浅谈劳动争议案件中证明责任的几点问题
刘小根
一、问题的提出
2007年颁布的《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》（以下简称《调解仲裁法》）以国家法律的形式对劳动争议案件中的举证责任作出了原则性与例外性的特别规定。由于诉讼实践的深入影响，“谁主张，谁举证”这一诉讼、仲裁领域的举证责任规定似乎已为广大法律从业人员甚至一般大众所熟知。一般来说，举证责任如此耳熟能详的制度在仲裁实践中运用自如理应是顺理成章的，然而事实恰恰相反，当事人甚至审理者在实践当中对举证责任的运用，有的是无所适从，有的是在庭审中各执一词，有的是不求甚解，甚至有人抱怨之所以在仲裁中大家各执一词，原因就是证明责任规定不清。果真如此吗？
本文认为，要想在仲裁实践中准确自如地运用举证责任，首先应当从该制度所涉的三个最基础层面加以理解：1.劳动争议中举证责任的原则性与例外性具体规定到底如何理解，是不是像有的人所抱怨的规定含糊？笔者认为，劳动争议案件中对举证责任规定是清晰明确的，完全能够指导仲裁实践。2.“谁主张，谁举证”原则当中的“主张”究竟为何意，在法律层面上何时构成一个“主张”，这是适用举证责任的逻辑起点。比如在劳动合同已到期，用人单位未与劳动者续签劳动合同，劳动者因而主张经济补偿金的劳动纠纷案例中，申请人提供了一份到期合同用以证明单位没有在合同终止时与其续签劳动
合同从而主张经济补偿金，对此，被申请人则辩称是劳动者不愿意与其续签，自己不应当支付补偿金。在这种情况下，究竟谁为提出主张的一方，举证责任又应当由谁来承担呢？从中就涉及到何为“主张”的问题。3.审理者在何种情况下需要适用证明责任进行裁决。有时不负证明责任的人也会在仲裁过程中尽力提供证据以争取对自己有利的裁决，对他的这种证明行为应当如何定性？是不是在举证不能时也同样要承担不利的法律后果呢？是不是所有案件的裁决都适用证明责任分配原则，还是证明责任的运用也需要具备一定条件？
带着这些问题，本文冒着被行家同道批评的风险，试从理论与案例相结合的角度来重新解读“谁主张，谁举证”这个法律人士司空见惯的原则性规定，旨在抛砖引玉,希冀能够引起同行们对劳动争议中证据制度研究的热情。
二、证明责任的现行规定完全能够指导仲裁实践
劳动争议中，当事人首先需要承担主张责任，即须提出诉讼请求和支持诉讼请求的事实，然后承担证明责任，也就是对所主张的事实加以证明的责任。如果当事人不能提供证据对其所主张的事实加以证明，或虽提供了证据但不能使得仲裁员获得心证，此时当事人将承担败诉的风险，这就是证明责任。1证明责任，在日文中称为立证责任或举证责任，在英美法系称为证明负担。我国也有学者将英美法系的证明负担称为证明责任。2关于证明责任一般程序法中皆有原则性规定和例外性规定（如举证责任倒置），那么劳动仲裁中原则性规定和例外性规定分别是什么，这些规定能否指导仲裁实践？本文认为，这些规定完全能够指导仲裁实践。该部分将从三个方面对劳动争议案件
1因我国没有专门劳动法院，劳动纠纷是先经劳动仲裁不服后再向法院起诉，且劳动法起步较晚，其证据制度设计主要是参照或引用民事证据制度；所以，在本文中有些理论得引用或参照民事诉讼学中的知识。2齐树洁：《英国证据法》，厦门大学出版社，2002年出版，第171页。
中的举证责任进行详细阐述。
（一）一般情形适用“谁主张，谁举证”
以前对劳动争议案件中证明责任的规定主要还是参照民事诉讼法的相关内容，3随着立法的逐渐完善，2007年12月，全国人大常委会颁布的《调解仲裁法》第6条前半段以特别法的形式专门对劳动争议案件中的举证责任作出了规定，“发生劳动争议，当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。……”该条前半段沿用了民事诉讼中的相关规定4，即一般学理上所称“谁主张，谁举证”原则，应被视为劳动争议案件中证明责任分配的基本原则。一般情况下要求主张的提出者承担举证责任是延续了罗马法的规定；如果不要求主张者提出证据对其主张加以证明，就会因主张者没有成本而随意启动劳动争议程序，不仅浪费有限得仲裁资源，而且可能会给对方当事人造成损失。稍有遗憾的是，第6条前半段并没有对不提供证据的法律后果加以规定，即没有规定不提供证据将要承担不利后果；但从立法原意来看，不能证明将要承担不利后果应是题中应有之义。
从该条来看，如果没有出现特别情形，应当是适用“谁主张，谁举证”原则。列举几例：劳动者若要求因劳动合同终止没有续签的经济补偿金，他首先得提供证据证明双方原到期的劳动合同；劳动者若主张用人单位减少劳动报酬，首先得证明原来报酬和现在报酬及之间的差异；用人单位若主张是因劳动者严重违纪被解除，首先得证明规章制度、劳动者严重违纪行为的存在；劳动者主张未签劳动合同的双倍工资，首先得证明劳动关系的存在；用人单位主张劳动者试用期被
