次区域合作发展思路
一、合作发展宗旨
以中国—东盟自由贸易区建设为契机，以澜沧江—湄公河为纽带，以“同饮一江水、共建幸福家园”为理念，以推进次区域经济发展为中心，以开发和开放为动力，以项目合作为突破口，坚持平等协商、互利互惠、共同发展的原则，充分利用各种合作机制，按照WTO和次区域合作总体框架及各项协议的要求，发展多层次、多形式、多内容的经济技术合作；积极发展合作伙伴关系；沟通次区域陆上大通道，实现次区域与中国、东南亚和南亚市场的对接；营造一个适合国际贸易与投资发展的环境；通过对话确定共同实施的项目，建设经济走廊、产业带，使次区域合作得到扩大和发展，促进中国—东盟自由贸易区的尽快形成；把次区域建设成为中国—东盟自由贸易区的先行试验示范区和陆域经贸区；创造条件增加就业，消除贫困，提高人民生活水平；努力改善次区域生态环境，实现次区域的可持续发展。顺应世界经济大潮，增强次区域国际地位和市场竞争力，共建次区域一体化经济，建立稳定而长久的友好合作关系。
二、计划时间和年限
计划编制基准年为2002年，计划年限为2004—2008年，2008年后作远期展望。
三、次区域预期发展目标
次区域经济合作的阶段目标分为近期、中期和远期。
近期：随着世界经济的复苏，东南亚国家走出“亚洲金融危机”的阴影和中国经济的强劲增长，预计2004年—2005年，次区域国家GDP和对外贸易额将会保持较快的增长速度，相互投资稳步增加，产业结构得到调整；基本实现已有或新建公路、铁路、水运、航空、信息通讯的畅通，为货物进出口和人员往来提供快速、安全、便捷的交通运输条件；较好地完善口岸基础设施建设，建立健全与自由贸易区相适应的政策法规体系，提供优质高效的服务；争取“泛亚铁路”东线尽快开工建设，力争将大通道建设上升为联合国促进次区域发展和中国—东盟自由贸易区建设的战略目标，加大投入，促进大通道建设目标早日实现。
中期：次区域国家的GDP、外贸进出口额和外资利用率继续稳定增长，境外投资力度明显加大，进一步推动产业结构优化升级，二、三产业的比重有较大增长，各国产业结构趋向合理；非公有制经济有较大提高；在澜沧江—湄公河流域的重要口岸和城镇建设具有一定规模的大、中城市，提高城镇化水平，人居环境明显改善；在次区域各国一些重要沿边结合部，即泰国北部清莱府与缅甸交界地区、中国西双版纳磨憨与老挝么丁交界地区、中国河口与越南老街交界地区、中国德宏瑞丽与缅甸木姐交界地区等，建成重要的经济园区和生产基地；争取泛亚铁路中、西线开工建设。
远期：次区域国家的GDP增长率应不低于前期水平，外贸进出口额和外资利用率进一步提高；产业结构有较大提升；次区域国际大通道建设顺利完成；次区域合作机制业已完善，区域大市场业已形成，生态环境更加优美；特别是通过对不同国家、不同地域的合作及开发，全面推进次区域各国经济的发展。
四、次区域合作的重点领域
建设大通道、营造大环境、开拓国际市场、建立有效的合作机制是今后五年次区域发展的主要任务。
1、先行建设次区域自由贸易区。次区域国家要共同努力，使次区域成为中国—东盟自由贸易区的先行实验示范区，所有即将在中国—东盟自由贸易区实施的优惠政策和措施，在次区域先行执行，使次区域国家先行受益；应争取将次区域作为UNDP在全球推行的“平等合作、消除贫困、共同富裕”的实验样板。
2、加快建设联系中国、东南亚、南亚的次区域大通道，逐步完善水路、陆路和航空立体交通网络。加快推进昆明—曼谷—仰光、昆明—河内—新加坡、昆明—密支那—印度雷多等三个方向的铁路和公路建设步伐，改造滇越铁路和公路，提高运力；升级改造一批低等级的公路；整治澜沧江—湄公河、红河的一些重要航段，提高航道等级并建设一些重要港口和码头，推进伊洛瓦底江中、缅水陆联运及基础设施建设步伐，充分发挥水运优势；相互开通次区域主要机场之间的航线。
3、建设三条经济走廊，形成贸易、旅游、能源、矿产和农业开发五大支柱产业。建立符合国际惯例并能够相互对接的贸易运行机制，扩大区域贸易量，促进次区域贸易长足发展，使次区域贸易总量在中国—东盟自由贸易区的贸易总量中占有重要地位；以人流带动物流，建设昆明—仰光、昆明—海防、昆明—曼谷三条经济走廊；形成统一的次区域旅游圈；形成一批自然资源开发基地和“桥头堡”式的现代工业园区，形成一批强势产业，变综合资源优势为产业群体优势。
4、构建次区域共同市场和贸易与投资体系。在重要城市和商品集散地及人口密集地区，建立一批商品市场和要素市场，形成能对次区域生产要素合理配置起基础作用的共同市场；确立次区域不同国家之间开展双边或多边贸易共同遵守的较为合理的贸易与投资准入体系，为大市场的形成奠定良好基础。
5、建立促进次区域发展的合作框架和内在机制。次区域合作既是在“10+3”、“10+1”框架下的合作，又要构建和突出自身“5+1”的合作框架，使合作方式多样化、层次化和制度化。
