：
*20El E l o
R R r dr ∞
'=?，E E '≠
因不同的l 值对应不同的径向方程，所以
*20El E l o
R R r dr ∞
''≠?
，l l '≠
2、正交化手续
对于线性厄密算符?F ，如果?F 的本征值Fn 是f 度简并的，对应的本征函数为12
,,f
n n n ???，
则这f 个本征函数的任意线性组合也是本征方程的解。一般说来，这f 个本征函数不一定是正交的，但通过它们的线性组合一定可以构成f 个正交的本征函数。通常的正交化手续如下：取 11n n ??= 2211n n n b ???=+ 331212n n n n C C ????=++ ……
从1n ?与2n ?的正交性可以确定b 1
1
2
121
**1()n n n n n d b d ?
?τ???τ∞
∞
=+??=12
11
**
10n n n n d b d ??τ??τ∞
∞
+=??
则得：1
1
1
1
*1*n n n n d b d ??τ
?
?τ
∞∞
=-
?
?
若先将1n ?归一化，则得： 1
2
*1n n d b τ?
?∞
=-
?
从123,,n n n ???的正交性得：
1
3
13
11
***10n n n n n n d d C d ??τ??τ??τ∞
∞
∞
=+=?
??
则得：1
31
1
*1
*n n n n d C d ??τ??
τ
∞∞
=-
??
若先将1n ?归一化，则得： 1
2
*1n n b d ??τ∞
=-
?
从123,,n n n ???的正交性得：
1
3
13
11
***
10n n n n n n d d C d ??τ??τ??τ∞
∞
∞
=+=?
??
则得：1
3
1
1
*1*n n n n d C d ??τ
?
?τ
∞∞
=-?
?
2
3
23
22
***
20n n n n d n n d C d τ?
?τ????τ∞
∞
∞
=+=???
则得：2
3
2
2
*2*n n n n d C d ??τ
?
?τ
∞∞
=-
?
?
依此类推，可求出各系数，使12,,n n nf ???彼此正交。
3、力学量算符
在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都是线性厄密算符。假设力学量算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的
力学量，这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力学量的本征函数与被展开的波函数才能具有相同的时间与空间。
当力学量算符?F 的本征值Fn 为分立谱时，在位置表象中，设本征基组()n r φ满足正交归一条件：
*
m n mn dr φφδ=?
满足上式的n φ也称为幺正基组。通常n φ只是r 的函数而与t 无关。含时波函数(,)r t ?对()n r φ的展开式[不含时的波函数()r ?也可对()n r φ展开]为： (,)()()n
n
n
r t C t r ?φ=
∑ （）
()n C t 实际上是()(,)Fn n C t C F t =的简写。以*
()m
r φ乘上式并对整个空间积分得：
*
*()()m
n
m
n
m
n
dr C t dr C
t φ???==∑??，则得：
*()()(,)n n C t r r t dr φ?=
? （）
若(,)r t ?已归一化，即
*
1dr ??=?，则得：
*
*()()m m
n n m
n dr C C dr ??φ
φ=∑∑??
=
***1m
n
m n
n
n
mn
n
C C dr C C
φφ==∑∑? （）
若已知(,)r t ?，则由（）式可求得Cn(t)；若已知Cn(t)，则由（）式可求得(,)r t ?，所以(,)r t ?与Cn(t)是等价的。Cn(t)中的变量是Fn 与t ，所以Cn(t)是F 表象中的波函数，Cn(t)的归一化条件是
*1n n
n
C C
=∑。当Cn(t)已归一化时，在t 时刻测到Fn 的几率为*
()()n
n C t C t 。注意，对分立谱，*
n n C C 为几率而非几率密度。
将（）式代入（）式得： *(,)(,)()n n n r t r t dr r ?φφ??''=
??∑?=*()()(,)n n n r r r t dr ?????'''????
∑? 由上式可看出，应有：
*
()()()n n n
r r r r φ
φδ''=-∑ （）
上式所显示的性质称为本征基组()n r φ的封闭性。
对于?x
P 的本征函数，在箱归一化下对应的本征值为分立谱：2x hn
P L
π=。其本征函数()n x φ的封闭性条件为：
**
()()()()()n
n n n n
n
x x x x dn x x φ
φφφδ'''==-∑∑
其中dn=1。当L →∞时，Px 由分立谱变为连续谱。这时，由2x hn P L π=
可知，dn 应以2x L
dP h
π代替，()n x φ的下标n 应改为Px ，则本征函数()x
P x φ的封闭性条件为：
*
()()()2x x P P x L x x dP x x h
φφδπ''=-?
