唐山师范学院本科毕业论文
题目二次型的正定性及其应用
学生王倩柳
指导教师张王军讲师
年级2012级数学专接本
专业数学与应用数学
系别数学与信息科学系
唐山师范学院数学与信息科学系
2014 年5月
郑重声明
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毕业论文（设计）作者（签名）：
2014 年月日
目录
摘要 0
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 0
The second type of positive definite matrix and its applications 0
前言 0
二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 0
1 二次型的历史及概念 (1)
1.1二次型的历史 (1)
二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。
1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。 (1)
二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值. (1)
1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (2)
2 二次型的正定性的判别方法及其性质 (2)
3.1 多元函数极值 (5)
3.3 因式分解 (11)
3.4 二次曲线 (12)
结论 (13)
参考文献： (13)
致谢 (14)
二次型的正定性及其应用
学生：王倩柳
指导老师：张王军
摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用
The second type of positive definite matrix and its
applications
Student: Wang qianliu
Instructor: Zhang wangjun
Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.
Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application
前言
二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二
次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.
1 二次型的历史及概念
1.1二次型的历史
二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。
二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值.
1.2 二次型的矩阵形式
定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式
2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++
2
22223232222n n a x a x x a x x ++++
+
2nn n a x +
11
n n
ij i
j
i j a x x ===
∑∑ 其中),...,2,1,,(n j i a a
ji ij
==
称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =222
1112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.
二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T
n x x x x =，()ij n n A a ?=为
对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.
1.3 正定二次型与正定矩阵的概念
定义1.2 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的
实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.
定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0 (2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ） 成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）. 注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 2 二次型的正定性的判别方法及其性质 定理2.1实二次型12(,,...,)n f x x x =T x Ax 为正定的充要条件为（若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵）： 1）矩阵A 的各阶顺序主子式都大于零； 2）矩阵A 与单位矩阵合同； 3）A 的全部特征值是正的。 4）n 级实对称矩阵A 是正定的充分必要条件是, 存在n 级实可逆矩阵C ,使A = C ′C . 定理2.2实二次型12(,,...,)n f x x x =T x Ax 为半正定（半负定）的充要条件为： 1）A 的所有主子式大于（小于）或等于零； 2）A 的全部特征值大于（小于）或等于零. 3）A 与矩阵??? ? ??-000)(r r E E 合同，这里r 是矩阵A 的秩 4）n 级实对称矩阵A 是半正定的充分必要条件是, 存在n 级实矩阵C 使 A = C ′C （A = —C ′C ）. 推论2.1 若A 为正定矩阵,则0||>A . 定理2.2 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为 2 2122221r p p z z z z z ---++++ 则： (1)f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r =(即负定二次型,其规范形为2 2221n z z z f ----= ) (2)f 半正定的充分必要条件是.n r p <=(即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22 2 21 ) (3)f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22 2 21 ) (4)f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ ) 定义2.1 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式 )1(212 1 222121211 1n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤ 称为A 的一个k 阶主子式.而子式 ),,2,1(||21 2222111211 n k a a a a a a a a a A kk k k k k k == 称为A 的k 阶顺序主子式. 定理 2.3证明n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式 ),,2,1(0||n k A k =>. 例2.1 设A B 分别是m 级、n 级正定矩阵，证明??? ? ??