第1章泛函和变分
1.1引言
以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题:一个足够光滑的连续函数
12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的
Taylor 展开
2
121
2()()()()(||
||)
(),,...,T T T T
n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ?
?????x x x x x x D x x x x ??(1.1.1)
22221121222
212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ???????
??????
???=????????????????
D x
函数在某一点有极值的必要条件是
12
,,...,0
T
n f f f f x x x ??
???== ???????但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。
例1.1一个简单的变分问题:最短线问题
图1.1最短线问题
假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为
*()
y y x =(1.1.2)
另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件
01()()0
x x ηη==(1.1.3)
显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为
1
2()1('')d x x L y x
ααη=++?
(1.1.4)
当0α
=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说
0d ()
|0d L ααα
==(1.1.5)
把(1.1.4)代入(1.1.5),展开后有
()()
10
1
1
1
000110
000
222233
222
d ()('')'|d |d 1('')
''''d |d 1'1'1'''''''''d d 1'1'1'0
x x x x x x x x x x x x L y x y y y y x x y y y y y y y y x x
y y y ααααηηααηηη
ηηη==+=++'??
?==- ?+++???? ?=--=- ?+ ?++??=?????(1.1.6)
由于(1.1.6)对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节),我们可以得到
(
)
3
2
''
1'y y =+(1.1.7)
意味着
12
y C x C =+(1.1.9)
因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。
下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2最速降线问题
图1.2最速降线问题
我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A 为坐标原点，水平为x 轴，向下为y 轴。
曲线的方程为()y y x =，A 点坐标00
(,)(0,0)x y =,B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P
时的速度为
d 2d s
v gy t
=
=(1.1.10)
222d d 1(')d d d d 222x y y s s
t x
v gy gy gy
++====(1.1.11)
因此，重物沿该曲线从A 点滑到B 点所需要的总时间为
1
2
1(')[]d d 2x x y T y t x
gy
+==??
(1.1.12)
[]T y 我们也称之为泛函。该曲线参数形式为
1122(sin ),
(1cos )
x C y C θθθ=-=-(1.1.13
例1.3短程线问题
短程线问题可以描述为：给定一个光滑曲面(,,)0x y z φ=，在该曲面上有两个固定A 和B ，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。
记A 和B 的坐标分别为
111(,,)x y z 和222(,,)x y z ，连接该两点的曲线方程为
(),()
y y x z z x ==(1.1.14)
它们满足
(,,)0
x y z φ=(1.1.15)
那么该曲线的长度为
()()2
1
22
''[,]1d x x L y z y z x
=++?
(1.1.16)
因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接A
111(,,)x y z 和B 222(,,)x y z 而且满足
(,,)0x y z φ=的光滑曲线()y y x =，()z z x =中，找到其中的一条，使得(1.1.16)中的泛函
[,]L y z 取到极小值。
和前面速降线问题中不同的是，这里的自变函数()y y x =，()z z x =不是自由的，它们受到约束条件(,,)0x y z φ=的限制，因此短程线问题对所应的是个泛函的条件极值问题，其约束条件是代数关系。
例1.4等周问题
用参数表示的平面曲线方程为
(),()
x x s y y s ==(1.1.17)
参数s 可以理解为曲线从起点的长度。如果曲线的长度为l ,那么[0,]s l ∈。由于曲线是封闭，所以有边界条件
(0)(),(0)()
x x l y y l ==(1.1.18)
而该曲线的长度为
220
(')(')d l
l x y s
=+?
(1.1.19)
该曲线所围成的面积为(根据Green 公式)
12
12
[,]d d (d d )
('')d A x y x y x y y x xy yx s
==
-=
-???? (1.1.20)
因此,等周问题所对应的变分问题可以描述为:在所有满足(0)(),(0)()x x l y y l ==以及约束条件
220
(')(')d l
l x y s
=+?
的曲线中,找到其中一根使得(1.1.20)中[,]A x y 取极大
值。显然，等周变分问题是泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。
例1.5最优控制问题状态方程为
0()[(),(),],[,]f t t t t t t t =∈x
f x u (1.1.21)
其中n
R ∈x 为状态向量,
0()t x 为初始状态,()f t x 为终止状态,m R ∈u 为输入向量。要求
寻找合适的()(,)t t =u g x ，使得
[(),(),]d min
f
t t J L t t t t =→?x u (1.1.22)
其中J 是一个性能泛函。和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束(1.1.21)的泛函极值问题.
