第4讲万有引力定律及应用
一、开普勒三定律的内容、公式
定律内容图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的
三次方跟它的公转周期的二
次方的比值都相等
a3
T2
＝k，k是一个与行星无关
的常量
自测1 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律．
二、万有引力定律
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．(万有引力定律是由牛顿提出的)
2．表达式
F ＝G
m1m2r2
，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2
，由卡文迪许利用扭秤实验测出． 3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)基本公式：
G Mm
r2
＝ma ＝?????
m
v2
r →v＝GM r
mr ω2→ω＝GM r3mr ? ????2πT 2→T＝2π r3GM
mv ω
自测2 (2018·锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km ，“神舟八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A ．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B ．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C ．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D ．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G Mm r2＝m v2r ＝mr ω2
＝mr ? ????2πT 2＝ma ，解得v ＝
GM
r
，T ＝4π2r3
GM
，ω＝GM r3，a ＝GM
r2
，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B 正确． 三、宇宙速度 1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫最大环绕速度，其数值为7.9km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度． (4)第一宇宙速度的计算方法． 由G Mm R2＝m v2
R 得v ＝
GM R ；由mg ＝m v2
R
得v ＝gR. 2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km/s. 3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s.
命题点一 开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按椭圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律a3
T2
＝k 中，k 值只与中心天体有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律
只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1 (2018·盐城市期中)如图1所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运行，其轨道的半长轴为r ，周期为T ，图中S 1、S 2两部分阴影面积大小相等．则( )
图1
A ．行星可以不在椭圆的焦点上
B ．卫星从a 到b 的速率逐渐增大
C ．卫星从a 到b 的运行时间大于从c 到d 的运行时间
D ．椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关 答案 B
解析 根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故A 错误．卫星从a 到b 的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故B 正确．根据开普勒第二定律知，S 1、S 2两部分阴影面积大小相等，则卫星从a 到b 的运行时间等于从c 到d 的运行时间，故C 错误．根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，只与中心天体有关，与卫星的质量无关，故D 错误．
命题点二 万有引力与重力的关系
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg ＝G Mm R2.
可得：
1．地球表面重力加速度g ＝
GM R2
距地面高h 处重力加速度g ′＝GM
(R ＋h )
2.
有
g′g ＝R2(R ＋h )
2，即g 与到地心距离的平方成反比． 2．地球质量M ＝gR2
G
.
3．恒等式：GM ＝gR 2
.
以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用．
例2 (2018·无锡市期中)据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．已知一个在地球表面质量为50kg 的人在这个行星表面的重量约为800N ，地球表面处的重力加速度为10m/s 2
.求： (1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(2)若在该行星上距行星表面2m 高处，以10m/s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？ 答案 (1)2 (2)5m 解析 (1)在该行星表面处，
G 人＝mg 行，得g 行＝16 m/s 2.
在忽略自转的情况下，由万有引力等于物体所受的重力得GMm
R2＝mg
有R 2
＝GM g
故
R 行2R 地2＝M 行g 地M 地g 行＝4，所以R 行
R 地
＝2. (2)由平抛运动的规律，有
竖直方向h ＝12g 行t 2
，水平方向x ＝vt ，故x ＝v
2h g 行
， 代入数据解得：x ＝5 m.
变式1 (2018·淮安市、宿迁市等期中)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图2.若聂海胜的质量为m ，飞船距离地球表面的高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，地球表面的重力加速度为g ，则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )
图2
A ．0
B ．mg C.
GMm h2D.GMm (R ＋h )
2 答案 D
解析 飞船在距地面高度为h 处，由万有引力等于重力得：G ′＝mg ′＝GMm
(R ＋h )2，故D 正确，
A 、
B 、
C 错误．
命题点三 中心天体—环绕天体模型
环绕天体做匀速圆周运动所需向心力由中心天体对它的万有引力提供(如图3)，
图3
即：G Mm r2＝m 4π2T2r ①
或G Mm r2＝m v2r
＝m ω2
r ＝ma n 等．
1．由①式可得中心天体质量：M ＝4π2r3GT2
中心天体密度：ρ＝
M
43πR3＝3πr3GT2R3(r 为环绕天体的轨道半径，R 为中心天体的自身半径) 当r ＝R 时，ρ＝3π
GT2.
2．环绕天体运行各参量分析
(1)环绕天体的线速度：由G Mm r2＝m v2
r
，得v ＝
GM
r
，即特定的轨道对应特定的速率．
(2)环绕天体的角速度：由G Mm r2＝mr ω2
，得ω＝
GM r3
. (3)环绕天体的向心加速度：由G Mm r2＝ma n ，得a n ＝GM
r2.
(4)环绕天体的运行周期：由G Mm r2＝m 4π2
T2
r ，得T ＝
4π2r3
GM
. 由于上述结论中引力常量G 、中心天体质量M 为常量，从而可以总结出：距离中心天体越远，轨道半径越大，周期越长，线速度、角速度、向心加速度越小．
准确地说：①T ∝r3；②v ∝1r
；③ω∝
1
r3
；④a ∝1
r2.
