近三年数列高考真题（带解析）
1．设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．
（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．
2．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{an }的通项公式；
（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 3．设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
4．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．
5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=
，且数列是等差数列，证明：
{}n a 是等差数列.
6．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3
n
n na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2
n
n S T <
． 7．已知数列{}n a 满足11a =，11,,
2,.n n n
a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数
（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.
8．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =；
(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．
9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n
n S n a n
+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；
(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．
10．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为1
3的等差数列．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：
12
11
1
2n
a a a +++
<．
参考答案：
1．（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1
(21)22n n S n +=-⋅+.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． 【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列
{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．
证明如下：
当1n =时，13a =成立；
假设()
n k k *
=∈N 时，21k a k =+成立.
那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立； ［方法二］：构造法
由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得
()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，
得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+． ［方法三］：累加法
由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=． 由134n n a a n +=-得
111
4333n n n n n a a n
+++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯， (111)
4(1)(2)333n n n n n
a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得
1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯
⎢⎥⎣
⎦
，所以1
(21)33n n n a n =+⋅．所以
21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．
［方法四］：构造法
21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设
()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故
24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以
()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项
均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．
（2）由（1）可知，2(21)2n n
n a n ⋅=+⋅
［方法一］：错位相减法
231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⋅++⋅，②
由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯++
+-+⋅
()21121262(21)212
n n n -+-=+⨯
-+⋅⨯-1
(12)2
2n n +=-⋅-，
即1
(21)22n n S n +=-⋅+.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n n S a a a a =+++
+()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-+
+-11
n b b +=-1(21)22n n +=-+． ［方法三］：构造法
当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设1
1()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即
122n
n n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2
p
q p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．
所以1
1(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而
1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．
故1
2(21)2n n S n +=+-⋅．
［方法四］：
因为12(21)2222422n n n n n n
n a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则
()()23
1()0,11n n
x x f x x x x x x x
-=+++
+=
≠-，
()12
1
2
11(1)()1231(1)n n n
n x x nx n x f x x x nx
x x +-'⎡⎤-+-+=+++
+==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
'， 所以12n b b b +++21122322n n -=+⋅+⋅+
+⋅1(2)12(1)2n n
f n n +==+-+'⋅．
故2
3
4(2)2222n
n S f =++'++
+()1
212412
(1)212
n n n
n n +-⎡⎤=+⋅-++
⎣
⎦-1(21)22n n +=-+．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解； 方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得
()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，
从而得出数列{}n a 的通项公式； 方法三：由134n n a a n +=-化简得
1114333
n n n n n a a n
+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式； 方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式． （2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由2n ≥时，1(21)2n
n n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从
而求出；
方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n n
n a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分
别求出数列{}{}1
2,2n n n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数
()()231()0,11n n x x f x x x x x x x
-=++++=
≠-的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，
很好的简化了运算．
2．（1）1
3n n a -=；（2）6m =.
【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于
m 的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
根据题意，有1121
148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，
所以1
3n n a -=；
（2）令313log log 31n n n b a n -===-， 所以(01)(1)
22
n n n n n S +--=
=， 根据13m m m S S S +++=，可得
(1)(1)(2)(3)
222
m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
3．（1）2-；（2）1(13)(2)9
n
n n S -+-=
. 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，
212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，
1,2q q ≠∴=-；
（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，1
11,(2)n n a a -==-，
21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①
23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+
--+-，②
①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+---
1(2)1(13)(2)(2)1(2)3
n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9
n
n n S -+-∴=
. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 4．(1)26n a n =-；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，
设等差数列的公差为d ，从而有：()()2
2433a a a d a d d =-+=-，
()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，
从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.
(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252
n n n S n n n -=⨯-+
⨯=-，
则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 5．证明见解析.
【分析】
的公差d ，
进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证.
【详解】∵
数列是等差数列，设公差为
d
(n -=()n *∈N ∴12n S a n =，()n *∈N
∴当2n ≥时，()2
21111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∴{}n a 是等差数列.
