2020年物理二轮专题过关宝典
专题三：曲线运动与万有引力
【知识回扣】
一、曲线运动
1、平抛运动的两个重要推论
①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。
2、离心运动
①当F ＝mr ω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当F ＜mr ω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力。 ④当F ＞mr ω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。
二、万有引力定律及航天
1.天体绕行是匀速圆周运动，可综合匀速圆周运动规律，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T 2r ＝ma
2.在忽略地球自转时，万有引力近似等于物体重力。 【热门考点透析】
考点一 运动的合成与分解
1.(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R ；bc 是半径为R 的四分之一圆弧，与ab 相切于b 点。一质量为m 的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g 。小球从a 点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR
【答案】C
【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为v c，由动能定理有：F·3R－
mg·R＝1
2mv
2
c
，解得：v c＝2gR。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加
速运动，加速度为a x＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为
零，时间为t＝v c
g＝
2gR
g，水平方向的位移为：x＝
1
2a x t
2＝
1
2g?
?
?
?
2gR
g
2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨
迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，C正确。
2. (2019·鹤壁市期末)如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时
A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则()
A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin α
B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v cos α
C.物体B也做匀速直线运动
D.物体B做匀加速直线运动
【答案】B
【解析】如图所示，
将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳＝v∥＝v cos α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率v B＝v绳＝v cos α，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中α减小，则cos α增大，v B增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误。
3.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
【答案】(1)20 s2034 m(2)25 s(3)不能
【解析】(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不
影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝d
v1＝
100
5s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝d2＋x2，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝2034 m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则
有v1cos θ＝v2，cos θ＝v2
v1＝0.6，则sin θ＝1－cos
2θ＝0.8，船的实际速度v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的
时间为t＝d
v＝
100
4s＝25 s.
(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
【增分攻略】
1．三种过河情景分析
2.关联速度问题解题原则
对于用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的
速度分量大小相等。常用的解答思路：先确定合速度的方向，然后分析合运动所产生的实际效果，以
确定两个分速度的方向(作出分速度与合速度的矢量关系的平行四边形)。
常见的模型如图所示。
考点二平抛和类平抛
1.(2019·山东青岛二模)如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，则v1、v2大小之比为()
A．9∶8 B．8∶9 C．3∶2 D．2∶3
【答案】A
【解析】两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，它们在竖直方向的位移相等，小球在竖直
方向做自由落体运动，由于竖直位移h相等，它们的运动时间t＝2h
g相等；对球Q：tan37°＝
y
x＝
1
2gt
2
v2t＝
gt
2v2，解
得：v2＝2
3gt；球P垂直打在斜面上，则有：v1＝v y tanθ＝gt tan37°＝
3
4gt，则：
v1
v2＝
3
4gt
2
3gt
＝
9
8，故A正确，B、C、D错
误。
2. 如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，
且a 和b 从同一点抛出．不计空气阻力，则( )
A ．a 和b 的飞行时间相同
B ．b 的飞行时间比c 的短
C ．a 的水平初速度比b 的小
D ．c 的水平初速度比a 的大 【答案】D
【解析】由题图可知b 下落的高度比a 的大，根据t ＝
2h g 可知，b 飞行时间较长，根据v 0＝x
t
，可知a 、b 的水平位移相同，则a 的水平初速度比b 的大，选项A 、C 错误；b 下落的高度比c 的大，则b 飞行的时间比c 的长，选项B 错误；a 下落的高度比c 的大，则a 飞行的时间比c 的长，根据v 0＝x
t ，可知a 、c 的水平
位移相同，则a 的水平初速度比c 的小，选项D 正确。
3. （2016 ?广东佛山六校期中考试）如围2所示， 一网球运动员将球从边界处正上方水平叫右击出，球刚好过网落在围中位置(不计空气阻力）,相关数据如图所示,下 列说法中正确的是 ( )
A 击球点高度h 1与球网高度h 2之间的关系为h 1=1.8h 2
B 若保持击球商度不变，球的初速度v 012s
gh h C 任意降低击球高度(仍大于h 2)，只要击球初速度合适,球一定能落在对方界内 D 任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 【答案】AD
【解析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为s 和3s/2的时间比2 : 3，在竖直方向上，根据h=gt 2/2，则有(h 1-h 2)/h 1=4:9,解得h 1=1.8h 2，故A 项正确; 若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不
