第八章二次型
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题, 这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用.本章主要介绍二次型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题
§ 8.1二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出:
2 2
ax + bxy + cy + dx + ey + f =
0 (1.1 )
要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去
xy项，通常的坐标变换公式
为
卩=x&s日-y'sin 日[y =x sin 日+
y'cosT (1.2 )
从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关
键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分
类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.
定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：
f(0X2, MX n)=印必2中23,2玄2 +|||+2a1n X1X n
乜22%22+2a23X2X3 +川+ 2a2n X2X n + ili+a nJ,n4X24 +2a n_i,n X n4X n +a nn X n2(1.3 )
称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R，则称f为实二次型；如果数域P为复数域C，则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即
f(X1,X2,川,X n) =d1X12+d2X22+IH 中d n X n2
称为标准形式的二次型，简称为标准形.
说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便
例8.1.2下列多项式都是二次型
f (x,y) =x2+3xy + 3y2
f (x,y,z) =2x2+2xy -3xz+ y2+4yz-73z2
下列多项式都不是二次型
f (x,y) =x2+3xy + 3y2-2x+1
f (x,y,z) =2x3 +2xy-4yz-3z2-1
定义8.1.3设X1,X2,ilLX n；y1, y2,il(,y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
N =5% +G2y2 +H(+G nyn 1X2 =01% +C22y2 中C2nyn
F川I川
(1.4)
Xn 7% +Cn2y2 +|1(+ %%
称为由X1,X2,川，X n到y1, 72^1, y n的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式
C j HO,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.
在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示
令a ij -a ji,则有2a j X i X j =a ij xx j +a ji X j X i,于是(1.3)式可以改写为
f (X1,X2」i),X n) =a11xj +22X1X2+111+ amX j X n
+ 821X2X1 +a22X22州丨+ a2n X2X n +IH+ a n1X n X1 +a n2X n X2 +山+3朋；
=旨(站必估2%2十山中a1n X n)
+ X2(a21X, +822X2+山+a2n X n)
+0)中XnEX, +a n2X2+|||+a nn X n)
01X 1 +a 12X 2 +川 +a 1n X n '
a
21x 1
+a 22x
2 **'
a 2n x n
0n1X ,
+a n2X2+M
丿
例 8.1.4 二次型 f (X, y,z) =2x 2
+2xy -3xz + y 2
+4yz-J 3z 2
的矩阵形式为
2 1
3 )
-2
f(x,y,z) =(x, y, z) 1 1 2
y
--2
< 2 2
-疤
说明：任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵 .反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定
一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系
.把对称矩阵 A 称为二次型
例8.1.5给定对称矩阵
则其对应的二次型为：
2 2 2 2
f (x 1, x 2, x 3, x 4^ X , +4X 1X 2 -2x 1x^6x 1x^ +2X 2 +6X 2X ^2X 2X ^ 3X ^ 4X 4
/ a11
a12 III a
1n
"X1、 a21 a22
III a2n
,x
=
X2 ■ 4 ri + ri h ri ri + ■
■ rib
■ ■
i a
n1
a
n2
III
a
nn J
记A =
= (X i ,X 2，川，X n )
= (X i ,X 2，川，X n )
/
a a 12 川 a 1n '
a
21
a 22
川
a 2n
X 2 .」」 ?
亠?? ??
? 4 4 厲1 a n2
川 a nn 丿
/n >
则二次型可记为
=x T
A X ,
(1.5)
其中A 是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.
f 的矩阵，也把f 称为对称矩阵 A 的二次型.称对称矩阵 A 的秩为二次型的秩.