3《中华人民共和国民事诉讼法》第64条第1款规定，“当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。”
4《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》（〈2001〉33号）第二条规定，“当事人对自己提出的诉讼请求所依据的事实或者反驳对方诉讼请求所依据的事实有责任提供证据加以证明。没有证据或者证据不足以证明当事人的事实主张的，由负有举证责任的当事人承担不利后果。”
证明不合格，得证明岗位的工作标准及考核情况。对于这些适用“谁主张，谁举证”证明责任分配原则的情形，争议并不大。
（二）特殊情形举证责任倒置
因劳动关系有着一定的身份性和依赖性，劳动者一方虽为合同一方平等当事人，但实际上平时受用人单位管理，处于劣势地位。用人单位作为管理者拥有很多单方面权力，如可以对劳动者作出考勤、业绩考核、开除、除名、减少报酬等行为。此时，如果苛求劳动者对这些事实完全举证，有违公平原则。为此，2001年最高人民法院出台了《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释》（〈2001〉14号），其中第13条规定，“因用人单位作出开除、除名、辞退、解除劳动合同、减少劳动报酬、计算劳动者工作年限等决定而发生的劳动争议，由用人单位负举证责任。”通说认为，前面的司法解释应被理解为“举证责任倒置”，《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》（〈2001〉33号）第六条沿用了此规定。5因该司法解释与《调解仲裁法》的规定并不冲突，并不适用“新法优于旧法”或“上位法优于下位法”；因此，该条司法解释应当还是有效的。
在列举的这六类或类似这六类的案件中，劳动者当然并非不承担任何举证责任。如劳动者因用人单位作出开除、除名而引发劳动争议的，劳动者首先得提供证据证明用人单位对其作出了开除、除名行为的存在，劳动者证明到这一步就已经尽到了初步证明责任。此时，要由用人单位对开除、除名行为的事实依据、法律依据、规章制度进行举证。如果用人单位不能举证、不举证、或举证不充分，就可能要承担不利后果。当然，举证的过程是个互动的过程，因此，会不断有新
5《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》（〈2001〉33号）第六条规定，“在劳动争议纠纷案件中，因用人单位作出开除、除名、辞退、解除劳动合同、减少劳动报酬、计算劳动者工作年限等决定而发生的劳动争议，由用人单位负举证责任。”。
情况出现，此时可能会出现互相反驳情形，此时可能会出现举证责任的漂移6，即由反驳者对反驳进行举证（详见下部分分析）。
（三）其他情形由离证据近者举证
成文法国家的普遍困境就是，立法涵盖情形的有限性与现实案例的无限性之间的矛盾，劳动争议案例中的举证责任规定也是如此。劳动争议案件中，除了前述的一般情形下适用“谁主张谁举证”和特殊情形下适用举证责任倒置外，肯定还有一些情形是举证责任不清的情形，这种情况下怎么办，有人认为对此法律没有任何规定，纯属仲裁庭自由裁量。实际不然。
在证据法上有“证据最近原则”，即证据应当由离证据最近的一方提供，让离证据远的人承担举证责任有失公允，违反公平原则，因此，法律为了衡平双方利益，规定单位对其掌管证据负有提供义务。《调解仲裁法》第6条后半段规定，“……与争议事项有关的证据属于用人单位掌握管理的，用人单位应当提供；用人单位不提供的，应当承担不利后果。”此条后半段则应被视为劳动争议案件中“谁主张，谁举证”证明责任分配原则的兜底性补充条款7，即在不符合前述两种情形的情况下应当依据此分配举证责任。劳动争议案件中，用人单位作为管理者，其应该掌握着劳动者掌握不了的材料。该法第39条第2款同时规定，“劳动者无法提供由用人单位掌握管理的与仲裁请求有关的证据，仲裁庭可以要求用人单位在制定期限内提供……”。
这是否意味着不分情形对于用人单位掌握管理的证据皆由用人单位举证呢？如果用人单位不提供的抗辩理由成立的，就可以免除其
6笔者在这里使用“漂移”一词，是借用了达马斯卡的用法。见米尔建·R·达马斯卡：《漂移的证据法》〔M〕，李学军等译，中国政法大学出版社２００３年出版。
7笔者说其是兜底性条款，是因为用人单位掌握管理的证据包括但不限于举证责任倒置的几种证据，范围比其要广泛。
举证责任，否则，可能就违背了“证据最近原则”的本意。此时要看单位“不提供”是否有举证可能。如人事经理甲申请仲裁时提出加班工资请求，对于加班最主要的证据应当是考勤记录。用人单位抗辩说，但我单位平时考勤记录就是由人事经理掌握保管的，现在不仅不能提供他考勤记录连其他人也不能提供了，人事经理上次擅自销毁了考勤记录，并提供了证人证言与视频资料对销毁事实加以证明。此时用人单位不提供考勤记录就不能让其承担不利后果，因为，该证据离人事经理最近。
