二次型的几何分类及其应用
田金慧
内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用
1导言
在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型
所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义 在数域F 上，含有n 个变量12,,
,n x x x 的二次齐次函数
22
2
12111222(,,
,)n nn n f x x x a x a x a x =++
+
n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1）
称为n 元二次型，简称二次型【2】。
当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。
若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成
12,1
(,,,)n
T n ij i
j
i j f x x x a x x
X AX ==
=∑ （2）
其中，1112121
22
212n n n n nn a a a a a a A a
a a ?? ? ?= ? ? ???，12n x x
X x ?? ? ?= ? ? ???
，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。
定义 仅含有平方项的二次型
222
121122(,,
,)n n n f y y y d y d y d y =++
+ （3）
称为二次型的标准形。
对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换
???
??+++=+++=n nn n n n
n
n y
c y c y c x y c y c y c x
221112121111 （4） 将其化为标准型。
定理 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化为
标准形
1
22
2
1122T n n n f y y y Y Y λλλλλ?? ?=++
+=
? ??
?
其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。
例2.1 利用正交变换化二次型
1212(,)2f x x x x =
化为标准型。
解 二次型f 的矩阵为
???
? ??=0110A
特征多项式为：
()()21
1111
E A λ
λλλλλ
--=
=-=-+-
所以A 的特征值为1,121-==λλ。
当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T
1,11=ξ，单位化得
T P )1,1(2
11=
。
当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T
1,12-=ξ，单位化得
T P )1,1(2
12-=
。
令
(
)12,P P P ???== 则P 为正交矩阵。
于是，正交变换X PY =，即
???? ???????
? ?
?-=???
? ??2121212
12121y y x x 化二次型为标准型
2
221y y f -=
二次型变换前后的几何描述如图1。
图1 二次型变换前（左图）、后（右图）
3 二次型的分类
对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。
3．1 正定二次型和负定二次型
定义3.1.1 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，
（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有
0),,,(21>n c c c f ，
称该二次型为正定二次型，且称矩阵A 为正定矩阵。
（ii ）如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有
12(,,
,)0n f c c c <，
称该二次型为负定二次型，且称矩阵A 为负定矩阵。
二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。
图2 一元、二元正定二次型
图3一元、二元负定二次型
定理3.1.1 对于实二次型12(,,
,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：
（i ） f 是正定的；
（ii ） f 的标准型是222
1122(0,1,2,
,)n n i d y d y d y d i n +++>=；
（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且
1
2
(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ??
?
?=
>= ? ???
；
（iv ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于零； （vi ） A 的各级顺序主子式皆大于零，即
11
11
0,(1,2,
,)k
k k kk a a A k n a a =
>=。
定理3.1.2 对于实二次型=),,(21n x x x f x A x T ，下列条件等价： （i ） f 是负定的；
（ii ） f 的标准型是222
1122(0,1,2,
,)n n i d y d y d y d i n +++<=;
（iii ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iv ） A 的全部特征值皆小于零；
（v ） A 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即
11
11
(1)(1)0,(1,2,
,)k
k k
k k kk a a A k n a a -=->=。
例3.2.1 判别二次型222
12312
3121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性。
解 二次型f 的矩阵为
????
? ??----=524212425
A
01,01,
0522
21
121111>=>=>=A a a a a a
根据定理3.1.1，知f 为正定二次型。
f 的几何描述如图4。
图4 f 的三维切面图
例3.1.2 判别二次型222(,,)56444f x y z x y z xy xz =---++的正定性。 解 二次型f 的矩阵为
????
? ??---=40206222
5A
080,026,
0522
21
121111<-=>=<-=A a a a a a
根据定理3.1.2，知f 为负定二次型。
f 的几何描述如图5。
图5 f 三维切面图
3．2 半正定二次型和半负定二次型
定义3.2.1 设实二次型12(,,
)T n f x x x X AX =，
（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有
12(,,
,)0n f c c c ≥，
称该二次型为半正定二次型，且称矩阵A 为半正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有
12(,,
,)0n f c c c ≤，
称该二次型为半负定二次型，且称矩阵A 为半负定矩阵。
二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。
图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）
定理3.2.1 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：
（i ） f 是半正定的；
（ii ）f 的标准型是222
1122(0,1,2,
,)n n i d x d x d x d i n +++≥=；
（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且1
2
(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ??
?
?=≥= ? ???