=B O O A c 正定矩阵。 证明： 法1 设??? ? ??=y x z 为m+n 维向量，其中x ，y 分别是m 维和n 维列向量. 当z 不=0时，x ，y 不同时为零向量，于是 0),(>+=??? ? ?????? ??=Cy y Cx x y x B O O A y x Cz z T T T T T 故C 为正定矩阵。 法2 设A 的各阶顺序主子式为A =m 1-m 21... ，△，△，，△△ 而B 的顺序主子式为B m m =-▲▲，，▲▲ , (121) 由A,B 正定知0>i △，0>i ▲ 由于C 的各阶顺序主子式i ▲（i=1，2，...,m+n ） 满足0,...,0i 11>=>=△▲△▲i 0,...,011>=>=++n n m m A A ▲▲▲▲ 故C 为正定矩阵。 例 2.2 考虑二次型222 12312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f 为正定二次 型. 解:利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-?? ? = ? ?-?? ，A 的顺序主子式为 110?=>； 22144 λ λλ?= =-；2311 4214484(1)(2)124 λλλλλλ-?=-=--+=--+-. 于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0?>?>，有2 240λ?=->，可知，22λ-<<；由 34(1)(2)0λλ?=--+>, 可得12<<-λ, 所以，当12<<-λ时,f 正定. 例2.3 设A 是n 级正定矩阵，B 是n 级实反对称矩阵，证明2 B A -为正定矩阵。 分析：只要证明2 B A -的特征值全大于零即可 证明:由 A 正定知 A 是实对称矩阵， T A A =, T B B =-.从而 2222)()()(B A B A B A B A T T T -=--=-=-， 即2 B A -也是实对称矩阵. 对任意0≠x 有0)()()()(2>+=+=-BX BX AX X X B B A X X B A X T T T T T ， 即，2 B A -的特征值全大于零，故，2 B A -为正定矩阵. （注： 正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意A 是否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵，根本谈不上正定性） 3 二次型的应用 3.1 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决 定义3.1.1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x =在12(,, ,)T n n X x x x R =∈的某个邻域内有一 阶、二阶连续偏导数.记12()() ()(),,, n f X f X f X f X x x x ?? ????= ?????? , ()f X ?称为函数()f X 在点12(,, ,)T n X x x x =处的梯度. 定义3.1.2 满足0()0f X ?=的点0X 称为函数()f X 的驻点. 定义3.1.3 2222112122 22 21 2 ()()()()()()()()n i j n n n n n f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ??? ??? ?????? ? ?? ? ?== ? ??? ?????? ? ???????? 称为函数12()(,,)n f X f x x x =在点n X R ∈处的黑塞矩阵.显然()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导 数构成的n 阶实对称矩阵. 定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点00 0012(,, ,)T n X x x x =处存在一阶偏导数， 且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ?=. 定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且00001 2()() ()(),,, 0n f X f X f X f X x x x ?? ????== ?????? 则:(1) 当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值; (2) 当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值; (3) 当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值. 应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例3.1.1 求三元函数2 2 2 (,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解:先求驻点，由 220440660 x y z f x f y f z ?=+=? =+=?? =-=?得1,1,1x y z =-=-= 所以驻点为0(1,1,1)P --. 再求(Hessian)黑塞矩阵 因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======, 所以200040006H ?? ??=??????，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-. 当然，此题也可用初等方法2 2 2 (,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值6-，结果一样. 定理3.1.3 设n 元实函数12(,,,)n f xx x 在点P 0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数12(,,,)n f xx x 在点P 0近旁有性质：1）若XA X '正定，则P 0为极小点；2）若XA X '负定，则P 0为极大点；3）若XA X '不定，则P 0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P 0性质有待研究余项R 的性质来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要XA X '半正（负）定，则P 0为极小（大）点. 例3.1.2 求函数22 l n ()z x y x y =+的极值. 解：22 2 222l n ()x xy z y x y x y '= +++ 2 2 2 222l n ()y x y z x x y x y '= +++ 解方程组00 x y z z ?'=??'=??，易得，01,10x x y y ==±????=±=??，??? ????±=±=e y e x 2121 22222 2222222()2(3),()() x x y y x y x y x y x y z z x y x y ++''''==++ 44 2 2 2222()l n ()() x y y x x y z z x y x y +''''==+++ 于是，xx xy yx yy z z A z z ?? = ??? ，经计算得 (20| 02A ? ? == ??? 正定； 20|02-?? == ?