因此，本文认为，对于劳动争议案件中的举证责任分配法律规定清晰明确，完全能够指导仲裁实践，即一般情形下适用“谁主张谁举证”和特殊情形下适用举证责任倒置，其他情形依据公平原则按照“最近证据”这个兜底性条款进行分配举证责任。
三、证明责任分配原则中“主张”的构成条件
想真正理解并运用劳动争议中“谁主张，谁举证”的证明责任分配原则，首先得明白何为“主张”，什么情况下构成一个“主张”，对于对方的“主张”予以否认，是否构成一个新的“主张”，或者什么情况下进行答辩构成一个新“主张”？这是理解和运用该原则的一个逻辑起点。目前通说认为，我国法律制度属于大陆法系，在证明责任分配制度的设计上也借鉴了大陆法系的一些优秀理论和制度。大陆法系对于证明责任的学说有很多，其中最为璀璨权威的当属德国罗森贝克的法律要件分类说。我国在沿用上述学说及相关理论的基础上逐渐发展并提炼出了“谁主张，谁举证”作为证明责任分配理论的基本原则。简言之，罗氏将各种法规范的种类划分为四种基本类型，即权利形成规范、权利妨碍规范、权利消灭规范、权利排除规范，当事人要
根据规范所要求的要件进行举证。8笔者认为，罗氏划分的这四种类型实际上可以概括为两种类型，一类是权利形成规范，就是申请人认为自己权利成立的法条适用条件；另一类是权利排除规范，就是被申请人认为权利不成立或部分不成立的法条适用条件。
至此，读者可能依然不能明白究竟在什么情况下才构成一个“主张”？经过对罗森贝克法律要件规范说的研究，本文认为，“主张”实际上主张某种权利或事实的存在，究其功能主要有两类：一类属于“权利形成主张”，如上例中申请人称因单位在劳动合同到期后未与其续签合同而主张补偿金就属于该“主张”；另一类则正好与之相对（反），如上例中，被申请人若主张其曾提出要与申请人续签合同，但因为申请人拒绝则没有续签。此即应被视为另一类新的“主张”。一般情况下，若仅仅是单纯针对对方提出的请求进行否认，当事人是不需要承担举证责任的，因为单纯的否认事实并不构成一个新的“主张”，且一般情况下，单纯否认属于消极事实9，当事人很难加以证明，强迫主张消极事实的人承担举证责任有失公正。比如在申请人要求确认与被申请人之间存在劳动关系的案例中，若此时要求被申请人承担其与申请人之间不存在劳动关系的证明责任，显然是不现实的，此时只能由申请人承担劳动关系存在的举证责任。
还是援引前文所举合同终止后用人单位未续签合同，劳动者想获得补偿金的案例进行说明。申请人提出的“补偿金”就是一个权利主张，其要按照《劳动合同法》第46条第5项10的要求进行举证：第一，
8参见段厚省：《民事诉讼证据法课稿（2007）》，复旦大学法学院，第三讲。
9张卫平先生曾经指出，消极事实说有重要缺陷：往往只要转换一下表述的方式，就会使原被认为是消极事实的事实魔术般地变成积极事实，积极事实则又可随意地转换为消极事实。笔者认为，审理者得区分该消极事实是否可以还原成积极事实进行表述，如果可以，则可以认定为是积极事实，要求其举证。
10第五项，“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿……（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的……”
其与用人单位之间有过一份劳动合同；第二，上述劳动合同已到期；第三，合同期满后，用人单位未与其续签合同。申请人举证内容就可以了。如果单位反驳说，是劳动者拒绝续签合同，就属于阻碍申请人获得补偿金权利的新的“事实主张”，单位此时需要提供证据对要求劳动者续签合同进行证明。
四、适用证明责任分配原则进行裁决的条件
劳动争议中审理者在适用证明责任时除了要理解何为“主张”这个逻辑起点外，还需要明白何时才能适用证明责任来进行裁决，即适用证明责任的裁决条件问题。为什么有时不负证明责任的人在仲裁过程中也要尽力提供证据，法律上对他的这种举证行为应该如何定性？此时他也同样需要承担举证不能的风险吗？是不是所有案件的裁决都适用证明责任呢？
学界通说认为，举证责任包括主观意义上的举证责任和客观意义上的举证责任，也称行为意义上的举证责任和结果意义上的举证责任11。主观意义上（行为意义）的举证责任又称说服责任，是指一方当事人尽管不负举证责任，但为了追求胜诉结果，使得裁决结果有利于己方，也会尽最大努力搜集、保存并向仲裁庭提供证据。如前例中合同到期终止后，劳动者只要提供证据证明所签合同到期就可以了，对于是否有过续签的举证责任应当在于用人单位，劳动者对是否有过续签事实不负举证责任。但此时劳动者为了追求有利于己的裁决结果以
11这和我们平常所理解的证明责任的涵义有差别，我们平常理解的就是风险裁判规则。