；
（iv ）存在实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于或等于零； （vi ）A 的所有主子式皆大于或小于零。 定理3.2.2 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价[3]：
（i ） f 是半负定的；
（ii ）存在实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iii ） A 的全部特征值皆小于或等于零；
（iv ）A 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，
即
),,2,1(,0)1(1111n r a a a a rr
r r
r
=≥-。
3．3 不定二次型
定义3.3.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，如果f 既不是正定的，也不是
负定的，则称该二次型为不定二次型。
例3.3.1 判定二次型
22
22(,),0,0x y f x y a b a b
=->>
的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。
图7 3,4a b ==时的几何图形
例3.3.2 判定二次型
(,)f x y xy =
的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。
图8
4 二次型理论在二次曲面分类上的应用
4．1 理论分析
二次曲面方程的一般形式[4]为
2221122331212121232222220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= （5）
令)(ij T a A A ==，(,,)T U x y z =，123(,,)T B b b b =，则上述方程可以写为
20T T U AU B U c ++= （6）
其中(,,)T f x y z U AU =就是一个二次型。
由于A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使得
12
1233(,,)T Q AQ diag λλλλλλ??
?
== ? ??
?
这里1λ，2λ，3λ为A 的特征值（均为实数）
作正交变换U QV =，其中111(,,)T V x y z =，式（6）化为
123(,,)20T T V diag V B QV c λλλ++= （7）
令123(,,)T B Q D d d d ==，则（7）式化为
2221121311121312220x y z d x d y d z c λλλ++++++= （8）
1）
若123,,λλλ都不为零，配方得：
2
2
2
2
2
2
3
31
2
12
1121311
2
3
1
2
3
()()()()0d d d d d d x y z c λλλλλλλλλ+
++
++
+-
-
-
= （9）
那么，经过平移后式（9）可简化为
2221222320x y z S λλλ+++= （10）
其中2
2
2312
1
2
3
d d d S c λλλ=-
-
-
。
下面对（10）式进行讨论。 （i ） 1230,0,0,0S λλλ>>>< 由（10）式得
222
1
23
1X Y Z S S S
λλλ++=--- 令2221
2
3
,,S
S
S
a b c λλλ---=
=
=
，则有
222
222
1X Y Z a b c
++=（椭球面） 其几何图形如图9。
图9
（ii ）
1230,0,0,0S λλλ>>>> 仿上（10）式可化为
222222
1X Y Z a b c ++=-（虚椭球面） 其中2221
2
3
,,S
S
S
a b c λλλ=
=
=
。
（iii ）
1230,0,0,0S λλλ>>>= 仿上（10）式可化为
222
222
0X Y Z a b c ++=（点） 其中2221
2
3
1
1
1
,,a b c λλλ=
=
=
。
（iv ）
123,,λλλ中两正一负，0S < 不妨设1230,0,0λλλ>><，仿上（10）式可化为
222
2221X Y Z a b c
+-=（单叶双曲面） 其中2221
2
3
,,S
S
S
a b c λλλ--=
=
=
。
（v ） 123,,λλλ中两正一负，0S >
不妨设1230,0,0λλλ>><，仿上（10）式可化为
222
2221X Y Z a b c
+
-=-（双叶双曲面） 其中2221
2
3
,,S
S
S
a b c λλλ-=
=
=
。
（vi ）
123,,λλλ中两正一负，0S = 不妨设1230,0,0λλλ>><，仿上（10）式可化为
222
222
0X Y Z a b c +-=（二次锥面） 其中2221
2
3
1
1
1
,,a b c λλλ=
=
=
。其几何图形如图10。
图10
2）
若123,,λλλ中有且仅有一个为零
不妨设30λ=，这时二次曲面（8）就变成
2211211121312220x y d x d y d z c λλ+++++=
从而，
2
22
2
1
2
12
1121311
2
1
2
()()2()0d d d d x y d z c λλλλλλ+
++
++-
-
= （11）
若30d ≠，则
2
212
221
2
1
2
1121311
23
()()2()02d d c d d x y d z d λλλλλλ-
-
+
++
++
=
平移后得
2213233320x y d z λλ++= （12）
再令
3
3
33X x Y y Z d z
=??
=??=-?