1.2泛函
定义1.1记{()}C y x =是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数)(x y ，都有一个数(在本讲义中全部为实数)与之相对应，我们记为)]([x y J 或者][y J 。这样我们说
][y J 是定义在函数集合)}({x y 上的一个泛函。
简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。
泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。如例1.2中最速降线中的泛函(1.1.12)
2
1(')[]d d 2x y T y t x
gy
+==??
，
其定义域为
{}
1010011
()(,),(),()C y y x C x x y x y y x y =∈==此外，在等周问题中泛函(1.1.31)
1
[,]('')d 2
A x y xy yx s =
-? 中的定义域为
{}
1,(),()(0,),(0)(),(0)()
C x y x s y s C l x x l y y l =∈==象短程线问题中的(1.1.26)、等周问题中的(1.1.30)、最优控制问题中的(1.1.32)，一般不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。
以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子。
{(,)(,)}
C z x y x y =∈Ω是定义在区域Ω上连续函数的集合，那么下式就定义了一个
泛函
2[]()d d J z z x,y x y
Ω
=??如果
1{(),(),[,]}
C y x z x y z C a b =∈是定义在区间[[,]a b 上的一阶连续可微函数对的
集合，那么下式就定义了一个泛函
22[,][()()]d b
a
J f g f x g x x
''=+?当然
0[()]()J y x y x =也可视为一种泛函；不过，以后提到的泛函主要是指具有上述积
分形式的泛函。
线性泛函
对于泛函][?J ，如果对于泛函定义域中任意两个函数f 和g 以及任意两个实数a 和
b ，始终成立
]
[][][g bJ f aJ bg af J +=+那么称泛函][?J 为定义域上的线性泛函。
1.3自变函数的变分
定义1.2在同一泛函定义域上的两个函数)(x y 、)(x m ，若彼此任意接近，那么)(x m 与
)(x y 之差()()()y x m x y x δ=-称为函数)(x y 的变分。
显然函数变分y δ也是关于x 的函数，它和函数的增量y ?是有差别的。变分y δ反应了整个函数的变化，而函数增量y ?反应的是同一个函数由于自变量的取值不同所引起的变化。
图2.1变分y δ和函数的增量y
?自变函数变分的一个重要性质
下面我们来讨论函数变分的一个重要性质：求变分和求导数可以交换次序
'''''()[()()]()()()
y m x y x m x y x y δδ=-=-=(1.3.1)
如果自变函数),(y x w 是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序,就是说
()()x w w x
δδ?
=?(1.3.2)
w w δδ?=?)(,222
222
x y z
????=++???(1.3.3)
()δφδφ=??,
x y z
???
=++???i
j k ?(1.3.4)
1.4泛函的变分
对于一个足够光滑的函数，如果我们在某一点x 附近作泰勒展开，
21
2!()()'()"()(||)
f x x f x f x x f x x o x +?=+?+?+?那么其增量的线性部分
d '()f f x x
=?称为函数的一阶微分，而
22
d "()f f x x =?称为函数的两阶微分。其中d f 是x ?的线性函数，而2
d f 是x ?的两次函数。
对于任意一个泛函][y J ,函数变分所引起的泛函增加量为
]
[][y J y y J J -+=?δ如果可以展开为
21
2![,][,](||||)
J L y y Q y y o y δδδ?=++(1.4.1)
其中],[y y L δ是关于y δ的线性泛函，也就是说R
C C ∈?21,]
,[],[],[22112211y y L C y y L C y C y C y L δδδδ+=+(1.4.2)
而],[y y Q δ为y δ的两次泛函。那么，可以定义
定义1.3泛函的一阶变分为
]
,[y y L J δδ=(1.4.3)
而泛函的两阶变分为
]
,[2y y Q J δδ=(1.4.4)
我们看下面一个比较简单的泛函
[](,,')d b
a
J y F x y y x
=?如果给函数)(x y 一个变分y δ，也就是说新的函数为)()()(x y x y x y δ+=，那么对应于新函数的泛函为
[](,,')d (,,'')d b
a
b
a
J y F x y y x
F x y y y y x
δδ==++??
显然，泛函的变化量为
[][]
[(,,'')(,,')]d b
a J J y J y F x y y y y F x y y x
δδ?=-=++-?假如)',,(y y x F 是充分光滑的，那么根据多元函数Tayler 展开公式，上式可以表示成
'''''2''221[][()2()]...d 2!...
b
y yy y yy y y a J F y F y F y F y y F y x
J J δδδδδδδδ??