至获得胜诉，向审理者提供了一份录音资料用以证明用人单位法定代表人在合同终止前一个月曾向其明确表示过合同到期后便不再进行续签。劳动者的此种举证责任将有利于审理者进一步查明事实，这个举证就属于行为意义上的举证责任。客观意义上（结果意义）的举证责任就是我们平时所理解的举证责任概念，指负有举证责任的当事人未尽举证责任的应当承担不利后果的风险裁判制度。如前例中即使劳动者提供的录音证据因制作方式最终并未被仲裁庭所采纳，此时也不能免除用人单位的举证责任，如果用人单位未提出证据或虽提出证据但未能证明其曾提出过续订劳动合同主张的，仲裁庭仍将裁决由用人单位承担不利后果。
因此，就主观的证明责任来看，其目的是为了发现案件真实，使裁判者在法律要求的消极中立的情况下获得查明案件事实所需要的证据资料；从更为深入的层面来看，主观的证明责任的功能是为了使裁判者对案件事实获得正确的心证，其目的是排除事实真伪不明状态的发生。在证明活动中，发现真相应当是其最主要的任务，裁判者裁判所依据的事实愈接近客观真实，其裁决愈趋于实体法律上的正义；而裁决所依据的事实愈远离客观真实，其裁判也就愈远离实体法律上的正义。主观的证明责任的设置，恰恰就是为了促进证明活动主要任务的实现，也就是发现案件真相。因此主观的证明责任虽然属于程序法的领域，但却是追求实体正义的保障机制之一。因此，如果此时的证据没有被采纳，是不能免除对方的举证责任，更不能由其承担不利后果。
综上所述，发现案件真相并避免案件事实陷入真伪不明的状态，才是裁判者的首要追求。只有在正当程序的范围内无法发现案件真相的情况下，才不得不引入客观的证明责任来结束程序，为裁判者规避错误裁判的风险提供出逃的路径。换句话说，与其说客观的证明责任是在案件事实真伪不明的状态下在当事人之间对不利裁判的风险的分配，不如说是在案件真相难以发现的情况下对作为裁判基础的案件事实为真或者为伪的一种推定，此种推定使得裁判者可以走出困境，以作出不适用权利主张者所援引的法律规范的决定，从而使仲裁程序得以终结。
五、结语
平时有些我们耳熟能详的法律术语未必就如我们所想象地那么简单，“谁主张，谁举证”就是如此。本文试图从理论的角度结合劳动争议的仲裁实践重点阐述“谁主张，谁举证”原则中究竟何为一个“主张”，以及在何种情况下应适用这一举证责任分配原则等基本问题。经过充分论述，笔者认为并非每一份裁决都要适用通俗意义上的证明责任，只有在案件事实真伪不明的情况下，才会运用风险裁判规则——证明责任使得程序得以终结，并最终获得法律上的相对正义。
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
我眼中的刘姥姥 【论点】 《红楼梦》全书共塑造了四百多个女性形象，在全书整体女性形象系列中，刘姥姥无疑只是一个穿针引线式的小人物，但就是这样一个不起眼的小人物，在文学巨匠的笔下，也被刻画的活龙活现。其实，刘姥姥是个很不简单的人物。但对于那些对《红楼梦》半生不熟的读者来说，他们可能会觉得新鲜。因为，“刘姥姥进大观园”这句俗语留给人们的印象——刘姥姥是个“憨愚”的村妇，恐怕在人们脑海里早已铸成铜像了。刘姥姥进了大观园，土里土气，少见多怪，层出不穷地闹笑话，七十多岁的人，头上插满了鲜花，一喝酒就喝得烂醉，刘姥姥的确让人觉得憨愚。但是，这其实并不是刘姥姥的“全人”。在土里土气的外表之内，她还有很精明的一面，甚至有些“小市民气”，她也并非一个纯粹的粗人，而是小有一点文化素养。刘姥姥一出场，曹雪芹就介绍说：“这刘姥姥乃是个久经世代的老寡妇。言下之意似在告诉读者：刘姥姥是个饱经世故、有社会经验的人。 【本论】 一．智 刘姥姥是《红楼梦》中一顶一的聪明人。人间最大的聪明不是治家治邦，也不是吟诗作画，而是审时度势、察言观色和趋利避害。因此她相比较“机关算尽太聪明”的凤姐、“心比肝干多一窍”的黛玉，以及“心比天高”的晴雯，都略胜一筹。刘姥姥具有在社会底层积累的草根智慧，就如一只在林莽中生存的野生动物一样，它们本能地感觉到哪里有食物，哪里有危险。一
旦将它们圈养在动物园里，无食物安全之虞，它们的这种本领便会急剧退化这也是刘姥姥的生存智慧高于大观园中诸人的根本原因。她——一个村野老妪，能够有如此大的知名度不是偶然的。 先说她一进荣国府的目的吧，她是因为家里断顿了去求施舍的。然而就是这样一个老寡妇进了两次荣国府却使家境殷实起来。这不能不另人叹服啊！ 她一进荣国府的时候，凤姐是怎么样对她的呢？她还没说来的目的，正巧贾蓉来向凤姐借玻璃屏风，凤姐就指桑骂槐的骂到：偏我王家的东西都是好的吗？一个久经世事的老人怎么可能听不出来啊，可她假装不知道。这是她的第一个高明之处。还有，当她二进荣国府，虽说是去送些瓜果蔬菜，可是这次她却见到了贾府的真皇帝——贾母，当然还有王夫人等。她的好运也是从这次开始的。当贾母邀她游大观园的时候，她把她的聪明发挥到了及至。首先，说她在吃饭前的那段开场白吧：老刘老刘，食量大如牛，吃头老母猪，不回头；谁人也有自尊，谁人也愿意机灵，可是她却一直都在表现自己的迂腐与俗气。当那些丫头们向她的脑袋上插花的时候，她难道不知道那样自己很难看吗？可是她带了，并且是笑着带上的。在有大观园的过程中她把贾母等哄的抑或是逗的捧腹大笑。她显示自己的粗鄙给那些太太小姐们取笑。可是她也换来了回报。先前的凤姐是瞧不起她的，在她带着她的外孙子板儿第一次去见凤姐的时候，凤姐假装不知道她们去了以显示自己的权威。可是凤姐后来竟让刘姥姥为她的女儿取名字；这是一个多么大的转变啊！以至后来刘姥姥做媒把巧姐嫁给了刘姥姥她们当地的一个地主家。并且使她成了金陵十二钗中结局最好的一个。虽然说这是凤姐死了以后的事情，但如果刘姥姥