则(8)式变为
221220X Y Z λλ+-= （13）
于是又得到下面两类二次曲面: （i ） 120,0λλ>> 由（13）式得
221
2
211
X Y Z λλ+= 令221
2
1
1
,a b λλ=
=
，则有
22
22
2X Y Z a b +=（椭圆抛物面） 其几何图形如图11。
图11
（ii ） 120,0λλ>< 仿上（13）式可化为
22
222X Y Z a b
-=（双曲抛物面） 其中221
2
1
1
,a b λλ=
=-
再若（11）式中30d =，这时可把（11）式平移后得
22120X Y T λλ++= （14）
其中2
2
12
1
2
d d T c λλ=-
-
。
这样，又可得五类二次曲面： （iii ） 120,0,0T λλ>>< 由（14）式得
22
1
2
1X Y T T
λλ+=-- 若令221
2
,T
T
a b λλ--=
=
，则有
22
221X Y a b
+=（椭圆柱面） （iv ） 120,0,0T λλ>>>
其几何图形如图12。
图12
仿上（14）式可化为
22
221X Y a b
+=-（虚椭圆柱面） 其中221
2
,T
T
a b λλ=
=
（v ） 120,0,0T λλ>>= 仿上（14）式可化为
22
221X Y a b
+=-（直线） （vi ） 120,0,0T λλ><< 仿上（14）式可化为
2222
1X Y a b -=（双曲柱面） 其中221
2
,T
T
a b λλ-=
=
，其几何图形如图13。
图13
（vii ）
120,0,0T λλ><= 仿上（14）式可化为
22
22
0X Y a b -=（两相交平面） 3）
若123,,λλλ中有且仅有两个为零
不妨设1230,0λλλ≠==，此时（5）就变为
2111232220a x b x b y b z c ++++=
配方得
2
2
1
11231
1
()22()0d d x b y b z c λλλ+
+++-
= （15）
若230b b ≠，作变换
4242422
232
42422
2322()22()x x d y y d z d d d y y d z d d ??
=??=+?+??=-?+?
代入（15）式得
210X Y λ+= （16）
这样又得到一类曲面。
（i ） 由（16）式得21
1
2()X Y λ=-
，令1
1
P λ=-
，则有
22X PY =（抛物柱面）
若230b b ==，那么（16）式就变成
2
2
1
111
1
()()0d d x c λλλ+
+-
=
平移后得
210X L λ+= （17）
于是可得到最后三类二次曲面：
（ii ）
10,0L λ>< 这时（17）式可化为
22x a =（一对平行平面）
其中21
L
a λ=-
（iii ）
10,0L λ>> 这时（17）式可化为
22x a =-（一对虚的平行平面）
（iv ）
10,0L λ>= 这时（17）式可化为
20x =（一对重合的平面）
4．2 应用实例
例4.2.1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型。
解 方程左边为一三元二次型，不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++，则f 的矩阵
????
? ??=200002023A
易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ。
由（8）式知所求曲面的标准方程为
()
()
11
21212
12
21
2
21
=-+
z
y x 因此，该曲面是单叶双曲面，如图14。
图14二次曲面变换前（左图）、后（右图）
例 4.2.2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型。
解 记
????? ??=011101110A ，0B ? = ? ? ???
，x U y z ?? ?= ? ???
则原方程可写为
10T T U AU B U +-=
A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：
21=λ，)11,1,1T Q =
；)(12二重-=λ，)21,1,0T Q =-，)31,1,2T
Q =-
令
(
)123,,0
Q Q Q Q ????==?? 则有
)1,1,2(--=diag AQ Q T ，(0,2,0)
T B Q d =-
作正交变换U QV =，其中111(,,)T V x y z =，则（9）式化为
(2,1,1)10T V diag V dV --+-=
即
01221212121=----y z y x
配方，得
0)1(2212121=-+-z y x
作平移变换12x x =，112+=y y ，12z z =，得
02222222=--z y x
这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个顶点在原点，旋转轴为x 轴的圆锥面，如图15。
图15二次曲面变换前（左图）、后（右图）
专训1 常见立体图形的分类 名师点金：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类． 按柱、锥、球分类 1．下列各组图形中，都为柱体的是( ) A B C D 2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号) (第2题) 3．(1)把如图所示的立体图形按特征分类，并说明分类标准． (2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？ (第3题) 按有无曲面分类 4．下列几何体中，表面都是平面的是( ) A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体 5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”) 6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．(填序号)