6、建立环境监测与资源保护网络。在澜沧江—湄公河、红河、伊洛瓦底江以及萨尔温江等主要流域建立防护林体系，使水土流失的态势得到基本控制；建立健全动植物病虫害检疫防治体系、建立自然保护网络，保护珍稀物种；环境污染得到有效治理，建成一批环境优美、生态良性循环的城市和示范区。
7、建立教科文卫和社会保障事业网络。建立较完备的初等教育、成人教育和职业技术教育体系；建立现代公共卫生防疫体系和艾滋病、非典等重大疾病联防共控体系，使各种传染病、地方病得到有效防治；建立国家与社会保障保险体系，促进就业与失业保险事业发展。
8、建立次区域反贫困机制，构筑基本生活保障网络。通过消除贫困，提高生活水平，实现次区域共同富裕和繁荣发展。
9、遏制婴粟种植、加工、贩运等危害社会行为。在传统的婴粟种植区改种经济效高的农作物，遏制毒品的生产和蔓延。建立有效打击和控制婴粟种植、加工和贩运的保障体系，促进社会健康发展。
第二节中国云南在次区域合作中的发展思路和目标
一、发展宗旨
以邓小平理论和“三个代表”的重要思想为指导，全面贯彻落实党的十六大和十六届三中全会精神，抓住中国实施西部大开发、建设小康社会和中国—东盟自由贸易区建设的重大机遇，围绕建设绿色经济强省、民族文化大省和中国连接东南亚、南亚国际大通道三大目标，以加快发展为主题，经济结构调整和产业、贸易合作为主线，解放思想、认清形势、强化意识、增强信心、开拓进取；培育和壮大农业(含生物资源开发创新)、烟草、旅游、能源、矿产和建筑六大支柱产业；实施层次推进、地带经济、贸易投资、大都市、相互开放和可持续发展六大合作战略；背靠中国内陆，联合大西南和东南沿海省(区)，通过政府推动、企业运作，产业先行、区域先试，旅游开路、贸易通关，推进次区域经济一体化和自由化进程，实现中国、东南亚、南亚三大市场的对接，把昆明建设成为中国面向东南亚、南亚的国际大都市。云南在次区域合作中的地位进一步提升，对次区域经济增长的带动力明显增强。实现次区域各国贸易便利化和自由化，实现经济社会与生态的协调发展，促进各国人民生活水平的不断提高。
二、发展目标
近期：云南省GDP年均增长保持在7—8%的水平，人均GDP年均增长6.5%左右，按可比价计算的GDP达到350亿美元，云南占次区域GDP的比重达到16%；全社会固定资产投资年均增长12%左右，城镇登记失业率控制在5%以内。力争地方财政收入与GDP同步增长；产业结构实现优化升级，三次产业的比例调整为19:43:38。培育群体支柱产业，高新技术产业增加值占GDP的比重达到12%以上；非公有制经济增加值占GDP的比重达到三分之一左右，城镇化水平达到26%左右；社会保障体系比较健全，社会主义市场经济体制建设迈出实质性步伐；形成全方位、多层次、宽领域的对外开放格局，外贸进出口总额年均增长8%左右，实际利用外资年均增长15%左右，境外投资明显增长；森林覆盖率提高到48%，城市绿化覆盖率提高到35%左右。稳定解决农村绝对贫困人口的温饱，人民生活水平总体进入小康。
中期：云南省GDP争取在2000年的基础上在翻一翻，年增长率保持在7—9%以上，云南占次区域GDP的比重达到20%；建立起比较完善的社会主义市场经济体制，经济结构战略性调整取得突破性进展；形成群体支柱产业，传统优势产业竞争力增强，高新技术产业增加值占GDP的比重进一步提高，非公有制经济增加值占GDP的比重达到50%以上，外贸进出口总额年均增长8—9%左右，实际利用外资年均增长15%以上，城镇化水平达到40%，基础设施和生态环境建设有重大突破，“大通道”建设有重大进展，对外开放取得新成效，科技教育文化事业发展加快，劳动者素质不断提高；全面实现小康社会，人民生活水平显著提高。
远期：云南省GDP保持稳定增长，市场体系进一步完善，经济结构趋于优化合理，群体支柱产业竞争力增强，高新技术、非公有制经济增加值比重大大提高，外贸进出口和外资利用保持良好的发展势头，“大通道”建设顺利推进并建成，人民生活水平争取达到中等发达国家水平；为本世纪中叶云南基本实现社会主义现代化奠定基础。
三、推进六大合作战略
1、层次推进战略。确定优选发展的地域和领域，按照层次发展、梯度推进的原则，由近而远、先易后难、重点突出、逐次展开、全面推进次区域合作。从地缘上考虑，云南可优先与越南、老挝和缅甸合作；从经济实力和科技水平上考虑可优先与泰国、越南合作；从产业和企业转移难易程度上考虑可与老挝、柬埔寨合作。以项目建设和重点领域的开发带动合作，循序渐进、全面推进。
2、地带经济发展战略。依托次区域国际大通道建设，分地域、分通道走向，推进开发合作，逐步辐射整个次区域。以中心城市为依托、交通干线为纽带，构建经济走廊和产业带，形成新的经济增长点。云南重点抓好“一区三走廊”建设，即建设面向东南亚、南亚的昆明国际大都市，建设昆明—曼谷、昆明—海防、昆明—仰光经济走廊。