能出界，又不能触网,根据h 1=gt 2/2得
112h t g =
。则平抛运动的最大速度01
2s
v t = =
11
2s
gh h ,根据
h 1-h 2=gt 22/2,得1222()h h t g
-=
，则平拋运动的最小速度切022122()s g
v s t h h ==-，B 项错误;任意降低击球高
度(仍大于h 2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以不是高度比网高，就一定能将球发到界内，故C 项错误;增加击球高度，只要速度合适，球一定能发到对方界内，故D 项正确。
4. 如下图所示，空间存在匀强电场，方向竖直向下，从绝缘斜面上的M 点沿水平方向抛出一带电小球，最后小球落在斜面上的N 点。已知小球的质量为m 、初速度大小为v0、斜面倾角为θ，电场强度大小未知。则下列说法中正确的是（ ）
A 可以判断小球一定带正电荷
B 可以求出小球落到N 点时速度的方向
C 可以求出小球由M 落到N 点所用时间
D 可以分别求出小球到达N 点过程中重力和静电力对小球所做的功 【答案】B
【解析】小球做类平抛运动，电场力既可向上也可向下，故小球带正电、负电都可以，故A 错误；由
2
00
221at at tan v t v θ==
，则02v tan t a θ=，由于不知道电场力大小，不知道小球受到的合力，不能求出小球的加速度，故小球到达N 点的时间不能确定，故C 错误；利用平抛知识有：00
1
2 2y
y v t v tan v t v y x θ=
==，速度偏向角设为α，则0
2tan y v tan v αθ=
=，可求出小球落到N 点时的速度（包括大小和方向），故B 正确；由
上知：可以求出小球落到N 点时的速度，由动能定理可以求出小球到达N 点过程中重力和电场力对小球所做的总功，但是不能分别求出小球到达N 点过程中重力和静电力对小球所做的功，故选项D 错误，故选B 。 【增分攻略】
1.求解平抛(或类平抛)运动的技巧
①处理平抛(或类平抛)运动的基本方法是把运动分解为相互垂直的匀速直线运动和匀加速直线运动，通过研
究分运动达到研究合运动的目的。
②要善于确定平抛(或类平抛)运动的两个分速度和分位移与题目呈现的角度之间的联系，这往往是解决问题的突破口。
2.平抛运动中的临界问题
在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。
3.平抛运动物体遇到斜面处理方法
①若平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值。
②对于在斜面上平抛又落回到斜面上的物体，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值；速度偏角的正切值一定为位移偏角的正切值的2倍。
考点三圆周运动
1．(2016·全国卷Ⅱ) 小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点()
A P球的速度一定大于Q球的速度
B P球的动能一定小于Q球的动能
C P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【答案】C
【解析】设小球的质量为m，绳长为L，根据动能定理得mgL＝1
2mv
2，解得v＝2gL，L P 错误；小球动能E k＝mgL，其中m P>m Q，L P 将v ＝2gL 代入得F 拉＝3mg ，因为m P >m Q ，所以P 球所受绳的拉力大于Q 球所受绳的拉力，故C 正确；向心加速度a ＝v 2 L ＝2g ，所以在轨迹的最低点，P 、Q 两球的向心加速度相同，故D 错误。 2.如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b （可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 （ ） A b 一定比a 先开始滑动 B a 、b 所受的摩擦力始终相等 C ω＝ l kg 2是b 开始滑动的临界角速度 D 当ω＝l kg 32时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】AC 【解析】木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝kmg 相同。它们所需的向心力由F 向＝mω2r 知F a 2 kmg ，选项D 错误。 3. 如图所示光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a 、b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ） A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg B ．当v 5gR b 在轨道最高点对轨道无压力 C ．速度v D ．只要v a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力都大6mg 【答案】BD 【解析】AB ．当小球对轨道无压力时，则有：2 1v mg m R =，解得1v 22111 22 2mg R mv mv = -，解得v F 1=mg ；最低点时，向心力2 25v F m mg R =＝，即a 球比b 球所需向心力大4mg 。故A 错误，B 正确。C ．因小球在管内转动，则内管 可对小球提供向上的支持力，故可看作是杆模型；故小球的最高点的速度只要大于零，小球即可通过最高 点，根据动能定理知，2122mg R mv ＝，解得v =C 错误。D ．在最高点时，2 11v F mg m R +=； 在最低点222v F mg m R -＝，则2221212v v F F mg m m R R -+-＝，由机械能守恒可得22 2121122mg R mv mv -＝，可得：F 2-F 1=6mg ；即只要能做完整的圆周运动，压力之差都等于6mg 。故D 正确。 【增分攻略】 1. 水平面内圆周运动的临界极值问题 常见临界条件：绳子张紧或松弛的临界条件是绳的张力F T ＝0；接触面滑动的临界条件是摩擦力F f ＝F fmax ；接触面分离的临界条件是接触面间的弹力F N ＝0。 2.两种模型 考点四万有引力与航天 1.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为() A．5×109 kg/m3B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3 【答案】C 【解析】设脉冲星质量为M，半径为R，密度为ρ，星体表面“赤道”处一物块质量为m，根据天体运动规律知： GMm R2≥m???? 2π T2R，ρ＝ M V＝ M 4 3 πR3 ，代入可得：ρ≥ 3π GT2 ≈5×1015 kg/m3，故C正确。 2.(2019·天津高考) 2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的() A ．周期为 4π2r 3 GM B ．动能为 GMm 2R C ．角速度为 Gm r 3 D ．向心加速度为 GM R 2 【答案】A 【解析】探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G Mm r 2 ＝m ????2πT 2 r ，解得周期T ＝ 4π2r 3GM ，A 正确；由G Mm r 2＝m v 2r 知，动能E k ＝12mv 2＝GMm 2r ，B 错误；由G Mm r 2＝mrω2得，角速度ω＝ GM r 3，C 错误；由G Mm r 2＝ma 得，向心加速度a ＝GM r 2，D 错误。 3. (2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A ．质量之积 B ．质量之和 C ．速率之和 D ．