并入()x P x φ，这与§中的讨论是一致的。
当力学量算符?F 的本征值F 为连续谱时，在位置表象中，设本征函数()F
r φ满足正交为一条件：
*
()F F
dr F F φ
φδ''=-?
满足上式的F φ也称为为幺正基组。(,)r t ?对()F r φ的展开式为：
(,)()()F F r t C t r dF ?φ=?
（） 以*
()F r φ'乘上式并对全空间积分得：
***[][]()F F F F F F F F F F dr C d dr C dr C F F dF C φ?????δ'''''===-=??????，则得：
*
()()()F F C t r rt dr ??=
? （） ()F C t 为F 表象中的波函数。若
*
1dr ??=?，则可得()F
C
t 的归一化条件为：
*
1F F F C C d =?
（）
当()F C t 已归一化时，在t 时刻在F 表象中测得F 的几率密度为*
()()F F C t C t 。本征基组()F r ?的封闭性条件为：
*
()()()F F r r dF r r φ
φδ''=-? （）
如果?F
的本征值既有分立谱Fn 又有连续谱F ，则展开式为： (,)()()()()n n F F n
r t C t r C t r dF ?φ?=+∑? （）
**
()()(,),()()(,)n n F F C t r r t dr C t r r t dr φ?φ?==??
F 表象的波函数由C n (t)与C F (t)组成。归一化条件为：
**1n
n
F
n
C C C GdF +=∑? （）
本征基组的封闭性条件为：
**()()()()()n
n
F F n
r r r r dF r r φφφ
φδ''''+=-∑? （）
上面的讨论可归纳为量子力学中关于力学量算符的一个基本假设：量子力学中表示力学量的算符一般都是线性厄密算符，力学量算符的本征函数组成完备系。当体系处于归一化波函数?所描写
的状态时，测量力学量F 所得的数值，在单次测量中必定是算符?F
的本征值之一，测得分立谱中F n
的几率是2||n C ，测得连续谱中F →F+dF 的几率是2||F G dF ，C n 与C F 是?对?F
的幺正本征基组的展开系数。
4、角度坐标变量
考虑球坐标系下或柱坐标系下的角度坐标变量?，在位置表象中，应有?φ
φ=，但量子力学中通常并不将φ视为能作用于波函数φ的算符，而只将φ作为(,,)r ?θ?以及 φ，cos φ等中的变量。这是因为：（1）φ不是周期函数，2φπφ+≠。但当φ增加2π时，波函数?应保持不变，可见?是周期函数，而φ
?不是周期函数。如果φ的变化范围为（-∞，∞）
，则φ?不是空间位置的单值函数；如果0≤?<2π，则φ?不是空间位置的单值函数；如果0≤φ<2π，则φ?不是空间位置的连
续函数。（2）仿照求?[,]x x P ih =易得对易关系?[,]z
L ih φ=，但由于φ?不是周期函数，使得?z
L 的厄密性将被破坏??[||||]z z
u L u L φ?φ?+<>≠<>，所以对易关系[,]z L ih φ'=在量子力学中无意义。（3）在坐标系的子轴上，φ无确定的值。由于上述原因，使得φ不能视为能作用于波函数?的算符。 5、力学量F 的平均值
测量力学量的平均值应与描写体系状态所采用的表象无关。在F 的自身表象中，描写体系状态的波函数为C n (t)或C F (t)，以分立谱为例，F 的平均值F 应为：
**n
n
n
n
n
n
n
F C C
F C C
=
∑∑ （）
若()n C t 已归一化，则*n
n
n
n
F F C C
=
∑（对连续谱，只要将对F n 的求和改变对F 的积分即可）。
在位置表象中，描写体系状态的波函数为(,)r t ?，设?F 的本征函数组()n
r φ是幺正基组，注意到 ***
??[][]n n n n n n
n
Fdr F C dr F dr C ??φ?φ==∑∑??
? *
*
*[]n
n
n
n
n
n
n
n
F dr C F C C
φ?=
=∑∑?
