第1章 泛函和变分
1.1引言
以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数
12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的
Taylor 展开
21
21
()()()()(||||)
2(),,...,T T T T
n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+???
???= ?
?????x x x x x x D x x x x ??
22221121222
212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ???????
??????
???=????????????????
D x
函数在某一点有极值的必要条件是
1
2,, 0
n f f f f x x x ??
???== ???????
但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(所谓泛函，简单地讲，就是以函数作为自变量的函数，详细见后面)。
例1.1最短线问题：在平面上过固定两点的光滑曲线中找到长度最短的一根曲线。
图1.1最短线问题
假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为
*()y y x =
(1.1.1)
另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件
01()()0x x ηη== (1.1.2)
显然，对于R ∈?α，
()()y y x x αη=+
依旧是过这两个固定点,A B 的连续曲线，该曲线的长度为
()x x L x α=?
(1.1.4)
当0α=,()y y x =时，()L α取到极小值，也就是说
0d ()
|0d L ααα
== (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有
(
)(
)
101
1
100
0110
00
33
d ()||d |d ''''''
d d 0
x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x
ααααηηη==='??==-??
?
=-=-??
?
=??
??? (1.1.6)
由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到
(
)
3
''
0y = (1.1.7)
意味着
12y C x C =+ (1.1.9)
因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。
下面我们来看几类比较典型的变分问题。 例1.2 最速降线问题
图1.2最速降线问题
我们在铅直平面上取一直角坐标系xoy ，水平轴为x 轴，向下为y 轴。光滑曲线的方程为()y y x =，起始点A 位于坐标原点00(,)(0,0)x y =, 终止点B 的坐标为11(,)x y 。现有一小球静止在A 点，然后沿着曲线无摩擦地向下滑动到B 点。根据动能定理，当小球滑动
到曲线上任意一点P时的速度为
gy
v2
=(1.1.10) 小球经过P点弧段所需要的时间为
d
d
s
t x
v
====(1.1.11) 因此，小球沿该曲线从A点滑到B点所需要的总时间为
1
[]d x
x
T y t x
==
??(1.1.12) []
T y我们也称之为泛函。该曲线参数形式为
(sin),(1cos)
22
C C
x y
θθθ
=-=-(1.1.13)
例1.3 短程线问题
短程线问题可以描述为：给定一个空间光滑曲面(,,)0
x y z
φ=，在该曲面上有两个固定的点A和B，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。
记A和B的坐标分别为
111
(,,)
x y z和
222
(,,)
x y z，连接该两点的曲线方程为
(),()
y y x z z x
==(1.1.14) 它们满足
(,,)0
x y z
φ=(1.1.15) 那么该曲线的长度为
2
1
[,]x
x
L y z x
=?(1.1.16)
因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接A
111
(,,)
x y z和B
222
(,,)
x y z而且满足(,,)0
x y z
φ=的光滑曲线()
y y x
=，()
z z x
=中，找到其中的一条，使得(1.1.16)中的泛函[,]
L y z取到极小值。
和前面速降线问题不同的是，这里的自变函数()
y y x
=，()
z z x
=不是自由的，它们受到约束条件(,,)0
x y z
φ=的限制，因此短程线问题对所应的是个泛函的条件极值问题，其约束条件是代数关系。
例1.4 等周问题
用参数表示的平面曲线方程为
(),()
x x s y y s
==(1.1.17) 参数s可以理解为曲线从起点的长度。如果曲线的长度为l,那么[0,]
s l
∈。由于曲线是封闭，所以有边界条件
(0)(),(0)(
x x l y y l
==
(1.1.18)
而该曲线的长度为
l s =?
(1.1.19)
该曲线所围成的面积为(根据Green 公式)
1
[,]d d (d d )2
1
('')d 2A x y x y x y y x xy yx s ==
-=
-????
(1.1.20)
因此, 等周问题所对应的变分问题可以描述为: 在所有满足(0)(),(0)()x x l y y l ==以
及约束条件l s =
?