-? ? 负定； (1,0)(0,1)02||20A A ±±??== ??? 不定. 故在点(1,0)±，点(0,1)±，Z 不取极值； 在,(点，Z 取极小值，1=-2z e 极小； 在,(点，Z 取极大值，1=2z e 极大. 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设n 元二次型AX X X f T =)( T n x x x X )),...,,((21=，则f 在条件11 2=∑=n i i x 下的最大（小）值恰为矩阵A 的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数 3 131********),,(x x x x x x x x x f +-= 在1),,(2 3 2 22 1T 321=++=X X =X x x x x x x T 满足条件的最小值. 解：先对二次型，作正交变换Y =X X X =X Q )(T A f 将其化为标准形式332211y y y λλλ++,然后在条件12 3 2221T =++=Y Y =Y Y =X X y y y Q Q T T T 下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为 ?? ?? ? ?????--=011101110A ， 它的特征多项式2 )1)(2(-+=-λλλ A E . 对于特征值1=λ，求得两个线性无关的特征向量T T )1,0,1(,)0,1,1(-；再用Schmidt 正交化方法，得两个单位正交的特征向量 T T ) 6 2 ,61,61(,)0,2 1,21(3 2 -==ξξ 取正交矩阵 ???? ??? ?????? ???- - ==620 3 1612131 612131 ),,(321ξξξQ 则有 ) 1,1,2(T -=diag AQ Q . 对二次型X X =X A f T )(做正交变换Y =X Q ，得 .2)()(2 3 2221T y y y AQ Q f T ++-=Y Y =X )1( 相应地，条件12 3 2221T =++=X X x x x 化为 123 2221=++=Y Y =Y Y y y y Q Q T T T . )2( 于是原题意化为对)1(式的三元二次其次函数在满足条件)2(时求其最小值.此时，显然有 22)(2 3 2221232221-=++≥++-=X y y y y y y f 又当)0,0,1(),,(3 21±==Y T y y y 时2-=f ，所以f 满足条件)2(的最小值2min -=f ，而且它仅在T )0,0,1(1=Y 和T )0,0,1(2-= Y 处取得最小值.回到变元T x x x ),,(321=X ，则),,(321x x x f 在 T Q )31,31,31(111==Y =X ξ和T Q )3 1,31,31(2 22-==Y =X ξ处取得最小值. 最后再介绍一个有用的定理： 定理3.1.3 设A 为n 阶正定矩阵 T n x x x X ),...,,(21=与 T n c c c ),...,,(21=?实向量，β为实数，则 实函数βα++=x Ax x x f T T 2)(当α1 --=A x 时取得最小值ααβA T -. 证明:[ ] ?? ? ?????????=11x A x f T T βα α，由A 正定，∴1-A 存在（对称）而??????-=??????-????????????----ααβαβα αα111001010A A A E A A E T T n T T n ，??????=??????----101011 1A E A E T n T n αα， [ ] ????????????-??????=-1001011 x A A A E x f T T n T ααβα 其中，α1 -+=A X Y ，A 正定，故?α1 --=A X ，所以)(x f 取得最小值ααβA T -. 例3.1.4 已知实数y x ,满足122=+y x ，求 xy y x y x f 22),(2 2-+=的最大值和最小值. 解),(y x f 的矩阵? ?? ? ??--=2111A ，132 +-=-λλλA E 。 因此，特征值)53(2 1 ),53(2121-=+= λλ 于是得),(y x f 在12 2 =+y x 下的最大值是)53(211+= λ 最小值是)53(2 1 2-=λ 。 3.2 证明不等式 其证明思路是: 首先构造二次型, 然后利用二次型半正定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为半正定, 从而得到不等式. 例3.2.1（Cauchy 不等式）设,(1,2, ,)i i a b i n =为任意实数, 则 2 2 21 1 1 ()()()n n n i i i i i i i a b a b ===≤?∑∑∑. 证明 记2 2 222121 2 1 122 1 1 1 1 (,)() ()2()()n n n n i i i i i i i i i i f x x a x b x a x a b x x b x ===== +=++∑∑∑∑ 因为对于任意12,x x , 都有12(,)0f x x ≥, 故关于12,x x 的二次型12(,)f x x 是半正定的.因而定理1知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即 2 1121 1 0n n i i i i i n n i i i i i a a b a b b ====≥∑∑∑∑. 故得2 221 1 1 ( ) ()()n n n i i i i i i i a b a b ===≤?∑∑∑. 例3.2.2 证明 221 1 ()n n i i i i n x x ==≥∑∑ 证明 记22121 1 (,, ,)()n n n i i i i f x x x n x x X AX =='=-=∑∑, 其中 1211111 1(,, ,),111n n n X x x x A n ---?? ?--- ? '== ? ?---?? 将矩阵A 的第2,3,…,n 列分别加到第一列,再将第2,3,…, n 行减去第1行,得 A ～0110000 n n --?? ? ? ? ??? , 于是A 的特征值为0, , ,,n n 由定理可知, A 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得 12(,,,)0n f x x x ≥, 即 221 1 ()n n i i i i n x x ==≥∑∑ 结论得证. 例3.2.3 设,,αβγ是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,,x y z ,都有 2222cos 2cos 2cos x y z xy xz yz αβγ++≥++. 证明 记2 2 2 ()2cos 2cos 2cos f X X AX x y z xy xz yz αβγ' ==++---， 其中1 cos cos (,,),cos 1cos ,,cos cos()cos cos 1X x y z A αβαγαβγπγαββ γ --?? ??'==--++==-+????--?? 对A 做初等行变换得: A ～1cos cos 0sin sin 000α βαβ--?? ??-?????? , 于是A 的特征值为0, 1, sin α, 从而得二次型()f X 是半正定的, 即对于任意实数,,x y z ,()f X 0≥, 得证. 例3.2.4 设A 为n 阶半正定矩阵, 且A 0≠, 证明1A E +>. 