则F 的平均值F 应为：
**
??|||F dr F
F dr
????????<>==<>?? （） 若(,)r t ?已归一化，则*?F F dr ??=
?。
在定态中，波函数可写为(,)()i
Et h
r t r e ??-=，则由（）式可写，F 应与时间t 无关。在定态
中，几率密度与几率流密度也都与时间t 无关。
两个力学量同时有确定值的条件和测不准关系
1．对易算符的共同本征态
定理：如果两个线性算符?F 与?G 对易。证明如下：
??????n n n
n n n n
n n n
n n n n
F F GF F
G G G FG G F φφφφφφφφ====
则????()0n GF FG φ-=。因n φ构成完备系，所以任意波函数?可对n φ展开：n n
n
a ?φ
=∑，则
????????()()0n n
n
GF FG Q GF FG ?φ-=-=∑ 因?是任意波函数，则得??[,]0G
F =，即定理得证。这个定理的逆定理也成立：如果两个线性算符对易，则它们有构成完备系的一组共同本征函数。其证明从略。
上述定理与逆定理可以推广到多个算符的情况中去。定理：如果多个线性算符有一组共同的本征函数，并且这组共同的本征函数构成完备系，则其中任何一个算符和其余的算符都对易。逆定理：如果多个线性算符彼此对易，则它们有一组构成完备系的共同本征函数。
如果体系处于几个力学量算符的共同本征态中，则在这个态中，这些算符对应的力学量同时有
确定值，即算符的本征值。动量算符???,,x y z P P P 彼此对易，所以它们有共同的本征函数P ?，并且P
?构
成完备系；在态P ?中，???,,x y z
P P P 同时具有确定的本征值,,x y z P P P 。空间坐标算符???,,x y z 彼此对易。所以它们有共同的本征函数，在位置表象中为()r r δ'-，()r r δ'-也构成完备系；在态()r r δ'-中，
???,,x
y z 同时具有确定的本征值???,,x y z 。氢原子的哈密顿算符?H ，角动量的平方算符2?L 和角动量的子分量算符?z
L 彼此对易，所以它们有共同的本征函数Elm ?。对束缚态，E 为分立谱En ，Elm ?可用nlm ?表示。nlm ?对氢原子的束缚态构成完备系，也就是说，氢原子束缚态中任意可能的状态函数都可对
nlm ?展开。在nlm ?中，2???,,z
H L L 同时具有确定的本征值En 。2(1),l l h mh +。但应注意，当两个算符?F 与?G 对易时，?F 的本征函数并不一定是?G 的本征函数。例如，2?L 与?z
L 对易，m em m
C Y ∑是2?L 的本征函数，但并不是?z
L 的本征函数。l em
l
C Y
∑是?z
L 的本征函数，但并不是2
?L 的本征函数。所以对易算符对应的力学量并不一定同时具有确定值，只有在它们的共同本征态中才同时具有确定值。 要完全确定体系的状态，需要一组互相对易的力学量算符，当这组力学量同时具有确定值时，将只对应一个唯一的波函数。这一组能完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。力学量完全集合中一般包含哈密顿量。在完全集合中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。例如，三维空间中自由粒子的自由度是3（不考虑粒子的内部自由度），完全确定它的状态需要三个力学量
算符???,,x y z P P P （其中相当于包含有?H ）。氢原子内部的自由度也是3（不考虑质心运动的自由度），完全确定它的状态需要三个互相对易的力学量算符2
??,H L 和?z L 。在束缚态中，当2
??,H L 和?z
L 的本征值都确定后，对应的波函数nlm ?便被完全确定。
在某种特殊情况下，不对易算符对应的力学量也可能同时具有确定值，例如，在l=0的态中，L x ，L y ，L z 都有确定值。但在一般情况下，不对易算符对应的力学量不能同时具有确定值。 2、测不准关系
设两个厄密算符?F
与?G 的对易关系为： ???????[,]F
G FG GF iK =-= （） 易证?K 也是厄密算符。以,,F G K 依次表示???,,F G K 对应的力学量在态?中的平均值。令 ????,F
F F G
G G ?=-?=- （）
因,F G 都是实数，所以??,F
G ??也都是厄密算符。 ???????[,][,][,]F
G F F G G F G ik ??=--== （） 考虑下述对全空间的积分：
2??()|()|0I F
i G d ξξ?τ=?-?≥?
，其中ξ为实参数。 **????()[()()][]I F
i G F i G d ξξ??ξ?τ=?+??-?? 2*??()()F
F ξ??=???