的曲线中, 找到其中一根使得(1.1.20)中[,]A x y 取极大
值。显然，等周变分问题是泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。
例1.5 最优控制问题 状态方程为
0()[(),(),],[,]f t t t t t t t =∈x
f x u (1.1.21)
其中n
R ∈x 为状态向量, 0()t x 为初始状态, ()f t x 为终止状态, m
R ∈u 为输入向量。要求寻找合适的控制策略()(,)t t =u g x ，使得
[(),(),]d min f
t t J L t t t t =→?x u
(1.1.22)
其中J 是一个性能泛函。 和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束(1.1.21)的泛函极值问题.
1.2 泛函
记{()}C y x =是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数)(x y ，都有一个数(在本讲义中全部为实数)与之相对应，我们记为)]([x y J 或者][y J 。这样我们说][y J 是定义在函数集合)}({x y 上的一个泛函。简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。
泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。 如例1.2中最速降线中的泛函
(1.1.12)
[]d x T y t x ==??
，
其定义域为
{}
1010011()(,),(),()C y y x C x x y x y y x y =∈==
这里1
C 表示一阶导数连续的函数。
在等周问题中泛函(1.1.31) 1
[,]('')d 2A x y xy yx s =
-?
中的定义域为
{}
1,(),()(0,),(0)(),(0)()C x y x s y s C l x x l y y l =∈==
象短程线问题中的(1.1.26) 、等周问题中的(1.1.30) 、最优控制问题中的(1.1.32)，一般不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。
以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子：
{(,)(,)}C z x y x y =∈Ω是定义在平面区域Ω上的连续函数集合，那么下式就定义了
一个泛函
2
[]()d d J z z x ,y x y
Ω
=
??
如果1{(),(),[,]}C y x z x y z C a b =∈是定义在区间[,]a b 上的一阶连续可微函数对的集合，那么下式就定义了一个泛函
22[,][()()]d b
a
J f g f x g x x ''=
+?
当然0[()]()J y x y x =也可视为一种泛函；不过，以后提到的泛函主要是指具有上述积分形式的泛函。
线性泛函
对于泛函][?J ， 如果泛函定义域中任意两个函数f 和g 以及任意两个实数a 和b ，始终成立
][][][g bJ f aJ bg af J +=+
那么称泛函][?J 为定义域上的线性泛函。
1.3 自变函数的变分
定义：在同一泛函定义域上的两个函数)(x y 、)(x m ，若彼此任意接近，那么)(x m 与
)(x y 之差()()()y x m x y x δ=-称为函数)(x y 的变分，δ称为变分运算。
显然函数变分y δ也是关于x 的函数，它和函数的增量y ?是有差别的。变分y δ反应了整个函数的变化，而函数增量y ?反应的是同一个函数由于自变量的取值不同所引起的变化。
图2.1变分y δ和函数的增量y ?
自变函数变分的一个重要性质
下面我们来讨论函数变分的一个重要性质：求变分和求导数可以交换次序
'''
''()[()()]()()()y m x y x m x y x y
δδ=-=-= (1.3.1) 如果自变函数),(y x w 是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序, 就是说
(
)()w w x x
δδ??
=?? (1.3.2) ()δφδφ=??, x y z ???
=++???i j k ? (1.3.3)
w w δδ?=?)(, 222
222x y z
????=++??? (1.3.4)
1.4 泛函的变分
对于一个足够光滑的函数，如果我们在某一点x 附近作泰勒展开，
221
()()'()"()(||)2!
f x x f x f x x f x x o x +?=+?+
?+? 那么其增量的线性部分为
d '()f f x x =? 称为函数的一阶微分，而
2
2
d "()f f x x =?
称为函数的两阶微分。其中d f 是x ?的线性函数，而2
d f 是x ?的两次函数。
对于任意一个泛函][y J , 函数变分所引起的泛函增加量为
][][y J y y J J -+=?δ
如果可以展开为
21
[,][,](||||)2!