证明 设A 的全部特征值为(1,2, ,)i i n λ=, 则A E +的全部特征值为 1i λ+(1,2, ,)i n =. 因为A E +为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵T , 使得 121111n A E T T λλλ-+????+??+=????+? ? 由于A 为半正定矩阵, 且0A ≠, 则A E +是半正定的, 且其中至少有一个00i λ>, 同时至少有一个等于零. 故0 1 (1)11n i i i A E λλ =+= +≥+>∏, 结论得证. 以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型, 从而证明不等式. 使用这种方法简单, 方便. 3.3 因式分解 定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是: 它的秩为2和符号差为0, 或秩等于1. 例3.3.1 多因式22 12121212(,)3226f x x x x x x x x =--+-在R 上能否分解, 若能, 将其分解. 解 考虑二次型22 12312121323(,,)3226g x x x x x x x x x x x =--+-, 则 123(,,)g x x x 的矩阵为 111133130A -?? ?=--- ? ?-?? , 对A 施行合同变换, 求得可逆矩阵 31121012001P ? ?- ? ? ?=- ? ? ? ? ?? , 且'140P AP ?? ? =- ? ???. 显然, A 的秩为2且符号差为0, 由定理2.6知, 123(,,)g x x x 可以分解. 经非退化线性替换 11223331121012001x y x y x y ? ?- ????? ? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ????? ? ??? , 化为22123121212(,,)4(2)(2)g x x x y y y y y y =-=+-. 由1 Y P X -=, 得1123y x x x =-+, 2231 2 y x x =+ , 33y x =. 于是12312312(,,)(2)(3)g x x x x x x x x =++-. 故12121212(,)(,,1)(2)(3)f x x g x x x x x x ==++-. 例 3.3.2 多项式22 12121212(,)269f x x x x x x =+-+-+在R 上能否分解? 如果能,将其分 解． 解 考虑二次型222123123121323(,,)296g x x x x x x x x x x =++-+-, 其矩阵为 1313200000039A ???? ?=-→ ? ? ?-???? 则秩1rankA =, 所以123(,,)g x x x 能在R 上分解, 则1212(,)(,,1)f x x g x x =也能在R 上分解. 易得 2121212(,)(,,1)(3)f x x g x x x ==+. 3.4 二次曲线 事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状. 例3.5.1 判断二次曲线0222422 =--++xy x y x 的形状. 解：设 xy x y x y x f 2224),(22--++=， 令xz xy z y x z y x g 2224),,(2 2 2 +--+=，则)1,,(),(y x g y x f =.对),,(z y x g 实施非退化线性替 换：?????=+=+-=z z z y y z y x x 1113,即?? ?? ? ???? =-=-+=11111 133 4z z z y y z y x x 则212 1213103),,(z y x z y x g -+=，从而03 103)1,,(),(2121=-+==y x y x g y x f .即 110 91032 121=+y x ，故曲线0222422=+--+x xy y x 表示椭圆. . 结论 二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许 多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。 本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用。将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题。在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值。 参考文献： [1]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234. [2]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427. [3]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15. [4]孙秀花.二次型的应用[J] .宜宾学院报,2010,10(6):28-29 [5]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J] .常熟理工学院报,2009,23(10):38-42 [6]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129 [7]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J] .科技通报，2002,18(30):227 [8]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型'XAX 最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74 致谢 值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师张王军老师。张老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我的论文进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误，修改论文。张老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师张王军老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！ 这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。我要在这里对他们表示深深的谢意！ 第2讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，错角相等； 两条直线平行，同旁角互补. 