刘姥姥的性格特点(总结) 刘姥姥的性格特点（一）： 刘姥姥的形象特征： 一、朴实憨拙、嬉闹贾府的村妇; 二、乐观进取，直面生活的老人; 三、风趣幽默、善于逗乐的老妪; 四、机敏睿智、察言观色的才干; 五、阅历丰富、洞晓人生的智者; 六、知恩图报、侠肝义胆的热肠。 刘姥姥的性格特点（二）： 善良厚道的刘姥姥 在《红梦中》我们看到的刘姥姥不仅仅是一个深谙世事的老妇，一个丑角。刘姥姥还具有知恩图报、心地善良的个性，在《红楼梦》第六回、第三十九回、第百十三回中有所体现。刘姥姥作为一个农民老妇人的形象，带着板儿能够进入大观园，在周瑞家的周大娘地帮引下最终得到了王熙凤二十两银子的施舍，在末了舍得将刚刚得到的银子摸出一快来感激周大娘，以表示自我受到帮忙后的谢意。二十两银子让她们一家都度过了艰难的年关，当她舍得把自我家里种的“头尖”瓜果蔬菜送到贾府来让贾府众人尝鲜也就有了刘姥姥的二进大观园，才能受到凤姐的推崇，将这个农村老太太送到了贾母跟前，让她在贾府又大赚了一笔。[3] 其实，最能让人感受到刘姥姥知恩图报，善良厚道的还得是在贾府落败之后，当得知贾府中的老太君贾母逝世后，
她也禁不住“心里也就悲惨起来”，贾府落败，树倒猢狲散，大家对于这样一个亲戚躲都躲不及，刘姥姥却不顾这些再进大观园，去看看贾母，去看看自我惦记的王熙凤。 正是由于刘姥姥得了好处明白报恩，在贾府落败之后还会前来探望这些正在水生火热别人不敢接近的亲戚，在巧姐有难时出手相救给我们有了一个不一样的刘姥姥，一个知恩图报，温厚善良的刘姥姥。 刘姥姥的性格特点（三）： 《红楼梦》中出场人物有四百多位，并且个个栩栩如生，就是那些着墨不多的次要人物，也是写来如见其人，如闻其声。就拿刘姥姥来说说吧。 出身乡村的刘姥姥来到了贾家，凤姐导演了一幕闹剧，在贾母那里吃饭的时候，丫鬟只捡了一个鸽子蛋放在刘姥姥那里，刘姥姥不知羞耻地说：“老牛，老牛，食量大如牛”，此时老刘那种直爽，快直的农民性格表现的淋漓尽致。然后刘姥姥又说：鸡蛋俊，小巧”，说明她见识敷浅，只明白吃。到之后鸽子蛋滚到地上，刘姥姥赶紧去拣，其农家那种艰辛勤俭穷酸的形象跃然纸上，与高贵阔气的贾家构成了鲜明的比较，体现了封建官僚与穷苦百姓差距之大，讽刺了当时的封建社会。最终，她与众姑娘对联，用的都是粗俗的言语，可见她文化甚少，引得大家一阵大笑。好词好句 总之，刘姥姥这种封建、贫穷、可笑的形象经过作者的笔墨，全部体现出来。 刘姥姥的性格特点（四）：
证明组合恒等式的方法与技巧 摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。 关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理 Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排 列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的
成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日
目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22)
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
红楼梦笔下的刘姥姥人物形象浅探 摘要 刘姥姥在红楼梦这部巨著中，只是一个无足轻重的小人物。但在红楼梦的作者妙笔下，刘姥姥却成了中国家喻户晓的人物，「刘姥姥进大观园」这一段的文字也多次入选为高中国文教材，作者在这个小人物身上用了相当多的笔墨。对此 历来各家有不同的说法，有的以为作者用了这么多的笔墨，是为了塑造一个世 故圆通的老妇，有的则以为作者对这么一个摇尾取怜的小丑表示鄙弃。以下就书中所见数据及各家说法作一比较分析。 一、前言 刘姥姥在《红楼梦》这部巨著中，只是一个无足轻重的小人物，虽算是王家在京中的一门连宗之族，但知者甚少，早已疏远。但在《红楼梦》的作者妙笔下， 刘姥姥却成了中国家喻户晓的人物，「刘姥姥进大观园」也成了日常常用的俗语，而且「刘姥姥进大观园」这一段的文字也多次入选为高中国文教材。作者在前八十回中著作中，第六回「刘姥姥一进荣国府」，三十九到四十二数回写「刘姥姥二进荣国府」，用了相当多篇幅，在一小人物身上用了相当多的笔墨，突出他的 人物特色，到底刘姥姥这个村气十足的人物魅力何在？