(1
-1
—3)
-1
-1
1—3 -1
对于二次型f =x T A X,作线性替换X = C y ,其中
1
C ：= p c11
O zi
C12
C22
III
III
Gn
、
f y i]
y2 4 i + h ri 4 h ri h h ri h
,y = R
R
R .C ni C n2 ill C nn丿
Jn>
f =x T A X =(C y)T A(C y)
C T AC y =y T(C T AC )y
B =
C T AC ,则有B T=(C T AC)T= C T A T(C T)T= C T AC = B即B 是对称矩阵.这
对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型
定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵,如果有数域P上的n阶可逆矩阵C ,使得
C T AC =B
则称矩阵A与B合同，记作A LI B.
合同是矩阵之间的一个关系.易知，合同关系具
有：
(1 ) 反身性：即A与A合同，因为A = E T AE ；
对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为由B =C T AC，即得
传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，
C =C2T BC2,即得C =C2T BC^(C.C2)T A(C.C2).
由B = C i T AC 1 和
说明：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具.另外，在二次型变换时，
我们总是要求所作的线性替换是非退化的，因为这样我们可以把所得的二次型还原
定理8.1.7若A与B合同，则rank A = rank B.
证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得
C T AC =B
由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故ran kA = ra
nkB.
说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证.这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换x = Cy就把二次型化为了标准形.因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C ,使得C T AC =B为对角矩阵.
§ 8.2化二次型为标准形
现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题
1配方法
定理8.2.i数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形，即只含有平
证明：对变量的个数n作数学归纳法.
对于n=1,二次型就是f(x i) =a ii X i2,显然已经是平方项了.现假定对n-1元的二次型，定
n n
理的结论成立.再设f (x i,X2,ill,X n)=送送a ij X i X j (a ij = a ji) i4 j4
分三种情形来讨论：
⑴a ii(i =12川，n)中至少有一个不为零，例如卯H0，这时
n n n n
f(X i，X2，川，X n) =a ii X i2+送a ij X i X j +2：+ 送Z a^X j
j=2 i=2 i=2 j=2
n n n
= a ii X i2+2S a ij X i X j +2 送a j X i X j
j=2 iz2 j z2
n n
=a ii(x i + 2 a ii a j X j) — an (2 a ij X j)
jz2 jz2
n n n
= a ii(x i +2 a i；a,j X j)2+2 Z bjXX j
j=2 i=2 j =2
n n
+2 Z aijXiXj i4 jz2
这里送送b ij X i X j = — a ii (无a ij X j) +送送a ij X i X j
i=2 jz2
j=2
是一个关于X2,X3，川，X n的二次型.令
n
y i =X i
j =2 y2 =X2
iliililll -4
a ii a ij X j
n
X i —2 a i：a ij y j
j=2
X2 = y2
lllili
lll
i/n = y
这是一个非退化线性替换，它使
n n 2
f(X i，X2，川，X n)=a ii y i +2 2；bj^y j
i￡ j.
n n
由归纳法假定，对￡ ￡ b j y i y j有非退化的线性替换
i z2 j z2
Z2 = C22 y2 +C23y3 +in+ C2n y n
Z^ C32 y2 +C33y3 +C3n y n
川Illi
Zn =Cn2y2 +Cn3y3 +| 11 + C.n %
能使它变成平方和
2 2 2
d2Z2 +d3Z3 +川中d n Z n
于是非退化线性替换
卜=y i
I Z2 =C22y2 +C23y3 +11 汁C2n y n
llllllllll
I Z n =Cn2y2 中53丫3 TH 中％ %
就使f(X i，X2」||，X n)变成
f (X i，X2, ilLX n) =a ii Z i2+d2Z22+d3Z32+川+d n Z n2
即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.
⑵ 所有a ii（i =12川，n）都等于零，但是至少有一个的工0（ j = 2,3，川，n），不失普遍性,设a i2 H 0 .令
X =乙+Z2
X
2 =Z^ -Z2 < X
3 - Z3
IIIIHIH
[X n = Zn
它是非退化线性变换，且使
f(X i，X2, ilLx n) =2a i2X i X2 +III
= 2a i2(Z i +z2)(Z i -Z2)+川
= 2a i2Z i2-2a i2Z22+ill
2
这时，上式右端是Z i，Z2，ilLz n的二次型，且Z i的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.
