专题四：曲线运动、万有引力考点例析。
本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
一、夯实基础知识
1、深刻理解曲线运动的条件和特点
（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：○
1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是
不断变化的。○
3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成与分解
物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：○
1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○
3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）
3.深刻理解平抛物体的运动的规律
（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）．平抛运动的处理方法
通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一
个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是
竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)．平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方
向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.
①位移
分位移t V x 0=, 22
1gt y =,合位移2220)21()(gt t V s +=,02tan V gt =?. ?为合位移与x 轴夹角.
②速度
图1
分速度0V V x =, V y =gt, 合速度220)(gt V V +=,0
tan V gt =θ. θ为合速度V 与x 轴夹角
(4)．平抛运动的性质
做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
4.深刻理解圆周运动的规律
(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
(2)．描述匀速圆周运动的物理量
①线速度v ，物体在一段时间内通过的弧长S 与这段时间t 的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t 。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。
②角速度ω，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间t 的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即ω=θ/t 。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s 。
③周期T 和频率f
(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:r fr T
r V ωππ===22 (4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。r mf r T
m r m r V m ma F n n 2222
2244ππω=====. 5.深刻理解万有引力定律
（1）万有引力定律：○
1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。○
2公式：221r m m G F =， G=6.67×10-11N.m 2/kg 2.○
3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
（2）万有引力定律的应用：○
1讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G 2)(h R Mm +。所以重力加速度g= G 2)
(h R M +，可见，g 随h 的增大而减小。○
2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。○
3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动
量等状态量。由G 2r Mm =m r V 2得V=r GM ，由G 2r
Mm = mr(2π/T)2得T=2πGM r 3。由G 2
r Mm = mr ω2得ω=3r GM ，由E k =21mv 2=21G r Mm 。 (3)三种宇宙速度：○
1第一宇宙速度V 1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；○2第二宇宙速度V 2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V 3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
二、解析典型问题
问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。
例1、质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F 1时，物体可能做( )
A ．匀加速直线运动；
B ．匀减速直线运动；
C ．匀变速曲线运动；
D ．变加速曲线运动。
分析与解：当撤去F 1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F 1，方向与F 1方向相反。
若物体原来静止，物体一定做与F 1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动，若F 1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A 、B 正确。
若F 1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C 正确，D 错误。
正确答案为：A 、B 、C 。
例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹
上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作
出正确判断的是（ ）
A ． 带电粒子所带电荷的符号；
B ． 带电粒子在a 、b 两点的受力方向；
C ． 带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大；
D ． 带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大。
分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a 、b 间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a 、b 两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a 向b 点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B 、C 、D 正确。
问题2：会根据运动的合成与分解求解船过河问题。
图1
例3、一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ,已知船在静水中的速度为V c ，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若V c >V s ,怎样渡河位移最小？
（3）若V c 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=V c sin θ,渡河所需时间为：θ sin c V L t =. 可以看出：L 、V c 一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=900时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，c V L t =min . (2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：V c cos θ─V s =0. 所以θ=arccosV s /V c ,因为0≤cos θ≤1,所以只有在V c >V s 时，船才有可能垂直于河岸横渡。 （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头V c 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=V c /V s ,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV c /V s . 船漂的最短距离为：θ θsin )cos (min c c s V L V V x -=. 此时渡河的最短位移为：L V V L s c s ==θcos . 问题3：会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。 对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体2 图2甲 图2乙 图2丙 的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。 例4、如图3所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙 的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2 分析与解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为v 1和 v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1 例5、如图5所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸 长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率V m . 