而在作者笔下，刘姥姥是一个世故圆通的老妇，还是一个摇尾取怜的小丑？向来各家有不同的说法，以下就书中所见数据及各家说法作一比较分析： 二、红楼梦笔下的刘姥姥人物形象浅探 刘姥姥在今通行本《红楼梦》中，共有七次进荣国府，正好安排在贾家不同的状况时，成为一条隐藏的伏线，见证贾家的兴衰：刘姥姥第一次造访在第六回， 全书才完成布局，许多人物还不曾登场，故事还未展开，此时是为序幕阶段，说明了刘姥姥与贾府新关系如何建立，以为尔后情节发展的张本；第二次造访是在第三十九回至四十二回之间，这时贾府最鼎盛得意，这几个章回充满了欢笑与快乐；第三次造访书中并未加以描写，可以加以略过；第四次造访，是贾府家破人亡最倒霉的时候；五、六次是见义勇为救了巧姐，更反衬出贾家亲戚落井下石的可鄙面貌；第七次则不但巧姐事件风波平息，而且宁荣两府也复了官，赏还抄的家产，宝玉、贾兰双中进士，宝钗有孕，贾政也答应巧姐嫁给周家，除宝玉出家 的憾事之外，贾府笼罩在一片喜气洋洋的气氛之下，刘姥姥见了王夫人等便说些将来「怎么升官，怎样起家，怎样子孙昌盛」，暗示着贾家将在有一番繁荣再起的远景。所以刘姥姥几进荣国府，正是一条伏线，见证贾府不同的荣衰。刘姥姥七进荣国府中的言语行动中，我们可以归纳出刘姥姥的形象如下： （一）朴素实在的老农妇 这是刘姥姥最基本的形象，根据第六回中对刘姥姥的描写是： 这刘姥姥乃是个积年的老寡妇，膝下又无儿女，只靠两亩薄田度日。今者女婿接来养活，岂不愿意，遂一心一计，帮趁着女儿女婿过活起来。 刘姥姥本来只是「只靠两亩薄田度日」的「老寡妇」，被女婿接来奉养，「遂一心一计，帮趁着女儿女婿过活起来」，这「一心一计」正点出了刘姥姥的勤恳实在
第十讲组合恒等式 、知识概要 数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础, 并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1,基本的组合恒等式 简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上, 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有: ①c n 丄 ② cn i=c F +cn ③ kC： = nC n；; zTx m m r __m ④ C n C r —C n C n_m ； ⑤ c；?+cn+c2+iii+C n n=2n； ⑥ C -cn +Cn2+|H+(-1)n Cn n =0. 2, 解题中常用方法 运用基本组合恒等式进行变换; 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明; 运用数学归纳法; 变换求和指标; 运用赋值法进行证明; 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明; 构造合理的模型。
二、运用举例 例 1，求证：C ： +2C 2 +3C 3+i|| + nc n = n 左边=nC ；丄+ nC ：丄+ nC ；」中川中nC ；： " n 例2,求和式2 k 2 C n k 的值。 k 1 基本思路：将k 2 c nk 改写为k kCn ，先将kCn 用恒等式3提取公因式n ，然后再将kC ：：变形 k 1 k 1 k 1 成为（k -1 ）C n 4 +C n 4，而（k -1 ）C n 4又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数 中均不含有变动指标 k 了。 n n n k nC ：；=迄 k c n ；； =n E (k -1 +1)C ：； k 经 k 壬 k=t n =n S [(k -1)C ：； +c n ：；r n ^ [(n -1 心 km = n (n -1 严 + n2n4 = n (n +1)2：/ 2004 例 3,求艺(—1^2005 kz0 2004 解：s( -1) k C 2005 = 1 -c 爲5 + C 爲5 -川 + (-1 )2004 C 誥 kzQ R-(C 2004 +C 2004 +C 2004)-川+(T )(c 2003 +c 200： n -1 例 4，设 m, n 忘 N 十，求证：送(m +k )(m +k +1 ) = - (3m 2 + 3m n + n 2 T 卜 心 3 证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得: n 解：S k 'c nk kA n -Z k kC n ； k i = (n —1)C L k =2 n T n 鳥+送H 卜-1正C 鳥+：送C k=1 」 k=2 n nJ k=i 的值。