*
*
*
????[()()()()]??()()i F
G G F d G
G d ξ????τ??τ-??-??+????
因??,F
G ??都是厄密算符，则得： 2*2*?????()()()I F d i F G G F d ξξ??τξ??τ=?-??-????
*2222?()()()0G d F K G ??τξξ+
?=?++?≥?
（） 由上式可知，I （ξ）曲线是开口朝上的抛物线，I （ξ）≥0要求此曲线恒在ξ轴的上方，此不等式成立的条件是：
2
2
2
()()4
K F G ??≥ （）
其中222222()()2F F F F FF F F F ?=-=-+=- （）
（）式就是海森伯给出的测不准关系。测不准关系应与粒子的波粒二象性有关。以()F ?=表示F 的标准偏差（或称为均方根差），则由（）式得：
()()2
K
F G ??≥
（） 把测不准关系应用于位置坐标和动量，因??[,]x x
p ih =，则得：
2
2
2
()4()()2
x x h x P h
x P ??≥
??≥
（）
由上式可知，（x ?）与（x P ?）不能同时为零，（x ?）愈小，则（x P ?）愈大。在经典力学中，
h 可近似地视为无限小量，所以（x ?）与（x P ?）可以近似地同时为零。但严格说来，测不准关系是量子力学中的特有结果，并不能很自然地过渡到经典情况。事实上，即使（x ?）（x P ?）=0，也只能说（x ?）与（x P ?）可以同时为零，而得不到（x ?）与（x P ?）必然同时为零的结论。此外，我们说经典力学中h 可视为夫限小量，这是将h 与一个具体的物理体系中的作用量等相比较而言的，但在上述测不准关系的推导中并没有涉及任何具体的物理体系，所以也不能很自然地过渡到经典力学的情况。
因动量算符与位置算符不对易，使得功能算符
2p
μ
∧
与势能算符()U r 也不对易[()U r 处处为零所对应的自由粒子情况除外]，所以动能与势能一般不能同时具有确定值。在2
2p μ∧
的本征态p ?中，
每次测量时2
2p μ都有确定值，但()U r 没有确定的值。在()U r 的本征态()r r δ'-中，每次测量时
()U r 都有确定值，但22p μ没有确定的值。在波函数(,)r t ?所描写的态中，通常2
2p μ
与()U r 都没有确定的值。所以在量子力学中，说在某一点处（位置或动量空间中的某点）粒子的能量应等于动能与势能之和是没有意义的。若考虑在整个空间中的无限多次测量，则粒子的能量平均值仍等于平均功能与平均势能之和。
对于处在O 至a 之间无限深方势阱中的粒子，当粒子处在能量本征值E n 对应的定态n ?时，其波函数为：
0,0n x x a n x x a
a ?π
<>?=<<
*0
()sin x x
i p x a n h x P n a C P dx xe dx π
??-∞
-∞==
?? 1(1)x i
P a n h
x n e a h π
-??=--??
????
|()|x x n h P C P a π→±
=在阱内，粒子的势能是确定的；粒子位置的不确定程度（x ?）不大于势阱的宽度a 。由上面C （P x ）的表示式可知，动量P x 的值除可为n h
a
π±
外，还可以取许多值，所以粒子的功能是不确定的。 一维谐振子的基态能，可以用测不准关系来说明。一维谐振子的平均能量为：
2221
22
x P E w x πμ=+ （）
注意到奇函数的对称积分等于零，则得：
*
*
()()0
()()0
n n x n
n x x x x dx h d P x x dx i dx
????∞
-∞∞
-∞====??
根据（）式得：2222(),()x x x x P P ?=?=，代入（）式得：
222()1
()22
x P E w x μμ?=+? （）
因E 对2()x ?的导数等于零，可解得E 的最小值为1
2
hw 。可见一维谐振子的基态能是测不准关系所要求的最小能量。
如果把测不准关系应用于角动量的分量之间，则由???[,]x y z
L L ihL =，得： 22
2
2
()()4
x y z h L L L ??≥ 在?z
L 的本征态中有：z L mh =，则得： 2224
1()()4
x y L L m h ??≥ 若粒子被束缚在半径为r 的球内，则常用近似关系式rP~h 来估算粒子动量的大小和功能的大小。
力学量平均值随时间的变化和守恒定律
在归一化波函数(,)r t ?所描写的态中，力学量F 的平均值为： *?(,)(,)F r t F
r t dr ??=
? （） 因为(,)r t ?是时间t 的函数，?F 也可能显含t ，所以F 通常是时间t 的函数。将上式对t 求微商得：
**?1??dF F dr F F dr dt t ih t
???????=+???? 从薜定谔方程中求出
t
?