例3 (2018·南京市、盐城市一模)科学家发现太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量G 已知)( ) A ．恒星与太阳质量之比 B ．恒星与太阳密度之比 C ．行星与地球质量之比
D ．行星与地球表面的重力加速度之比 答案 A
解析 根据万有引力提供向心力可得：G Mm r2＝m (2πT )2r ，解得：M ＝4π2r3
GT2，由题意可知，行
星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍(即知道轨道半径之比)，行星围绕该恒星的周期为1 200年，地球绕太阳的周期为1年(即知道周期之比)，而G 是常数，所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比，故A 正确；由A 分析可求出恒星与太阳的质量之比，但由于不知恒星与太阳的半径之比，所以不能求出恒星与太阳的密度之比，故B 错误；根据万有引力提供向心力可得：G Mm r2＝m (2πT )2
r ，解得的M 是中心天体的质量，所以不能求出行星与地球的质
量之比，故C 错误；根据公式m 0g ＝Gm0m R2可知，g ＝Gm
R2，由于不知行星与地球的半径之比，所
以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比，故D 错误．
变式2 (2019·射阳二中5月模拟)近年来，人类发射了多枚火星探测器对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝kT －1
B ．ρ＝kT
C ．ρ＝kT 2
D ．ρ＝kT －2
答案 D
解析 火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得：G Mm r2＝m 4π2
T2r (r
为轨道半径即火星的半径)，得火星的质量M ＝4π2r3GT2，则火星的平均密度ρ＝M
4
3πr3，联立
解得火星的平均密度ρ＝3πGT2＝k T2
＝kT －2
(k 为某个常量)，D 正确．
变式 3 (多选)(2018·徐州市期中)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动．地球的轨道半径为r 1，周期为T 1，运行速度为v 1，角速度为ω1，加速度为a 1，火星的轨道半径为r 2，周期为T 2＝kT 1，运行速度为v 2，角速度为ω2，加速度为a 2.下列关系正确的有( )
A.
ω1ω2＝k B.r1r2＝13
k2
C.v1v2＝13k
D.a1
a2
＝k 答案 AB
解析 根据G Mm r2＝mr 4π2
T2
得：T ＝
4π2r3GM ，则T2
T1
＝r23r13＝k ，解得：r1r2＝1
3
k2
，因为ω＝2πT ，则有：ω1ω2＝T2T1＝k ，故A 、B 正确．根据G Mm r2＝m v2
r
得：v ＝GM r ，则有：v1v2
＝r2
r1
＝3
k ，故C 错误．根据G Mm r2＝ma ，得：a ＝GM r2，则有：a1a2＝r22r12
＝3
k4，故D 错误．
拓展点 卫星运行分析
1．卫星的轨道(如图4)
图4
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．近地卫星
贴着地球表面绕地球运行的卫星，轨道半径R ≈R 地． 特点：(1)向心力G Mm R2＝mg ＝m v2
R
.
(2)线速度v ＝
GM
R
＝gR ＝7.9km/s 是绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大运行速度． (3)向心加速度a ＝g .
(4)周期T ＝
4π2R3
GM
＝2πR
g
≈84min 为卫星运行最小周期． 3．地球同步卫星
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由GMm (R ＋h )2＝m 4π2
T2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝3GMT24π2
－R ≈3.6×107m.
(5)速率一定：v ＝
GM R ＋h
≈3.1×103
m/s. (6)向心加速度一定：由G Mm (R ＋h )2＝ma n 得a n ＝GM (R ＋h )2＝g h ≈0.23m/s 2
，即同步卫星的向心加速
度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致．
例4 (2018·江苏单科·1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月 9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36000km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A ．周期B ．角速度 C ．线速度D ．向心加速度 答案 A
解析 设地球质量为M ，高分系列卫星质量为m ，高分系列卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G Mm r2＝m v2r ＝m ω2
r ＝m ? ??
??2πT 2r ＝ma ，得v ＝
GM
r
，ω＝GM
r3
，T ＝ 2π
r3GM ，a ＝GM
r2
，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项A 正确，B 、C 、D 错误．
变式4 (多选)(2018·苏锡常镇二模)2017年6月，我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”．卫星携带的硬X 射线调制望远镜(HardX －rayModulationTelescope ，简称HXMT)在离地550公里的轨道上观察遥远天体发出的X 射线，为宇宙起源研究提供了新的证据．则“慧眼”的( )
A ．角速度小于地球自转角速度
B ．线速度小于第一宇宙速度
C ．周期大于同步卫星的周期
D ．向心加速度小于地面的重力加速度 答案 BD
变式5 (多选)(2018·扬州市一模)2017年9月25日，微信启动页面采用“风云四号”卫星成像图．“风云四号”是我国新一代静止轨道气象卫星，则其在圆轨道上运行时( ) A ．可定位在赤道上空任意高度
B ．线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C ．角速度与地球自转角速度相等
D ．向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大 答案 CD
解析 同步卫星只能在赤道上空，且高度保持不变，A 错误；第一宇宙速度为人造地球卫星的最大运行速度，同步卫星的轨道半径大，则其速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星的周期等于地球的自转周期，所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转角速度相等，C 正确；同步卫星与月球都是万有引力提供向心力，由G Mm r2＝ma 可得：a ＝GM
r2，同步卫星的轨道
半径比月球小，故同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大，D 正确.