?=+++++????=++?其中
'
'
''
'22''2[]d [()2()]d b
y y a
b
yy yy y y a
J F y F y x
J F y F y y F y x
δδδδδδδδ=+=++??(1.4.5)
分别是关于变分y δ及其导数'y δ的一次齐式和两次齐式。我们把J δ和J 2δ分别称为泛函
][y J 的一阶变分和两阶变分。在不引起混淆时，我们就把一阶变分称为泛函的变分。
泛函变分的另一种求法
对于任意给定的一个齐次函数)(x η(当然该函数有一些其他诸如可微或者其他一些限制条件，具体视泛函的定义域而定)，也就是说它在边界上的值为零，那么对于任意小的一个实数ε)1(<<ε，显然)()()(x x y x y εη+=也在泛函的定义域内。那么
2
21002!2
[][]
[][]
d []d []||...d d J J y J y J y J y J y J y εεεηεηεηεεεε
==?=-=+-++=++如果更进一步，令)(x εη就是函数的变分y δ，那么从泛函变分的定义中就可以知道，上式
的第一部分就是泛函的一阶变分J δ，而第一部分就是泛函的两阶变分J 2
δ。也就是说
2
2210
2!2
d []
|d d []|d J y J J y J εεεηδε
εεηδεε==+=+=（1.4.6）
1.5泛函变分的性质
(1)2
121)(F F F F δδδ+=+(2)
2
12121)(F F F F F F δδδ+=(3)
F nF F n n δδ1
)(-=(4)
22
2
12121)(F F F F F F F δδδ-=
(5)
)
()()(n n F F δδ=(6)
(,,')d (,,')d b b
a
a
F x y y x F x y y x
δδ=??12121(,,,...,,',',...,')d 'd 'n
b
b n n i i a
a i i i F F
F x y y y y y y x y y x y y δδδ=????=+??????
∑??
这表明，求泛函变分可以用类似求复合函数求微分的方式进行。
下面我们来看两个例子：例1.6已知泛函
222[]2(,,)d ,(,,)
u u u J u uf x y z V u u x y z x y z Ω??
?????????=+++=?? ? ? ??????????????
???求J δ。
解∶
2(
)(,,)d ()()()2()(,,)d u u u u u u
J uf x y z V
x x y y z z u u u u u u uf x y z V
x x y y z z δδδδδδδδδδΩ
Ω????????=+++??????????
??
??????=+++?????????
???????这里被积函数内还包含着自变函数变分的偏导数，需要进一步简化，我们在后面会详细进行讨论。
例1.7已知泛函
'[,](,,',,)d ,(),()
b
a
J y z F x y y z z x y y x z z x ===?求J
δ解：
'
'
'''
'
[]d d d []d []|d d b
y z y z a
b
y b z y z a
y z a
J F y F y F z F z x
F F F y F z y z x F y F z x
x
δδδδδδδδδδδ''=+++=+-
-
++??这里已通过分部积分消去了积分号下自变函数变分的导数。
1.6各种泛函的变分
(1)最简单的泛函
dx
y y x F y J b
a
?=)',,(][[][
']d '
d ()|[()]d 'd '
b
a b b a a F F
J y y y x y y F F F
y y x y y x y δδδδδ??=+?????=+-?????(2)含高阶导数的泛函
[](,,','')d b
a
J y F x y y y x
=?[][
''']d '''[d d()d(')]'''
d d ()|(')|[()()']d '''d 'd ''
d ['()]|'''d ''
d [(d b
a b a b b b
a a a
b a
F F F J y y y y x y y y F F F y x y y y y y F F F F F y y y y y x
y y y x y x y F F F y y y y y x y F F y y x δδδδδδδδδδδδδδδδ???=++??????=++????????=++--????????=+-?????+-?????22d )()]d 'd ''
b
a F
y y x y x y δδ?+??如果
()[](,,','',...,)d b
n a
J y F x y y y y x
=?,
而且满足固定的边界条件
()()01(),(),
0,1,,1
i i
i i y a y y b y i n ===- 那么
22()
d d d [][()()...(1)()]d d 'd ''d n
b
n n n a F F F F J y y x y x y x y x y δδ????=-+++-?????(3)含多元自变函数的泛函
22[(,)]2(,)d d D u u J u x y uf x y x y
x y ??