??代入上式得： ***?11????()dF F dr FH dr H F dr dt t ih ih
???????=+-???? 因为?H
是厄密算符，则得： **?1????()dF F dr FH HF dr dt t ih ?????=+-???，即 ?1??[,]dF F F
H dt t ih ?=+? （） 如果?F 不显含时间t ，则
?0F t
?=?，上式便化为：
1??
[,]dF F H dt ih
= 在经典力学中，速度dr
v dt
=
，所以根据上式定义量子力学中的速度算符为： 1?
[,]v r H ih
∧
∧= （）
如果?F
既不显含t ，又与?H 对易那么就有：
0dF
dt
= （） 即F 不随时间改变。满足上式的力学量F 称为运用恒量，或者说F 在运动中守恒。 （1）自由粒子的动量守恒。 自由粒子的哈密顿算符为：
2
?2P H
μ
∧= 因而有
1?
[,]0d P P H dt ih
∧== 所以自由粒子的动量是运动恒量。
（2）粒子在有心力场中运动时，角动量守恒。 在有心力场中，粒子的势能为()U r ，哈密顿算符为：
22222
?12?()22h L H r U r r r r r
μμ?=-++?? 2
L ∧与?i
L （即???,,x y z L L L ）都与?H 对易，所以得： 2
21?
[,]01?[,]0i i DL L H dt ih dL L H dt ik
∧====
可见粒子在有心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是运动恒量。
（3）哈密顿算符不显含时间t 时，体系的能量守恒。
当?H 不显含t 时，?0H t
?=?，则有
1??
[,]dH H H dt ih
==0 所以体系的能量是运动恒量。
（4）哈密顿算符在空间反射中不变时，宇称宇恒。
将x 、y 、z 三根坐标轴都反向的变换称为空间反射变换，或称宇称变换。在宇称变换下，r 变为r -。在直角坐标系下，r →r -即是：
x →-x ，y →-y ，z --z （） 在球坐标系下，r →r -即是：
r -r ，θπθ→-，φπφ→+ （） 在柱坐标系下，r r →-即是：
,,z z ρ?φπ?→→+→- （）
在宇称变换下，波函数(,)r t ?变为?(,)P
r t ?，其中?P 称为宇称变换算符。在非相对论量子力学中（不考虑内禀宇称）
?(,)(,)P
r t r t ??=- （） 将?P
再作用于上式可得：2
?1P =，所以?P 的本征值为±1。任意波函数(,)r t ?都可展开为： {}121
(,)[(,)(,)][(,)(,)]2
S A r t r t r t r t r t a b ?????????=
+-+--=+=+ （）
其中：11[(,)(,)]2r t r t ???=
+-经时一化后得?,S S S P ???= 21[(,)(,)]2
r t r t ???=--经归一化后得?A A P ??=- 所以S ?与A ?都是宇称算符?P 的本征函数，对应的本征值分另为1与-1，S ?称为偶宇称态，而A ?称
为奇宇称态。
如果体系的哈密顿算符在空间反射后保持不变，则????(,)(,)PH r t HP r t ??=，所以得：????PH
HP =这表明宇称是运动恒量。同时说明?H
与?P 可以有构成完备系的共同本征函数，因而体系的能量本征函数可以有确定的宇称或确定的宇称平均值，并且不随时间而改变，这就是量子力学中的宇称守恒定律。
当粒子在一维对称方势阱中运动时，其哈密顿算符与宇称算符对易，其波函数可以按宇称分为两组：一组为偶宇称态，另一组为厅宇称态。当粒子在一维谐振子势场中运动时，其哈密顿算符与宇称算符对易，其波函数()n x ?的宇称为(—1)n
，即为几宇称。当粒子在有心力场中运动时，其哈密顿算符与宇称
算符对易，其波函数为：()()(,)()(cos )m im Elm El lm El lm l R r Y R r N P e φ
?θ?θ==利用（）式可证，
()(cos )m l P θ具有（l —m ）宇称，im e φ具有m 宇称，所以(,)lm Y θφ与(,,)Elm r ?θθ具有l 宇称。
习 题
1、求证
（1）1
11????()AB
B
A ---= （2）~
~????()AB B A = （3）????()AB B A +++= 2、如果??,F
G 都是厄密算符，但????FG GF ≠，问 （1）????FG
GF -是否是厄密算符 （2）????()i FG
GF -是否是厄密算符 3、求证：
??11???????????[,][,[,]][,[,[,]]]2!3!
