2.2 泛函与变分的基本概念
2.2.1 泛函
函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。 x — 自变量。函数是变量与变量之间的关系。
泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。 y — 宗量。
泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。
例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。
① 泛函宗量的增量
泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=?，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。
② 泛函的连续性
函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。 泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。
曲线y(x)与曲线 y 0(x)
21222
[()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε?≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε?≤≤≤?≤≤≤ 具有一阶相近度 例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当
③ 线性泛函
2.2.2 泛函的变分
函数微分 ←→ 泛函变分
函数y =f (x)， 增量表示为：()()()(,)y f x x f x y
x x r x x Δ=+Δ?=Δ+Δ
当0x Δ→时，第二项可以忽略。第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作：
()()dy y
x dx f x dx ′==
参照函数微分的定义，泛函变分定义如下：
若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=?
连续泛函[()]J y x 的增量可表示为
[()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+?=+
第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ=
定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=?=+?
1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续 第一项为x Δ的线性函数 第二项为x Δ的高阶无穷小 第一项为y δ的线性泛函 第二项为y δ的高阶无穷小
例，120()J x t dt =∫求泛函的变分 解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+?=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 1
02()()J x t x t dt δδ=∫
例2.821[,(),()]x x J F x y x y x dx =∫ 求泛函的变分
212100[][,,]()x x x x J J y y F x y y y y dx F F y y dx y y εεδεδε
εδεδε
δδ==?=+??=++???=+??∫∫
2.2.3 泛函的极值
如果泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)的邻域内，其增量
00[()][()]0
[()][()]0J J y x J y x J J y x J y x Δ=?≥Δ=?≤或
则称泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)处有极小或极大值。
定理2.2
若可微泛函J[y(x)] 在点y 0(x)达到极值，则泛函J[y(x)] 在y 0(x)处的变分为0，0J δ= 证明：对于任意给定的y δ，0()[()]J y x y ?εεδ=+是ε的函数，由假设,
()0?ε= 函数极数，[()]0J y x y J εδδ?+==
例2.7120()J x t dt =∫求泛函的变分
0120012
0010
[]()()2J J x x x x dt x x dt x xdt εεεδεδεεδεεδεδ===?=+??=+??=+?=∫∫∫ 设 2,0.1x t x t δ==， 变分的值为11230020.10.20.05J t tdt t dt δ=?==∫∫ 作业，120[()()]J y x xy x dx =+∫泛函
1、求J δ的表达式
2、求2(),0.1y x x y x δ==当时的数值。
西安交大统计学考试试卷 一、单项选择题（每小题2 分，共20 分） 1.在企业统计中，下列统计标志中属于数量标志的是（C） A、文化程度 B、职业 C、月工资 D、行业 2.下列属于相对数的综合指标有（B ） A、国民收入 B、人均国民收入 C、国内生产净值 D、设备台数 3.有三个企业的年利润额分别是5000 万元、8000 万元和3900 万元，则这句话中有（B）个变量？ A、0 个 B、两个 C、1 个 D、3 个 4.下列变量中属于连续型变量的是（A ） A、身高 B、产品件数 C、企业人数 D、产品品种 5.下列各项中，属于时点指标的有（A ） A、库存额 B、总收入 C、平均收入 D、人均收入 6.典型调查是（B ）确定调查单位的 A、随机 B、主观 C、随意 D 盲目 7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要用到（A ）： A、Z 统计量 B、t 统计量 C、统计量 D、X 统计量 8.把样本总体中全部单位数的集合称为（A ） A、样本 B、小总体 C、样本容量 D、总体容量 9.概率的取值范围是p（D ） A、大于1 B、大于－1 C、小于1 D、在0 与1 之间 10.算术平均数的离差之和等于（A ） A、零 B、1 C、－1 D、2 二、多项选择题（每小题2 分，共10 分。每题全部答对才给分，否则不计分） 1.数据的计量尺度包括（ABCD ）： A、定类尺度 B、定序尺度 C、定距尺度 D、定比尺度 E、测量尺度 2.下列属于连续型变量的有（BE ）： A、工人人数 B、商品销售额 C、商品库存额 D、商品库存量 E、总产值 3.测量变量离中趋势的指标有（ABE ） A、极差 B、平均差 C、几何平均数 D、众数 E、标准差 4.在工业企业的设备调查中（BDE ） A、工业企业是调查对象 B、工业企业的所有设备是调查对象 C、每台设备是 填报单位D、每台设备是调查单位E、每个工业企业是填报单位 5.下列平均数中，容易受数列中极端值影响的平均数有（ABC ） A、算术平均数 B、调和平均数 C、几何平均数 D、中位数 E、众数 三、判断题（在正确答案后写“对”，在错误答案后写“错”。每小题1 分，共10 分） 1、“性别”是品质标志。（对）