(3) aii =ai2 =i|( =ain = 0,由对称性知 a2i = a3i =j|| = ani = 0
n n
这时f(x 1，x 2J||，x n ^
z a jj X j X j 是n-1元的二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线
i
=2 j=2
性替换变成平方和.证毕. 例8.2.2 用配方法化二次型
2 2
f(X i , X 2，X 3)=X I +2X 2 +5X 3 为标准形，并写出所用的非退化线性替换 解：由定理的证明过程，令
得：f (X i ，X 2，X 3)=Z i 2
+Z 22
所有的非退化线性替换为
X I 徉
2 =Z2
-2Z 3 1X 3 = Z3
例8.2.3 用配方法化二次型
f (X i ,X 2,X 3,X 4)=2X 1X 2 -X i X 3 +X ,X 4 —X 2X 3 +X 2X 4 -2X 3X 4
为标准形，并写出所用的非退化性替换 解：由定理的证明过程，令
X2 =% -y2 X 3 = y 3 X 4 = y 4
代入原二次型得：
+ 2X I X 2 +2x i X 3 +6x 2X 3
y i =Xi +X 2 +X 3
x i = yi- y 2 - y 3 “2 =X2
=X3
X 2 = y 2
I
[X 3 = y3
得：f(X i ，X 2，X 3)=y i 2
+y 22
+4
河3+4y
上式右端除第一项外已不再含
y i ，继续配方，令
z i = y i “ Z 2 *2 +2y l z 3 = y3
y i = z i
j y 2 = Z2 -
2z
3
(73 = Z3
=Zi —Z2 +Z 3
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
不变量法化简二次曲面 徐晓利摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.关键词：二次曲面；化简；不变量二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.1二次曲面定义1在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.设二次曲面的一般方程为：（1.1）.二次曲面方程中的常用记号：将的二次项部分记为，将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵..2不变量法化简二次曲面定义2二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有
相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.引理 1.是二次曲面的不变量.即是正交不变量.推论 1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.引理3.给定二次曲面方程（1）当时，是不变量；（2）当时，是不变量.任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.定理1.不变量得简化方程：（1）当时，简化方程为；（2）当时，简化方程为；（3）当时，简化方程为；（4）当时，简化方程为；（5）当时，简化方程为.其中表示非零特征根.证明：从略.例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，.特征方程为，特征根为：，，.又由，所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.例2：化简二次曲面方程.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，由故二次曲面为中心二次曲面，特征方程为，特征根为：，，又所以二次曲面的简化方程为：，这是一个
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类 5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识 1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数） 2、关于虚点???+==b kx y y x F 0),( ??? ????+-=+-+=+)222,222(2)222,222(12 2i i y x i i y x 平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点） 3、记号 33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++= '131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221 ),(y F a y a x a y x F =++= 3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ 容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++= ??? ? ? ??=3323 13 232212 131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ??? ? ??=*22121211 a a a a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I == +=322 12 1211222111,, 33 2323 22 33131311 1a a a a a a a a k +=
三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）
第五章二次曲线的一般理论 § 5.1 二次曲线与直线的相关位置 1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点. 解：将y=x-1代入曲线方程,得 2 2 2x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0, 即0 0 故直线在二次曲线上? 2. 试决定k的值,使得 (1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点； ⑵直线x 1 kt 与二次曲线x23y24xy y 0交于一点； y k t ⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点 x 1 t ⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求k y 1 t 的值 解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 2 x 2x k 5 0 2 Q 2 4 k 5 0 4k 16 0 k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点? 1 2 0 (2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/2 0 1/2 0 且v X，丫k,1 ?, X o, y o 1,k
k 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点 k 49 时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 24 § 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的. 1 x 2 2xy y 2 3x y 0; 2 2 2 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0; 3 2xy 4x 2y 3 0. 1 1 解:(1) Q X,Y X 2 2XY Y 2 0时，X : Y 1:1，同时 I ? 0, 1 1 曲线有一个实渐进方向，是抛物型的 k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3, 1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 2 3 时 ，F 1 X 0 , y 0 X F 2 X 0 , y 0 Y 15 13 0, 2 (3). 二次曲线的矩阵为 (1 1 1 (1 k)/2 0 k)/2 1 解之, v X,Y k,1 , X o ,y o 1 0,即― 4 k 1 1,k 2 5, 2k 0,即 k 2 6k 5 0, 1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当 5时, 1,5 时, X,Y 直线与二次曲线有二重合实交点. k,1 2k 0, (4).二次曲线的系数矩阵为 2 2 1/2 1/ 2 1 0 1:( 1) 取(X 0,y 0)(“)，令V 0,即[ 2 (1 k)( 1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k 24，且此时(1 , 1) 2 4( 1) k