A A e Be
B A B A A B A A A B -=++++
（1）1?????[,][,]n n A
B nB A B -= n=1,2……
（2）????1??
[,]2
A
B A
B e e e
A B +=+
5、求证：?[,()]()?x x f P ih f P P ∧
∧???
=?????
6、求证：2L P P L ih P ∧∧∧∧∧
?+?= 7、设氢原子处于基态 （1）求r 的平均值。 （2）求势能的平均值。 （3）求最可几半径。 （4）求动量的平均值。 （5）求动能的平均值。 （6）求动量几率分布函数。
8、一粒子在一维无限深方势阱内运动，试计算粒子处于能量的本征态时作用在右阱壁上的平均力。
9、设粒子在一维无限深方势阱中运动，如果粒子的状态由波函数2cos nx nx
a a
?=描写，求在（0，4
a
）区间内测量基态能量2212
2h E a πμ=的几率。 10、设粒子受有心力场的吸引而处于束缚定态，势能为V(r)，且0
2
()0r r V r →???
→，()0r V r →∞
???→，试证明下逑平均值公式成立：2dV
T r
dr
=，其中T 为动能平均值。 11、一维运动的粒子处在态,
()0
x Axe x x x λ?-?>=?
，求22()()?x x P ???= 12、设(),0s U r r
α?
=-
>，试说明当S>2时，粒子在此势场中运动时基态能量为-∞（通常认为这种势场是没有物理意义的）。
13、设一粒子在三维对称谐振子势场221
()2
U r w r μ=
中运动 （1）在直角坐标系下用分离变量法解薛定谔方程求能量与波函数。 （2）求简并度。
第三章 3.1 设??,A B 均为厄米算符,试证: ()????1 AB-BA 是否为厄米算符; ()()????2 i AB-BA 是否为厄米算符. 解: () ? ?????????????? AB-BA =B A -A B =BA-AB 所以不是厄米算符 () ()( ) ()() ? ???????????????i A B -B A =-i A B -B A =-i B A ????????=-i B A -A B =i A B -B A ???? 所以是厄米算符 3.2 设体系的波函数为球谐函数(),lm Y θ?,求其角动量矢量与z 轴的夹角 解: 由于z L cos L θ=, 因为( )()()22?,1,lm lm L Y l l Y θ?θ?=+ ()()?,,z lm lm L Y m Y θ?θ?= 故可取 L =,z L m = ,
所以, cos z L m L θ== 3.3 已知 ?[sin cot cos ]x L i φθφθφ ??=+?? , ?[c o s c o t s i n ] y L i φθφθφ ?? =--?? 问(),1lm Y θ?=是否为?x L ,?y L 的本征态;如果 是,求其本征值. 解: 由于()?,0x lm L Y θ?=, ()?,0y lm L Y θ?= 所以为?x L ,?y L 的本征态, 其本征值为0 3.4 在经典情形,对称陀螺的能量算符为 () 222 11????22x y z x z H L L L I I =++ 1. 问(),lm Y θ?是否为?H 的本征态; 2. 如果是,求其本征值. 解:
第三章 量子力学初步 3.1 波长为ο A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为：1 24 10 34 10 63.610 1063.6----???=?= = 秒 米千克λ h p 能量为：λ/hc hv E == 焦耳 15 10 834 10 986.110 /10310 63.6---?=???=。 3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： meV h 2/ =λ 对于电子：库仑 公斤，19 31 10 60.110 11.9--?=?=e m 把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得： ο οο λA A A V 1225.010000 25.1225.12== = 对于质子，库仑 公斤，19 27 10 60.110 67.1--?=?=e m ，代入波长的 表示式，得：ο λ A 3 19 27 34 10 862.210000 1060.110 67.1210 626.6----?=??????= 3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο λ A V 25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系 式应改为： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长：p h /=λ
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：2 22 02 2c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为：eV K = 2 2 002 2 2 /)(22)(c eV eV m p eV m c eV p += += ∴ 因此有： 2 002112/c m eV eV m h p h + ?= =λ 一般情况下，等式右边根式中2 02/c m eV 一项的值都是很小 的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得： )10 489.01(2)41(26 02 00V eV m h c m eV eV m h -?-= - = λ 由于上式中ο A V eV m h 25.122/0≈ ，其中V 以伏特为单位，代回原 式得： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。 3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