3、贸易和投资促进战略。扩大贸易和投资，促进跨国企业的形成和发展，已成为今后次区域各国经济发展的重要战略。通过商品、技术、服务、跨国公司运营和其它资源的国际间流动和交流，使次区域与全球经济紧密联系，从而达到以外贸和投资促进国民经济持续增长、经济结构优化升级。
4、大都市带动发展战略。以中国昆明、泰国曼谷、越南胡志明市等大城市为基础，构筑面向整个东南亚、南亚地区的国际大都市，以此带动全流域的开发与发展，并培育壮大澜沧江—湄公河流域的中国思茅和景洪、泰国会晒和清莱、老挝琅勃拉邦和万象、柬埔寨金边和暹粒、越南河内等大中城市，促进中、泰、缅“金三角”、中、老、缅“绿三角”和中、老、越“小三角”结合部及其它地区小城镇发展。
5、相互开放战略。次区域各国都按照全方位、多层次、宽领域扩大开放的要求，以政府引导、企业自主为前提，充分调动各国各级政府、各类企业和社会各方面的力量，积极推进各国间的相互开放，以开放促合作、以开放促开发、以开放促发展、以开放促繁荣。
6、可持续发展战略。尊重自然规律和经济发展规律，科学合理地开发利用澜沧江—湄公河流域资源。坚持依法保护与合理使用的原则，实现资源的永续利用。把改善生态、保护环境作为经济发展和提高各国人民生活质量的重要内容，加强生态建设，遏制生态恶化，提高城乡环境质量，促进次区域可持续发展。
重点推进“通道建设、旅游圈建设、贸易便利化、产业梯度转移、边贸升级转型、水电能源和矿产开发、现代农业产业开发及生物资源创新、区域信息化、生态建设和人力资源开发”等十大工程
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类 5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识 1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数） 2、关于虚点???+==b kx y y x F 0),( ??? ????+-=+-+=+)222,222(2)222,222(12 2i i y x i i y x 平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点） 3、记号 33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++= '131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221 ),(y F a y a x a y x F =++= 3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ 容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++= ??? ? ? ??=3323 13 232212 131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ??? ? ??=*22121211 a a a a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I == +=322 12 1211222111,, 33 2323 22 33131311 1a a a a a a a a k +=
第五章二次曲线的一般理论 § 5.1 二次曲线与直线的相关位置 1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点. 解：将y=x-1代入曲线方程,得 2 2 2x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0, 即0 0 故直线在二次曲线上? 2. 试决定k的值,使得 (1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点； ⑵直线x 1 kt 与二次曲线x23y24xy y 0交于一点； y k t ⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点 x 1 t ⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求k y 1 t 的值 解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 2 x 2x k 5 0 2 Q 2 4 k 5 0 4k 16 0 k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点? 1 2 0 (2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/2 0 1/2 0 且v X，丫k,1 ?, X o, y o 1,k