1．(多选)(2018·常熟市期中)关于自由落体运动的加速度g ，下列说法正确的是( ) A ．同一地点轻重不同的物体的g 值一样大 B ．北京地面的g 值比上海地面的g 值略大 C ．g 值在赤道处大于在南北两极处 D ．g 值在地面任何地方都一样
答案 AB
解析 不管物体轻重如何，在同一地点，g 值相等，故A 正确；随着纬度的升高，重力加速度增大，则北京地面的g 值比上海地面的g 值略大，赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度，故B 正确，C 、D 错误．
2．(2018·泰州中学开学考)因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的1k 倍，半径为地球半径的1
q 倍，则
“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( ) A.q k 倍B.k
q 倍 C.q2k 倍D.k2q 倍 答案 C
3．(多选)(2018·南通市等七市三模) 某卫星绕地球做圆周运动周期等于地球自转周期，其轨道平面与赤道平面成55°角，则该卫星( ) A ．离地面高度与地球同步卫星相同 B ．在轨运行速度等于第一宇宙速度 C ．加速度大于近地卫星的加速度 D ．每天两次经过赤道上同一点的正上方 答案 AD
4．(多选)(2018·海安中学月考)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为
T ，速度为v .引力常量为G ，则( )
A ．恒星的质量为v3T 2πG
B ．行星的质量为4π2v3
GT2
C ．行星运动的轨道半径为vT
2π
D ．行星运动的加速度为2πv
T
答案 ACD
解析 由T ＝2πr v 可得，轨道半径r ＝vT 2π，所以C 正确；由G Mm r2＝m v2
r ，将r 代入可得恒星质
量M ＝v3T 2πG ，所以A 正确；由a ＝v2r 可得，行星加速度a ＝2πv
T ，所以D 正确；在万有引力提
供向心力的表达式中，行星质量无法求出，所以B 错误．
1.(2018·徐州市期中)牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图1所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是( )
图1
A ．地球的球心与椭圆的中心重合
B ．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C ．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D ．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 答案 C
解析 根据开普勒第一定律可知，地球的球心应与椭圆的一个焦点重合，故A 错误；卫星在
近地点时的速率要大于在远地点的速率，故B错误；根据万有引力提供向心力G Mm
r2
＝ma n可知，
卫星在远地点的加速度一定小于在近地点的加速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，而不是与椭圆中心的连线，故D错误．
2．(2018·无锡市高三期末)如图2所示，2017年9月25日至9月28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲(左)变为华夏大地中国(右)．新照片由我国新一代静止轨道卫星(同步卫星)“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力．下列说法正确的是( )
图2
A．“风云四号”可能经过无锡正上空
B．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度
C．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等
D．“风云四号”的运行速度大于7.9km/s
答案 B
3．(多选)(2018·泰州中学等综合评估)澳大利亚科学家宣布，在离地球约14光年的红矮星wolf1061周围发现了三颗行星b、c、d，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视作圆，如图3所示．已知万有引力常量为G.下列说法正确的是( )
图3
A．可求出b、c的公转半径之比
B．可求出c、d的向心加速度之比
C ．若已知c 的公转半径，可求出红矮星的质量
D ．若已知c 的公转半径，可求出红矮星的密度 答案 ABC
4．(多选)(2018·盐城市期中) 半径为R 的木星表面重力加速度为g 0，卫星绕木星公转的轨道半径为r (r ＞R )、周期为T 、角速度为ω.已知引力常量为G ，为求木星的质量，需要的物理量是( ) A ．g 0，r B ．g 0，R C ．ω，T D ．r ，T 答案 BD
解析 根据木星表面万有引力等于重力得：G Mm R2＝mg 0，得木星的质量为：M ＝g0R2
G ，故A 错误，
B 正确．周期T ＝2π
ω，知道周期和角速度无法求出木星的质量，故C 错误．根据万有引力提
供向心力G Mm′r2＝m ′r 4π2T2，得木星的质量为：M ＝4π2r3
GT2
，故D 正确．
5．(2018·徐州三中月考)据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km ，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A ．月球表面的重力加速度
B ．月球对卫星的吸引力
C ．卫星绕月球运行的速度
D ．卫星绕月球运行的加速度 答案 B
解析 绕月卫星“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m 、月球质量为M ，有G Mm (R 月＋h )2＝m (
2πT )2
(R 月＋h ) 月球表面重力加速度公式
g 月＝
GM R 月2
联立解得g 月＝4π2(R 月＋h )
3
R 月2T
2
即可求出月球表面的重力加速度；
由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出； 由v ＝2π(R 月＋h )T
可以求出卫星绕月球运行的速度；
由a ＝(2πT
)2
(R 月＋h )可以求出卫星绕月球运行的加速度，故选B.