??????=++?? ? ???????????
??2222222(,)d d ()()222(,)d d 2(,)D
D
u u u u J uf x y x y x x y y u u u u uf x y x y
x x y y u u u u u u f x y u x x y y x y δδδδδδδδδδ??
????
????????=++?? ? ? ? ???????????????
??????????=++?? ? ???????????
??
????????????=++--+? ? ? ???????????????????2222d d 2(,)d d 2d d D D D x y
u u u u f x y u x y u y x x y
x y δδ????????????=--++-?? ? ???????????????? 这里最后一个等式应用格林公式，消去了二维积分中的自变函数变分的导数,其作用相当于一元函数中的分部积分公式。至于对三维积分情形，则需要用到高斯公式(见附录)。
一般来说，对于
[](,,,,)d d x y J w F x y w w w x y
Ω
=??
[]d d d d d d d d d d d d d d d d d d x y x y x y x y x y F F F J w w w w x y
w w w F F F w w w x y
w x w y w F F w x y x w y w F
F F w w w x w y w δδδδδδδδδδΩ
ΩΩ???????
=++?
????????
???????????
=++ ??? ? ????????????
??????????-+ ??? ? ???????????????????=--
? ? ??????????????d d d d x
y x y F F w y w x w w δδΩ?Ω???
??????
??????+-????????
??? 式中如果需要将被求导函数视为仅仅是,x y 的函数，则用d d ()d d x y 代替()
x y ????，以避免混
淆，譬如
(,,,,)
d d x y x xx yx x y
F F x y w w w F F F F F
w w w x x w w w =????=+++????(4)含多个自变函数的泛函
111[,...,](,,...,,,...,)d b
n n n a
J q q L t q q q
q t =? 11d d d b
n
n
b
r r a r r r r r a L L L J q t q q t q
q δδδ==?????????????
=-+????
????????????????
∑∑? 习题
1.若(,,,)f x y y y '''是关于,,y y y '''的二次齐次函数，求泛函
[](,,,)d ,()()0
b
a J y f x y y y x y a y
b '''===?的一、二阶变分。
2.求1.6节中各种泛函的二阶变分。
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B .1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（）. A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l 的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间
当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间，T 是T 有逆算子。() 四、计算题（10分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、|
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
第1章 泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 12 1 2()()()()(||||)(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? ( 函数在某一点有极值的必要条件是 但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。 例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = ( 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== ( 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为 1 ()x x L x α=? ( 当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα == ( 把(, 展开后有 ( )() 101 1 1 000110 000 33 d ()||d |d ''''''d d 0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x ααααηηη==='??==-?? ?=-=-???=????? ( 由于( 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见, 我们可以得到 ( ) 3 '' 0y = (
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）
第1章泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题:一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 121 2()()()()(|| ||) (),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ??(1.1.1) 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ???=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 12 ,,...,0 T n f f f f x x x ?? ???== ???????但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。 例1.1一个简单的变分问题:最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *() y y x =(1.1.2) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0 x x ηη==(1.1.3) 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为
1 2()1('')d x x L y x ααη=++? (1.1.4) 当0α =,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα ==(1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5),展开后有 ()() 10 1 1 1 000110 000 222233 222 d ()('')'|d |d 1('') ''''d |d 1'1'1'''''''''d d 1'1'1'0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y y x x y y y y y y y y x x y y y ααααηηααηηη ηηη==+=++'?? ?==- ?+++???? ?=--=- ?+ ?++??=?????(1.1.6) 由于(1.1.6)对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节),我们可以得到 ( ) 3 2 '' 1'y y =+(1.1.7) 意味着 12 y C x C =+(1.1.9) 因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。 下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2最速降线问题 图1.2最速降线问题 我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A 为坐标原点，水平为x 轴，向下为y 轴。 曲线的方程为()y y x =，A 点坐标00 (,)(0,0)x y =,B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P 时的速度为 d 2d s v gy t = =(1.1.10)
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为 p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 2.2 泛函与变分的基本概念 2.2.1 泛函 函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。 x — 自变量。函数是变量与变量之间的关系。 泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。 y — 宗量。 泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。 例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。 ① 泛函宗量的增量 泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=?，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。 ② 泛函的连续性 函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。 泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。 曲线y(x)与曲线 y 0(x) 21222 [()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε?≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε?≤≤≤?≤≤≤ 具有一阶相近度 例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当 ③ 线性泛函 2.2.2 泛函的变分 函数微分 ←→ 泛函变分 函数y =f (x)， 增量表示为：()()()(,)y f x x f x y x x r x x Δ=+Δ?=Δ+Δ 当0x Δ→时，第二项可以忽略。