k 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点 k 49 时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 24 § 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的. 1 x 2 2xy y 2 3x y 0; 2 2 2 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0; 3 2xy 4x 2y 3 0. 1 1 解:(1) Q X,Y X 2 2XY Y 2 0时，X : Y 1:1，同时 I ? 0, 1 1 曲线有一个实渐进方向，是抛物型的 k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3, 1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 2 3 时 ，F 1 X 0 , y 0 X F 2 X 0 , y 0 Y 15 13 0, 2 (3). 二次曲线的矩阵为 (1 1 1 (1 k)/2 0 k)/2 1 解之, v X,Y k,1 , X o ,y o 1 0,即― 4 k 1 1,k 2 5, 2k 0,即 k 2 6k 5 0, 1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当 5时, 1,5 时, X,Y 直线与二次曲线有二重合实交点. k,1 2k 0, (4).二次曲线的系数矩阵为 2 2 1/2 1/ 2 1 0 1:( 1) 取(X 0,y 0)(“)，令V 0,即[ 2 (1 k)( 1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k 24，且此时(1 , 1) 2 4( 1) k
唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日
目录 摘要 0 前言 0 1 二次型的历史及概念 (2) 二次型的历史 (2) 二次型的矩阵形式 (1) 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (2) 3 二次型的应用 (6) 多元函数极值 (6) 证明不等式 (12) 因式分解..................................... (错误!未定义书签。)二次曲线. (13) 结论 (13) 参考文献 (13) 致谢 (13)
二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型
二次曲线的理论及其应用开题报告 开题报告 二次曲线的理论及其应用 一、选题的背景、意义 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。 1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的
起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
滨江学院 毕业论文 题目二次型及其应用 院系滨江学院理学系 专业信息与计算科学 学生姓名刘峰 学号20102314014 指导教师吴亚娟 职称副教授 二Ｏ一四年五月十日
目录 引言 (1) 1、二次型的相关定义和定理 (1) 1.1二次型的定义 (1) 2、二次型在初等数学中的应用 (2) 2.1不等式证明 (2) 2.2多项式的因式分解 (4) 2.3判断二次曲线的形状 (6) 3、二次型在几何方面的应用 (7) 3.1求平面线图形的面积 (8) 4、多元函数极值方面的应用 (9) 4.1条件极值 (9) 4.2无条件极值 (10) 5、求多元函数积分方面的应用 (11) 5.1二次型的正交变换 (11) 5.1重积分的计算 (12) 5.2求曲面积分 (13) 6、结束语 (14) 7、参考文献 (14)