(第6题) 7．将如图所示的图形按有无曲面分类． (第7题) 8．观察如图所示的圆柱和棱柱，回答下列问题： (1)棱柱和圆柱各由几个面组成？它们都是平面吗？ (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们都是直的吗？ (3)这个棱柱有几条棱，几个顶点，经过每个顶点有几条棱？ (第8题) 答案 1．C 2．④；①③⑥ 3．解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体． (2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是形状、大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与底面边数相等． 相同点：两者都有两个底面． 不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形；圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成． 点拨：(1)答案不唯一． 4．C 5.有 6．①③④⑤⑥；②③④⑥ 7．解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦. 8．解：(1)圆柱由三个面组成，上、下两个底面是平面，侧面是曲面；棱柱由8个面组成，都是平面． (2)两条，都不是直的． (3)这个棱柱有18条棱，12个顶点，经过每个顶点有3条棱．
单位代码: 分类号: X X 大学 题目: 浅谈概率论在生活中的应用专业名称: 数学与应用数学 学生: 学生学号: 指导教师: 毕业时间:
浅谈概率论在生活中的应用 摘要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用. 关键词:随机现象;概率;日常生活;应用分析
Discuss the application in life probability Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application. Keywords:random phenomenon; probability; daily life; application analysis
预测方法的分类 郑XX 预测方法的分类 由于预测的对象、目标、内容和期限不同，形成了多种多样的预测方法。据不完全统计，目前世界上共有近千种预测方法，其中较为成熟的有150多种，常用的有30多种，用得最为普遍的有10多种。 1-1预测方法的分类体系 1）按预测技术的差异性分类 可分为定性预测技术、定量预测技术、定时预测技术、定比预测技术和评价预测 技术，共五类。 2）按预测方法的客观性分类 可分为主观预测方法和客观预测方法两类。前者主要依靠经验判断，后者主要借 助数学模型。 3）按预测分析的途径分类 可分为直观型预测方法、时间序列预测方法、计量经济模型预测方法、因果分析 预测方法等。 4）按采用模型的特点分类 可分为经验预测模型和正规的预测模型。后者包括时间关系模型、因果关系模 型、结构关系模型等。 1-2 常用的方法分类 1)定性分析预测法 定性分析预测法是指预测者根据历史与现实的观察资料，依赖个人或集体的经验与智慧，对未来的发展状态和变化趋势作出判断的预测方法。 定性预测优缺点 定性预测的优点在于： 注重于事物发展在性质方面的预测，具有较大的灵活性，易于充分发挥人的主观能动作用，且简单的迅速，省时省费用。
定性预测的缺点是： 易受主观因素的影响，比较注重于人的经验和主观判断能力，从而易受人的知识、经验和能力的多少大小的束缚和限制，尤其是缺乏对事物发展作数量上的精确描述。 2)定量分析预测法 定量分析预测法是依据调查研究所得的数据资料，运用统计方法和数学模型，近似地揭示预测对象及其影响因素的数量变动关系，建立对应的预测模型，据此对预测目标作出定量测算的预测方法。通常有时间序列分析预测法和因果分析预测法。 ⅰ时间序列分析预测法 时间序列分析预测法是以连续性预测原理作指导，利用历史观察值形成的时间数列，对预测目标未来状态和发展趋势作出定量判断的预测方法。
几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二 常见题型梳理 1.长度之比类型 例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率． 例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面 积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型 例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
教学时数：2 学时 课题：§3-6基本几何体(一) 教学目标： 1、了解基本几何体的分类； 2、掌握基本几何体分类及平面立体的三面投影作法。 教学重点： 基本几何的种类及棱柱体的投影特性。 教学难点： 棱柱体的投影特性和作图方法。 教学方法： 讲授法与演示法相结合。 教具： 模型、挂图、示教板 教学步骤： （复习提问） 1、平面图形的作图方法？ 2、平面图形的投影特性？ （引入新课） 机器上的零件，由于其作用不同而有各种各样的结构形状，不管它们的形状如何复杂，都可以看成是由一些简单的基本几何体组合起来的。 （讲授新课）
§3-6基本几何体 基本几何体的分类 1、平面立体：表面都是由平面所构成的形体。如棱柱、棱锥。 2、曲面立体：表面是由曲面和平面或者全部是由曲面构成的 形体。如圆柱、圆锥、球体。 一、棱柱 1、棱柱的三视图分析 （1）主视图六棱柱的主视图由三个长方形线框组成。中间的长方形线框反映前、后面的实形；左、右两个窄的长方形线框分别为六棱柱其余四个侧面的投影，由于它们不与正面V平行，因此投影不反映实形。顶、底面在主视图上的投影积聚为两条平行于OX轴的直线。 （2）俯视图六棱柱的俯视图为一正方形，反映顶、底面的实形。六个侧面垂直于水平面H，它们的投影都积聚在正六边形的六条边上。 （3）左视图六棱柱的左视图由两个长方形线框组成。这两个长方形线框是六棱柱左边两个侧面的投影，且遮住了右边两个侧面。由于两侧面与侧投影面W面倾斜，因此投影不反映实形。六棱柱的前、后面在左视图上的投影有积聚性，积聚为右边和左边两条直线；上、下两条水平线是六棱柱顶面和底面的投影，积聚为直线。 2、棱柱三视图的画图步骤