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数 为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠ EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ 02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数. A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图） 平行线性质的应用 ——同底三角形面积存在性的探究 教学目标 知识目标：平行线距离处处相等和平行线分线段成比例性质的理解和应用； 会运用平行线解决抛物线中三角形面积相关问题 能力目标：利用平行线性质解决同底三角形面积存在性问题的能力； 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发 展空间观念、推理能力和有条 理表达的能力；培养学生分类，转化方程思想； 情感目标：通过自主探究 培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的能力； 教学重点：在坐标系中平行线间的距离之比等于在Y 轴上对应线段之比的理解，并利用求平行线解析式判断交点情况； 教学难点：理解同底三角形面积相等或成比例时如何求相应的平行线解析式以及判断点的个数. 教学设计 一、课前准备 1.如图，在平面内能否找到一点P 使△ABC 与△PBC 面积相等？如果能,请画出所有的点P ；如果不能，请说明理由. 设计意图：在学生已学会的简单三角形出发，引入课例，为学生解决较难的综合题提供简洁的方法，以达到由浅入深的目的. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴，y 轴于点A(-3,0)，B(0,-3)．则： (1)直线AB 的函数解析式是__________ (2)若直线l 过点C （1，1）且与直线AB 平行，则直线l 解析式_______________ (3)若直线AB 向上平移2个单位，得直线___________ 设计意图：学生简单回顾平行线解析式的求法 为后面铺垫. 二、合作探究 在y=-x-5上取一点D(-1,-4)，连接AD,BD,问在坐标轴上是否存在一 点C,使得 , 若存在，请求出所有C 点坐标； 若不存在，请说明理由. 变式：若使得 ABD ABC S S ??=2 ，C 点坐标怎么求？ 思考：如何解决同底三角形面积相等或成比例时找点的问题呢？ 设计意图：让学生很快进入知识情景，在坐标轴中寻找使面积相等的点，为引入函数做好准备 . ABD ABC S S ?? = 第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型: 课题2 金属的化学性质 一、金属与氧气的反应 注意：铝、锌虽然化学性质比较活泼，但是它们在空气中与氧气反应表面生成致密的氧化膜，阻止内部的金属进一步与氧气反应。因此，铝、锌具有很好的抗腐蚀性能。 二、金属与酸的反应：金属活动顺序表中，位于氢前面的金属才能和稀盐酸、稀硫酸反应， 放出氢气，但反应的剧烈程度不同。越左边的金属与酸反应速率越快，铜和以后的金属不 能置换出酸中的氢。金属＋酸盐＋H2↑（注意化合价和配平） Mg＋2HClMgCl2＋H2↑ Mg＋H2SO4MgSO4＋H2↑ 2Al＋6HCl2AlCl3＋3H2↑ 2Al＋3H2SO4Al2(SO4)3＋3H2↑ Zn＋2HClZnCl2＋H2↑ Zn＋H2SO4ZnSO4＋H2↑（实验室制取氢气） Fe＋2HClFeCl2＋H2↑（铁锅有利身体健康）（注意Fe化合价变化：0→＋2） Fe＋H2SO4FeSO4＋H2↑（注意Fe化合价变化：0→＋2） 注意：在描述现象时要注意回答这几点：金属逐渐溶解；有（大量）气泡产生；溶液的颜色变化。 三、金属与盐溶液的反应：金属活动顺序表中，前面的金属能将后面的金属从它的盐溶液 中置换出来。（钾钙钠除外）金属＋盐新金属＋新盐 Fe＋CuSO4Cu＋FeSO4（铁表面被红色物质覆盖，溶液由蓝色逐渐变成浅绿色） （注意Fe化合价变化：0→＋2）不能用铁制器皿盛放波尔多液，湿法炼铜的原理 Cu＋2AgNO32Ag＋Cu(NO3)2 (铜表面被银白色物质覆盖，溶液由无色逐渐变成蓝色） Fe＋2AgNO32Ag＋Fe(NO3)2 (铁粉除去硝酸银的污染，同时回收银）（注意Fe化合价变化：0→＋2）现象的分析：固体有什么变化，溶液颜色有什么变化。 四、置换反应：一种单质和一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应。 单质＋化合物新单质＋新化合物 A ＋ BCB ＋ AC 初中常见的置换反应：（1）活泼金属与酸反应：如 Zn＋H2SO4ZnSO4＋H2↑ （2）金属和盐溶液反应：如 Fe＋CuSO4Cu＋FeSO4 （3）氢气、碳还原金属氧化物：如 H2＋CuOCu＋H2O C＋2CuO2Cu＋CO2↑ 五、金属活动顺序表 应用：1、在金属活动顺序表中，金属位置越靠前（即左边），金属的活动性越强。（即越靠近左 边，金属单质越活泼，对应阳离子越稳定；越靠近右边，金属单质越稳定，对应阳离子越活泼。） 2、在金属活动顺序表中，位于氢前面的金属能将酸中的氢置换出来，氢以后不能置换出酸中的氢。注意：（1）浓硫酸、硝酸除外，因为它们与金属反应得不到氢气。 （2）铁和酸反应化合价变化：由0价→＋2价。 3、在金属活动顺序表中，前面的金属能将后面的金属从它的盐溶液中置换出来。【可以理 解为弱肉强食，弱的占位置（离子或化合物的位置）占不稳，被强的赶走；强的占位置占 得稳，弱的不能将它赶走！】 注意：（1）K、Ca、Na除外，因为它们太活泼，先和水反应。如2Na＋2H2O2NaOH＋H2↑ （2）变价金属Fe、Cu、Hg发生这种置换反应，化合价变化：由0价→＋2价。 金属化学性质的中考考点知识： 1、比较金属活动性强弱方法：弱肉强食，能反应的是强的把弱的赶走，与酸反应越剧 烈，说明活动性越强；不能反应的是弱的赶不走强的。 例：X、Y、Z是三种不同的金属，将X、Y分别放入稀盐酸中，只有X表面产生气泡；将Y、 Z分别放入硝酸银溶液中，一会儿后，Y表面有银析出，而Z无变化。根据以上实验事实， 判断三种金属的活动性顺序为（） A、X＞Y＞Z B、X＞ Z＞ Y C、Z＞ X＞Y D、Y＞Z ＞X 三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3） 课题：平行线的判定和性质 的综合应用（1） 授课人：王维 学科：数学 授课班级：初一（3）班 学校：运河中学 时间： 2010年 5月 7日 教材分析： 1.单元所对应的课标要求 了解余角、补角、对顶角等概念。知道同角（或等角）的余角、补角相等，对顶角相等. 条直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质. 直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 2.单元教学目标 （1）使学生初步学会通过观察认识事物之间的关系； （2）使学生初步学会通过实验认识事物之间的关系； （3）使学生初步学会通过归纳认识事物之间的关系； （4）使学生初步学会通过类比认识事物之间的关系； （5）使学生初步学会通过猜想认识事物之间的关系； （6）使学生初步学会运用说理处理生活中、数学中的逻辑关系； （7）使学生了解定义、命题、公理、定理的概念，并初步学会运用推理的方法证明图形中的等量关系，了解同角（或等角）的余角相等、补角相等及对顶角相等的性质； （8）使学生了解同位角、内错角、同旁内角的概念，并初步理解平行线的判定公理及定理，平行线的性质公理及定理； （9）通过本章的学习，培养学生的逻辑思维能力，养成言必有据的良好习惯. 3.单元学习内容的前后联系 4. 5.单元教材分析（先总体分析本单元主要内容、地位作用、教育价值、蕴含的核心数学思想方法，然后分节分析） 第八章的内容是在第四章的基础上对平面几何内容的进一步研究，这一章在初中的教学的地位是承前启后，为后面研究图形问题打下良好的基础性。如果本章节的知识学生理解掌握的不透彻，将直接影响后面的几何的学习。 平行线的判定和性质是平面几何中的基础知识，是后面研究图形性质的重要途径。学生要理解判定和性质的联系和区别，并体会平行线的定义作为判定和性质的双重性。