二次型及其应用 刘峰 南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014 摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物 理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。 关键字：极值；几何 ；重积分； 引 言 二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。 1、二次型的相关定义和定理 1．1、二次型的概念和定义 在《高等代数》中涉及的一些相关理论 设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： ()212111121213131122222323222 ,,,22222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ +=+++++ = + 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑，
高等代数拓展内容之七 二次型理论发展史简介 二次型理论来源于解析几何中化二次曲线及二次曲面方程为标准方程问题，对二次型理论的研究始于18世纪中期。 1748年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783)讨论了三元二次型的化简问题。 1826年，数学家柯西开始研究化三元二次型为标准形问题。他利用特征根概 念解决了n元二次型化简问题，并且证明了两个n元二次型f(x 1,x 2 ,…,x n )=X T AX, g(x 1,x 2 ,…,x n )=X T BX可用非退化线性替换X=CY同时化成标准形。 1801年。高斯 (Guass)在他的“算术研究”中引进了正定二次型等有关概 念。 1852年，西尔维斯特提出了惯性定律，即任何n元实二次型经过非退化线性替换总可以化成规范形 y 12+…+y p 2-y p+1 2-…-y r 2 并且p，r是不变量，但是当时他没有给出证明。 1857年，雅可比证明了这个结果。 1858年，德国数学家维尔斯特拉斯 (Weierstrass，1815一1897)对同时化两个二次型成平方和给出一般方法。他同时证明了如果二次型之一是正定的，即使某些特征根相等，这个结果也是对的。 1657年，费尔马指出方程x2-Ay2=1(A为非平方正整数)有无穷多整数解，后来，布龙克尔等人给出了求解的试验性方法，但对费尔马的断言没有给出证明。1765 年，欧拉通过把 1766-1769年，拉格朗日证明了费尔马的结论，并给出一个求解方法，据此方法可得到方程的所有整数解。更一般地，拉格朗日解出了方程ax2十2bxy十cy2十2dx+2ey+f=0的解，他是通过建立二元二次型的一般理论达到这个目的的。
第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=. 解：（1）2 2100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）2 2100100001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-； （4）51 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ???；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+； （5）1 232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ?? ?；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-.
2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=. 解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）1 5(,),(1,0)22 -； （2）??，?? ； （3）二重点(1,0)； （4）11,26?? ??? ； （5）无交点. 3. 求直线10x y --=与二次曲线22 2210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{x kt y k t =+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t =+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点. 解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k > . §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 6. 求下列二次曲线的渐进线.