分析与解：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度V A 的方向与杆OA 垂直，在所考察时其速度大小为： V A =ωR 对于速度V A 作如图6所示的正交分解，即沿绳BA 方向和垂直于 BA 方向进行分解，沿绳BA 方向的分量就是物块M 的速率V M ，因 为物块只有沿绳方向的速度，所以 V M =V A cos β 由正弦定理知， R H αβπsin )2 sin(=+ 由以上各式得V M =ωHsin α. 问题4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。 例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向 运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。 分析与解：设竖直杆运动的速度为V 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP 方向，所以V 0、V 1在OP 方向的投影相等，即有 θθcos sin 10V V =，解得V 1=V 0.tgθ. 图3 图4 A ω 问题5：会根据运动的合成与分解求解平抛物体的运动问题。 例7、如图8在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ 分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A 运动到B 处所需的时间为t,则： 水平位移为x=V 0t 竖直位移为y=22 1gt 由数学关系得到: g V t t V gt θθtan 2,tan )(210 02== （2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因V y1=gt 1=V 0tan θ,所以g V t θtan 01=。 例8、如图9所示，一高度为h=0.2m 的水平面在A 点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V 0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s 2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则,sin 2 1sin 20t g t V h ?+=θθ由此可求得落地的时间t 。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若 不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。 分析与解：不同意。小球应在A 点离开平面做平抛 运动，而不是沿斜面下滑。 正确做法为：落地点与A 点的水平距离)(110 2.02520 0m g h V t V s =??=== 斜面底宽 )(35.032.0m hctg l =?==θ 因为l s >,所以小球离开A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。 ∴ )(2.010 2.022s g h t =?== 问题6：会根据匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。 凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。 图 8 图9 例9、如图10所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速 度之比。 分析与解：因v a = v c ，而v b ∶v c ∶v d =1∶2∶4，所以v a ∶ v b ∶v c ∶v d =2∶1∶2∶4；ωa ∶ωb =2∶1，而ωb =ωc =ωd ， 所以ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a =v ω，可 得a a ∶a b ∶a c ∶a d =4∶1∶2∶4 例10、如图11所示，一种向自行车车灯供电的小发电 机的上端有一半径r 0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R 1=35cm ，小齿轮的半径R 2=4.0cm ，大齿轮的半径R 3=10.0cm 。求大齿 轮的转速n 1和摩擦小轮的转速n 2之比。（假定摩 擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） 分析与解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之 间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度 大小相等，由v =2πnr 可知转速n 和半径r 成反比； 小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。 由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n 1∶n 2=2∶175 问题7：会求解在水平面内的圆周运动问题。 例11、如图12所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一 起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ） A 、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B 、物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C 、物体所受弹力和摩擦力都减小了 D 、物体所受弹力增大，摩擦力不变 分析与解：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G 、 筒壁对它的弹力F N 、和筒壁对它的摩擦力F 1（如图13所示）。其中 G 和F 1是一对平衡力，筒壁对它的弹力F N 提供它做匀速圆周运动的 向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一 起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F 1大小等于其重力。 而根据向心力公式，2ωmr F N =，当角速度ω较大时N F 也较大。 图10 图11 图12 图13 故本题应选D 。 例12、如图14所示，在光滑水平桌面ABCD 中央固定有一边长为0．4m 光滑小方柱abcd 。长为L=1m 的细线，一端拴在a 上，另一端拴住一个质量为m=0．5kg 的小球。小球的初始位置在ad 连线上a 的一侧，把细线拉直，并给小球以V 0=2m/s 的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abcd 的存在，使线逐步缠在abcd 上。若细线能承受的最大张力为7N （即绳所受的拉力大于或等于7N 时绳立即断开），那么从开始运动到细线断裂应经过多长时 间？小球从桌面的哪一边飞离桌面? 分析与解：当绳长为L 0时，绳将断裂。据向心力公式得： T 0=mV 02/L 0 所以L 0=0.29m 绕a 点转1/4周的时间t 1=0.785S; 绕b 点转1/4周的时间t 2=0.471S; 绳接触c 点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m,小于 L 0=0.29m,所以绳立即断裂。 所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S,小球从桌面的 AD 边飞离桌面 问题8：会求解在竖直平面内的圆周运动问题。 物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度gR V = ，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下． 当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=R V m 20，得临界速度gR V =0 ．当物体运动速度V 产生离心运动，要维持物体做圆周运动，弹力应向下．当gR V >物体有向心运动倾向，物体受弹力向上．所以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向． 对于无约束的情景，如车过拱桥，当gR V >时，有N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度． B C 图14 注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度gR V ≠0 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。 例13、小球A 用不可伸长的细绳悬于O 点，在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速度释放，绳长为L ，为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d 的取值范围。 分析与解: 为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，则小球在D 对绳的拉力F 1应该大于或等于零，即有： d L V m mg D -≤2 根据机械能守恒定律可得[])(212d L d mg mV D --= 由以上两式可求得：L d L ≤≤5 3 例14、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L>2πR ）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问： 列车在水平轨道上应具有多大初速度V 0，才能使列车通过圆形轨道？ 分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当 整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到 最小值V ，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入 圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有： gR R LV LV .2.2 121220πλλλ+= 要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得L g R V π20>。 问题9：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。 