概率论的缘起、发展及其应用毕业论文开题报告石河子大学 毕业论文(设计)开题报告 课题名称:概率论的缘起、发展及其应用学生姓名: 学号: 学院: 专业、年级: 指导教师: 职称: 毕业论文(设计)起止时间:2015.1——2015.6 一、本课题研究的目的和意义 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类:一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，我们无法用必然性的因果关系对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象或者叫做随机现象。概率研究的即是这类不确定性现象发生的可能性的大小。 概率论发源于17世纪中叶, 对概率论的兴趣,本来是由于保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却是来自赌博者的请求。在概率论的系统理论产生之前，许多数学家已经认识到很多实际问题中的随机变量都是由大量相互独立因素综合影响形成的。而其中每一个个别的因素在总的影响中的作用都
是很微小的，这样形成的随机变量往往近似服从正态分布，从理论上来证明这个事实是一个中心问题，概率论就是围绕这个中心发展起来的。 一位哲学家曾经说过:“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。 在经济生活方面，保险业、金融业的风险预测更是与概率论密切相关。通过计算彩票中奖概率，我们发现只有极少数人能中大奖。在街头的一些赌博游戏，我们略加思考也会发现主持者每局赢的概率都会比较大。总之概率会让我们科学地思考问题使我们的生活更加理智。 总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。对于本课题的研究也有利于巩固我们对概率论知识的掌握，通过对这些知识的探讨，让更多的人认识并了解概率论，让人们能够自己用概率解决或解释生活中出现的一些随机现象问题，相信科学的力量而不再像以前一样仅凭常识和经验泛泛而谈，特别像经济中的买彩票问题。 二、本课题所涉及的问题在国内(外)研究现状及分析 概率论的第一本专著是1713年问世的雅各?贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中表述并证明了著名的“大数定律”。大数定律是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。由于保险事业和人口统计研究需要,19世
常见蔬菜种类三种蔬菜分类方法 蔬菜作物种类繁多，据统计，世界范围内的蔬菜共有200多种，在同一种类中，还有许多变种，每一变种中又有许多品种。为了便于研究和学习，就需要对这些蔬菜进行系统的分类。常用蔬菜分类方法有三种，即植物学分类法、食用器官分类法和农业生物学分类法。 常见蔬菜种类三种蔬菜分类方法 一、植物学分类法 依照植物自然进化系统，按照科、属、种和变种进行分类的方法。我国普遍栽培的蔬菜，除食用菌外，分别属于种子植物门双子叶植物纲和单子叶植物纲的不同科。采用植物学分类可以明确科、属、种间在形态、生理上的关系，以及遗传学、系统进化上的亲缘关系，对于蔬菜的轮作倒茬、病虫害防治、种子繁育和栽培管理等有较好的指导作用。常见蔬菜按科分类如下: (一)单子叶植物 1、禾本科(Gramineae)毛竹笋、麻竹、菜玉米、茭白。 2、百合科(Liliaceae)黄花菜、芦笋、卷丹百合、洋葱、韭葱、大蒜、南欧葱(大头葱)、大葱、分葱、韭菜、薤。 3、天南星科(Araceae)芋、魔芋。 4、薯蓣科(Dioscoreaceae)普通山药、田薯(大薯)。 5、姜科(Zingiberaceae)生姜。 (二)双子叶植物
1、藜科(Chenopodiaceae)根菾菜(叶菾菜)、菠菜。 2、落葵科(Basellaceae)红落葵、白落葵。 3、苋科(Amaranthaceae)苋菜。 4、睡莲科(Nymphaeaceae)莲藕、芡实。 5、十字花科(Cruciferae)萝卜、芜菁、芜菁甘蓝、芥蓝、结球甘蓝、抱子甘蓝、羽衣甘蓝、花椰菜、青花菜、球茎甘蓝、小白菜、结球白菜、叶用芥菜、茎用芥菜、芽用芥菜、根用芥菜、辣根、豆瓣菜、荠菜。 6、豆科(Leguminosae)豆薯、菜豆、豌豆、蚕豆、豇豆、菜用大豆、扁豆、刀豆、矮刀豆、苜蓿。 7、伞形科(Umbelliferae)芹菜、根芹、水芹、芫荽、胡萝卜、小茴香、美国防风。 8、旋花科(Convolvulaceae)蕹菜。 9、唇形科(Labiatae)薄荷、荆芥、罗勒、草石蚕。 10、茄科(Solanaceae)马铃薯、茄子、番茄、辣椒、香艳茄、酸浆。 11、葫芦科(Cucurbitaceae)黄瓜、甜瓜、南瓜(中国南瓜)、笋瓜(印度南瓜)、西葫芦(美洲南瓜)、西瓜、冬瓜、瓠瓜(葫芦)、普通丝瓜(有棱丝瓜)、苦瓜、佛手瓜、蛇瓜。 12、菊科(Compositae)莴苣(莴笋、长叶莴苣、皱叶莴苣、结球莴苣)、茼蒿、菊芋、苦苣、紫背天葵、牛蒡、朝鲜蓟。 13、锦葵科(Malvaceae)黄秋葵、冬寒菜。 14、楝科(Meliaceae)香椿。
几 何 概 型 的 常 见 题 型 李凌奇2017-06-26 1．与长度有关的几何概型 例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2．与面积有关的几何概型 例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ） A ． 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -， 则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图