第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A 以及，及.1(,)F x y 2(,)F x y 3(,)F x y （1）；（2）；（3）；（4）22221x y a b +=22221x y a b -=22y px =223520;x y x -++=（5）.2 226740x xy y x y -+-+-=解：（1）；22100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；；；121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-（2）；；.2210010000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-3(,)1F x y =-（3）；；；；0001000p A p -?? ?= ? ?-??1(,)F x y p =-2(,)F x y y =3(,)F x y px =-（4）；；；；51 020 305022A ?? ? ?=- ? ? ???15(,)2F x y x =+2(,)3F x y y =-35(,)22F x y x =+
（5）；；；1232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? 11(,)232F x y x y =--217(,)22F x y x y =-++.37(,)342F x y x y =-+- 2. 求二次曲线与下列直线的交点.22234630x xy y x y ----+=（1）；550x y --=（2）；220x y ++=（3）；410x y +-=（4）；30x y -=（5）.2690x y --=解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）；15(,2 2-（2）， ； （3）二重点；(1,0)（4）；11,26?? ???（5）无交点. 3. 求直线与二次曲线的交点.10x y --=222210x xy y x y -----=解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.1x y =+4 .试确定k 的值，使得（1）直线与二次曲线交于两50x y -+=2 30x x y k -+-=不同的实点；（2）直线与二次曲线交于一点；1,{x kt y k t =+=+22430x xy y y -+-=（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；10x ky --=22(1)10xy y k y -+---=
二次型在中学数学中的应用 摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 关键词 二次型 标准形 对称矩阵 1. 引言 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。 2. 正文 二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下： 文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。 定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。 定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1．
第一章绪论 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透. 下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.
第二章 二次型的基本知识 2.1 二次型的定义 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式 222ax bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴） cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-??''=+? (2) 把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到. 设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21 的二次齐次多项式 2121111212112 2222 22()222n n n n n nn n f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x . =++++++++ （3） 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如: 222 112132233 3243x x x x x x x x x +++++. 就是有理数域上的一个三元二次型. 2.2 二次型的矩阵表示 首先我们引入定义： 定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系 1111122122112222112. n n n n n n n n nn n x c y c y c y , x c y c y c y ,x c y c y c y =+++??=+++??? ?=+++? (4) 称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,如果系数行列式
学 生 毕 业 论 文 课题名称 二次型及其应用 姓 名 兰海峰 学 号 1209401-23 学 院 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 陈暑波 副教授 2016 年 3月 15日 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※ ※ ※※※※※※※※※ 2016届学生 毕业论文材料 （四）
湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业设计（论文）作者签名： 二○一六年六月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1. 二次型基本理论 (2) 1.1 二次型的矩阵表示 (2) 1.2 矩阵的合同关系 (2) 1.3 二次型的标准型、规范型及其性质 (3) 1.4 正定二次型及其性质 (3) 2. 二次型的实例应用 (5) 2.1 二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1 二次型与因式分解 (5) 2.1.2 二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4 求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5 二次型与条件极值 (12) 2.2 二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1 二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2 二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18)
山西师范大学 现代文理学院（数计系） 毕业论文 论文题目：二次曲线方程的化简与应用 学生姓名：刘彦雪 学号： 1290110415 专业：数学与应用数学 班级： 1204班 指导教师：范青龙 二零一四年十一月四号
目录 摘要 (2) （一）、二次曲线的相关定义 (2) （二）、平面直角坐标变换 (3) 2.1二次曲线方程的化简与分类 (3) 2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................. 错误！未定义书签。（三）、应用举例.. (7) （四）、结束语 (10) 参考文献 (11)
二次曲线方程的化简与应用 刘彦雪 摘要 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。 文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系 的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。 关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一）、相关定义 1.1.在平面上，由二元二次方程 ()22111222132333,2220 F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二 次曲线. 1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,
绥化学院 本科毕业设计（论文） 二次型及应用Array学生姓名： 学号： 年级： 指导教师： Suihua University Graduation Paper
Quadratic Form and Its Applications Student number Major Supervising teacher Suihua University 摘要
二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题．首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中的应用．一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速．关键词：二次型；标准型；矩阵；应用 Abstract
Quadratic form is one of the import contents in linear algebra, which originated from problem of put quadratic curve equation and quadric equation into standard form in analytic geometry. Firstly, the paper introduces basic theories. Secondly, the paper studies applications of quadratic form, including extremum problems of multi-variable functions, linear least square method, proving inequality and quadratic curve. Some problem can be converted into quadratic form to solve, which is convenient and fast. Key words: quadratic form; standard form; matrix; applications 目录 摘要 ..................................................................................................................................... II