例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ,，则g/g ,为 A 、1； B 、1/9； C 、1/4； D 、1/16。 m 图15 图16 分析与解：因为g= G 2R M ,g , = G 2)3(R R M +,所以g/g ,=1/16,即D 选项正确。 问题10：会用万有引力定律求天体的质量。 通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。 例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49?1011m, 公转的周期T= 3.16?107s,求太阳的质量M 。 分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： G 2r Mm =mr(2π/T)2 M=4π2r 3/GT 2=1.96 ?1030kg. 例17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。 分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 x 2+h 2=L 2 由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 （2x ）2+h 2=(3L)2 设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h=2 1gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G 2R Mm 联立以上各式解得M=22 332Gt LR 。 问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。 通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。 例18、已知地球半径约为R=6.4?106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。 分析与解：因为mg= G 2R Mm ，而G 2r Mm =mr(2π/T)2 所以，r= 32224π T gR =4?108m. 问题12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。 通过观测天体表面运动卫星的周期T ，，就可以求出天体的密度ρ。 例19、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少? 分析与解：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G 2R Mm =mR 224T π, 所以，M=2324GT R π 而恒星的体积V=34πR 3，所以恒星的密度ρ=V M =23GT π。 例20、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？ 分析与解：设球体质量为M ，半径为R ，设想有一质量为m 的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则 G 2R Mm =m ω02R, 所以，ω02=34πG ρ。 由于ω≤ω0得ω2≤3 4πG ρ，则ρ≥G πω432，即此球的最小密度为G πω432。 问题13：会用万有引力定律推导恒量关系式。 例21、行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同。 证明：因为行星的质量M=23 24GT R π（R 是行星的半径），行星的体积 V= 34πR 3，所以行星的平均密度ρ=V M =2 3GT π， 即ρT 2=G π3，是一个常量，对任何行星都相同。 例22、设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T ，试证明：23 T r 是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，23 T r 均相等。 证明：由G 2r Mm = mr(2π/T)2得23T r =24πGM ，即对于同一天体的所有卫星来说，23T r 均相等。 问题14：会求解卫星运动与光学问题的综合题 例23、（2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。 分析与解：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离.有 22)2(T mr r mM G π= 春分时，太阳光直射地球赤道，如图17所示，图中 圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心. 由图17可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设 地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看 不见它. 据此再考虑到对称性，有 R r =θsin T t π θ22= g R M G =2 由以上各式可解得 3122)4a r c s i n (gT R T t ππ= 问题15：会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速 度问题。 例24、如图18所示，点光源S 到平面镜M 的距离为d 。光屏AB 与平面镜的初始位置平行。当平面镜M 绕垂直于纸面过中心O 的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过300时，垂直射向平面镜的光线SO 在光屏上的光斑P 的即时速度大小为 。 分析与解：当平面镜转过300时，反射光线转过600角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω。将P 点速度沿OP 方向和垂直于OP 的方向进行分解，可得： Vcos600=2ω.op=4ωd,所以V=8ωd. 例25、如图19所示，S 为频闪光源，每秒钟闪光30次，AB 弧对O 点的张角为600 ，图18 图17 平面镜以O 点为轴顺时针匀速转动，角速度ω=3 πrad/s,问在AB 弧上光点个数最多不超过多少？ 分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以ω转动时，反射光线转动的角速度为2ω。因此，光线扫过AB 弧的时间为t=0.5S,则在AB 弧上光点个数最多 不会超过15个。 三、警示易错试题 典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点 和远地点的轨道曲率半径不同。 例26、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为V a ,则卫星在远地点时的速率V b 多少？ 错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有a V m a Mm G a 22=，在远地点时有b V m b Mm G b 22=，上述两式相比得a b V V b a =，故a b V b a V =。 分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R 。所以，在近地点时有R V m a Mm G a 22=，在远地点时有R V m b Mm G b 22=，上述两式相比得a b V V b a =，故a b V b a V =。 典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。 例27、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图20所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的加速度。 D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过P 点时的加速度。 错解：因为r V m mr r Mm G 2 22==ω，所以V=r GM ， 图 20 图19 3r GM =ω，即B 选项正确，A 选项错误。 因为卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度，而 在Q 点轨道的曲率半径1r 2 1r V a =>222r V a =，即C 选项正确。 分析纠错：B 选项正确，但C 选项错误。根据牛顿第二定律可得2r GM m F a ==，即卫星的加速度a 只与卫星到地心的距离r 有关，所以C 选项错误，D 选项正确。 典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。 例28、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现： A 、速度变小； B 、动能增大； C 、角速度变小； D 、半径变大。 错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度r GM V =可知，V 减小则半径R 必增大，又因r V =ω，故ω变小，可见应该选A 、C 、D 。 分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R 减小。由r GM V =可知，V 要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B 选项正确。 典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动 例29、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是： A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ； D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 错解：c 加速可追上b ，错选C 。 分析纠错：因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小 均相等。又b 、c 轨道半径大于a 的轨道半径，由r GM V /= 知，V b =V c 当c 加速时，c 受到的万有引力F 减速 图21 时，b 受到的万有引力F>mv 2/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故C 选项错。