【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况. 6．（1）11
()3
n n a -=，3n n
n b =
；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，
所以21369a a a =+，所以2
11169a q a a q =+，
即29610q q -+=，解得13
q =，所以11
()3n n a -=，
所以33
n n n na n
b =
=. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
211213333n n n n n
T --=++++，
012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333
3
2333
3n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=+++
+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012
111012222333
---++++
1
1
1233---+n n n n ．
设012
1
111
1
01212222Γ333
3--
--
--=+++
+
n n n ， ⑧
则123111
1
012112222Γ3333
3-
--
--=+++
+
n n
n ． ⑨
由⑧-⑨得1121113
3
12111
113322Γ13233
332
313
--⎛⎫--
- ⎪⎛⎫⎝⎭
=-+++
+-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以2
11
3
12Γ432323----
=-
-
=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n n
S n n n
T ． 故2
n
n S T <
． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得1
1(1)
313(1)12313
n n n S ⨯-
=
=--， 211213333n n n n n
T --=++
+
+，① 2311121333
33
n n n n n
T +-=+++
+，② ①-②得2312111
13333
33n n n n T +=+++
+- 1111
(1)1133(1)1323313
n n n n n n ++-=-=---
， 所以31(1)4323n n n
n
T =--⋅，
所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2
n
n S T <
. [方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知13⎛⎫
= ⎪⎝⎭
n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n
n c n ，且1+=-n n n b c c ，即
1
111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n n n n n ，
通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以3312
43n
n c n ⎛
⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
则12113314423n
n n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫
=++
+=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，下同方法二．
[方法四]：导函数法 设()2
3
1()1-=+++
+=
-n n
x x f x x x x x x
，
由于()()()()()()12
21'111'11(1)'1(1)1n n n n n
x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12
1
2
1(1)()123(1)+-+-+=+++
+='-n n
n nx n x f x x x nx
x ．
又1
111333-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
n n n b n n ，
所以
2
1
12311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++
+=+⨯+⨯+
+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎢
⎥⎣⎦
1
2111(1)11133333113n n
n n f +⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭' 1
3113311(1)4334423n n n
n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢
⎥⎣⎦，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
n
n c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
7．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，
所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，
所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是122,5,31n b b b n ===-．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．
由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．
[方法三]：累加法
由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22
n
n n a a a n +-==++∈N ． 所以1
1213(1)11222
b a a -==++=+=， 32
2433223(1)3(1)11212352222
b a a a a a --==++=+=+++=++=+=， 则
222121222111
()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．
所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++
1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++
110()102103002
b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和
由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，
所以2122123n n n a a a +-=+=+．
所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为：
201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022
⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
8．(1)证明见解析；
(2)9．
【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．
【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111
111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112
d b a ==，所以原命题得证． （2）由（1）知，112d b a ==
，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．
9．(1)证明见解析；
(2)78-．
【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为221n n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，
①-②得，()()()2
2112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，
即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，
即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，
所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=-- ⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，
所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=. 则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
10．(1)()12n n n a +=
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12