各自的自转角速度 【答案】BC 【解析】依题意已知两颗中子星的周期T 、距离L ，各自的自转角速度不可求，D 错误；对m 1：G m 1m 2 L 2 ＝m 1ω2r 1，对m 2：G m 1m 2L 2＝m 2ω2 r 2，已知几何关系：r 1＋r 2＝L ，ω＝2πT ，联立以上各式可解得：r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1 m 1＋m 2 L ，m 1＋m 2＝ 4π2L 3GT 2，B 正确；速率之和v 1＋v 2＝ωr 1＋ωr 2＝ω(r 1＋r 2)＝2πL T ，C 正确；质量之积m 1m 2＝ω2L 2r 2G ·ω2L 2r 1 G ＝??? ?2πL T 4 G 2 ·r 1r 2，r 1r 2不可求，故m 1m 2不可求，A 错误。 【增分攻略】 1.计算天体质量和密度的两条基本思路 ○ 1利用天体自身的半径R 和表面的重力加速度g (天体自转可忽略)：由G Mm R 2 ＝mg 求出天体质量M ，进而求得天体密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3g 4πGR 。 ○2利用环绕天体的轨道半径r 和周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得出M ＝4π2r 3 GT 2 ；若环绕天体绕中心天体表面做 匀速圆周运动，则轨道半径r ＝R ，ρ＝ M 43 πR 3 ＝3πGT 2 。 2.卫星的运行 万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2 T 2r ＝ma 求出相 应物理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a 、v 、ω、T 均与卫星质量无关。 两种卫星的特点：(1)近地卫星 ：轨道半径＝地球半径 (2)同步卫星：①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。 3.卫星变轨前后轨道运行物理量的大小比较 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 ○ 1速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B 。在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。 ○ 2加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点时的加速度也相同。学，科，网 ○ 3周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3 T 2＝k 可知T 1＜T 2＜T 3。 4.双星及多星问题 ○ 1明确双星或多星的运行规律，根据几何关系找出运动半径。 ○ 2对研究天体受力分析，找出向心力 ○ 3抓住角速度、周期相同的特点。 曲线运动 1．曲线运动的特征 （1）曲线运动的轨迹是曲线。 （2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 （3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。） 曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 (2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 平抛运动基本规律 1．速度：0 x y v v v gt = ? ?= ? 合速度:2 2 y x v v v+ =方向： o x y v gt v v = = θ tan 2．位移 2 1 2 x v t y gt = ? ? ? = ?? 合位移：22 x x y =+ 合 方向： o v gt x y 2 1 tan= = α 3．时间由:2 2 1 gt y=得 g y t 2 =（由下落的高度y决定） 4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 1．一航天探测器在完成对火星的探测任务后，在离开火星的过程中，由静止开始沿着与火星表面切线的直线飞行， 先做加速度大小为a 的匀加速运动，经过时间t 0后再做匀速运动，至2t 0时再将轨道改成其它的运动轨道。已知火星表面的重力加速度为g 0，火星的半径为R 0，探测器的质量为m ，探测器通过喷气而获得推动力，并在0—2t 0的一段时间内，可以不考虑因气体喷出而发生质量改变。 (1)求出探测器在起飞时的推力大小 (2)分析说明探测器在飞行过程中喷出气体的方向应做什么样的调整(要求定性说明) (3)写出探测器做匀速运动后探测器喷气推力与时间t(t<2t 0)关系式(除时间t 外其它的量要求用题中给出的量表 示) 2．一组太空人乘坐穿梭机,前往修理位于离地球表面6.0×105m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜 H 。机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜H 则在穿梭机前方数公里 处，如图所示。设G 为引力常数，而M 为地球质量。已知：地球半径R=6.4×106m 。g=10m/s 2 (1)：在穿梭机内,一质量为70kg 的太空人的视重是多少? (2)：计算穿梭机在轨道上的速率。 (3)：证明穿梭机总机械能跟r 1- 成正比，r 为它的轨道半径.(注:若力F 与位移r 之间有如下的关系：2r K F =，K 为常数，则当r 由∞处变为零，F 做功的大小可用以下规律进行计算：r K W =，设∞处的势能为零。) (4)：穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速率以超前望远镜H 。用上面的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案。 3.宇航员乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105 m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H.机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数千米处，如上题图，设G 为引力常量，M E 为地球质 量.（已知地球半径为6.4×106 m ） （1）在穿梭机内，一质量为70 kg 的太空人的视重是多少？ （2）①计算轨道上的重力加速度的值；②计算穿梭机在轨道上的速率和周期; （3）穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以赶上望远镜.用上题的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增大还是减小其原有速率，解释你的答案. 4．一架飞机在赤道正上方10Km 的某处飞行，机上乘客正好看到太阳升起，则飞机正下方观察者还要经过约 __________min 可以看到太阳升起，(地球半径为6400km,不考虑大气对光的折射的影响) 万有引力专题训练 一、 1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律 可知（ ） A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行的速度大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们的轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 2.某行星沿椭圆轨道运动，近日点离太阳中心距离为a ，远日点离太阳 心距离为b ，该行星过近日点时的速率为a v ，则过远日点时速率b v 为（ ） A. a bv a B.a v b a C.b av a D.a v a b 3.