浅谈古典概型与几何概型 在一种概率模型下，如果随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实验，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的。又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。这种模型称之为古典概型，它是概率论中最直观和最简单的模型。因此一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。相应地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型。几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关。具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型。关于几何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G 的度量之比，即P=g的测度/G的测度。 古典概型讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每
个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。然而当随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。此时事件A的概率计算公式为： 用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法。 典例透析 几何概型两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。求两人能够会面的概率。 解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用 表示每次试验的结果，则所有可能结果为： ； 记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：
监督分类中常用的具体分类方法包括： 最小距离分类法（minimum distance classifier）：最小距离分类法是用特征空间中的距离作为像元分类依据的。最小距离分类包括最小距离判别法和最近邻域分类法。最小距离判别法要求对遥感图像中每一个类别选一个具有代表意义的统计特征量（均值），首先计算待分象元与已知类别之间的距离，然后将其归属于距离最小的一类。最近邻域分类法是上述方法在多波段遥感图像分类的推广。在多波段遥感图像分类中，每一类别具有多个统计特征量。最近邻域分类法首先计算待分象元到每一类中每一个统计特征量间的距离，这样，该象元到每一类都有几个距离值，取其中最小的一个距离作为该象元到该类别的距离，最后比较该待分象元到所有类别间的距离，将其归属于距离最小的一类。最小距离分类法原理简单，分类精度不高，但计算速度快，它可以在快速浏览分类概况中使用。 多级切割分类法（multi-level slice classifier）： 是根据设定在各轴上值域分割多维特征空间的分类方法。通过分割得到的多维长方体对应各分类类别。经过反复对定义的这些长方体的值域进行内外判断而完成各象元的分类。这种方法要求通过选取训练区详细了解分类类别（总体）的特征，并以较高的精度设定每个分类类别的光谱特征上限值和下限值，以便构成特征子空间。多级切割分类法要求训练区样本选择必须覆盖所有
的类型，在分类过程中，需要利用待分类像元光谱特征值与各个类别特征子空间在每一维上的值域进行内外判断，检查其落入哪个类别特征子空间中，直到完成各像元的分类。 多级分割法分类便于直观理解如何分割特征空间，以及待分类像元如何与分类类别相对应。由于分类中不需要复杂的计算，与其它监督分类方法比较，具有速度快的特点。但多级分割法要求分割面总是与各特征轴正交，如果各类别在特征空间中呈现倾斜分布，就会产生分类误差。因此运用多级分割法分类前，需要先进行主成分分析，或采用其它方法对各轴进行相互独立的正交变换，然后进行多级分割。 最大似然分类法(maximum likelihood classifier)：最大似然分类法是经常使用的监督分类方法之一，它是通过求出每个像元对于各类别归属概率（似然度）（likelihood），把该像元分到归属概率（似然度）最大的类别中去的方法。最大似然法假定训练区地物的光谱特征和自然界大部分随机现象一样，近似服从正态分布，利用训练区可求出均值、方差以及协方差等特征参数，从而可求出总体的先验概率密度函数。当总体分布不符合正态分布时，其分类可靠性将下降，这种情况下不宜采用最大似然分类法。 最大似然分类法在多类别分类时，常采用统计学方法建立起一个判别函数集，然后根据这个判别函数集计算各待分象元的归
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈
科技档案的整理方法 一般讲，基层档案部门对科技档案的整理，大体要经过分类、案卷组织与排列、编目几个环节。 一、分类。科技档案分类，就是根据科技档案的内容性质和形成特点，把一定范围的科技档案划分成不同的类别层次，从而形成具有一定从属关系和平行关系的不同等级的科技档案库藏系统。 1、分类的要求。搞好科技档案的分类，应注意以下几点： （1）科技档案的分类要遵循同一规则。在一个单位内部或一个专业系统，同一种科技档案的分类标准应该一致。 （2）科技档案分类要遵循效用规则。即科技档案分类要适应科技档案及其管理特点，追求分类的整体适用效果。也就是说，科技档案的分类，要符合档案形成专业和档案形成单位科技活动的性质和特点。 （3）科技档案分类要遵循排它规则。即同一级类目必须互相排斥而不能重合。（4）要编制一个合理和切实可行的科技档案分类方案。分类方案是进行科学分类的依据性文件，在编制科技档案分类方案时，要了解和掌握本单位科技档案的内容构成和形成特点，确定明确的分类标准和分类方法，设置科学、合理的类目体系，形成完整的科技档案分类方案。 2、分类的方法。基层档案部门对科技档案的分类，实际上是在分类方案的指导下进行的。科技档案的种类很多，因此可运用的分类标准或进行分类的方法也是较多的，大体上，科技档案实体分类基本是采用对象分类法和特征分类法两种方法。对象分类法就是以一个实物对象的设计、生产制造等活动形成的整套科技档案为单元进行分类的方法，其典型的形式是型号分类法、工程项目分类法和课题分类法。特征分类法就是以科技档案的内容特征为依据进行分类的方法，其典型的形式是专业特征分类法、时间特征分类法和地域特征分类法。（1）工程项目分类法。