J L y y Q y y o y δδδ?=+
+ (1.4.1) 其中],[y y L δ是关于y δ的线性泛函，也就是说R C C ∈?21,
],[],[],[22112211y y L C y y L C y C y C y L δδδδ+=+ (1.4.2) 而],[y y Q δ为y δ的两次泛函。那么，可以定义泛函的一阶变分为
],[y y L J δδ= (1.4.3) 而泛函的两阶变分为
],[2
y y Q J δδ= (1.4.4)
我们看下面一个比较简单的泛函
[](,,')d b
a
J y F x y y x
=?
如果给函数)(x y 一个变分y δ，也就是说新的函数为)()()(x y x y x y δ+=， 那么对应于新函数的泛函为
[](,,')d (,,'')d b
a
b
a
J y F x y y x
F x y y y y x
δδ
==++??
显然，泛函的变化量为
[][]
[(,,'
')(,,')]d b
a
J J y J y F x y y y y F x y y x
δδ?=-=++-?
假如)',,(y y x F 是充分光滑的， 那么根据多元函数Tayler 展开公式，上式可以表示成
'''''2''221[][()2()]...d 2!...
b
y yy y yy y y a J F y F y F y F y y F y x
J J δδδδδδδδ???=+++++????=++? 其中
'
'
'
'
'2
2
'
'
2
[]d [()2()]d
b
y y a
b
yy yy y y a
J F y F y x
J F y F y y F y
x δδδδδδδδ=+=++?? (1.4.5)
分别是关于变分y δ及其导数'
y δ的一次齐式和两次齐式。我们把J δ和J 2δ分别称为泛函
][y J 的一阶变分和两阶变分。在不引起混淆时，我们就把一阶变分称为泛函的变分。
泛函变分的另一种求法
对于任意给定的一个齐次函数)(x η(当然该函数有一些其他诸如可微或者其他一些限制条件，具体视泛函的定义域而定)，也就是说它在边界上的值为零，那么对于任意小的一个实数ε)1(<<ε，显然)()()(x x y x y εη+=也是泛函的定义域。那么
2
21002!2
[][]
[][]d []d []||...d d J J y J y J y J y J y J y εεεηεηεηεεεε
==?=-=+-++=++
如果更进一步，令)(x εη就是函数的变分y δ，那么从泛函变分的定义中就可以知道，上式
的第一部分就是泛函的一阶变分J δ，而第二部分就是泛函的两阶变分J 2δ。 也就是说
2
221
2!2d []
|d d []|d J y J J y J εεεηδε
ε
εηδεε
==+=+= （1.4.6）
1.5 泛函变分的性质
(1) 2121)(F F F F δδδ+=+ (2)
122121)(F F F F F F δδδ+=
(3) F nF F n n
δδ1
)(-=
(4) 22
212121)(
F F F F F F F δδδ-= (5) )()
()(n n F F δδ=
(6)
(,,')d (,,')d b b a
a
F x y y x F x y y x δδ=??
12121(,,,...,,',',...,')d 'd 'n
b
b n n i i a a i i i F F
F x y y y y y y x y y x y y δδδ=????=+??????
∑??
这表明，求泛函变分可以用类似求复合函数求微分的方式进行。
下面我们来看两个例子： 例1.6 已知泛函
222[]2(,,)d ,(,,)u u u J u uf x y z V u u x y z x y z Ω??
?????????=+++=?? ? ? ??????????????
???
求J δ。 解∶
2(
)(,,)d ()()()2()(,,)d u u u u u u J f x y z u V x x y y z z u u u u u u f x y z u V
x x y y z z δδδδδδδδδΩ
Ω??
??????=+++??????????
????????=+++?????????
???????
这里被积函数内还包含着自变函数变分的偏导数，需要进一步简化，我们在后面会详细进行
讨论。
例1.7 已知泛函
'[,](,,',,)d ,(),()b
a
J y z F x y y z z x y y x z z x ===?