人造卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，A 卫星的运行周期为3小时， A 的轨道半径为B 的轨道半径的1/4,则B 卫星运行的周期大约是（ ） A.12小时 B.24小时 C.36小时 D.48小时 4.如图,0表示地球,P 表示一个绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造 卫星,AB 为长轴,CD 为短轴.在卫星绕地球运动一周的时间内，从A 到B 的时间为AB t ，同理,从B 到A 、从C 到D 、从D 到C 的时间分别为DC CD BA t t t 、、,下列关系式正确的是（ ） A. AB t >BA t B.AB t 二、 1.关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ） A.卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系 B.“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60倍 C.“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律 D.引力常量G 的大小是牛顿根据大量实验数据得出的 2. 设地球自转周期为T,质量为M,引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比 为（ ） A.32224R GMT GMT π- B.32224R GMT GMT π+ C.23224GMT R GMT π- D.23224GMT R GMT π+ 3.关于万有引力定律公式2 21r m m G F =,以下说法中正确的是（ ） A.公式只适用于星体之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B.当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C.两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D.公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 4.下列说法中符合物理史实的是（ ） A.伽利略发现了行星的运动规律，开普勒发现了万有引力定律 B.哥白尼创立了“地心说”，“地心说”是错误的，“日心说”是正确的，太阳是宇宙的中心 C.牛顿首次在实验室里较准确地测出了引力常量 D.牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体,得出了万有引力定律 5.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F,母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则（ ） A.每颗小星受到的万有引力为(2 3+9)F B.每颗小星受到的万有引力为(3+9)F C.母星的质量是每颗小星质量的3倍 曲线运动+万有引力定律知识点总结 1、曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。 2、物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律 1、速度： 合速度: 方向： 2、位移合位移： 方向： 3、时间由: 得（由下落的高度y决定） 4、平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 5、速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。 6、平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。（A是OB的中点）。绳拉物体合运动：实际的运动。对应的是合速度。方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。小船渡河例1:一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是5m/s，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多 高考物理万有引力专题辅导讲义 太阳处 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同 它与太阳的连线在相等 行星在近日点的速率大于在远日点的速 值只与中心天体有 特别提醒 (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体的运动。对于不同的中心天体，比例式a 3 T 2＝k 中的k 值是不同的。 (2)应用开普勒第三定律进行计算时，一般将天体的椭圆运动近似为匀速圆周运动，在这种情况下，若用R 代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律用公式可以表示为R 3 T 2＝k 。 对万有引力定律的理解 1．对万有引力定律表达式F ＝G m 1m 2 r 2的说明 (1)引力常量G ：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2；其物理意义为：两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时，相互吸 引力为6.67×10 －11 N 。 (2)距离r ：公式中的r 是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。 2．F ＝G m 1m 2 r 2的适用条件 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r 是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r 是球体球心到质点的距离。 3．万有引力的四个特性 (1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。 (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。 (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 (4)特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性 高三曲线运动、万有引力辅导练习 纪甲富 2009年12月8日 一、选择题： 1．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R ，如图24所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过 A ． g mR m M ?+, B ． g mR m M ?+ C ． g mR m M ?- D ． mR Mg 2．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R ，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v 向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于 A ．ωR B ．ωH ， C ．R H g 2 D ．R H g 2 3．如图所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小物块，滑出槽口时速度为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R 1，半球的半径为R 2，则R 1与R 2的关系为（ ） A ．