它适用于对基本建设工程档案的分类，就是在本单位全部基建档案范围内，以工程项目为分类单元，划分科技档案的类别。 （2）型号分类法。它适用于产品档案和设备档案的分类，就是以各个型号的产品或设备为分类单元，划分科技档案的类别。 （3）课题分类法。适用于对科研档案的分类，以各个独立的研究课题为分类单元，划分科技档案的类别。 （4）专业特征分类法。按照科技档案所反映的专业性质划分科研档案的类别。 （5）地域特征分类法。根据科技档案内容所反映的地域特征划分科技档案的类别。 （6）时间特征分类法。按科技档案内容所反映的时间特征划分科技档案的类别。 以上几种基本方法，在实际应用时，可根据具体情况，结合其中几种灵活运用。基本建设档案的分类，具体到不同单位和不同基建项目，其档案主要有性质——工程项目分类法、流域——工程项目分类法。产品档案的分类，由于产品种类繁多，各种产品代号也不尽相同，因此在型号分类法的基础上，派生出许多具体分类方法，比较常用的有使用性质——型号分类法、系列——型号分类法、年度——纱号分类法。设备档案的分类，根据组织形式和设备类型的不同，设备档案具体的分类主要有性质——型号分类法、工序——型号分类法。科研档案的分类方法主要有学科——课题分类法、专业——课题分类法。 二、案卷组织与排列 案卷是一组具有有机联系、价值相同、密级相同的科技文件的最小集合体。科技文件之间的联系是多方面的，因此组织案卷的方法也是多种多样的。一般情况下，组织案卷的方法应当与该类科技档案的分类方法相一致。常用的案卷组织方法有以下几种：按结构组织案卷、按
专项训练1常见立体图形的分类 方法指导：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类． 按柱、锥、球分类 1．下列各组图形中，都为柱体的是() A B C D 2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号) (第2题) 3．(1)把图中的立体图形按特征分类，并说明分类标准； (2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？ (第3题)
按有无曲面分类 4．下列几何体中，表面都是平面的是() A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体 5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”) 6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．(填序号) (第6题) 7．将如图所示的图形按有无曲面分类． (第7题)
8．观察如图所示的圆柱和棱柱，回答下列问题： (1)棱柱和圆柱各由几个面组成？它们都是平面吗？ (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们都是直线吗？ (3)这个棱柱有多少条棱？多少个顶点？经过每个顶点有几条棱？ (第8题)
参考答案 1．C 2.④；①③⑥ 3．解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体． (2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是形状、大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与底面边数相等． 相同点：两者都有两个底面． 不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形；圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成． 注：(1)中分类标准不唯一． 4．C 5.有 6．①③④⑤⑥；②③④⑥ 7．解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦. 8．解：(1)圆柱由三个面组成，上、下两个底面是平面，侧面是曲面；棱柱由8个面组成，都是平面． (2)两条，不是直线． (3)这个棱柱有18条棱，12个顶点，经过每个顶点有3条棱．
浅析概率论在经济学中的应用 摘要 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本文将通过实例来讨论概率统计知识在经济活动中的具体应用。 关键词:概率论与数理统计经济学应用数学化 经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而R数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者，比如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论(王文华，2007)；同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学可以说起到-r非常大的推动作用。甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用．如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用(史树中。2002)，因此概率论在经济学巾有十分广泛的作用。 一、概率论与经济学结合的原因 从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0，1)之间，这符合经济现象的现实．经济学强调经济现象要用
浅谈几何概型的分类及应用 安阳县第二高级中学分校张兴洲 摘要 本文先介绍了几何概型的定义，列举出几何概型的分类并对每种分类作详细阐述，通过实际问题，详细表明其各种分类的具体应用及优点． 关键词：几何概型；几何度量；测度． Abstract this article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of classification, through the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit. Key word: Geometry generally; Geometry measure; Measure.