对这一选项，不能用r GM V /=来分析b 、c 轨道半径的变化情况。 对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由r GM V /=知，r 减小时V 逐渐增大，故D 选项正确。 典型错误之五：混淆连续物和卫星群 例30、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。下列判断正确的是： A 、若V 与R 成正比，则环为连续物； B 、若V 2与R 成正比，则环为小卫星群； C 、若V 与R 成反比，则环为连续物； D 、若V 2与R 成反比，则环为小卫星群。 错解：选BD 。 分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V 与r 成正比。而对卫星来讲，其线速度r GM V /=，即V 与r 的平方根成反比。由上面 分析可知，连续物线速度V 与r 成正比；小卫星群V 2与R 成反比。故选A 、D 。 典型错误之六：乱套公式gR V =解题。 例31、如图22所示，一摆长为L 的摆，摆球质量为m ，带电量为－q ，如果在悬点A 放一正电荷q ，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？ 错解：摆球运动到最高点时，最小速度为gL V =，由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得： 2202 1221mV mgL mV += 解得：gL V 50=。 分析纠错：摆球运动到最高点时，受到重力mg 、库仑力22 L q K F =、绳的拉力T 作用，根据向心力公式可得：L V m L q K mg T 2 22=++，由于0≥T ,所以有： 图22 mL q K gL V 2 +≥ 由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得： 2202 1221mV mgL mV += 解得：mL Kq gL V /520+= 。 典型错误之七：物理过程分析不全掉解。 例32、如图23所示，M 为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L ，质量为m 的子弹以水平速度V 0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V 0应满足的条件。 错解1:gL m M m V 50+≥ 错解2:gL m M m V 20+≤ 分析纠错：子弹击中木球时，由动量守恒定律得： mV 0=(m+M)V 1 下面分两种情况： （1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足： L V M m g M m /)()(22+≤+ 由机械能守定律得： gL M m V M m V M m )(2)(2 1)(212122+-+=+ 由以上各式解得：gL m M m V 50+≥. (2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L 时满足： gL M m V M m )()(2 121+≤+ 解得：gL m M m V 20+≤. 所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V 0应满足的条件是： gL m M m V 50+≥或gL m M m V 20+≤ 但是，审题时不少学生对上述的两个物理过程分析不全，不是把物理过程（1）丢掉，就是把物理过程（2）丢掉。 图23 四、如临高考测试 1．地球半径为R ，地面上重力加速度为g ，在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其线速度的大小可能是： A 、gR 2； B 、gR 21； C 、;2gR D 、2gR 2．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为V ，周期为T 。若要使卫星的周期变为2T ，可以采取的办法是： A 、R 不变，使线速度变为V/2； B 、V 不变，使轨道半径变为2R ； C 、使轨道半径变为R 34； D 、使卫星的高度增加R 。 3．地球赤道上的物体重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的 A.g/a 倍。 B.a a g /)(+ 倍。 C.a a g /)(- 倍。 D. a g /倍 4．同步卫星离地距离r ，运行速率为V 1，加速度为a 1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2,第一宇宙速度为V 2，地球半径为R ，则 A 、a 1/a 2=r/R; B.a 1/a 2=R 2/r 2; C.V 1/V 2=R 2/r 2 ; D.V 1/V 2=r R /. 5．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R ，如图24所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大 角速度不能超过 A ．g mR m M ?+,B ．g mR m M ?+C ．g mR m M ?- D ．mR Mg 6．如图25所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R ，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v 向左运动， 若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会 与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于 A ．ωR B ．ωH ， C ．R H g 2 D ．R H g 2 7．如图26所示，放置在水平地面上的支架质量为M ，支架顶端用细 线拴着的摆球质量为m ，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。以下说法正确的应是 图 24 图25 A ． 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M ）g B ． 在释放瞬间，支架对地面压力为Mg C ． 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M ）g D.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M ）g 。 8．有一个在水平面内以角速度ω匀速转动的圆台，半径为 R 。如图27, 圆台边缘处坐一个人，想用枪击中台心的目标， 如果枪弹水平射出，出口速度为V ，不计阻力的影响：则： A ．枪身与OP 夹角成θ＝sin －1 (ωR ／v)瞄向圆心O 点的右侧 ； B ．枪身与OP 夹角成θ＝sin －1(ωR ／v)瞄向圆心O 点的左侧 ； C ．枪身与OP 夹角成θ＝tg －1(ωR ／v)瞄向圆心的左侧 ； D ．枪身沿OP 瞄准O 点。 9．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度V 做匀速圆 周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对坐椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直坐椅的表面) A ．mg B ．2mg C ．mg+R mV 2 D ．R mV 2 2。 10．一飞机以150m/s 的速度在高空中水平匀速飞行，相隔1s 先后释放A 、B 两物， A 、 B 在运动过程中它们的位置关系下述正确的是： A ． B 总在A 的前方，水平方向距离为150m B ．A 总在B 的正下方5m 处 C ．B 总在A 的前斜上方 D ．以上说法都不对。 11.河水流速为4m/s ，AB 是河岸上的两点，其大小为河宽的3倍，要使船从A 出发驶向与B 正对的彼岸C 位置，则船速至少应为 m/s 。 12.如28所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为θ，一小物体沿斜面上方顶点P 水平射入，从右下方顶点Q 离开斜面，试求其入射的初速度V 0. 13.如图29所示，长为L 的细绳，一端系有一质量为m 的小球，另一端固定在O 点。细绳能够承受的最大拉力为7mg 。现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动。如果在竖直平面内直线OA （OA 与竖直方向的夹角为θ）上某一点O ‘钉 一个小钉，为使小球可绕O ’点在竖直平面内做圆周运动，且细绳不致被拉断，求OO ‘的长度d 所允许的范围。 （本讲座参考答案见下期讲座） 图28 图29 图26 图27 (第三讲如临高考测试参考答案：1.B; 2.C; 3.A;. 4.BD; 5.C; 6.BC; 7.A; 8.C; 9.C; 10.D ；11. 11.解：对于小球A ，它受到重力mg 和绳的拉力F 1作用，根据牛顿第二定律可知，这两个力的合力应沿斜面向上，如图所示. 由几何关系和牛顿第二定律可得：F=mg=ma ，所以a=g. 易求得F 1=mg mg 330cos 20= 12.解：（1）对板，沿坐标x 轴的受力和运动情况如图所示，视为 质点，由牛顿第二定律可得：f 1-Mgsin θ=0 对人，由牛顿第三定律知f 1/与f 1等大反向，所以沿x 正方向受mgsin θ和f 1/的作用。 由牛顿第二定律可得： f 1+mgsin θ=ma 由以上二方程联立求解得m g m M a θsin )(+=，方向沿斜面向下。 （2）对人，沿x 轴方向受力和运动情况如图21所示。视人为质点，根据牛顿第二定律得：mgsin θ-f 2=0 对板，由牛顿第三定律知f 2/和f 2等值反向。所以板沿x 正方向受Mgsin θ和f 2/的作用。据牛顿第二定律得：f 2+Mgsin θ=Ma 由上述二式解得M g M m a θsin )(+=，方向沿斜面向下。 13.解：(1)设t=2.0s 内车厢的加速度为a B ,由s=22 1t a B 得a B =2.5m/s 2. (2)对B ，由牛顿第二定律：F-f=m B a B ,得f=45N. 对A 据牛顿第二定律得A 的加速度大小为a A =f/m A =2.25m/s 2,所以t=2.0s 末A 的速 度大小为：V A =a A t=4.5m/s. (3)在t=2.0s 内A 运动的位移为S A =m t a A 5.42 12=, A 在B 上滑动的距离m s s s A 5.0=-=? 14.g a 12 212μμμμ+≥ 。） F=ma 0 f 2 曲线运动 1．曲线运动的特征 （1）曲线运动的轨迹是曲线。 （2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 （3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。） 曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 (2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 平抛运动基本规律 1．速度：0 x y v v v gt = ? ?= ? 合速度:2 2 y x v v v+ =方向： o x y v gt v v = = θ tan 2．位移 2 1 2 x v t y gt = ? ? ? = ?? 合位移：22 x x y =+ 合 方向： o v gt x y 2 1 tan= = α 3．时间由:2 2 1 gt y=得 g y t 2 =（由下落的高度y决定） 4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难） 1．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ，下列表达式正确的是：（ ） A ．332R T GM π= B ．32R T GM π= C ．3T G πρ = D ．T G πρ = 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即 2224m GMm R R T π= 解得： 32R T GM π = ① 故B 正确，A 错误； CD. 星球的质量 34 3 M ρV πρR == 代入①式可得： 3T G πρ = 故C 正确，D 错误． 2．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过 B 的速度 B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 本题考查人造地球卫星的变轨问题以及圆周运动各量随半径的变化关 系． 2 2 v Mm m G r r = ，得v= 的距离减小而增大，所以远地点的线速度比近地点的线速度小，v A 第六章单元测试 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内) 1．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种相互作用的基本规律，以下说法正确的是( ) A ．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B ．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C ．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D ．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 解析：选C.由重力的定义由于地球的吸引(万有引力)而使物体受到的力，可知选项A 错 误；根据F 万＝GMm r2可知卫星离地球越远，受到的万有引力越小，则选项B 错误；卫星绕地球做圆周运动．其所需的向心力由万有引力提供，选项C 正确；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于万有引力用来提供他自身做圆周运动所需要的向心力，选项D 错误． 2．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是( ) A ．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等 B ．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以相等也可不等 C ．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等 D ．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可能相等也可能不等 解析：选C.两卫星是同步卫星． 3.如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M 、半径为R .下列说法正确的是( ) A ．地球对一颗卫星的引力大小为错误! B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r2 C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2 D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm r2 专题四：曲线运动、万有引力考点例析。 本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。 一、夯实基础知识 1、深刻理解曲线运动的条件和特点 （1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。 （2）曲线运动的特点：○ 1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是 不断变化的。○ 3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成与分解 物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。 运动的合成与分解基本关系：○ 1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○ 3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2）．平抛运动的处理方法 通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一 个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是 竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。 (3)．平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方 向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t. ①位移 分位移t V x 0=, 22 1gt y =,合位移2220)21()(gt t V s +=,02tan V gt =?. ?为合位移与x 轴夹角. ②速度 图1 苏版万有引力定律与航天单元测试 【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个选项中. 1 6题只有一项符合题目要求；7 8题有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。〕 1．由于受太阳系中辐射出的高能射线和卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的大气影响，对我国神州飞船与天宫目标飞行器在离地面343km 的近圆形轨道上的载人空间交会对接．下面说法正确的选项是〔 〕 A 、如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会减小 B 、如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低 D 、航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 2．如下图，〝嫦娥三号〞的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察〝嫦娥三号〞在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ弧度．万有引力常量为G ，那么月球的质量是〔 〕 A 、l2G θ3t B 、θ3Gl2t C 、l3G θt2 D 、t2 G θl3 3．据报道，有 学家支持让在2019年被除名的冥王星重新拥有〝行星〞称号。下表是关于冥王星的一些物理量〔万有引力常量G 〕，可以判断以下说法正确的选项是〔 〕 A 、冥王星绕日公转的线速度比地球绕日公转的线速度大 B 、冥王星绕日公转的加速度比地球绕日公转的加速度大 C 、根据所给信息，可以估算太阳的体积的大小 D 、根据所给信息，可以估算冥王星表面重力加速度的大小 4．甲、乙、丙为三颗围绕地球做圆周运动的人造地球卫星，轨道半径之比为1：4：9，那么： A 、甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的线速度之比为1：2：3 B 、甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的角速度之比为1：81 ： 27 1 C 、甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的周期之比为1：21 ：31 D 、甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的向心加速度之比为1：41 ：91 曲线运动+万有引力定律知识点总结 1、曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。 2、物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律 1、速度： 合速度: 方向： 2、位移合位移： 方向： 3、时间由: 得（由下落的高度y决定） 4、平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 5、速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。 6、平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。（A是OB的中点）。绳拉物体合运动：实际的运动。对应的是合速度。方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。小船渡河例1:一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是5m/s，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多 2020年物理二轮专题过关宝典 专题三：曲线运动与万有引力 【知识回扣】 一、曲线运动 1、平抛运动的两个重要推论 ①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。 