6．(2018·常熟市期中)A 、B 两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，A 卫星的运行周期大于B 卫星的运行周期，则( )
A ．A 卫星距离地面的高度一定比
B 卫星的小 B ．A 卫星的运行速率一定比B 卫星的大
C ．A 卫星的向心加速度一定比B 卫星的小
D ．A 卫星的向心力一定比B 卫星的大 答案 C
解析 根据G Mm r2＝mr 4π2
T2
得，运行周期T ＝
4π2r3
GM
，由于A 的周期大于B 的周期，则A 的轨道半径大于B 的轨道半径，则A 距离地面的高度大于B 距离地面的高度，故A 错误；根据
G Mm r2＝m v2r ＝ma 得，线速度v ＝
GM r ，向心加速度a ＝GM
r2
，由于A 的轨道半径大，则A 的线速度小于B 的线速度，A 的向心加速度小于B 的向心加速度，故B 错误，C 正确；由于A 、B 的质量未知，则无法比较向心力的大小，故D 错误．
7．(2018·锡山中学月考)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R 1和R 2(公转轨道近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( ) A.R1
R2
B.R1R2
C.R2R1
D.R2R1
答案 B
解析 公转的轨道近似为圆，地球和火星的运动可以看做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知，R3T2＝k ，运动的周期之比T1T2＝
R13R23，在一个周期内扫过的面积之比为S1S2＝πR12πR22＝R12
R22，面积速率为S
T
，可知面积速率之比为
R1
R2
，故B 正确，A 、C 、D 错误． 8.(2018·盐城中学4月检测)如图4所示，人造地球卫星M 、N 在同一平面内绕地心O 做匀速圆周运动，已知M 、N 连线与M 、O 连线间的夹角最大为θ，则M 、N 的运行速度大小之比等于( )
图4
A.sin θ
B.
1
sin θ C.tan θD.
1
tan θ
答案 A
9．(2018·程桥高中月考)我国“北斗”卫星导航系统BDS 堪比美国全球定位系统GPS.已知BDS 导航系统某圆轨道卫星的运行周期约为12小时，则此卫星与GPS 导航系统中某地球同步卫星相比较( )
A ．轨道半径小
B ．角速度小
C ．线速度小
D ．向心加速度小 答案 A
解析 根据G Mm r2＝m 4π2r T2＝m v2r
＝ma ＝mr ω2，
设该卫星周期为T ，同步卫星周期为T 同， 由题意有：T 同＞T
据T ＝2π
r3GM
，有r 同＞r ，故A 正确；据ω＝GM
r3
得ω同＜ω，所以B 错误；据v ＝GM r
得v 同＜v ，故C 错误；a ＝GM
r2
，得a 同＜a ，故D 错误．
10．(多选)(2018·扬州中学5月模拟) 美国天文学家MichaelBrown 推测：太阳系有第九个大行星，其质量约为地球质量的10倍，直径约为地球直径的4倍，到太阳的平均距离约为地球到太阳平均距离的600倍，万有引力常量G 已知．下列说法正确的有( ) A ．该行星绕太阳运转的周期在70～80年之间 B ．由题中所给的条件可以估算出太阳的密度
C ．该行星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
D ．该行星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 答案 CD
11．(2018·常熟市期中)一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r ＝2R (R 为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g .求：
(1)该卫星所在处的重力加速度g ′； (2)该卫星绕地球转动的角速度ω. 答案 (1)1
4
g (2)
g 8R
解析 (1)在地球表面处物体受到的重力等于万有引力mg ＝G Mm
R2，在轨道半径为r 处，仍有万
有引力等于重力GMm′r2＝G Mm′(2R )2＝m ′g ′，解得：g ′＝1
4
g
(2)根据万有引力提供向心力
GMm′r2＝G Mm′
(2R )
2＝
m ′ω2(2R )，得ω＝
g 8R
. 12．(2018·江苏省高考压轴卷) “玉兔号”月球车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”在月球表面做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ，已知月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .求： (1)月球表面重力加速度和月球的“第一宇宙速度”； (2)月球质量；
(3)月球同步卫星距离月球表面的高度．
答案 (1)
2h
t2
2hR t2 (2)2hR2
Gt2 (3) 3hR2T22π2t2
－R 解析 (1)由自由落体运动规律有：h ＝12g 0t 2，所以有：g 0＝2h
t2
月球的“第一宇宙速度”为近月卫星做匀速圆周运动的运行速度，根据重力提供向心力得mg 0＝m v21
R
，
所以v 1＝g0R ＝
2hR
t2
； (2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则mg 0＝G Mm
R2，
所以M ＝g0R2G ＝2hR2
Gt2
；
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得： G
Mm (R ＋H )2＝m 4π2
T2
(R ＋H )， 解得H ＝3GMT24π2－R ＝3hR2T2
2π2t2－R .