R 1≤R 2 B ．R 1≥R 2 C ．R 1≤R 2/2 D ．R 1≥R 2/2 4．早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其重量（即：列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻。”后来，人们常把这类物理现象称为“厄缶效应”。如图所示：我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M 的列车，正在以速率v ，沿水平轨道匀速向东行驶。已知：（1）地球的半径R ；（2）地球的自转周期T 。今天我们象厄缶一样，如果仅考虑地球自转的影响（火车随地球做线速度为π2R/T 的圆周运动）时，火车对轨道的压力为N ；在此基础上，又考虑到这列火车匀速相对地面又附加了一个线速度v 做更快的圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为N /，那么单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道压力减轻的数量（N －N /）为 （ ） A ．Mv 2/R B ．M [v 2/R +2(π2/T )v ] C ．M (π2/T )v D ．M [v 2/R + (π2/T )v ] 5．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。 6．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。下列判断正确的是： A ．若V 与R 成正比，则环为连续物； B ．若V 2与R 成正比，则环为小卫星群； C ．若V 与R 成反比，则环为连续物； D ．若V 2与R 成反比，则环为小卫星群。 二、非选择题： 2020年物理二轮专题过关宝典 专题三：曲线运动与万有引力 【知识回扣】 一、曲线运动 1、平抛运动的两个重要推论 ①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。 2、离心运动 ①当F ＝mr ω2时，物体做匀速圆周运动； ②当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； ③当F ＜mr ω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力。 ④当F ＞mr ω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。 二、万有引力定律及航天 1.天体绕行是匀速圆周运动，可综合匀速圆周运动规律，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2 T 2r ＝ma 2.在忽略地球自转时，万有引力近似等于物体重力。 【热门考点透析】 考点一 运动的合成与分解 1.(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R ；bc 是半径为R 的四分之一圆弧，与ab 相切于b 点。一质量为m 的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g 。小球从a 点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( ) A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR 【答案】C 【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为v c，由动能定理有：F·3R－ mg·R＝1 2mv 2 c ，解得：v c＝2gR。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加 速运动，加速度为a x＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为 零，时间为t＝v c g＝ 2gR g，水平方向的位移为：x＝ 1 2a x t 2＝ 1 2g? ? ? ? 2gR g 2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨 迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，C正确。 2. (2019·鹤壁市期末)如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时 A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则() A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin α 一、曲线运动 1、运动的合成与分解按平行四边形法则进行。 2、船过河所需最短时间（v 船垂直于河岸） t v v s d s t v s v t ?+=+=== 2 222d 水船水河实水水船 河宽 3、船要通过最短的路程（即船到达河对岸）则v 船逆水行驶与水平成α角 合 河宽水 船合船 水 v d v v v v v = -== t cos 2 2α 4、平抛运动是匀变速曲线运动： F 合=G ； a=g 平抛运动可以分解为 动 竖直方向的自由落体运动水平方向的匀速直线运 （1）水平位移g h v t v x 20 0== （2）竖直位移2 2 1gt y = （3）通过的合位移222022)gt 2 1 ()t V (y x s +=+= （4）水平速度0v v x == t x （5）竖直速度gt v y ==gh 2 （6）合速度22 022)(gt v v v v y x t +=+= （7）夹角 0 y v v tg x y tg = β=α （8）飞行时间由下落的高度决定：g h t 2= （9）实验求0v ： a 、已知抛出点时： b 、不知抛出点时： t x v g h 2t 0= = 212t s s a -= g y y t 122 -=∴ ，t x v =0 5、匀速圆周运动是变加速曲线运动：0≠合F ，v F ⊥合，0≠a ，v a ⊥ （1）线速度V=s/t=2πr/T=2πrf=2πrn=ωr ，线速度是矢量，单位：米/秒（m/s ） （2）角速度ω=θ/t =2π/T= 2πf=2πn=V/r ，角速度是矢量，单位：弧度/秒（rad/s ） 万有引力与航天专题——经典例题 1．(2018·重庆月考)(多选)下列说法正确的是( ) A ．关于公式r 3 T 2＝k 中的常量k ，它是一个与中心天体有关的常量 B ．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用 C ．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 D ．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略 2．假如地球的自转角速度增大，关于物体所受的重力，下列说法错误的是( ) A ．放在赤道上的物体所受的万有引力不变 B ．放在两极上的物体的重力不变 C ．放在赤道上的物体的重力减小 D ．放在两极上的物体的重力增大 3．(2018·河南商丘二模)(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2.已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( ) A ．地球的密度为3πG 1GT 2G 2－G 1 B ．地球的密度为3πG 2GT 2G 2－G 1 C ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 2 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 1 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 4．