2、离心运动 ①当F ＝mr ω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； ③当F ＜mr ω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力。 ④当F ＞mr ω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。 二、万有引力定律及航天 1.天体绕行是匀速圆周运动，可综合匀速圆周运动规律，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2 T 2r ＝ma 2.在忽略地球自转时，万有引力近似等于物体重力。 【热门考点透析】 考点一 运动的合成与分解 1.(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R ；bc 是半径为R 的四分之一圆弧，与ab 相切于b 点。一质量为m 的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g 。小球从a 点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( ) A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR 【答案】C 【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为v c，由动能定理有：F·3R－ mg·R＝1 2mv 2 c ，解得：v c＝2gR。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加 速运动，加速度为a x＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为 零，时间为t＝v c g＝ 2gR g，水平方向的位移为：x＝ 1 2a x t 2＝ 1 2g? ? ? ? 2gR g 2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨 迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，C正确。 2. (2019·鹤壁市期末)如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时 A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则() A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin α 第三章 万有引力定律及其应用 章末综合检测（粤教版必修2） (时间：90分钟，满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的) 1．有一个星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( ) A.1 4 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍 解析：选D.设它们的密度为ρ，星球和地球的半径分别为R 1、R 2，在其表面质量为m 的物体重力等于万有引力，即4mg ＝GM 星m R 21，mg ＝GM 地m R 22，而M 星＝ρ·43πR 31，M 地＝ρ·43 πR 3 2， 由此可得R 1＝4R 2，M 星∶M 地＝64∶1，D 正确． 2．(2011年梅州联考)万有引力定律首次揭示了自然界中物体间的一种基本相互作用．以下说法正确的是( ) A ．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B ．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C ．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D ．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 解析：选C.物体的重力是地球的万有引力产生的，万有引力的大小与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，所以A 、B 错；人造地球卫星绕地球运动的向心力是万有引力提供的，宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是因为宇航员受到的万有引力全部提供了宇航员做圆周运动所需的向心力，所以C 对、D 错． 3．(2011年高考福建卷)嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T ，已知引力常量 为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝43 πR 3 ，则可估算月球的( ) A ．密度 B ．质量 C ．半径 D ．自转周期 解析：选A.对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：GMm R 2＝m 4π2 T 2R ，故月球的质量 M ＝ 4π2R 3 GT 2 ，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R ，但由于月球半径未 知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R 也无法求出，故B 、C 项均错； 月球的密度ρ＝M V ＝4π2R 3GT 243 πR 3＝3π GT 2，故A 正确． 4．(2011年南通模拟)我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T 1＝12 h ；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T 2＝24 h ；两颗卫星相比( ) A ．“风云一号”离地面较高 B ．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大 C ．“风云一号”线速度较大 D ．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空．那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空 解析：选C.因T 1 高三曲线运动、万有引力辅导练习 纪甲富 2009年12月8日 一、选择题： 1．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R ，如图24所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过 A ． g mR m M ?+, B ． g mR m M ?+ C ． g mR m M ?- D ． mR Mg 2．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R ，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v 向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于 A ．ωR B ．ωH ， C ．R H g 2 D ．R H g 2 3．如图所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小物块，滑出槽口时速度为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R 1，半球的半径为R 2，则R 1与R 2的关系为（ ） A ．R 1≤R 2 B ．R 1≥R 2 C ．R 1≤R 2/2 D ．R 1≥R 2/2 4．早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其重量（即：列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻。”后来，人们常把这类物理现象称为“厄缶效应”。如图所示：我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M 的列车，正在以速率v ，沿水平轨道匀速向东行驶。已知：（1）地球的半径R ；（2）地球的自转周期T 。今天我们象厄缶一样，如果仅考虑地球自转的影响（火车随地球做线速度为π2R/T 的圆周运动）时，火车对轨道的压力为N ；在此基础上，又考虑到这列火车匀速相对地面又附加了一个线速度v 做更快的圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为N /，那么单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道压力减轻的数量（N －N /）为 （ ） A ．Mv 2/R B ．M [v 2/R +2(π2/T )v ] C ．M (π2/T )v D ．M [v 2/R + (π2/T )v ] 5．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。 6．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。下列判断正确的是： A ．若V 与R 成正比，则环为连续物； B ．若V 2与R 成正比，则环为小卫星群； C ．若V 与R 成反比，则环为连续物； D ．若V 2与R 成反比，则环为小卫星群。 二、非选择题： 一、曲线运动 1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。 2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸） t v v s d s t v s v t ?