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/1517688796.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/1517688796.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/1517688796.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行
分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x
黑龙江广播电视大学 本科毕业论文 题目浅谈刘姥姥的人物形象 学生姓名＿闻桂芳 专业汉语言文学 年级三年级 学习中心黑龙江电大 学号 指导教师 通讯地址林口县青山中学 2009年 12 月 10 日
汉语言文学专业（本科）毕业论文写作提纲 我眼中的刘姥姥 【论点】 《红楼梦》全书共塑造了四百多个女性形象，在全书整体女性形象系列中，刘姥姥无疑只是一个穿针引线式的小人物，但就是这样一个不起眼的小人物，在文学巨匠的笔下，也被刻画的活龙活现。其实，刘姥姥是个很不简单的人物。但对于那些对《红楼梦》半生不熟的读者来说，他们可能会觉得新鲜。因为，“刘姥姥进大观园”这句俗语留给人们的印象——刘姥姥是个“憨愚”的村妇，恐怕在人们脑海里早已铸成铜像了。刘姥姥进了大观园，土里土气，少见多怪，层出不穷地闹笑话，七十多岁的人，头上插满了鲜花，一喝酒就喝得烂醉，刘姥姥的确让人觉得憨愚。但是，这其实并不是刘姥姥的“全人”。在土里土气的外表之内，她还有很精明的一面，甚至有些“小市民气”，她也并非一个纯粹的粗人，而是小有一点文化素养。刘姥姥一出场，曹雪芹就介绍说：“这刘姥姥乃是个久经世代的老寡妇。言下之意似在告诉读者：刘姥姥是个饱经世故、有社会经验的人。 【本论】 一．智 刘姥姥是《红楼梦》中一顶一的聪明人。人间最大的聪明不是治家治邦，也不是吟诗作画，而是审时度势、察言观色和趋利避害。因此她相比较“机关算尽太聪明”的凤姐、“心比肝干多一窍”的黛玉，以及“心比天高”的晴雯，都略胜一筹。刘姥姥具有在社会底层积累的草根智慧，就如一只在林
莽中生存的野生动物一样，它们本能地感觉到哪里有食物，哪里有危险。一旦将它们圈养在动物园里，无食物安全之虞，它们的这种本领便会急剧退化这也是刘姥姥的生存智慧高于大观园中诸人的根本原因。她——一个村野老妪，能够有如此大的知名度不是偶然的。 先说她一进荣国府的目的吧，她是因为家里断顿了去求施舍的。然而就是这样一个老寡妇进了两次荣国府却使家境殷实起来。这不能不另人叹服啊！ 她一进荣国府的时候，凤姐是怎么样对她的呢？她还没说来的目的，正巧贾蓉来向凤姐借玻璃屏风，凤姐就指桑骂槐的骂到：偏我王家的东西都是好的吗？一个久经世事的老人怎么可能听不出来啊，可她假装不知道。这是她的第一个高明之处。还有，当她二进荣国府，虽说是去送些瓜果蔬菜，可是这次她却见到了贾府的真皇帝——贾母，当然还有王夫人等。她的好运也是从这次开始的。当贾母邀她游大观园的时候，她把她的聪明发挥到了及至。首先，说她在吃饭前的那段开场白吧：老刘老刘，食量大如牛，吃头老母猪，不回头；谁人也有自尊，谁人也愿意机灵，可是她却一直都在表现自己的迂腐与俗气。当那些丫头们向她的脑袋上插花的时候，她难道不知道那样自己很难看吗？可是她带了，并且是笑着带上的。在有大观园的过程中她把贾母等哄的抑或是逗的捧腹大笑。她显示自己的粗鄙给那些太太小姐们取笑。可是她也换来了回报。先前的凤姐是瞧不起她的，在她带着她的外孙子板儿第一次去见凤姐的时候，凤姐假装不知道她们去了以显示自己的权威。可是凤姐后来竟让刘姥姥为她的女儿取名字；这是一个多么大的转变啊！以至后来刘姥姥做媒把巧姐嫁给了刘姥姥她们当地的一个地主家。并且使她成了金陵
“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用 1.m n m n n C C -=，取走和剩下的一一对应； 2. 2n k n n k C ==∑ 我们可令等式122(1)1n n n n n n x C x C x C x +=++++ 中的x 等于1，得到该式。 另外，我们可考察集合1{,,}n b b 的子集的个数： 一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类： n k n k C =∑； 另一方面，采取乘法原理，设其子集为S ，我们逐一考察,1,2,,i b i n = 是否在S 内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S 确定，或者我没把子集看成一个排列，如 0,0,,0n ?? ；{}11 1,0,0,,0n b -? 。共2n 。 所以得证。 