(2018·吉林长春外国语学校模拟)(多选)宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g 0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N 表示人对台秤的压力，则关于g 0、N ，下列式子正确的是( ) A ．g 0＝0 B ．g 0＝R 2 r 2g C ．N ＝0 D ．N ＝mg 5．(2018·福建厦门一模)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星，2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( ) A ．在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等 B ．在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积之比为n ：1 C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星线速度之比为n ：1 D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星向心加速度之比为n 2：1 6．(2018·贵州遵义航天高级中学五模)(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L .已知月球半径为R ，万有引力常量为G .则下列说法正确的是( ) A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 20L 2 B ．月球的平均密度ρ＝3hv 20 2πGL 2R C ．月球的第一宇宙速度v ＝v 0 L 2h D ．月球的质量M 月＝hR 2v 2 0GL 2 7．(2018·辽宁省实验中学质检)设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四 个图中，能正确描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是( ) 考点 1 周期T 、线速度v 、加速度a 与轨道半径r 关系 ①由=2r Mm G r v m 2得=v _____________,所以r 越大，v _______ ②由=2r Mm G r m 2ω 得ω=_______，所以r 越大，ω_______ ③ 越大所以得由 r 22r Mm G a ma r Mm == ④由=2r Mm G r T m 2 )2(π得T=_____，所以r 越大，T _______ 例1．我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T 。若以R 表示月球的半径，则 A ．卫星运行时的向心加速度为2 2π4T R B 。卫星运行时的线速度为 T R π2 C ．物体在月球表面自由下落的加速度为22π4T R D ．月球的第一宇宙速 度为TR h R R 3 )π2+（ 考点2 求中心天体的质量M 与密度 （1） 天体质量M 密度ρ的估算 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由 =2r Mm G r T m 2 )2(π得2324GT r M π= ; =ρ303 4R M V M π==3023 3R GT r π（0R 为中心天体的半径）。 例2．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力怡好为零，则天体自转周期为（ ） A ．12 4π3G ρ?? ??? B ．12 34πG ρ?? ? ?? C ．12 πG ρ?? ??? D ．1 2 3π G ρ?? ??? 考点3 三大宇宙速度 1．第一宇宙速度：约为s ，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度．(又称环绕速度或最小发射速度) 2．第二宇宙速度：约为s ，当物体的速度等于或大于s 时，卫星就会脱离地球吸引，不再绕地球运动．(又称脱离速度) 3．第三宇宙速度：约为s ，当物体的速度等于或大于s 时，就会脱离太阳的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去．(逃逸速度) 补充：第一宇宙速度的理解和推导 1．由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越 曲线运动与万有引力试题 时间：100分钟满分 100分 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1.发现“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆”的规律的科学家是( ) A.第谷 B.哥白尼 C.牛顿 D.开普勒 2. 物体在做平抛运动过程中，相等的时间内，下列哪个量是相等的( ) A. 重力做功 B. 位移 C. 速度增量 D. 速度大小的变化量 3. 关于曲线运动和圆周运动，以下说法中正确的是( ) A. 做曲线运动的物体受到的合力大小一定不变 B. 做曲线运动的物体，所受的合力可能是不变的 C. 做圆周运动的物体受到的合力方向一定指向圆心 D. 做曲线运动的物体的速度大小一定是变化的 4. 关于平抛运动和圆周运动，下列说法正确的是（） A. 平抛运动是匀变速曲线运动 B. 匀速圆周运动是速度不变的运动 C. 圆周运动是匀变速曲线运动 D. 做平抛运动的物体落地时的速度可以变成竖直向下 5. 火星和木星沿各自的轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A. 火星与木星公转周期相等 B. 相同时间内，火星与太阳连线扫过的而积等于木星与太阳连线扫过的面积 C. 太阳位于它们的椭圆轨道的一个焦点上 D. 火星和木星绕太阳运行角速度始终相等 6. 小船在静水中的航速为5m/s，水的流速为3m/s，河宽120m。则小船以最短时间渡过河所需时间和以最短位移渡过河所需时间分别为（） A. 24s、30s B. 30s、40s C. 24s、40s D. 40s、24s 7. 如图所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮 的半径之比为1：2.a，b两点分别在O1、O2的轮边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半，若两轮不打滑，则a，b，c三点的线速度大小之比为( ) A. 4：2：1 B. 1：2：2 C. 1：1：2 D. 2：2：1 8. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1．6m，墙的厚度d=0．3m，某人在离墙壁距离L=1．2m、距窗子上沿h=0．2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2。则v的取值范围是（） A. 2m/s 限时规范训练(二) 曲线运动与万有引力 建议用时45分钟，实际用时________ 一、单项选择题 1.如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a 、b 分别套在 水平杆和竖直杆上，某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°， 此时a 、b 两球的速度大小之比v a v b 为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( ) A.43 B ．34 C.259 D ．