求J δ 解：
'
'
'''
'
[]d d d []d []|d d b
y z y z a
b
y b z y z a
y z a
J F y F y F z F z x
F F F y F z y z x F y F z x
x
δδδδδδδδδδδ''=+++=+-
-
++??
这里已通过分部积分消去了积分号下自变函数变分的导数。
1.6 各种泛函的变分
(1) 最简单的泛函
dx y y x F y J b
a
?=)',,(][
[][
']d '
d ()|[()]d 'd '
b
a b b a a F F J y y y x y y F F F
y y x y y x y δδδδδ??=+?????=+-?????
(2) 含高阶导数的泛函
[](,,','')d
b
a J y F x y y y x =
?
[][
''']d '''[d d()d(')]'''
d d ()|(')|[()()']d '''d 'd ''
d ['()]|'''d ''
d [(d b
a b a b b b
a a a
b a
F F F
J y y y y x y y y F F F y x y y y y y F F F F F y y y y y x
y y y x y x y F F F y y y y y x y F F y y x δδδδδδδδδδδδδδδδ???=++??????=++????????=++--????????=+-?????+-?????22d )()]d 'd ''
b
a F
y y x y x y δδ?+?? 如果
()[](,,','',...,)d b
n a
J y F x y y y y x =?,
而且满足固定的边界条件
()
()
01(),(),
0,1,,1i i
i i
y a y y b y i n ===-
那么
22()d d d [][()()...(1)()]d
d 'd ''
d n
b
n
n n a
F F F F J y y x y x y x y x y
δδ????=-+++-?????
(3) 含多元自变函数的泛函
22[(,)]2(,)d d
D u u J u x y uf x y x y x y ????????=++?? ? ???????????
??
222(,)d d D u u u u J f x y u x y x x y y δδδδ??????????????=
++?
? ? ? ? ???????????????
?? ()()222(,)d d D u u u u f x y u x y x x y y δδδ??????????=++?? ? ???????????
??
22222(,)d d D u u u u u u f x y u x y x x y y x y δδδ??
????????????=++--+?? ? ? ?????????????????
22222(,)d d 2d d D D u u u u f x y u x y u y x x y x y δδ???????????=--++-?? ? ????????
?????? 这里最后一个等式应用格林公式，消去了二维积分中的自变函数变分的导数, 其作用相当于一元函数中的分部积分公式。至于对三维积分情形，则需要用到高斯公式(见附录) 。 一般来说，对于
[](,,,,)d d x y J w F x y w w w x y Ω
=??
[]d d x y x y F F F J w w w w x y w w w δδδδΩ???????
=++?
????????
??
d d d d d d x y F F F w w w x y w x w y w δδδΩ???????????
=++ ??? ? ????????????
??
d d d d d d x y F F
w x y x w y w δΩ??????????
-+ ??? ? ???????????
?? d d d d d d x y F
F F w w x y w x w y w δδΩ???????????
=-- ??? ? ???????????
?
??
d d x
y F F w y w x w w δδ?Ω??????
+-????????
? 式中如果需要将被求导函数视为仅仅是,x y 的函数，则用d d ()d d x y 代替()x y
??
??，以避免混淆，譬如
(,,,,)
d d x y x xx yx x y
F F x y w w w F
F F F F
w w w x
x w w w =????=
+++???? (4) 含多个自变函数的泛函
111[,...,](,,...,,,...,)d b
n n n a
J q q L t q q q
q t =? 11d d d b
n n b r r a r r r r r a L L
L J q t q q t q q δδδ==?????????????
=-+???
? ???????????????
?
∑∑?