n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12
n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【详解】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴11
1S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为13的等差数列，
∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=， ∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-, 整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111
n n a n a n -+=-, ∴31211221
n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
∴12111n a a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
近三年数列高考真题（带解析） 1．设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ． 2．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{an }的通项公式； （2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 3．设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比； （2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和． 4．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >= ，且数列是等差数列，证明： {}n a 是等差数列. 6．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3 n n na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2 n n S T < ． 7．已知数列{}n a 满足11a =，11,, 2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和. 8．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =； (2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．
全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案） （10个小型和3个大型，分析型） 一、等差、等比数列的基本运算（8小1大） 1.（2022年第3卷第1卷）已知的算术序列？一前9项的总和是27，A10？8，那么100？（a） 100（b）99（c）98（d）97 【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选c. A.9d？8.一 2．（2021年1卷4）记sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，s6?48，则{an}的公差为 a、一, 【解析】：s6? b、二, c．4 d、八, 48a1a616a4a5a1a824， 2. 作差a8?a6?8?2d?d?4故而选c. ， 3．（2021年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比 数列，则 6.a1？a6？？一前六项之和为（） a．?24 b、 ?。？三 c．3
d、八, 2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则 a3?a1?2d? 2.a1？Da1？5d∵ A1？1.用上述公式代入D2？2d？0，以及∵ D0，然后是d？？二 6?56?5d?1?62???24，故选a.∴s6?6a1?224.（2021年2卷15）等差数列?an?的 前项和为sn，则a3?3，s4?10， sk？1n1k？。 a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以?，解得?， 4?3d?14a1?d?102所以an?n,sn?nn?1?n?121??1，那么，那 么??22snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1?.?21?......21??nn? 1n?1?n?1k?1sk??2??23? 5.（2022年第17卷第2卷）Sn是一个等差序列吗？一A1呢？1，s7？28.注BN？？ 莱根其中呢？十、表示不超过x的最大整数，例如？0.9?? 0 lg99？？1.（I）找到B1、 B11、B101； （ⅱ）求数列?bn?的前1000项和． a4？a1？1，3∴一a1？（n？1）d？n。∴b1？？lga1lg1？？0，b11？？ lga11lg11？？1. 【解析】⑴设?an?的公差为d，s7?7a4?28，∴a4?4，∴d?b101??lga101lg101??2． （2）记录？bn？如果前n项之和为TN，那么T1000？b1？b2b1000？？ lga1lga2lga1000？。 当0≤lgan?1时，n?1，2，，9；当1≤lgan?2时，n?10，11，，99； 当2≤ 阿尔甘？三点钟，n？100，101，， 999；lgan什么时候？三点钟，n？1000． ∴t1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893． 6.（2022年第3卷、第2卷）中国古代数学名著《算术的统一》中有以下问题：“望着高塔的七层，红灯加倍，总共381盏灯。塔尖有多少盏灯？”7层塔楼共悬挂381盏灯，相邻两层下一层的灯数是前一层的两倍，然后塔楼顶层有灯（） a．1盏b．3盏c．5盏d．9盏
2020年全国各地高考题分类汇编【数列部分】 （北京、上海、江苏、浙江、天津卷） 【2020年天津市高考数学试卷真题第19题】 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4?a 3)，b 5=4(b 4?b 3). (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+20，求数列{a n }的通项公式； (3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ?3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 【2020年上海市高考数学试卷真题第12题】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则 a 1+a 2+?+a 9 a 10 = ．
全国卷历年高考数列真题归类分析(含答 案) 1.（2016年1卷3）已知等差数列{an}前9项的和为27， a10=8，则求a100. 解析：由已知，9a1+36d=27，a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，选C。 2.（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和， 若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为多少？ 解析：S6=48，即a1+a6=16，a4+a5=24，代入公差d的通 项公式an=a1+(n-1)d，得到a8-a6=8=2d，故d=4，选C。 3.（2017年3卷9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为多少？ 解析：设公差为d，则a3(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d)，代入 a1=1解得d=-2，故a6=a1+5d=-9，前6项和为S6=6a1+15d=-24，选A。
4.（2017年2卷15）等差数列{an}的前项和为Sn，则 1=∑k=1nSk，求an。 解析：设a1=1，d=2，Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(n+1)，代入an=a1+(n-1)d=2n-1，故1=∑k=1nSk=∑k=1n(k+1)-(k-1)=2n，故n=1/2，代入an=2n-1=-1，选D。 5.（2016年2卷17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，求b7. 解析：由等差数列前n项和的通项公式Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(2+(n-1)d)/2，代入a1=1，S7=28，得到d=4， an=1+4(n-1)=4n-3，代入bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，得到 b7=[XXX(2×28-1)]/[lg3]=2，选B。 题目一：求等比数列中的数值 要求：改写成完整的句子，避免使用符号表示 1.求b1，b11，b101； 2.求数列{bn}的前1000项和。 解析： 1.设{an}的公差为d，已知a4-a1=1，3，所以an=a1+(n-1)d=n。所以b1=[lga1]=0，b11=[lga11]=1，b101=[lga101]= 2.