2516 解析：A 将a 、b 两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直细线方向的速度，则a 球沿细线方向的速度大小为v 1＝v a sin 37°，b 球沿细线方向的速度大小为v 2＝v b cos 37°，又 v 1＝v 2，解得v a v b ＝cos 37°sin 37°＝43 ，A 正确． 2．羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高，若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( ) A ．击中甲、乙的两球初速度v 甲＝v 乙 B ．击中甲、乙的两球运动时间可能不同 C ．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓 D ．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大 解析：C 由题图可知，甲、乙高度相同，所以球到达两鼓用时相同，但由于两鼓离林 丹的水平距离不同，甲的水平距离较远，由v ＝x t 可知，击中甲、乙的两球初速度v 甲＞v 乙，故A 、B 错误；甲鼓的位置比丁鼓位置较高，则球到达丁鼓用时较长，则若某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓，故C 正确；由于丁鼓与丙鼓高度相同，但由题图可知，丁鼓离林丹的水平距离大，所以击中丁鼓的球的初速度一定大于击中丙鼓的球的初速度，即击中丙鼓的球的初速度不是最大的，故D 错误． 第4讲万有引力与航天 (建议用时:40分钟满分:100分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分.第1～5题只有一项符合题目要求,第6～8题有多项符合题目要求) 1.许多科学家在经典物理学发展中作出了重要贡献,下列叙述中符合史实的是( D ) A.哥白尼提出了日心说并发现了行星沿椭圆轨道运行的规律 B.开普勒在前人研究的基础上,提出了万有引力定律 C.牛顿提出了万有引力定律,并通过实验测出了万有引力常量 D.卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 解析:哥白尼提出了日心说,而开普勒发现了行星沿椭圆轨道运行的规律,故A错误;牛顿在前人研究的基础上,提出了万有引力定律,故B 错误;卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量,故C错误,D正确. 2.(2019·山东济南三模)2019年1月3日10时26分,“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆,标志着我国探月航天工程达到了一个新高度.“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时的轨道半径为r,运行周期为T,已知万有引力常量为G,根据以上信息可以求出( C ) A.月球的平均密度 B.月球的第一宇宙速度 C.月球的质量 D.月球表面的重力加速度 解析:根据万有引力提供向心力可得=m r得,月球的质量M月=,月球的体积V=πR3,由于月球半径不知道,无法求解月球的密度,故A 错误,C正确;月球的第一宇宙速度v 1==,由于月球半径不知道,月球的第一字宙速度无法求解,故B错误;根据g=可知,月球半径不知道,无法求解月球表面的重力加速度,故D错误. 3.(2019·江苏泰州模拟)通常情况下中子星的自转速度是非常快的,因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号,这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降.现有一中子星(可视为均匀球体),它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解),则当中子星的自转周期增为2T0时,某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为( D ) A. B.2 C. D. 解析:自转周期为T0时恰能维持星体的稳定,有=m R;当中子星的自转周期增为2T0时,在两极有=mg,在赤道有-mg′=m R,联 立解得=,故D正确. 4.(2019·河南郑州三模)地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动,地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所成 圆周运动与万有引力测试题 姓名 班级 一、选择题（每题4分，共32分） 1如图所示，以v 0=10 m / s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ） A ． B ． C ． D ．2s 2、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 A 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过 B 的速度 B 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度 C 在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D 在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3、我们在推导第一宇宙速度的公式gR v =时，需要做一些假设和 选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有（ ） A. 卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动 B.卫星所受的重力全部作为其所需的向心力 C.卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力 D.卫星的运转周期必须等于地球的自转周期 4、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ ） A 、地球的质量 B 、太阳的质量 C 、月球的质量 D 、可求月球、地球及太阳的密度 5、2012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于6月29日10时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是( ) A ．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量 B ．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 C ．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 D ．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速 6、有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置 G gR m 2=地22 3 224GT L m π=太2 13124GT L m π=月 高考物理万有引力与航天专项训练及答案 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1． 如图所示， A 是地球的同步卫星，另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度 为 h.