实变部分 一、填空题 1. 设1 1,2,1,2,3,n A n n n ??=-=???? 则lim n A n →∞= 2. 设n E R ?，若E E '=(E '表示E 的导集)，则称E 为 3. 设P 为康托集，则P =，mP= 4. 设()f x 是R 上的实函数，若{}1()0,()n A x R f x A x R f x n ?? =∈>=∈>????， 则A 可用n A 表示为 5. 设E 为n R 中的点集，若对任意点集T 都有，则称E 为勒贝格可测集 6. 若()n mE f x →()0f x ??=??，则称{}()n f x 在E 上 7. 设{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限 的可测函数，若对0σ?>有，则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 8. 设{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{}()n f x 的子列{} ()k n f x 使得 9. Fatou 引理叙述为：设p E R ?为可测集，{}()n f x 为E 上一列非负可测函 数列，则 10.设A 和B 分别是p R 和q R 中的可测集，则A B ?是p q R +的可测集，且 ()m A B ?= 二、判断题 1、()f x 可表成一列简单函数的极限函数是()f x 可测的充分非必要条件 2、若mE=0，则E 为可数集 3、任意多个开集之交仍未开集 4、设()f x 勒贝格可积于可测集E ，若()f x >0，x E ∈,则()0E f x dx >? 5、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛 三、计算题 1、设E 为[]0,1上的全部有理点，求E 在R '内的,E E ' 和E
第1章 泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 12 1 2()()()()(||||)(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? ( 函数在某一点有极值的必要条件是 但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。 例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = ( 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== ( 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为 1 ()x x L x α=? ( 当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα == ( 把(, 展开后有 ( )() 101 1 1 000110 000 33 d ()||d |d ''''''d d 0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x ααααηηη==='??==-?? ?=-=-???=????? ( 由于( 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见, 我们可以得到 ( ) 3 '' 0y = (
第1章泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题:一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 121 2()()()()(|| ||) (),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ??(1.1.1) 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ???=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 12 ,,...,0 T n f f f f x x x ?? ???== ???????但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。 例1.1一个简单的变分问题:最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *() y y x =(1.1.2) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0 x x ηη==(1.1.3) 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为
1 2()1('')d x x L y x ααη=++? (1.1.4) 当0α =,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα ==(1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5),展开后有 ()() 10 1 1 1 000110 000 222233 222 d ()('')'|d |d 1('') ''''d |d 1'1'1'''''''''d d 1'1'1'0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y y x x y y y y y y y y x x y y y ααααηηααηηη ηηη==+=++'?? ?==- ?+++???? ?=--=- ?+ ?++??=?????(1.1.6) 由于(1.1.6)对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节),我们可以得到 ( ) 3 2 '' 1'y y =+(1.1.7) 意味着 12 y C x C =+(1.1.9) 因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。 下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2最速降线问题 图1.2最速降线问题 我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A 为坐标原点，水平为x 轴，向下为y 轴。 曲线的方程为()y y x =，A 点坐标00 (,)(0,0)x y =,B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P 时的速度为 d 2d s v gy t = =(1.1.10)
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3
T2：设A?B，则A?B，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I） 4、开（闭）集类、完备集类。 开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P 二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。 第三章测度论基本要求： 1、理解外测度的概念及其有关性质。 2、掌握要测集的概念及其有关性质。 3、掌握零测度集的概念及性质。 4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。
学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题 数学系06级3班高能 060203037 摘要 通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。最后提出有待解决的问题及部分解决方法。 关键词：实变函数数学美集合学习方法 “实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。 我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。 我们学习研究数学，就应该追求数学美。不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。大学初步学习实变函数就应该了解它的统一性、奇异性、抽象性和单调性。 我已经自学了比较长的一段时间的实变函数论。有了一定的感觉在里面。作为数学中比较难学的一门，实变函数论所散发出来的魅力是难以阻挡的。可以说实变函数是逻辑学，概念抽象，而且十分的基础，富有逻辑。实变函数的许多的概念对我们初学者来说都是很陌生的。比如基数和测度。而测度更是作为四大现代数学结构之一，理解起来颇有难度。数学，与所有的理论一样，那就是有良好的理论体系的基本框架。关于集合所谓无穷并和交、极限点、集合和函数列的上下极限和极限函数都是极限的知识运用范畴。几乎处处、“基本上”这样的概念其实也是极限的扩充。我们有的时候都几乎被这诸多的无穷搞混了头。我学习实变函数总结一句就是概念抽象难懂！正是这样我也在不知不觉中对抽象思维有了更进一步的加深，比如说对无限概念的理解。无限旅馆住宿问题就把这个概念抽象化为具体，更接近实际更容易理解。我认为无论多抽象的数学问题都在实际生活中有它具体的体现，这就要我们善于发现琢磨。 要说学习实变函数的遇到的问题，那是比牛毛还多！到现在我依然没有入门，听课