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编 专题05数列选填题 一、选择题 1．(2022年全国乙卷理科·第8题)已知等比数列 {}n a 的前3项和为168，2 542a a -=，则6a =( ) A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 【答案】D 解析：设等比数列 {}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾， 所以1q ≠， 则() 311234 25111168142 a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以56 13a a q ==．故选：D ． 【题目栏目】 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第8题 2．(2022年全国乙卷理科·第4题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环 绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ： 11 11b α=+，212 111 b αα=+ +， 3123 1 111b ααα=+ + + ，…，依此类推，其中(1,2,)k k α* ∈=N ．则( ) A ．15b b < B ．38b b < C ．62b b < D ．47b b < 【答案】D 解析：因为()* 1,2,k k α∈=N ， 所以1121 ααα<+，1 1 2 111ααα> +，得到12b b >，
同理 112 23 1 1 1ααααα+ >+ + ，可得23b b <，1 3b b > 又因为 2 234 1 1 ,1 1 αααα> + + 11223 34 1111 1ααααααα+ + <+ + + ， 故24b b <，34b b >； 以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误； 26 2 31 1 1 1αααα> + +… ，得2 6b b <，故C 错误； 11237 264 1 1 1 1 1 1αααααααα>+ + + + + +… ，得4 7b b <，故D 正确． 【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第4题 3．(2022新高考全国II 卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的 水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0．1的等差数列，且直线OA 的斜率为0．725，则3k =( )
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人
2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+ ⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】 13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ⨯=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=⎧⎨ +=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）
专题11 等差数列与等比数列问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =( ) A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 1．答案 D 解析 设等比数列{}n a 的公比为, 0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠， 则() 31123425111168142a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎪⎨-⎪-=-=⎪⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==．故选：D ． 2．(2022·全国乙文) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 2．答案 2 解析 由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即 ()112+226a d a d =++，解得2d =． 【知识总结】 1．等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1. (3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1. 2．等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质： 对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． 【题型突破】 题型一 等差数列基本量的计算 1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )
2017-2021高考真题数列 解答题全集 （学生版+解析版） 1．（2021•天津）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝4，b 3﹣b 2＝48． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）记c n ＝b 2n +1 b n ，n ∈N *． （i ）证明：{c n 2﹣c 2n }是等比数列； （ii ）证明：∑ n k=1√ a k a k+1 c k 2−c 2k ＜2√2（n ∈N *）． 2．（2021•北京）定义R p 数列{a n }：对p ∈R ，满足： ①a 1+p ≥0，a 2+p ＝0；②∀n ∈N *，a 4n ﹣1＜a 4n ；③∀m ，n ∈N *，a m +n ∈{a m +a n +p ，a m +a n +p +1}． （1）对前4项2，﹣2，0，1的数列，可以是R 2数列吗？说明理由； （2）若{a n }是R 0数列，求a 5的值； （3）若S n 是数列{a n }的前n 项和，是否存在p ∈R ，使得存在R p 数列{a n }，对任意n ∈N *，满足S n ≥S 10？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由． 3．（2021•新高考Ⅱ）记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）求使S n ＞a n 成立的n 的最小值． 4．（2021•浙江）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−9 4，且4S n +1＝3S n ﹣9（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足3b n +（n ﹣4）a n ＝0（n ∈N *），记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围． 5．（2021•甲卷）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a 2＝3a 1，且数列{√S n }是等差数列，证明：{a n }是等差数列． 6．（2021•乙卷）记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n + 1b n =2． （1）证明：数列{b n }是等差数列； （2）求{a n }的通项公式． 7．（2021•甲卷）已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中
第1页（共25页） 2022年全国高考数学真题分类汇编：数列 一．选择题（共4小题） 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n ﹣a n 2（n ∈N *），则（ ） A ．2＜100a 100＜ B ．＜100a 100＜3 C ．3＜100a 100＜ D ．＜100a 100＜4 2．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距 离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5， ＝k 1，＝k 2，＝k 3．已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 3．已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2﹣a 5＝42，则a 6＝（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项判断正确的是（ ） A ．若S 2022＞S 2021，则数列{a n }是递增数列 B ．若T 2022＞T 2021，则数列{a n }是递增数列 C ．若数列{S n }是递增数列，则a 2022≥a 2021 D ．若数列{T n }是递增数列，则a 2022≥a 2021 二．填空题（共2小题） 5．已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，若S 5＝0，则S i （i ＝0，1，2，⋯ ，
专题25 等比数列及其前n 项和 【考点预测】 一．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为 1 =+n n a q a ． （2）等比中项：如果a ，G ， b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 即G 是a 与b 的等比中项 ⇔a ，G ，b 成等比数列 ⇒ 2=G ab ． 二．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(0)≠q q ，则它的通项公式11 11()(,0)-==⋅=≠n n n a a a q c q c a q q ． 推广形式：－⋅=n m m n a a q （2）等比数列的前n 项和公式 等比数列{}n a 的公比为(0)≠q q ，其前n 项和为111(1) (1)(1)11=⎧⎪ =--⎨=≠⎪--⎩ n n n na q S a a q a q q q q 注①等比数列的前n 项和公式有两种形式，在求等比数列的前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q 是否为1时，要分1=q 与1≠q 两种情况讨论求解． ②已知1,(1),≠a q q n （项数），则利用1(1) 1-=-n n a q S q 求解；已知1,,(1)≠n a a q q ，则利用11-=-n n a a q S q 求解． ③111(1)(0,1)111--==⋅+=-≠≠---n n n n a q a a S q kq k k q q q q ，n S 为关于n q 的指数型函数，且系数与常数互为 相反数． 三．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若+=+m n p q 时，则=m n p q a a a a ，特别地，当2+=m n p 时，2=m n p a a a ． （2）①设{}n a 为等比数列，则{}n a λ（λ为非零常数），{}n a ，{}m n a 仍为等比数列． ②设{}n a 与{ b }n 为等比数列，则{b }n n a 也为等比数列． （3）等比数列{}n a 的单调性（等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定）． 当101>⎧⎨>⎩a q 或1001<⎧⎨<<⎩a q 时，{}n a 为递增数列；当1001>⎧⎨<<⎩a q 或10 1<⎧⎨>⎩ a q 时，{}n a 为递减数列． （4）其他衍生等比数列．