曲线运动 1．曲线运动的特征 （1）曲线运动的轨迹是曲线。 （2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 （3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。） 曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 (2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 平抛运动基本规律 1．速度：0 x y v v v gt = ? ?= ? 合速度:2 2 y x v v v+ =方向： o x y v gt v v = = θ tan 2．位移 2 1 2 x v t y gt = ? ? ? = ?? 合位移：22 x x y =+ 合 方向： o v gt x y 2 1 tan= = α 3．时间由:2 2 1 gt y=得 g y t 2 =（由下落的高度y决定） 4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
第4章曲线运动万有引力与航天 一、选择题(本大题共15小题) 1．一个物体受到恒定的合力作用而做曲线运动，则下列说法正确的是 A．物体的速率可能不变 B．物体一定做匀变速曲线运动，且速率一定增大 C．物体可能做匀速圆周运动 D．物体受到的合力与速度的夹角一定越来越小，但总不可能为零 2．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图1所示．关于物体的运动，下列说法正确的是 图1 A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s 3．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是 A．增大α角，增大船速v B．减小α角，增大船速v C．减小α角，保持船速v不变 D．增大α角，保持船速v不变 4．(2011·上海市闸北调研)质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是
图2 A ．质点的初速度为5 m/s B ．质点所受的合外力为3 N C ．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s 5．如图3所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为 图3 A.r 1ω1r 3 B.r 3ω1 r 1 C. r 3ω1r 2 D.r 1ω1 r 2 6．如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力．则F 图4 A ．一定是拉力 B ．一定是推力 C ．一定等于0 D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
一、选择题 1. 对于万有引力定律的表述式2 2 1r m m G F =，下面说法中正确的是（ ） A.公式中 G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B.当r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大 C. m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力 D. m 1与m 2受到的引力总是大小相等的，而与m 1、m 2是否相等无关 2．人造卫星在运行中因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道半径会慢慢减小， 在半径缓慢变化过程中，卫星的运动还可近似当作匀速圆周运动。当它在较大的轨道半径r 1 上时运行线速度为v 1，周期为T 1，后来在较小的轨道半径r 2上时运行线速度为v 2，周期为T 2，则它们的关系是 （ ） A ．v 1﹤v 2，T 1﹤T 2 B ．v 1﹥v 2，T 1﹥T 2 C ．v 1﹤v 2，T 1﹥T 2 D ．v 1﹥v 2，T 1﹤T 2 3.下列关于地球同步卫星的说法正确的是 （ ） A ．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小 B ．它的周期、高度、速度都是一定的 C ．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空 D ．我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空 4．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将 ( ） A ．继续和卫星一起沿轨道运行 B ．做平抛运动，落向地球 C ．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球 D ．做自由落体运动，落向地球 5. 两个质量均为M 的星体，其连线的垂直平分线为AB 。O 为两星体连线的中点，如图，一个质 量为M 的物体从O 沿OA 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（ ） A.一直增大 B.一直减小 C.先减小，后增大 D.先增大，后减小 6.土星外层上有一个土星环,为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群,可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断 ①若v R ∝,则该层是土星的一部分②2 v R ∝,则该层是土星的卫星群.③若1 v R ∝ ,则该层是土星的一部分④若2 1 v R ∝ ,则该层是土星的卫星群.以上说法正确的是 ( ) A. ①② B. ①④ C. ②③ 4. ②④ 7.假如地球自转速度增大,关于物体重力的下列说法中不正确的是 ( ) A 放在赤道地面上的物体的万有引力不变 B.放在两极地面上的物体的重力不变 C 赤道上的物体重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增大 8.我们研究了开普勒第三定律，知道了行星绕恒星的运动轨道近似是圆形，周期T 的平方与轨道半径 R 的三次方的比为常数，则该常数的大小 ( ) A.只跟恒星的质量有关 B.只跟行星的质量有关 C.跟行星、恒星的质量都有关 D.跟行星、恒星的质量都没关 9．在太阳黑子的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落。大部分垃圾在落地前烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是 A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的 B ．太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面 C ．太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小，那么它做圆运动所需的向心力就小于实际受到的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面 D ．太空垃圾上表面受到的大气压力大于下表面受到的大气压力，所以是大气的力量将它推向地面的 10.假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 ( ) A. 根据公式v=ωr ，可知卫星的线速度将增大到原来的2倍 B. 根据公式2v F m r =，可知卫星所需要的向心力将减小到原来的1 2 C. 根据公式2Mm F G r =，可知地球提供的向心力将减小到原来的1 4 D. 根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的 2 2
专题四：曲线运动、万有引力考点例析。 本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。 一、夯实基础知识 1、深刻理解曲线运动的条件和特点 （1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。 （2）曲线运动的特点：○ 1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是 不断变化的。○ 3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成与分解 物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。 运动的合成与分解基本关系：○ 1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○ 3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2）．平抛运动的处理方法 通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一 个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是 竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。 (3)．平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方 向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t. ①位移 分位移t V x 0=, 22 1gt y =,合位移2220)21()(gt t V s +=,02tan V gt =?. ?为合位移与x 轴夹角. ②速度 图1
曲线运动+万有引力定律知识点总结 1、曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。 2、物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律 1、速度： 合速度: 方向： 2、位移合位移： 方向： 3、时间由: 得（由下落的高度y决定） 4、平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 5、速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。 6、平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。（A是OB的中点）。绳拉物体合运动：实际的运动。对应的是合速度。方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。小船渡河例1:一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是5m/s，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多