已知地球半径为 R ，地球自转角速度为 ω0，地球表面的重力加速度为 g ，O 为地球中 心． (1)求卫星 B 的运行周期． (2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、 B 两卫星相距最近 (O 、B 、 A 在同一 直线上 )，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ (R + h) 3 t 2 【答案】 (1) T B = 2p (2) gR 2 gR 2 ( R h)3 【解析】 【详解】 Mm m 4 2 R h ① ， G Mm （1）由万有引力定律和向心力公式得 G 2 2 mg ② R h T B R 2 R 3 联立①②解得 ： T B h ③ 2 R 2 g （2）由题意得 0 t 2 ④ ，由③得 B gR 2 ⑤ B R 3 h t 2 R 2 g 代入④得 3 R h 2． 人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同 一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤 是从高度为 h 处下落，经 时间 t 落到月球表面．已知引力常量为 G ，月球的半径为 R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小 g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量 M 和月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v ． 【答案】（ 1） 2h 2hR 2 2hR t 2 （2） M Gt 2 ； v g 月 t 【解析】 【分析】 （ 1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度； （ 2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量 M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】 （1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝ 1 g 月 t 2 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝ 2h t 2 （2）若不考虑月球自转的影响 G Mm 2 ＝mg 月 R 月球的质量 M ＝ 2hR 2 Gt 2 质量为 m' 的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动 m ′g v 2 月＝ m ′ R 2hR 月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v ＝ g 月R ＝ 【点睛】 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提 供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度 v ． 3． 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间 t ，小球落到星 球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ．若抛出时的初速度增大到2 倍，则抛出点 与落地点之间的距离为 3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，万有引 力常量为 G ，求该星球的质量 M ． 【答案】 2 3LR 2 M 3Gt 2 【解析】 【详解】 两次平抛运动，竖直方向 h 1 gt 2 ，水平方向 x v 0t ，根据勾股定理可得： 2 L 2 h 2 ( v 0 t)2 ，抛出速度变为 2 倍： ( 3L )2 h 2 (2v 0t )2 ，联立解得： h 1 L ， 3 曲线运动、万有引力应用例析 （竞赛班辅导材料） 本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成及分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题及现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常及电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。 一、夯实基础知识 1、深刻理解曲线运动的条件和特点 （1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。 （2）曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成及分解 物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。 运动的合成及分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度及恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2）．平抛运动的处理方法 通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动 动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直 线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加 速直线运动。 (3)．平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t. ①位移 分位移t V x 0 ,,合位移,. 图1 曲线运动 1．曲线运动的特征 （1）曲线运动的轨迹是曲线。 （2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 （3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。） 曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。 2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 (2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3．匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。 也可以说是：合外力不变的运动。 4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿径向的分力F 1改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 平抛运动基本规律 1． 速度：0 x y v v v gt =??=? 合速度:2 2y x v v v += 方向：o x y v gt v v = = θtan 2．位移0212 x v t y gt =???=?? 合位移：x =合 方向：o v gt x y 21tan == α 3．时间由: 2 2 1gt y = 得 g y t 2= （由下落的高度y 决定） 4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 5．tan 2tan θ α= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。 6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位 移的一半。（A 是OB 的中点）。曲线运动万有引力定律知识点总结
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