2.2 泛函与变分的基本概念 2.2.1 泛函 函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。 x — 自变量。函数是变量与变量之间的关系。 泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。 y — 宗量。 泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。 例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。 ① 泛函宗量的增量 泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=?，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。 ② 泛函的连续性 函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。 泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。 曲线y(x)与曲线 y 0(x) 21222 [()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε?≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε?≤≤≤?≤≤≤ 具有一阶相近度 例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当
③ 线性泛函 2.2.2 泛函的变分 函数微分 ←→ 泛函变分 函数y =f (x)， 增量表示为：()()()(,)y f x x f x y x x r x x Δ=+Δ?=Δ+Δ 当0x Δ→时，第二项可以忽略。第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作： ()()dy y x dx f x dx ′== 参照函数微分的定义，泛函变分定义如下： 若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=? 连续泛函[()]J y x 的增量可表示为 [()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+?=+ 第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ= 定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=?=+? 1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续 第一项为x Δ的线性函数 第二项为x Δ的高阶无穷小 第一项为y δ的线性泛函 第二项为y δ的高阶无穷小 例，120()J x t dt =∫求泛函的变分 解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+?=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 1 02()()J x t x t dt δδ=∫
第二章 泛函极值及变分法（补充内容） 2.1 变分的基本概念 2.1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。 例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到： dx dx dy J B A x x ? += 2)/(1 （2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。 图2.1.1 两点间任一曲线的长度 例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。 图2.1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：
ds v dt == 其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是： dt = 设重力加速度为g ，则gy v 2=。 因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为： 1 [()]x x J y x =? 2 1 1/2 211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-?? ? （2.1.2） 则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分： 对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量： ),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ （2.1.3） 其中A （x ）与?x 无关，且有?x →0时ρ（x ,?x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其 线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?，函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义： 通过引入一小参数ε，对)(x x y ?+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即： dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()() (00 εεεε ε （2.1.4） 上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
第1章 泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 21 21 ()()()()(||||) 2(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??? ???= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ???=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 1 2,, 0 n f f f f x x x ?? ???== ??????? 但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(所谓泛函，简单地讲，就是以函数作为自变量的函数，详细见后面)。 例1.1最短线问题：在平面上过固定两点的光滑曲线中找到长度最短的一根曲线。 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = (1.1.1) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== (1.1.2) 显然，对于R ∈?α，