+=+=== 2 222d 水船水河实水水船 河宽 3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角 合 河宽水 船合船 水 v d v v v v v = -== t cos 2 2α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为 动 竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g h v t v x 20 0== （2）竖直位移2 2 1gt y = （3）通过的合位移222022)gt 2 1 ()t V (y x s +=+= （4）水平速度0v v x == t x （5）竖直速度gt v y ==gh 2 （6）合速度22 022)(gt v v v v y x t +=+= （7）夹角 0 y v v tg x y tg = β=α （8）飞行时间由下落的高度决定：g h t 2= （9）实验求0v ： a 、已知抛出点时： b 、不知抛出点时： t x v g h 2t 0= = 212t s s a -= g y y t 122 -=∴ ，t x v =0 5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合F ，v F ⊥合，0≠a ，v a ⊥ （1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线速度是矢量，单位：米/秒（m/s ） （2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ） 1．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（） A．开普勒、卡文迪许B．牛顿、伽利略 C．牛顿、卡文迪许D．开普勒、伽利略 2．若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为'T，引力常量为G，则可求得（）A．该行星的质量B．太阳的质量 C．该行星的平均密度D．太阳的平均密度 3．我国是世界上能够发射地球同步卫星的少数国家之一，关于同步卫星正确的说法是（）A．可以定点在南京上空 B．运动周期与地球自转周期相同的卫星肯定是同步卫星 C．同步卫星内的仪器处于超重状态 D．同步卫星轨道平面与赤道平面重合 4．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己而言静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造地球卫星到地球中心的距离可能是（） A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等 B．一人在南极，一个在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等 D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 5．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( ) A．g a B C D 6．火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（） A．火卫一距火星表面较近B．火卫二的角速度较大 C．火卫一的运动速度较大D．火卫二的向心加速度较大 7．两个行星A和B各有一颗卫星a和b。卫星的圆轨道接近各自行星的表面。如果两行星质量之比M A : M B = p，两行星半径之比R A : R B = q，则两卫星周期之比T a : T b为（） A ．B ．C ．D 8．已知地球和火星的质量之比:8:1 M M= 地火，半径比:2:1 R R= 地火 ，表面动摩擦因数均为0.5，用一根绳在地 球上拖动一个箱子，箱子能获得10m/s2的最大加速度，将此箱和绳送上火星表面，仍用该绳子拖动木箱（使用同样大的力），则木箱产生的最大加速度为（） A．10m/s2B．12.5m/s2C．7.5m/s2D．15m/s2 9．2003年2月1日美国“哥伦比亚”号航天飞机在返回途中解体，造成人类航天史上又一悲剧。若“哥伦比亚”号航天飞机是在赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同。设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，则到它下次通过该建筑物上方所需时间为（） A ． 2/) πωB ． 1 2) π ω C ．2D ． 2/) πω 10．地球绕太阳公转的轨道半径r = 1.49×1011m，公转周期T = 3.16×107s，万有引力恒量G = 6.67×10-11N·m2/kg2。 则太阳质量的表达式M = __________，其值约为_________kg。（取一位有效数字） 11．空间探测器进入某行星引力范围以后，在靠近该行星表面的上空做圆周运动。测得运动周期为T，则这个 专题四 曲线运动 万有引力定律 2017—2019年高考题组 1．（2017 全国Ⅰ）15．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影 响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 2．（2017 全国Ⅱ）17．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度大小为g ） A ．g 162 v B ．g 82 v C ． g 42 v D ． g 22 v 3．（2017 全国Ⅱ）19．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中 A ．从P 到M 所用的时间等于T 0/4 B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大 C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小 D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 4．（2017 全国Ⅲ）14．2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首 次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的 A ．周期变大 B ．速率变大 C ．动能变大 D ．向心加速度变大 5．（2017 天津）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是 A ．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变 B ．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力 C ．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零 D ．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变 v P M 海王星 太阳 万有引力定律单元测试题 及解析 Prepared on 21 November 2021 万有引力定律单元测试题 一、选择题(每小题7分，共70分) 1．(2010·上海高考)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a.设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则( ) A．g1＝a B．g2＝a C．g1＋g2＝a D．g2－g1＝a 2. 图4－3－5 (2012·广东高考)如图4－3－5所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( ) A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小 3．(2010·北京高考)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ) A.B. C.D. 4．(2012·山东高考)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于( ) A.B. C.D. 5．(2012·北京高考)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( ) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 6．(2011·重庆高考)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图4－3－6所示，该行星与地球的公转半径之比为( ) 曲线运动、万有引力 一、考纲要求 1．掌握曲线运动的概念、特点及条件. 2．掌握运动的合成与分解法则． 3．掌握平抛运动的特点和性质. 4．掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题． 5．掌握描述圆周运动的物理量及它们之间的关系 6．理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件． 7．掌握万有引力定律的内容、公式及应用. 8．了解第二和第三宇宙速度． 9．理解环绕速度的含义并会求解. 二、知识梳理 1.曲线运动 （1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． （3）曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 2.运动的合成与分解 （1）基本概念 （2）运算法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． （3）分解原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解． （4）合运动与分运动的关系 ①等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． ②独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． ③等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3.平抛运动的规律 以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则 （1）水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t. （2）竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝gt2 （3）合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝. （4）合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝. 4.平抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动． （2）性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线． 5.斜抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动． （2）运动性质 加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线． （3）基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示) ①水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0. ②竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg. 6.离心运动 （1）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切 线方向飞出去的倾向． （2）受力特点(如图所示) ①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F＝0时，物体沿切线方向飞出； ③当F 限时规范训练(二) 曲线运动与万有引力 建议用时45分钟，实际用时________ 一、单项选择题 1.如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a 、b 分别套在 水平杆和竖直杆上，某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°， 此时a 、b 两球的速度大小之比v a v b 为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( ) A.43 B ．34 C.259 D ．2516 解析：A 将a 、b 两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直细线方向的速度，则a 球沿细线方向的速度大小为v 1＝v a sin 37°，b 球沿细线方向的速度大小为v 2＝v b cos 37°，又 v 1＝v 2，解得v a v b ＝cos 37°sin 37°＝43 ，A 正确． 2．羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高，若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( ) A ．击中甲、乙的两球初速度v 甲＝v 乙 B ．击中甲、乙的两球运动时间可能不同 C ．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓 D ．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大 解析：C 由题图可知，甲、乙高度相同，所以球到达两鼓用时相同，但由于两鼓离林 丹的水平距离不同，甲的水平距离较远，由v ＝x t 可知，击中甲、乙的两球初速度v 甲＞v 乙，故A 、B 错误；甲鼓的位置比丁鼓位置较高，则球到达丁鼓用时较长，则若某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓，故C 正确；由于丁鼓与丙鼓高度相同，但由题图可知，丁鼓离林丹的水平距离大，所以击中丁鼓的球的初速度一定大于击中丙鼓的球的初速度，即击中丙鼓的球的初速度不是最大的，故D 错误． 6．3 万有引力定律 班级： 组别： 姓名： 【课前预习】 1．万有引力定律： （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。 （2）表达式： F ＝G m 1m 2r 2 。 2．引力常量 （1）引力常量通常取G ＝ 6.67×10－11 N·m 2/kg 2，它是由英国物理学家卡文迪许在实验室里测得的。 （2）意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg 的质点，相距1m 时的相互吸引力。 【新课教学】 一、牛顿的“月——地”检验 1．检验的目的：地球对月亮的力，地球对地面上物体的力，太阳对行星的力，是否是同一种力。 2．基本思路 (理论计算)：如果是同一种力，则地面上物体的重力G ∝21R ，月球受到地球的力2 1r f ∝。 又因为地面上物体的重力mg G =产生的加速度为g ，地球对月球的力提供月球作圆周运动的向心力，产生的向心加速度，有向ma F =。 所以可得到：22 R r F G a g ==向 又知月心到地心的距离是地球半径的60倍，即r=60R ，则有：322107.23600 -?==?=g g r R a 向m/s 2。 3．检验的过程（观测计算）： 牛顿时代已测得月球到地球的距离r 月地 = 3.8×108 m ，月球的公转周期T = 27.3天，地球表面的重力加速度g = 9.8 m ／s 2，则月球绕地球运动的向心加速度： =向a （2 πT ）2r 月地 (字母表达式) =向a （2π27.3×24×3600）2 ×3.8×108 (数字表达式) =向a 2.7×10－3m/s 2 (结果)。 4．检验的结果：理论计算与观测计算相吻合。表明：地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 二、万有引力定律 曲线运动与万有引力知识点总结与经典题 一、曲线运动 1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。 2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸） t v v s d s t v s v t ?+=+=== 2 2 2 2 d 水船水河实水水船 河宽 3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角 合 河宽水 船合船 水v d v v v v v = -= = t cos 2 2 α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为 动 竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g h v t v x 20 0== （2）竖直位移2 21gt y = （3）通过的合位移2 22022)gt 2 1 ()t V (y x s +=+= （4）水平速度0v v x ==t x （5）竖直速度gt v y == gh 2 （6）合速度2 2 02 2 )(gt v v v v y x t +=+= （7）夹角 y v v tg x y tg = β= α （8）飞行时间由下落的高度决定：g h t 2= （9）实验求0 v ： t x v = 5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合 F ，v F ⊥合 ，0≠a ，v a ⊥ （1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线 速度是矢量，单位：米/秒（m/s ） （2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ） （3）向心加速度 m F v R T R R v a 合向= ====ωπω22 2)2(，向心加速度 是矢量，单位：m/s 2 （4）向心力R f m R T m R m R mv ma F 222 22244ππω=====向合 （向心力是效果力，是沿半径方向的合力，用来 改变速度方向，产生向心加速度，作圆周 运动之用。向心力不改变速度的大小。） （5）周期与频率： T=2πr/v=2π/ω=1/f=1/n （6）皮带传动时线速度相等：2 1 v v = 即：2 21 1R R ωω= （7）同轴转动角速度相等：2 1 ωω = 即：2 21 1R v R v = 二、万有引力定律-天体运动 1、开普勒周期定律： 22 3 2 2131T R T R = (只适用同一个中心天体) 曲线运动与万有引力试题 时间：100分钟满分 100分 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1.发现“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆”的规律的科学家是( ) A.第谷 B.哥白尼 C.牛顿 D.开普勒 2. 物体在做平抛运动过程中，相等的时间内，下列哪个量是相等的( ) A. 重力做功 B. 位移 C. 速度增量 D. 速度大小的变化量 3. 关于曲线运动和圆周运动，以下说法中正确的是( ) A. 做曲线运动的物体受到的合力大小一定不变 B. 做曲线运动的物体，所受的合力可能是不变的 C. 做圆周运动的物体受到的合力方向一定指向圆心 D. 做曲线运动的物体的速度大小一定是变化的 4. 关于平抛运动和圆周运动，下列说法正确的是（） A. 平抛运动是匀变速曲线运动 B. 匀速圆周运动是速度不变的运动 C. 圆周运动是匀变速曲线运动 D. 做平抛运动的物体落地时的速度可以变成竖直向下 5. 火星和木星沿各自的轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A. 火星与木星公转周期相等 B. 相同时间内，火星与太阳连线扫过的而积等于木星与太阳连线扫过的面积 C. 太阳位于它们的椭圆轨道的一个焦点上 D. 火星和木星绕太阳运行角速度始终相等 6. 小船在静水中的航速为5m/s，水的流速为3m/s，河宽120m。则小船以最短时间渡过河所需时间和以最短位移渡过河所需时间分别为（） A. 24s、30s B. 30s、40s C. 24s、40s D. 40s、24s 7. 如图所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮 的半径之比为1：2.a，b两点分别在O1、O2的轮边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半，若两轮不打滑，则a，b，c三点的线速度大小之比为( ) A. 4：2：1 B. 1：2：2 C. 1：1：2 D. 2：2：1 8. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1．6m，墙的厚度d=0．3m，某人在离墙壁距离L=1．2m、距窗子上沿h=0．2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2。则v的取值范围是（） A. 2m/s曲线运动万有引力定律知识点总结
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