第三章 量子力学初步 一、学习要点 1．德布罗意假设： (1)内容： ων ==h E , n k k h p λ πλ2,=== (2)试验验证：戴维孙—革末试验 电子 λ=V meV h 26 .122≈（?） 2．测不准关系：2 ≥???x p x , 2 ≥???E t ； 3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件 薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态 4量子力学对氢原子的处理 轨道角动量()1,,2,1,0,1-=+=n l l l p l ，l 称为轨道角量子数， 轨道角量子数l =0 1 2 3 4 … 电 子 态 s p d f g … 原 子 态 S P D F G … 能量()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22 224220Z 2Z )41 ( πε，n ＝１.2.3…… 轨道投影角动量()l l l l m m p l l lz ,1,,1,0,,1,,----== ，称轨道磁量子数，表征轨道角动量对外场方向的取向，轨道角动量对外场方向的投影图 描述电子空间运动的三个量子数l m l n ,,的名称、取值范围、所表征的物理量表达式 二、基本练习 1．楮书 P 113习题①②③ 2．选择题 （1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了： A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 (2)德布罗意假设可归结为下列关系式： A .E=h υ， p =λh ; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ ; D. E=ω ，p=λ (3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压： A ．11.51?106V ； B.24.4V ； C.24.4?105V ； D.15.1V (4）基于德布罗意假设得出的公式V 26 .12=λ ?的适用条件是： A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似； C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似 (5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-?， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ?=-?不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
1、指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 22 4 dx d dx d i dx d ，，，x p x ??， )????(21x p p x x x + 2、如果 F ?和 G ?都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？ （1）G F ??； （2）F G ??；（3）G F ??+F G ??； （4）G F ??F G ??-； （5）i （G F ??+F G ??）； （6）i （G F ??F G ??-）； （7）G F ??+； （8）G F ??-； （9）)??(G F i +； （10）)??(G F i -； 3、下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x s i n ， ④x c o s 3， ⑤x x c o s s i n + 4、证明：[?,[?,ê]] + [?,[ê, ?]] + [ê,[ ?,?]] = 0 5、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径） 。 6、设氢原子处在0301),,(a r e a r -= πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求 ①r 的平均值； ②势能r e 2 -的平均值。 7、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤中。初始时刻（t=0）其归一化波函数为( ),01cos sin x x x a a ππψ???=+? ???? ，求（a ）t>0时刻粒子的状态波函数(),x t ψ；（b ）在t=0与t>0时，在势箱左半部（02a x ≤≤ ）发现粒子的概率是多少？ 8、粒子被限制在,22a a ??-???? 区间内做一维运动。若在t=0时刻，设粒子运动的波函数为： （1）()1cos 202x a A x a x a x πψ?≤??=??>??