()()y y x x αη=+ 依旧是过这两个固定点,A B 的连续曲线，该曲线的长度为 ()x x L x α=? (1.1.4) 当0α=,()y y x =时，()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα == (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有 ( )( ) 101 1 100 0110 00 33 d ()||d |d '''''' d d 0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x ααααηηη==='??==-?? ? =-=-?? ? =?? ??? (1.1.6) 由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到 ( ) 3 '' 0y = (1.1.7) 意味着 12y C x C =+ (1.1.9) 因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。 下面我们来看几类比较典型的变分问题。 例1.2 最速降线问题 图1.2最速降线问题 我们在铅直平面上取一直角坐标系xoy ，水平轴为x 轴，向下为y 轴。光滑曲线的方程为()y y x =，起始点A 位于坐标原点00(,)(0,0)x y =, 终止点B 的坐标为11(,)x y 。现有一小球静止在A 点，然后沿着曲线无摩擦地向下滑动到B 点。根据动能定理，当小球滑动
泛函知识点期末总结 一、关于有界线性算子，算子范数等 1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子 T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。 求证：T 有界，并求||||T 。 2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。求证：f 有界，并求||||f 。 3、设 12123[,],,,,[,],,, ,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上 的线性泛函f : 若1 ,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。 二、关于共轭空间的定义及其求解 三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间 四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1 五、投影定理，投影算子及其性质， 六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子 七、完全规范正交基及其判定定理 八、Banach 空间的基本定理及其应用 九、Banach 共轭算子的定义及其求法 十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明 十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系 十二、完备度量空间的定义及其应用 十三、压缩映射原理及其应用 十四、h ?lder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式 十五、稠密，可分，完备，柯西序列 十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性 空间
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
1. A ∪( B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈(A ∪(B ∪C)). x ∈A, x ∈A ∪B, x ∈A ∪C, x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈B ∩ C,x ∈ A ∪B x ∈A ∪C, x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C), A ∪( B ∩ C) ? (A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈A, x ∈A ∪(B ∩ C). x ∈A, x ∈A ∪B x ∈A ∪C, x ∈B x ∈C, x ∈B ∩ C, x ∈A ∪(B ∩ C), (A ∪B) ∩ (A ∪C) ? A ∪(B ∩ C). A ∪(B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C). 2. (1)A ? B = A ? (A ∩ B) = (A ∪B) ? B; (2)A ∩ (B ? C) = (A ∩ B) ? (A ∩ C); (3)(A ? B) ? C = A ? (B ∪C); (4)A ? (B ? C) = (A ? B) ∪(A ∩ C); (5)(A ? B) ∩ (C ? D) = (A ∩ C) ? (B ∪D); (6)A ?(A ? B) = A ∩ B. (1)A ? (A ∩ B) = A ∩ ?s(A ∩ B) = A ∩ (?s A ∪?s B) = (A ∩ ?s A) ∪(A ∩ ?s B) = A ? B; (A ∪B) ? B = (A ∪B) ∩ ?s B = (A ∩ ?s B) ∪(B ∩ ?s B) = A ? B; (2)(A ∩ B) ? (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ ?s(A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (?s A ∪?s C) = (A ∩ B ∩ ?s A) ∪(A ∩ B ∩ ?s C) = A ∩ (B ∩ ?s C) = A ∩ (B ? C); (3)(A ? B) ? C = (A ∩ ?s B) ∩ ?s C = A ∩ ?s(B ∪C) = A ? (B ∪C); (4)A ? (B ? C) = A ? (B ∩ ?s C) = A ∩ ?s(B ∩ ?s C) = A ∩ (?s B ∪C) = (A ∩ ?s B) ∪(A ∩ C) = (A ? B) ∪(A ∩ C); (5)(A ? B) ∩ (C ? D) = (A ∩ ?s B) ∩ (C ∩ ?s D) = (A ∩ C) ∩ ?s(B ∪D) = (A ∩ C) ? (B ∪D); (6)A ? (A ? B) = A ∩ ?s(A ∩ ?s B) = A ∩ (?s A ∪B) = A ∩ B. 3. (A ∪B) ? C = (A ? C) ∪(B ? C); A ? (B ∪C) = (A ? B) ∩ (A ? C). (A ∪B) ? C = (A ∪B) ∩ ?s C = (A ∩ ?s C) ∪(B ∩ ?s C) = (A ? C) ∪(B ? C); (A ? B) ∩ (A ? C) = (A ∩ ?s B) ∩ (A ∩ ?s C) = A ∩ ?s B ∩ ?s C = A ∩ ?s(B ∪C) = A ? (B ∪C). ∞ ∞ 4. ?s( A i) = ?s A i. i=1 ∞ i=1 ∞ x ∈?s(i=1 A i), x ∈S, x ∈ i=1 A i, i,x ∈A i, x ∈?s A i, 1
变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。 在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 §1 泛函和泛函的极值 首先引入泛函的概念。泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值 作为变分法的简单例题。考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。 （补充图） 设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为
连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。 根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1 在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2 的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。 §2 泛函极值的必要条件-欧拉方程 假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。设 其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数 与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y'，称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量 按泰勒级数展开，则