目录 正文---------------------------------------------------------------------1 1几何概型的定义---------------------------------------------------------3 1.1几何概型的定义-------------------------------------------------------3 1.2几何概型的两个特点---------------------------------------------------3 1.3几何概型的三个基本性质-----------------------------------------------4 2几何概型的分类和计算---------------------------------------------------3 2.1区间模型——仅涉及一个变量x-----------------------------------------4 2.1.1测度为长度的几何模型--------------------------------------------3 2.1.2测度为角度的几何模型--------------------------------------------3 2.2平面模型——涉及两个变量y x,-----------------------------------------3 2.3空间模型——涉及三个变量z ,----------------------------------------5 y x, 3几何概型的应用---------------------------------------------------------3 3.1几何概型在生活中的应用-----------------------------------------------3 3.2几何概型在工业中的应用-----------------------------------------------3 3.3几何概型在教学、解题中的应用-----------------------------------------3 参考文献----------------------------------------------------------------34 致谢-------------------------------------------------------------------36
剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公 式:积等） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = .其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的． 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 下面举几个常见的几何概型问题. 一.与长度有关的几何概型 例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30× 31=10米， ∴3 13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 二.与面积有关的几何概型 例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．
邵东档案整理的方法及分类、档号编制及质量要求 （文书、业务、会计、声像、实物、电子、科技） 一、档案整理几个概念 (一)档案整理定义：是指将处于零乱的和需要进一步条理化的档案，进行基本的分类、组合、排列、编号、编制目录、建立全宗等，组成有序体系的过程。 （二）档案整理的基本要求：遵循文件材料的形成规律和特点，保持文件材料之间的有机联系；区分文件材料的价值，确定档案的保管期限；便于保管和利用。 （三）档案整理的文件范围：凡是本机关工作活动中形成的，具有查考保存价值的文件材料，包括收发文电、内部文件、会议文件、电话记录、图表、簿册、照片、录音、录像、计算机盘片、实物以及本机关编印的出版物等，在办理完毕后均须整理保存。（四）档案整理的方法：一是以“案卷”为单位整理。二是以“件”为单位整理。 1、以“案卷”为单位整理。 1）以“案卷”为单位整理就是立卷，即按照文件材料在形成和处理过程中的联系将其组合为案卷。 2）所谓案卷，就是一组密切联系的文件的组合体。立卷是
一个分类、组合、编目的过程。分类即按照立档单位的档案分类方案，对文件材料进行实体分类；组合即将经过分类的文件材料，按一定形式组合起来；编目即将经过组合以后的文件材料，进行系统排列和编目。 3）以“案卷”为单位整理的档案，其基本保管单位是案卷。案卷卷皮有软卷皮和硬卷皮2种，硬卷皮型号有1.2，1.5，2.0cm 三个规格，以软卷皮装订的档案必须按案卷顺序装入档案盒。 4）以“案卷”为单位档案整理的依据是1987年12月国家档案发布的《机关档案工作业务建设规范》和《文书档案案卷格式》 5）以“案卷”为单位档案整理的适应范围 （1）大部分单位短期保管（现10年）的文书档案，乡财政所、中心学校等二级机构文书档案一般按“卷”整理 （2）各单位专门业务档案一般按“卷”或是“盒”整理。 （3）科技档案按“卷”整理，整理要求按照国家质量技术监督局颁布的《科学技术档案案卷构成的一般要求》（GB/T 11822-2000）执行。其中科研档案还可按国家档案局颁发的《科学技术研究课题档案管理规范》DA／T2-92执行。基建工程档案按照国家档案局、国家计委1988年颁发的《基本建设项目档案资料管理暂行规定》执行。 （4）会计档案按“盒（卷）”整理，整理的依据是财政部、国 （财会字…1998?家档案局1998年发布的关于《会计档案管理办法》