等比数列练习题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ⋅=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12D ）-15答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.() (),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63B.64C.127D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44 +1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．101 22 - D ．11122- 答案 B 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n --4 1） B.6（n --2 1） ,,a b c ,,c a b
数列真题汇编 ※含##卷2009-20##份,全国一、二卷2009-2015年份 <2009.##理数.T6>设等比数列{ }的前n 项和为,若 =3 ,则 =< B >. 〔A 〕 2 〔B 〕 〔C 〕〔D 〕3 <2009.##理数.T14> 等差数列的前项和为,且则 . 答案： <2010.##理数.T6>设{a n }是有正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和.已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =< B > 〔A 〕 152 314
17．解：〔I 〕设等差数列{}n a 的公差为d,由已知条件可得110, 21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解 得11, 1. a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 〔II 〕设数列1 { }2n n n a n S -的前项和为,即2 1 11 ,122n n n a a S a S -=+++ =故,12 .224 2n n n S a a a =+++ 所以,当1n >时, 121 1111222211121()2422121(1)22 n n n n n n n n n n S a a a a a a n n ------=+++--=-+++--=--- =.2n n 所以1.2 n n n S -=综上,数列 11{ }.22 n n n n a n n S --=的前项和…………………….12分 <2012.##理数.T6>在等差数列{}n a 中,已知48+=16a a ,则该数列前11项和11=S < B > A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 <2012.##理数.T14>已知等比数列{}n a 为递增数列,且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ,则数列{}n a 的通项公式=n a ____________． 答案：2n <2013.##理数.T4>下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；
专题7.4 数列求和（真题测试） 一、单选题 1．（2021·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【分析】 由已知，结合等差数列前n 项和公式、通项公式列方程组求公差即可. 【详解】 由题设，716172114510S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得110 4a d =-⎧⎨ =⎩ . 故选：A 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，11010S =，则120S =（ ） A ．－10 B ．－20 C ．－120 D ．－110 【答案】C 【解析】 【分析】 利用数列的运算性质与等差数列的前n 项和的公式计算即可. 【详解】 () 111101101011121101001002 a a S S a a a +-=++ += =-， 111102a a +=-，则()()112011110120 12012012022a a a a S ++===-. 故选：C 3．（2017·浙江·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【详解】
由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ． 4.（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】 利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】 设正数的等比数列{an }的公比为q ，则23111142 1 1115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2 a q =⎧⎨=⎩，2 314a a q ∴==，故选C ． 5．（2018·全国·高考真题（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 【答案】B 【解析】 【详解】 分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得3243 3(32)224222 d d d ⨯⨯⨯+ ⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B. 6．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m S a =，则n a 可能等于（ ） A ．2022n B ．2022n C ．22022n D ． 2022 n 【答案】B 【解析】
专题7.2 等差数列及其前n 项和（真题测试） 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123 ,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 2．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64 B ．96 C ．128 D ．160 3．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，
则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（ ） A ．1011 B ．1012 C ．2021 D ．2022 5.（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（ ） A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0 B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18 C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大 D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项
三年（2017-2019）高考真题数学（理）分项汇编 专题12 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ⎧ =+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 11115 34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2 a q =⎧⎨=⎩，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . ②当<0b 时，令2x x b =+，即2 0x x b -+=.
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编11-等比数 列（含解析） 一、单选题 1．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 2．（2021·全国·高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3．（2021·浙江·统考高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若 (),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线 D ．直线和抛物线 4．（2020·全国·统考高考真题）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32 5．（2020·全国·统考高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则 n n S a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1 6．（2020·全国·统考高考真题）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a + +∈=，若 155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．（2020·山东·统考高考真题）在等比数列{}n a 中，11a =，22a =-，则9a 等于（ ） A ．256 B ．-256 C ．512 D ．-512 8．（2019·全国·统考高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2