第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为:
若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得:
量子力学发展历程 摘要：量子理论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难，引入能量子概念的基础上发展起来的，爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难，进行了开创性的工作，先后提出电子自旋概念，创立矩阵力学、波动力学，诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925年到1928年形成了完整的量子力学理论，与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词：量子力学；量子理论；矩阵力学；波动力学；测不准原理 量子力学(Quantum Mechanics)是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学揭示了微观物质世界的基本规律，为原子物理、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了基础。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质，光的吸收与辐射等等方面。从1900年到1913年量子论的早期提出，到经过许多科学家如玻恩、海森伯、玻尔等人的努力诠释，量子力学得到了进一步发展。后来遭到爱因斯坦和薛定谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。双方展开了一场长达半个世纪的论战，至今尚未结束。 1 普朗克的能量子假设 普朗克在黑体辐射的维恩公式（u = b(λ^-5)(e^-a/λT)）和瑞利公式（u = 8π(υ^2)kT / c^3）之间寻求协调统一，找到了与实际结果符合极好的内插公式，迫使他致力于从理论上推导这一新定律。1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。 2光电效应和固体比热的研究 普朗克的出能量子假说具有划时代的意义，但是，不论是他本人还是同时代人当时对这一点都没有充分认识。爱因斯坦最早明确地认识到，普朗克的发现标志了物理学的新纪元.1905年，爱因斯坦在其论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》中，发展了普朗克的量子假说，提出了光量子概念，并应用到光的发射和转化上，很好地解释了光电效应等现象。在那篇论文中，爱因斯坦总结了光学发展中微粒说和波动说长期争论的历史，提示了经典理论的困境，提出只要把光的能量看成不是连续的，而是一份一份地集中在一起，就可以作出合理的解释。与此同时，他还大胆地提出了光电方程，当时还没有足够的实验事实来支持他的理论，因此，爱因斯坦称之为“试探性观点”。但他的光量子理论并没有及时地得到人们的理解和支持，直到1916年，美国物理学家密立根对爱因斯坦的光电方程作出了全面的验证，光量子理论才开始得到人们的承认。1906年，爱因斯坦将普
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,
n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,,
第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
第三章 量子力学中的力学量 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- = ，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x U x 2 2 22222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122* 2ψψμμ ?∞∞----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μπ α ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 222 22??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μωμαμαπαμ πα? ===442222222ω 41 = 或 ωωω 4 14121 =-=-=U E T
(3)*(,)() ()p c p t x x dx ψψ=? 222 2 x i i t px e dx αωαπ π ∞ - ---∞ = ? 2212 2 i i x px t e e dxe αωαπ π ∞ ----∞ = ? 22222 2 1()222 ip p i x t e dxe αωαααππ - +-∞ --∞ = ? 22222 21()222 p ip i x t e e dxe αωα α αππ- - +∞ --∞ = ? 22 2 22 2 p i t e ωααα π π - -= 22 2 22 p i t e e ωααπ - -= 动量几率分布函数为 2 2 2 2 ()(,)p p c p t e αωαπ - == 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) ?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -== ? ∞ -= /2330 04dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??=
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
闽江学院 教案 课程名称：原子物理 课程代码： 21100430 授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华 系别：电子系 2012年8 月30 日
第三章量子力学导论 教学目的和要求： 1．了解量子化物质波粒二象性的概念。 2．理解测不准原理； 3．掌握波函数及物理意义； 4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例； 5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。 教学重点和难点: 1. 教学重点：波函数及统计解释 2．教学难点：波函数及统计解释 教学内容： 1. 玻尔理论的困难 2. 波粒二象性 3. 不确定关系 4. 波函数及其统计解释 5. 薛定谔方程及应用 19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。 在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。 量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想； 3)解决具体问题的方法。 §3-1玻尔理论的困难 玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？） 玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。…… §3-2波粒二象性 1.经典物理中的波和粒子 经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p （1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 是概率密度函数， 12 dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较：
量子力学经典力学 研究对象在t时刻的位置 无法确定 只能确定在dx x x ~的出现概率 可以确定 t时刻的动量和速度 无法确定，速度无意义 只能确定具有dp p p ~的概率 且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度 同时确定 研究对象的状态的描述波函数（复函数） 或态矢量 （复矢量） t p t r ,（实矢量函数） 状态的 演化方程 薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为 会影响对象 （只有时间测量不影响） 不会影响对象 测量精度 受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定 可达到任意高 可以同时测定所有物理量 预测的 测量结果 某个结果出现的概率确定的值 实际的测量结果 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节
第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21??,2Q F Q F i σσ?? ??≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*?Q Q dx =ψψ? 计算方法等价。 如果力学量?Q 具有连续谱的本征函数系 '*'?()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-? 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为
补充 3.5）设粒子处于半壁高的势场中 ?? ? ??><<-<∞=a x a x V x V ,00, x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .: a x ,0)()(a x 0 ,0)()(22 "2 12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2） 其中 ()2 2 022 '2k ,2 E E V k μμ-=+= （3） 方程的解为 kx kx x ik x ik De Ce x Be Ae x --+=+=)()(21' ' ψψ （4） 根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则 当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是 a x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx De x a x k F x ψψ （5） 在a x =处，波函数及其一级导数连续，得 ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6） 上两方程相比，得 k k a k tg ' ' -= （7） 即 ()E E V E V a tg +--=?? ????+002 2 μ （7’） 若令 ηξ==a a k k ,' （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程： ?? ? ??=+-= (10)9) ( 2 220a V ctg μηξξξη（10）式是以a V r 202 μ= 为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ， 结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点
第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4）