第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作： ()()dy y x dx f x dx ′== 参照函数微分的定义，泛函变分定义如下： 若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=? 连续泛函[()]J y x 的增量可表示为 [()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+?=+ 第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ= 定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=?=+? 1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续 第一项为x Δ的线性函数 第二项为x Δ的高阶无穷小 第一项为y δ的线性泛函 第二项为y δ的高阶无穷小 例，120()J x t dt =∫求泛函的变分 解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+?=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 1 02()()J x t x t dt δδ=∫ 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 第二章 泛函极值及变分法（补充内容） 2.1 变分的基本概念 2.1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。 例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到： dx dx dy J B A x x ? += 2)/(1 （2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。 图2.1.1 两点间任一曲线的长度 例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。 图2.1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为： ds v dt == 其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是： dt = 设重力加速度为g ，则gy v 2=。 因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为： 1 [()]x x J y x =? 2 1 1/2 211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-?? ? （2.1.2） 则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分： 对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量： ),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ （2.1.3） 其中A （x ）与?x 无关，且有?x →0时ρ（x ,?x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其 线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?，函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义： 通过引入一小参数ε，对)(x x y ?+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即： dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()() (00 εεεε ε （2.1.4） 上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示， 复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子. 特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题: 一课堂例题 1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(. 2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是 }0{=⊥ M . 3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T 6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理. 7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间 )(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子. 8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01 ||||0* x f x f X f =∈= 二课后习题 1.5.1.; 1.6.5; 2. 3.2; 2. 4.5; 2.4.6; 2. 5.12; 2.5.18; 2.5.20. 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2010级泛函分析试题（A 卷） 一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。 二、（10分）设H 是Hilbert 空间。证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。 三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2 ,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。 四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。 注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[] ()0,1max x f f x ∈=。证明： （1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间； （2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。 六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。证明：lim k k f f →∞ =当 且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]1 2 22 0,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ? ?? ?。 七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I 。 证明：（1）M 是闭的线性子空间； （2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。） 八、（15分）在[]0,1C 上分别令[] ()()1 10 0,1max ,t x x t x x t dt ∞ ∈==?，其中[]0,1x C ∈。 （1）分别证明 ∞和 1 是[]0,1C 上的范数；（2）比较这两种范数的强弱； （3）它们是否等价？给出理由。（要求使用两种方法） 注：2010级为闭卷 第1章 泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 21 21 ()()()()(||||) 2(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??? ???= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ???=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 1 2,, 0 n f f f f x x x ?? ???== ??????? 但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(所谓泛函，简单地讲，就是以函数作为自变量的函数，详细见后面)。 例1.1最短线问题：在平面上过固定两点的光滑曲线中找到长度最短的一根曲线。 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = (1.1.1) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== (1.1.2) 显然，对于R ∈?α， ()()y y x x αη=+ 依旧是过这两个固定点,A B 的连续曲线，该曲线的长度为 ()x x L x α=? (1.1.4) 当0α=,()y y x =时，()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα == (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有 ( )( ) 101 1 100 0110 00 33 d ()||d |d '''''' d d 0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x ααααηηη==='??==-?? ? =-=-?? ? =?? ??? (1.1.6) 由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到 ( ) 3 '' 0y = (1.1.7) 意味着 12y C x C =+ (1.1.9) 因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。 下面我们来看几类比较典型的变分问题。 例1.2 最速降线问题 图1.2最速降线问题 我们在铅直平面上取一直角坐标系xoy ，水平轴为x 轴，向下为y 轴。光滑曲线的方程为()y y x =，起始点A 位于坐标原点00(,)(0,0)x y =, 终止点B 的坐标为11(,)x y 。现有一小球静止在A 点，然后沿着曲线无摩擦地向下滑动到B 点。根据动能定理，当小球滑动 第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x变分原理与变分法
泛函分析试题B
泛函分析答案2：
最 优 控 制 教 案2.2 泛函与变分的基本概念
泛函分析试卷(优选.)
第二章-泛函极值及变分法(补充内容)
泛函分析复习重点
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
第1章_泛函和变分
变分原理与变分法
相关主题
文本预览