《万有引力与航天》测试题 一、选择题（每小题4分，全对得4分，部分对的得2分，有错的得0分，共48分。） 1.第一次通过实验比较准确的测出引力常量的科学家是（ ） A ． 牛顿 B ． 伽利略 C ．胡克 D ． 卡文迪许 2.如图1所示a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ） A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ； D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大 3.宇宙飞船为了要与“和平号“轨道空间站对接，应该：（ ） A.在离地球较低的轨道上加速 B.在离地球较高的轨道上加速 C.在与空间站同一高度轨道上加速 D.不论什么轨道，只要加速就行 4、 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 b a c 地球 图1
上经过P 点时的加速度 5、 宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是 （ ） A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡 C.宇航员受的重力正好充当向心力 D.宇航员不受任何作用力 6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初 速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2 ）（ ） A ．1s B ． 91s C ．18 1 s D ． 36 1 s 7.假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是（ ） A 放在赤道地面上的万有引力不变 B 放在两极地面上的物体的重力不变 C 放在赤道地面上物体的重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增加 8、设想把质量为m 的物体放在地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ） A.零 B.无穷大 C.2 GMm R D.无法确定 9.对于质量m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式12 2m m F G r ，下列说法正确的是 （ ） 和m 2所受引力总是大小相等的 B 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力无穷大 C.当有第三个物体m 3放入之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D.所受的引力性质可能相同，也可能不同 10地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物 体“飘” 起来，则地球的转速应为原来转速的（ ）
2020年物理二轮专题过关宝典 专题三：曲线运动与万有引力 【知识回扣】 一、曲线运动 1、平抛运动的两个重要推论 ①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。 2、离心运动
①当F ＝mr ω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； ③当F ＜mr ω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力。 ④当F ＞mr ω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。 二、万有引力定律及航天 1.天体绕行是匀速圆周运动，可综合匀速圆周运动规律，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2 T 2r ＝ma 2.在忽略地球自转时，万有引力近似等于物体重力。 【热门考点透析】 考点一 运动的合成与分解 1.(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R ；bc 是半径为R 的四分之一圆弧，与ab 相切于b 点。一质量为m 的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g 。小球从a 点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR 【答案】C 【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为v c，由动能定理有：F·3R－ mg·R＝1 2mv 2 c ，解得：v c＝2gR。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加 速运动，加速度为a x＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为 零，时间为t＝v c g＝ 2gR g，水平方向的位移为：x＝ 1 2a x t 2＝ 1 2g? ? ? ? 2gR g 2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨 迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，C正确。 2. (2019·鹤壁市期末)如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时 A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则() A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin α
高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ． 【答案】（1）22h g t =月 （2）2 2 2hR M Gt =；2hR v t = 【解析】 【分析】 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度； （2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】 （1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝1 2 g 月t 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝2 2h t （2）若不考虑月球自转的影响 G 2 Mm R ＝mg 月 月球的质量 2 2 2hR M Gt ＝ 质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m ′g 月＝m ′2 v R 月球的“第一宇宙速度”大小 2hR v g R t 月＝＝ 【点睛】 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ． 2．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期为T ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量M ； （2）同步卫星距离地面的高度h 。 【答案】(1) (2)
一、曲线运动 1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。 2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸） t v v s d s t v s v t ?+=+=== 2 222d 水船水河实水水船 河宽 3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角 合 河宽水 船合船 水 v d v v v v v = -== t cos 2 2α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为 动 竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g h v t v x 20 0== （2）竖直位移2 2 1gt y = （3）通过的合位移222022)gt 2 1 ()t V (y x s +=+= （4）水平速度0v v x == t x （5）竖直速度gt v y ==gh 2 （6）合速度22 022)(gt v v v v y x t +=+= （7）夹角 0 y v v tg x y tg = β=α （8）飞行时间由下落的高度决定：g h t 2= （9）实验求0v ： a 、已知抛出点时： b 、不知抛出点时： t x v g h 2t 0= = 212t s s a -= g y y t 122 -=∴ ，t x v =0 5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合F ，v F ⊥合，0≠a ，v a ⊥ （1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线速度是矢量，单位：米/秒（m/s ） （2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ）
《万有引力与航天》单元测试 一、选择题 1.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系就是v 2＝2v 1、已知某星球的半径为r ,它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6 ,不计其她星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( ) A 、gr B 、 16 gr C 、 1 3 gr D 、13gr 解析:由题意v 1＝g ′r ＝ 1 6 gr ,v 2＝2v 1＝ 1 3 gr ,所以C 项正确. 答案:C 2.太阳能电池就是将太阳能通过特殊的半导体材料转化为电能,在能量的利用中,它有许多优点,但也存在着一些问题,如受到季节、昼夜及阴晴等气象条件的限制.为了能尽量地解决这些问题,可设想把太阳能电池送到太空中并通过一定的方式让地面上的固定接收站接收电能,太阳能电池应该置于( ) A.地球的同步卫星轨道 B.地球大气层上的任一处 C.地球与月亮的引力平衡点 D.地球与太阳的引力平衡点 解析:太阳能电池必须与地面固定接收站相对静止,即与地球的自转同步.