3.11m m m n n n C C C -+=+，从1{,,,}n a b b 取m 个有1m n C +种：一类含a ：1 m n C -，一类不含a ：m n C 。 推广①： 11m m m n n n A A mA -+=+ 从1{,,,}n a b b 取m 个排成一排1m n A +：一类含a ：1m n mA -，一类不含a ：m n A 。 推广②：11121n n n n n n n m m n m n m n n n C C C C C C +++++-+-+=+++++ 解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n 个。从中选取n+1个小球， 选法共：11n n m C +++种， 考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n 个，即n n m C +，若无黑1，则考虑是否有黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n 个，即1n n m C +-，依次考虑下去，到考虑是否有黑m ，若有，则在剩余n 个小球取n 个，即1n n C +，若无黑m 。则必有黑m+1，最后剩下的m 个白球全取。总共121n n n n n m n m n m n n n C C C C C ++-+-++++++ 。所以得证。
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制
云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日
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摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16)
浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
红楼梦刘姥姥人物分析 刘姥姥是《红楼梦》中的一个小人物。她是个逗趣的人，在小说中所占戏份不少，是个很讨人喜爱的老奶奶，可不要小看这个人物，她在文中起着“穿针引线”的重要作用，由她自然的引出了许多的人和事，那些“花儿”们在她的衬托下显得更加鲜艳活泼。今在此对这个小人物进行形象分析，以飧读者。 一、刘姥姥其人 （一）、刘姥姥的出场 “按荣府中一宅人，合算起来，人口虽不多，从上止下也有三四百余口；虽事不多，一天也有一二十件，竟如乱麻一般，并无个头绪可作纲领。正寻思从哪一件事自哪一个人写起方妙，恰好忽从千里之外，荠豆之微，小小一个人家，因与荣国府略有些瓜葛，这日正往荣府中来，因此便就此一家说来，到还是个头绪。 就这样刘姥姥出场了，从这个出场可以看出，刘姥姥不是荣国府里的人，只是和荣府里有些“瓜葛”，提到她，是想借她引出贾府的人和事，所以她有“穿针引线”的作用。 （二）、刘姥姥的年龄 为了进一步了解刘姥姥，我们先从年龄上给她的形象来一个准确的定位。她三进6国府的年龄分别有多大 二进荣国府，刘姥姥回贾母的问话：“我今年七十五了”。贾母说：“还大我五岁呢”。可见她一进荣国府时是七十四岁。 贾母八十二岁寿终。刘姥姥听说了，三进荣国府应该已是八十七岁的人啦。
这么大岁数的农村人，能带着板儿、青儿来往于贾府，可见她不是一般的农村老妇，并不是疯傻无知的老奶奶，而是见过世面，身体硬朗，敢于做事，会做事的健康老奶奶。 （三）、刘姥姥家里的情形和年轻时的情形怎么样呢 小说里介绍说刘姥姥是“积年的寡妇”。可知她无子，且家里早已无人，只剩下她一个人。书中又说到刘姥姥女婿家祖上是京官，刘姥姥还见过王夫人。这些能说明什么呢在等级森严的封建社会，最讲究门当户对，因此透过这些信息我们可知道刘姥姥年轻时家里景况非常好，是上的了桌面的富家少妇，是个见过世面的人，而且记忆力非常好。 二、有气魄、有头脑的刘姥姥 刘姥姥是红楼中唯一下层老年妇女形象。作品中她出场不多，笔墨不重，份量不大，但人物形象丰满，特色鲜明，位列群芳之中而毫不逊色。她出身卑微却不自卑，家境贫寒却不甘贫寒。在家庭生活陷入重大困境，家人懦懦，毫无作为的时候，她直面困难，挺身而出，深入贾府，用自己的阅历和智慧，征服了贾府，玩转了贾家人，取得了胜利，获得了成功，为改善家人的生活和命运做出了重大贡献。她敢闯敢试的大无畏精神和挑战自我，战胜困难的勇气和能力，着实可歌可泣，可敬可钦！ 刘姥姥在小说中说的第一句话。狗儿喝闷酒和刘氏争嘴。因此刘姥姥看不过，乃劝道：“姑爷，别嗔我多嘴。咱们村庄人，哪一个不是老老诚诚的守多大的碗，吃多大饭。你皆因年小时候，托着你那老家之福，吃喝惯了，如今所以把持不住。有了钱就顾头不顾尾，没了钱就瞎生气，成个什么男子汉大丈夫呢！如今咱们虽离城住着，终是天子脚下。这长安城中，遍地都是钱，只可惜没人会去拿去罢了。在家跳蹋也不中用。”