在研究平行相关的问题时要能够准确的选择相应的公理和定理。 由浅入深的训练学生体会和掌握用分析法和综合法证明几何题。在教学中渗透逻辑推理思想，培养严谨的思维方式，训练学生规范的书写格式。 6.课时安排建议 7.教学建议 课题2 金属的化学性质 教学目标: 1.知道铁、铝、铜等常见金属与氧气反应。 2.初步认识常见金属与盐酸、稀硫酸的置换反应。 3.通过实验判断金属的活泼性程度。 4.通过对金属活动性顺序的学习，能对有关的置换反应进行简单的判断，并能用金属活动性顺序解释一些与日常生活有关的化学问题。 1.通过实验探究和讨论交流，引导学生认识金属的活动性顺序。 2.初步学会运用观察、实验等方法获取信息，并能用图表和化学语言表达有关信息。 3.初步学会运用比较、分类、归纳、概括等方法对获取的信息加工使学生逐步形成良好的学习习惯和方法。 1.培养学生的合作意识以及勤于思考、勇于创新实践、严谨求实的科学精神。 2.了解化学与日常生活及生产的密切关系，提高学生解决问题的能力。 教学重点: 1.了解金属活动性顺序表，掌握置换反应的概念。 2. 认识部分金属重要化学性质（与氧气反应，与盐酸、稀硫酸反应及金属间的置换）。教学难点: 1. 活动性顺序强弱的探究及排序。 2. 金属活动性顺序表的应用。 教学方法: 对实验现象进行筛选、对比、归纳、分析、进行信息处理，获取科学结论的教学方法。教会思路：猜想与探究――→观察与检验――→分析与归纳――→解释与结论 教学准备: 镁、铝、锌、铁、铜等金属，硫酸铜溶液、硝酸银溶液、稀盐酸、稀硫酸等以及酒精灯，石棉网、三角架、试管、镊子等。 教学过程: 作业设计: 1.课后习题 2.设计一个实验证明活泼性Zn ＞Fe ＞Cu 板书设计: 课题2 金属的化学性质 一. 金属与氧气的反应 镁铝常温下很容易反应，铜铁常温下反应很慢，金在高温下也不反应。 结论：不同的金属与氧气反应的难易程度不同。 活动性：Mg、Al＞Fe、Cu＞Au F E D C B A 课题：平行线的性质和判定的综合运用 课型：复习 学习目标：1.分清平行线的性质和判定.已知平行用性质, 要证平行用判定. 2.能够综合运用平行线性质和判定解题. 学习重点：平行线性质和判定综合应用 学习难点：平行线性质和判定灵活运用 学习过程： 一、学前准备 1、预习疑难： 。 2、填空：①平行线的性质有哪些？ ②平行线的判定有哪些？ 二、平行线的性质与判定的区别与联系 1、区别：性质是：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． 判定是：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 2、联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提； 它们的条件和结论是互逆的。 3、总结：已知平行用性质,要证平行用判定 三、应用 （一） 例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。 1、分析： (执果索因)从图直观分析，欲证AD ∥EF ，只需∠A +∠AEF =180°，(由因求果)因为AD ∥BC ，所以∠A +∠B =180°，又∠B =∠AEF ， 所以∠A +∠AEF =180°成立．于是得证 2、证明：∵ AD ∥BC （已知） ∴ ∠A+∠B ＝180°（ ） ∵ ∠AEF=∠B （已知） ∴ ∠A ＋∠AEF ＝180°（等量代换） ∴ AD ∥EF （ ） 3、思考：在填写两个依据时要注意什么问题？ 4、推广：你有其他方法证明这个问题吗？你写出过程。 （二）练一练： 1、如图，已知：AB ∥DE ，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC ∥EF 。 2、如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o 3、如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。 4、如图，已知：AB ∥CD ，∠A ＝∠C ， 求证：AD ∥BC 。 四、学习体会： 1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ 五、自我检测： 1、如图1,AB ∥EF,∠ECD=∠E,则CD ∥AB.说理如下: 因为∠ECD=∠E, 所以CD ∥EF( ) 又AB ∥EF, 所以CD ∥AB( ). （1） 2、下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等,两直线平 行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 3、如图,平行光线AB 、DE 照射在平面镜上，经反射得到光线BC 与EF ，已知∠1= ∠2， ∠3= ∠4，则光线BC 与EF 平行吗？为什么？ A B C D F E C A B C D M F G 12 34 5 1A B C D M F G E H N 2 B E 第2讲 平行线得性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补、 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 得延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 得度数为 （ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 得度数、 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 得度数、 【解法指导】平行线得性质与对顶角、邻补角、垂直与角平 分线相结合，可求各种位置得角得度数，但注意瞧清角得位置、 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 得得度数＝_______________ 02、如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 得 度数、 【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F 、 【解法指导】 因果转化，综合运用、 A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图） C D A B E F 1 3 2 第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。 ()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。 人教版化学九年级下册8章重点考点专训-金属的化学性质及应用 1．下列说法体现了“铁”的物理性质的是() A．铁易生锈B．铁在纯氧中能燃烧 C．铁能与盐酸反应D．铁能导热 2．【2019·山西模拟】黄金是一种贵重金属，下列事实不能解释金的化学性质稳定的是() A．自然界黄金能以单质形式存在 B．“真金不怕火炼” C．黄金质地比较软 D．黄金在潮湿的空气中不会锈蚀 3．【中考·玉林】下列有关金属的说法错误的是() A．铜能导电 B．银能与稀盐酸反应 C．镁的活动性比铁强 D．铝具有良好的抗腐蚀性 4．如图所示，调节杠杆平衡后开始进行实验。 (1)实验1：加热细铜丝团一段时间后移走酒精灯，铜丝变为黑色(CuO)，观察到细铜丝团________(填“上升”“下降”或“不变”)，出现上述现象的原因是_______________________________________________。 (2)实验2：将铜丝团浸入硝酸银溶液一段时间，当观察到溶液变为蓝色时小心地松手，发现稳定后的砝码比起始位置高，写出瓶中反应的化学方程式_________________________________________。 5．【本溪】如图是与铁的性质有关的部分实验。请回答。 (1)A中铁丝燃烧的化学方程式为________________________，集气瓶中预先放少量水的目的是______________________________________________。 (2)B是探究铁钉锈蚀条件的实验。通过对比①③试管中的现象，可知铁钉生锈需要与________接触。写出一种日常生活中防止铁制品锈蚀的方法___________________。 (3)已知锰(Mn)的金属活动性介于镁和锌之间，如果通过实验验证铁和锰的金属活动性强弱，能达到实验目的的试剂组是________(填字母)。 A．Mn FeSO4溶液 B．Mn Fe MgSO4溶液 C．Mn Fe ZnSO4溶液 7.课外小组的同学从某工厂收集到一些混有少量小铁片的细小铜片。 (1)为了除去混合物中的铁，同学们设计出三种方法： 方法一：用磁铁。该方法属于________(填“物理”或“化学”)方法。 方法二：用稀硫酸。该方法还可以制得的气体是________。 方法三：用硫酸铜溶液。请写出该方法涉及的化学方程式及基本反应类型：化学方程式_________________________，基本反应类型______________。 (2)上述第________种方法操作最简便。 (3)在实际操作中，同学们发现“方法三”不能在短时间内将铁除尽，请回答其中的原因__________________________。 8．【2018·安顺】“愚人金”实为铜锌合金，外观与黄金极为相似，常被不法商贩冒充黄金牟取暴利，下列关于鉴别“愚人金”与黄金的实验方案，合理的是() ①比较硬度，硬度小的是“愚人金” ②灼烧，表面变色的是“愚人金” ③浸没在稀硫酸中，表面有气泡产生的是“愚人金” ④浸没在硫酸锌溶液中，表面附着白色物质的是“愚人金” A．①③B．②④C．①④D．②③ 9．化学实验室要从X、银、铜、锌四种金属混合物中分离某贵重金属，流程如下。下列说法中正确的是() 平行线相交线 教学目标 1.经历基础知识梳理的过程，进一步体会数学知识中数量关系和位置关系的一个有效数学模型 2.能够利用基础知识解答一些简单问题，帮助学生认识到运用基础知识解答一些简单问题的关键是理解定义、定理蕴含的关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 3.经历运用“平行线的判定方法”和“平行线的性质”解决有关几何问题过程，在活动中发展学生的合情推理意识，使学生逐步掌握说理基本方法。并在证明的过程中体会转化等数学思想； 教材分析 本节课是相交线与平行线的复习课，是对《平行线与相交线》的整个单元的知识进行梳理和复习，故以梳理、巩固基础知识为起点，对邻补角、对顶角以及两直线平行知识进行梳理，提升学生的基本应用技能。故教学呈现仍注重以实践归纳为主，从简单的问题入手，通过学生的自主体验，结合说理推证的途径，逐步提炼来实现对本章相关知识的掌握，解决在学生中存在的易错点与混淆点，逐步加深对建模思想的理解. 学生分析 学生已经完整的学习了《平行线与相交线》的整个单元的知识，但对基本概念和基本技能的掌握方面不够系统，故教学要引导学生通过操作、观察、归纳来获取知识，体会用动态的观点来看待静态的图形，感知几何变换的思想. 采用的是“操作、探究、启发、交流、引导”的教学方法。根据学生的认知规律，创设符合学生实际的情境，引导学生自主探索，积极参与课堂活动，培养学生的探究能力. 对推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程。总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写. 重点难点 教学重点： 1.相交线平行线知识的综合应用； 《金属的化学性质和用途》教学设计 一、课前准备:学生回顾课本知识，并通过网络收集金属资源的应用及 保护相关信息。 二、教学重点： 常见金属的化学性质、金属活动性顺序、及金属的部分用途。 教学难点： 金属活动性顺序的应用。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.通过复习进一步掌握金属的重要化学性质及相应的反应规律。 2.进一步掌握金属活动性顺序及其简单应用。 3.通过对金属的冶炼、金属锈蚀、金属资源的保护与回收的探讨，让学生树立珍惜资源、爱护环境的意识。 （二）过程与方法 1.通过复习帮助学生形成获取信息和处理信息的能力 2.通过学生分组归纳,培养其逻辑思维能力。 3.通过组内交流讨论激励学生合作参与的意识 （三）情感态度与价值观 1.通过对化学史的了解，树立正确的科学伦理观与不断探索的科学精神。 2.通过复习进一步提高学生科学探究的能力、合作交流能力。同时，提高学生的网络学习能力。 四、课堂设计： 创设情境，引入课题 师：（模拟微信群聊的形式）通过探究巧克力的包装使用什么金属做的为问题导入,引出本节课复习的内容并展示复习目标。 生：讨论聊天记录的内容，明确本节课复习的内容及复习目标。 （以微信为载体，激发学生对复习课的学习兴趣，并积极引导学生，正确的使用好网络，发挥好它的积极因素。） 设计活动，德智双育 活动一 师：1.设计实验证明铝和铁更活泼? 引导学生从实验方案、实验步骤、实验现象、实验结论等方面探讨 生：分小组合作探究实验的方案，并逐步完善。由各小组汇报讨论的结果。 （通过小组合作学习，认识到科学研究既需要独立思考又离不开群策群力、集思广益，养成团结协作，互助共赢的科学研究习惯。） 活动二 师：对于活动一的实验方案归纳，体现了金属的哪些化学性质?这些化学性质遵循怎样的发应规律? 生：小组合作交流，总结归纳出金属的化学性质、金属的活动性顺序及相应的反应规律。 二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍， 并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵 金属化学性质的应用 一、学习目标 1、知识与技能：能够准确说出金属具有的物理性质和重点化学性质，能够从日常生活现象中体会知识的应用，能够用金属的化学性质灵活地解决具体的问题. 2、过程与方法：通过叙述金属典型的化学性质，能够复习重点知识，总结并学习解决某类问题的常规思考方法。 3、情感、态度与价值观：通过金属化学性质的应用，培养学生勤于思考、严谨求实、勇于实践的科学精神。理解化学科学对人类文明和社会进步的作用，通过顺利解决实际问题培养学生的成功体验。 二、任务分析 1、起点能力：学生已初步掌握常见金属像锌、铁、铜、铝等的化学性质。 2、教学重点：金属化学性质的应用和问题解决思路。 3、教学难点： ①从日常生活现象中提炼相关的化学知识，通过实际问题理解重点知识的考查方式； ②通过学生自己编题或选题,总结解决问题的思路。 4、课型：小组探究与归纳 5、课时安排：1课时 【课堂学习】 【小组成果展示1】金属的化学性质 金属与氧气反应 部分金属与酸溶液反应 部分金属与盐溶液反应 【小组成果展示2】金属的化学性质会有哪些方面的应用？要求举例说明（可以编成题目展示给大家）。 展示四组学生的自编题目 学生自我解决 教师适时引导 【汇总提升】 【自我检测】 1.(2008年徐州市) (8分)颗粒达到纳米级的单质铁具有很强的反应活性，俗称“纳米铁”。 实验室制备的方法是：以高纯氮气作保护气，在高温条件下用H2和FeCl2发生置换反应，生成“纳米铁”。请回答以下问题： (1)写出生成“纳米铁”的化学方程式__________________________________________。 (2)反应中需要保护气的原因是。 (3)某化学探究小组为了验证铁、铜、镁、汞的金属活动性顺序，设计了如下实验方案： ①将大小一样的铁片和镁片分别加入到溶质质量分数相同的稀盐酸中；②将铜片加入 到硝酸汞溶液中，铜片上出现银白色物质；③将金属片A加入到溶液B中。根据实验 ①判断出镁的金属活动性比铁强，依据的现象是；根据 实验②的现象得出的结论是；要通过实验③得出铁和铜的金属活动性顺序，那么，如果B是硫酸铜溶液，则金属A是，如果A 是铜，则溶液B是。 2．(08四川雅安)(本题9分)对实验进行改进是创新的表现方式之一。下图是某研究性学习小组设计的几种装置，请你分析并回答下列问题： (1)A装置中所用玻璃仪器的名称是______________________________； (2)A装置除可用作实验室制取H2、O2的发生器外，还可以用作制_________气体的发生装 置，用A装置制取O2的化学方程式是 ____ (3)小张从装置A得到启发，在大试管中增加了隔离铜丝网，设计成装置B用于制H2，相 对于用A装置制H2，用B装置的优点是_________ 第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型 人教版七年级数学下册 浅析平行线的判定与性质的应用 什么是平行线？即在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。 虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何.平行线的判定与性质是几何的基础知识，也是初中几何的重点内容.由于同学们初次接触“判定”与“性质”，对它们的关系不清楚，而且对推理证明的引入比较陌生，因而有些同学在学习中产生困难，本文谈几点看法，希望对同学们有所帮助. 一、要弄清“判定”与“性质”的区别与联系，二要明白它们的用法。 平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 以上性质可简单说成： 1.两条直线平行，同位角相等。 2.两条直线平行，内错角相等。 3.两条直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定 1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。 3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 4.同位角相等，两直线平行。 5.内错角相等，两直线平行。 6.同旁内角互补，两直线平行。 平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形首先通过画图认识什么是平行线 平行线的画法用三角板和直尺过直线外一点作一条直线的平行线的方法可概括为：一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”.即一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：直尺靠在三角板的另一边；三“推”：把三角板沿直尺推动，使开始落在已知直线上的一边经过已知点；四“画”过已知点沿三角板这边画直线.三线八角的概念。在研究平行线的判定和性质时要涉及到同位角、内错角、同旁内角，判别这些角的位置的关键是寻找两条直线被第三条直线相交，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件；它们的区别是：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判 平行线的性质和判定的综合运用导学案 主备人：苗艳玲审批人：时间：12年月日印刷份数：140 学习目标：1.分清平行线的性质和判定.已知平行用性质 ,要证平行用判定 . 2.能够综合运用平行线性质和判定解题. 学习重点：平行线性质和判定综合应用 学习难点：平行线性质和判定灵活运用 学习过程： 一、复习提问 1、平行线的性质有哪些？ 2、平行线的判定有哪些？ 3、平行线的性质与判定的区别与联系 （ 1）区别：性质是：根据两条直线平行，去证角的相等或互补．判定是：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． （ 2）联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提； 它们的条件和结论是互逆的。 （3）总结：已知平行用性质 ,要证平行用判定 二、应用 例：如图，已知： AD ∥BC, ∠ AEF=∠B,求证： AD ∥ EF。 1、分析： (执果索因 )从图直观分析，欲证AD∥ EF，只需 ∠A+∠AEF=180°， (由因求果 )因为 AD∥BC，所以∠ A+∠B=180°，又 ∠B=∠AEF， 所以∠ A+∠AEF=180°成立．于是得证 2、证明：∵ AD ∥BC（已知） ∴∠A+ ∠B＝180°（） ∵ ∠AEF= ∠B（已知） ∴ ∠A ＋∠ AEF＝ 180°（等量代换） ∴ AD ∥EF（） 三、练一练： A D E F B C 1、如图，已知： AB ∥DE，∠ ABC+ ∠DEF=180°, 求证： BC∥EF。 A D B C 1 F E 2、如图，已知：∠ 1＝∠ 2，求证：∠ 3＋∠ 4=180o 1 3 A B M C 2 5 D 4 F G 3、如图，已知： AB ∥CD ， MG 平分∠ AMN ,NH 平分∠ DNM ，求证： MG ∥ NH 。 E A M B 1 H G 2 C N D F 4、如图，已知： AB ∥CD ，∠ A ＝∠ C ， 求证： AD ∥BC 。 D C 四、自我检测 A B 1、如图 ,AB ∥EF,∠ECD=∠ E,则 CD ∥ AB. 说理如下 : B A 因为∠ ECD=∠E, 所以 CD ∥EF( ) D C 又 AB ∥ EF, 所以 CD ∥AB( ). E F 2、下列说法 :①两条直线平行 ,同旁内角互补 ;②同位角相等 , 两直线平行 ;?③内错角相等 ,两直线平行 ;④垂直于同一直线的两直 线平行 ,其中是平行线的性质的是 ( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 3、如图 ,平行光线 AB 、DE 照射在平面镜上， 经反射得到光线 BC 与 EF ， 已知∠ 1= ∠2， ∠3= ∠4，则光线 BC 与 EF 平行吗？为什么？ A C D F 1 2 3 4 B E 2平行线的性质及其应用
平行线性质的应用 专题复习
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方
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10三维空间中二次方程与二次曲面解读
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2020人教版化学九年级年级下册8单元重点考点专训-金属的化学性质及应用(附答案)
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金属的化学性质和用途 教案
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二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.
人教版数学七年级下册【教学论文】浅析平行线的判定与性质的应用
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