答案:A 3.据媒体报道,“嫦娥”一号卫星绕月工作轨道为圆轨道,轨道距月球表面的高度为200 km,运行周期为127 min 、若要求出月球的质量,除上述信息外,只需要再知道( ) A.引力常量与“嫦娥”一号的质量 B.引力常量与月球对“嫦娥”一号的吸引力 C.引力常量与地球表面的重力加速度 D.引力常量与月球表面的重力加速度 解析:对“嫦娥”一号有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h ),月球的质量为M ＝4π2GT 2(R ＋h )3,在月球表面g ＝G M R 2,故选项D 正确. 答案:D 4.地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6、6倍,设月球密度与地球相同,则绕月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为( ) A.1 h B.1、4 h C.6、6 h D.24 h 解析:因月球密度与地球的相同,根据ρ＝m 4πR 3/3,可知m 地m 月＝R 3 地R 3月 ,又 Gm 地m 卫 (6、6R 地)2＝m 卫4π2T 2卫×6、6R 地,Gm 月m 探R 2 月＝m 探4π2 T 2探R 月,已知T 卫＝24 h,联立解得T 探≈1、4 h 、 答案:B 5、
专题四 曲线运动 万有引力定律 2017—2019年高考题组 1．（2017 全国Ⅰ）15．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影 响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 2．（2017 全国Ⅱ）17．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度大小为g ） A ．g 162 v B ．g 82 v C ． g 42 v D ． g 22 v 3．（2017 全国Ⅱ）19．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中 A ．从P 到M 所用的时间等于T 0/4 B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大 C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小 D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 4．（2017 全国Ⅲ）14．2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首 次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的 A ．周期变大 B ．速率变大 C ．动能变大 D ．向心加速度变大 5．（2017 天津）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是 A ．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变 B ．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力 C ．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零 D ．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变 v P M 海王星 太阳
第六章 万有引力与航天 一、单项选择题 1．对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2 r 2，下列说法中正确的是( ) ①公式中G 为引力常量，它是由卡文迪许扭秤实验测得的；②当r 趋于零时，万有引力趋于无穷大；③m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，与m 1、m 2是否相等无关；④m 1与m 2受到的引力是一对平衡力；⑤用该公式可求出任何两个物体之间的万有引力． A ．①③⑤ B ．②④ C ．①②④ D ．①③ 2．人造地球卫星在绕地球运行时，它的轨道半径R 与周期T 的关系是( ) A ．R 与T 成正比 B ．R 3与T 2成正比 C ．R 2与T 3成正比 D ．R 与T 无关 3．关于地球同步通信卫星的说法，正确的是( ) A ．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B ．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度不同，但线速度大小相同 " C ．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内 D ．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定的高度上 4．随着“神舟”七号的发射成功，中国航天员在轨道舱内停留的时间将增加，体育锻炼成了一个必不可少的环节，下列在地面上正常使用的未经改装的器材最适宜航天员在轨道舱中进行锻炼的是( ) A ．哑铃 B ．弹簧拉力器 C ．单杠 D ．徒手跑步机 5．(2013·安徽名校联考)北京时间2012年10月25日23时33分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第16颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道．第16颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星，它将与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力．根据计划，北斗卫星导航系统将于2013年初向亚太大部分地区提供服务．下列关于这颗卫星的说法正确的是( ) A ．该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度 B ．该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极 C ．该卫星的速度小于第一宇宙速度 D ．如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量 6．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的倍，则这颗行星上的第一宇宙速度约为( ) & A ．16 km/s B ．32 km/s C ．4 km/s D ．2 km/s 7.“嫦娥”一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P 点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T 1、T 2、T 3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a 1、a 2、a 3分别表示卫星沿三个轨道运动到P 点的加速度，则下面说法正确的是( ) A ．T 1>T 2>T 3 B ．T 1 曲线运动、万有引力 一、考纲要求 1．掌握曲线运动的概念、特点及条件. 2．掌握运动的合成与分解法则． 3．掌握平抛运动的特点和性质. 4．掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题． 5．掌握描述圆周运动的物理量及它们之间的关系 6．理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件． 7．掌握万有引力定律的内容、公式及应用. 8．了解第二和第三宇宙速度． 9．理解环绕速度的含义并会求解. 二、知识梳理 1.曲线运动 （1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． （3）曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 2.运动的合成与分解 （1）基本概念 （2）运算法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． （3）分解原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解． （4）合运动与分运动的关系 ①等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． ②独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． ③等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3.平抛运动的规律 以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则 （1）水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t. （2）竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝gt2 （3）合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝. （4）合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝. 4.平抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫平抛运动． （2）性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线． 5.斜抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，叫做斜抛运动． （2）运动性质 加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线． （3）基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示) ①水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0. ②竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg. 6.