第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
二次曲线的理论及其应用开题报告 开题报告 二次曲线的理论及其应用 一、选题的背景、意义 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。 1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的
起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
3. 2 其它二次曲面 本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。 一般二次曲面的方程设为： 2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++= 上节我们以讨论过二次锥面，即222 2220x y z a b c +-=。 本节讨论下面三类二次曲面 222 2221x y z a b c ++= (椭球面)， 222 222 1x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22 222x y z a b -= (双曲抛物面) 3.2.1 椭球面 在空间直角坐标系下，由方程 2222221x y z a b c ++= (其中,,a b c 为正常数) (3． 2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当 a b c ==时，(3．2．1)表示球面． 下面来讨论椭球面的几何特征及其图像． 1）范围 由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±， y b =±，z c =±所围成的立方体中． 2）对称性 x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心． 3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线 椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴．
第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型
高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=. 解：（1）2 2100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）2 2100100001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-； （4）51 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ???；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+； （5）1 232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ?? ?；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-.
2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=. 解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）1 5(,),(1,0)22 -； （2）??，?? ； （3）二重点(1,0)； （4）11,26?? ??? ； （5）无交点. 3. 求直线10x y --=与二次曲线22 2210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{x kt y k t =+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t =+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点. 解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k > . §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 6. 求下列二次曲线的渐进线.
第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A 以及，及.1(,)F x y 2(,)F x y 3(,)F x y （1）；（2）；（3）；（4）22221x y a b +=22221x y a b -=22y px =223520;x y x -++=（5）.2 226740x xy y x y -+-+-=解：（1）；22100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；；；121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-（2）；；.2210010000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-3(,)1F x y =-（3）；；；；0001000p A p -?? ?= ? ?-??1(,)F x y p =-2(,)F x y y =3(,)F x y px =-（4）；；；；51 020 305022A ?? ? ?=- ? ? ???15(,)2F x y x =+2(,)3F x y y =-35(,)22F x y x =+
（5）；；；1232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? 11(,)232F x y x y =--217(,)22F x y x y =-++.37(,)342F x y x y =-+- 2. 求二次曲线与下列直线的交点.22234630x xy y x y ----+=（1）；550x y --=（2）；220x y ++=（3）；410x y +-=（4）；30x y -=（5）.2690x y --=解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）；15(,2 2-（2）， ； （3）二重点；(1,0)（4）；11,26?? ???（5）无交点. 3. 求直线与二次曲线的交点.10x y --=222210x xy y x y -----=解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.1x y =+4 .试确定k 的值，使得（1）直线与二次曲线交于两50x y -+=2 30x x y k -+-=不同的实点；（2）直线与二次曲线交于一点；1,{x kt y k t =+=+22430x xy y y -+-=（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；10x ky --=22(1)10xy y k y -+---=
二次型在中学数学中的应用 摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 关键词 二次型 标准形 对称矩阵 1. 引言 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。 2. 正文 二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下： 文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。 定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。 定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1．