离心运动 （1）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切 线方向飞出去的倾向． （2）受力特点(如图所示) ①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F＝0时，物体沿切线方向飞出； ③当F 曲线运动与万有引力试题 时间：100分钟满分 100分 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1.发现“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆”的规律的科学家是( ) A.第谷 B.哥白尼 C.牛顿 D.开普勒 2. 物体在做平抛运动过程中，相等的时间内，下列哪个量是相等的( ) A. 重力做功 B. 位移 C. 速度增量 D. 速度大小的变化量 3. 关于曲线运动和圆周运动，以下说法中正确的是( ) A. 做曲线运动的物体受到的合力大小一定不变 B. 做曲线运动的物体，所受的合力可能是不变的 C. 做圆周运动的物体受到的合力方向一定指向圆心 D. 做曲线运动的物体的速度大小一定是变化的 4. 关于平抛运动和圆周运动，下列说法正确的是（） A. 平抛运动是匀变速曲线运动 B. 匀速圆周运动是速度不变的运动 C. 圆周运动是匀变速曲线运动 D. 做平抛运动的物体落地时的速度可以变成竖直向下 5. 火星和木星沿各自的轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A. 火星与木星公转周期相等 B. 相同时间内，火星与太阳连线扫过的而积等于木星与太阳连线扫过的面积 C. 太阳位于它们的椭圆轨道的一个焦点上 D. 火星和木星绕太阳运行角速度始终相等 6. 小船在静水中的航速为5m/s，水的流速为3m/s，河宽120m。则小船以最短时间渡过河所需时间和以最短位移渡过河所需时间分别为（） A. 24s、30s B. 30s、40s C. 24s、40s D. 40s、24s 7. 如图所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮 的半径之比为1：2.a，b两点分别在O1、O2的轮边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半，若两轮不打滑，则a，b，c三点的线速度大小之比为( ) A. 4：2：1 B. 1：2：2 C. 1：1：2 D. 2：2：1 8. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1．6m，墙的厚度d=0．3m，某人在离墙壁距离L=1．2m、距窗子上沿h=0．2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2。则v的取值范围是（） A. 2m/s 限时规范训练(二) 曲线运动与万有引力 建议用时45分钟，实际用时________ 一、单项选择题 1.如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a 、b 分别套在 水平杆和竖直杆上，某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°， 此时a 、b 两球的速度大小之比v a v b 为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( ) A.43 B ．34 C.259 D ．2516 解析：A 将a 、b 两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直细线方向的速度，则a 球沿细线方向的速度大小为v 1＝v a sin 37°，b 球沿细线方向的速度大小为v 2＝v b cos 37°，又 v 1＝v 2，解得v a v b ＝cos 37°sin 37°＝43 ，A 正确． 2．羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高，若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( ) A ．击中甲、乙的两球初速度v 甲＝v 乙 B ．击中甲、乙的两球运动时间可能不同 C ．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓 D ．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大 解析：C 由题图可知，甲、乙高度相同，所以球到达两鼓用时相同，但由于两鼓离林 丹的水平距离不同，甲的水平距离较远，由v ＝x t 可知，击中甲、乙的两球初速度v 甲＞v 乙，故A 、B 错误；甲鼓的位置比丁鼓位置较高，则球到达丁鼓用时较长，则若某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓，故C 正确；由于丁鼓与丙鼓高度相同，但由题图可知，丁鼓离林丹的水平距离大，所以击中丁鼓的球的初速度一定大于击中丙鼓的球的初速度，即击中丙鼓的球的初速度不是最大的，故D 错误． 曲线运动与万有引力知识点总结与经典题 一、曲线运动 1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。 2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸） t v v s d s t v s v t ?+=+=== 2 2 2 2 d 水船水河实水水船 河宽 3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角 合 河宽水 船合船 水v d v v v v v = -= = t cos 2 2 α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为 动 竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g h v t v x 20 0== （2）竖直位移2 21gt y = （3）通过的合位移2 22022)gt 2 1 ()t V (y x s +=+= （4）水平速度0v v x ==t x （5）竖直速度gt v y == gh 2 （6）合速度2 2 02 2 )(gt v v v v y x t +=+= （7）夹角 y v v tg x y tg = β= α （8）飞行时间由下落的高度决定：g h t 2= （9）实验求0 v ： t x v = 5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合 F ，v F ⊥合 ，0≠a ，v a ⊥ （1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线 速度是矢量，单位：米/秒（m/s ） （2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ） （3）向心加速度 m F v R T R R v a 合向= ====ωπω22 2)2(，向心加速度 是矢量，单位：m/s 2 （4）向心力R f m R T m R m R mv ma F 222 22244ππω=====向合 （向心力是效果力，是沿半径方向的合力，用来 改变速度方向，产生向心加速度，作圆周 运动之用。向心力不改变速度的大小。） （5）周期与频率： T=2πr/v=2π/ω=1/f=1/n （6）皮带传动时线速度相等：2 1 v v = 即：2 21 1R R ωω= （7）同轴转动角速度相等：2 1 ωω = 即：2 21 1R v R v = 二、万有引力定律-天体运动 1、开普勒周期定律： 22 3 2 2131T R T R = (只适用同一个中心天体) 圆周运动与万有引力测试题 姓名 班级 一、选择题（每题4分，共32分） 1如图所示，以v 0=10 m / s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ） A ． B ． C ． D ．2s 2、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 A 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过 B 的速度 B 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度 C 在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D 在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3、我们在推导第一宇宙速度的公式gR v =时，需要做一些假设和 选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有（ ） A. 卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动 B.卫星所受的重力全部作为其所需的向心力 C.卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力 D.卫星的运转周期必须等于地球的自转周期 4、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ ） A 、地球的质量 B 、太阳的质量 C 、月球的质量 D 、可求月球、地球及太阳的密度 5、2012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于6月29日10时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是( ) A ．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量 B ．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 C ．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 D ．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速 6、有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置 G gR m 2=地22 3 224GT L m π=太2 13124GT L m π=月曲线运动、万有引力教案
曲线运动与万有引力综合试题
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