基础护理从我做起 人、健康、环境和护理被大多数学者认为是影响和决定护理实践的四个基本概念。对这四个概念的研究和描述构成了护理学的基本要素和总体理论框架，决定着护理工作的任务和方向。在这四个概念中，人是护理实践的核心，由人的护理是实践者对这四个基本概念的认识和理解，更是直接影响着护理实践的质量。 一做为基础护理我们首先了解护理的程序及其有哪些步骤，了解护理程序的特点和历史。 熟悉每个患者的病史、治疗方法、内容及其他信息，能够正确实施护理诊断及评价。 最后能独立完成一份完整的护理病历。 以上这些我觉得使我们护理人员应该掌握的一个最基础的护理理念 二我们护士的本职工作就是护理，我们做好本职工作的基础就是了解病人。 生命体征的观察与护理我们应该掌握 1.体温、脉搏、呼吸、血压的正常值及其评估。 2.体温过高和过低的护理。 3.体温计、血压计的种类与构造。 4.测量体温、脉搏、呼吸、血压时的注意事项。 5.测量和记录体温、脉搏、呼吸、血压的方法。 6.缺氧程度的评估、氧气表的结构、吸氧种类、氧疗副作用的预
7.给氧的注意事项并能正确实施鼻导管及鼻塞吸氧法。 8.吸痰法及注意事项。 这些是做为护理人员我们应该了解的基础护理知识 三另外护理病人的同时还应注意病人的清洁卫生 熟悉皮肤的评估内容，熟悉盆浴和淋浴的注意事项，掌握床上擦浴。这些都能够很好的促进病人的康复 掌握好对起褥疮的高危人群、好发部位及临床表现使我们能够及时预防褥疮的发生 对卧床不起的病人我们还应该掌握床上洗头方法。 四护理治疗的最基本操作是静脉输液 我们应该熟悉静脉输液的目的和适应症。熟悉常用液体的种类。掌握临床补液的原则。及静脉输液的用物准备、常用部位及操作步骤、输液速度的调节及静脉输液的注意事项。以及掌握输液反应及其防治。 五最后我们应该完成一份合格的护理病历按照医嘱单、特别护理记录单和病室报告的记录方法。以标准护理病历的书写要求及顺序完成一份合格的护理病历。 基础护理从我做起，从点滴做起。
泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10， 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0
1.计算以下和式：01421181 84858616n n S n n n n ∞ =?? =--- ?++++??∑ ，要求： (1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法； (2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。 （1）题目分析 该题是对无穷级数求和，因此在使用matlab 进行累加时需要一个累加的终止条件。这里令?? ? ??+-+-+-+= 681581482184161n n n n a n n ，则 ()()1.016 1 6855844864816114851384128698161 681581482184161148113811282984161111<< ? ??? ????? ??++++++???? ????? ??++++++=??? ????? ??+-+-+-+??? ????? ??+-+-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n n n n n 故近似取其误差为1+≈k a ε，并且有m -1m -111021 21 ?=?=≈+βεk a ， （2）算法依据 使用matlab 编程时用digits 函数和vpa 函数来控制位数。 （3）Matlab 运行程序 %%保留11位有效数字 k1=11; s1=0;%用于存储这一步计算值 for n=0:50 a=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); n1=n-1; if a<=0.5*10^(1-k1) break end end; for i=0:1:n1 t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); s1=s1+t; end s11=vpa(s1,k1); disp('保留11位有效数字的结果为：');disp(s11); disp('此时n 值为：');disp(n1); %%保留30位有效数字 clear all; k2=30;
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第3章护理学的基本概念和护理理论 第1节护理学的性质和范畴 护理学作为一门独立的学科，具有其独特的知识体系作为指导实践的基础，这些知识体系就是护理概念、护理理论和护理模式。在卫生保健事业中，护理学与临床医学、预防医学起着同等重要的作用。 一、护理学的性质 1、护理学是生命科学中综合自然，社会及人文科学的一门应用性学科。 2、护理学包含的内容: （1）自然科学：如生物学、物理学、化学、解剖学、生理学等知识 （2）社会及人文科学：如心理学、伦理学、美学、社会学等知识。 二、护理学的范畴 （一）护理学的理论范畴 （1）护理的基本概念 （2）护理模式 （3）护理学发展中引用的其他学科的理论 （二）护理学的实践范畴 1、临床护理 护理的对象：病人 包括的内容： （1）基础护理：研究并应用护理的基本理论知识，基本实践技能和基本态度方法来满足病人的基本生活需要，心理需要，治疗需要。 （2）专科护理：以护理学及相关学科理论为基础，结合临床各专科病人的特点及诊疗要求，为病人进行身心整体护理。 2、社区护理： 护理对象：是一定范围的居民和社会群体。 目的：最大限度的发挥机体的潜能，促进全民健康水平的提高。 3、护理教育： 分类：学校教育：中专教育，大专教育，本科教育，研究生教育。 毕业后继续教育：是为在职护理人员提供的，以学习新理论，新知识和新技术为目标的终身性教育。 4、护理管理 目的：提高护理工作效率和效果，提高护理质量。 5、护理科研： 目的：促进人的健康，减轻病人痛苦，挽救危重者生命。 第2节护理的基本概念 一、基本概念 （一）护理的定义： 护理是诊断和处理人类对现存和潜在的健康问题的反应，护理研究的对象是人。 护理工作任务是：促进和保持健康，预防疾病，协助康复，减轻痛苦。 （二）护理的几个基本概念
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若a在b之先，则b便不在a之先。 （2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法： （1）为真，这里是A中最先的元素。 2）对一切,为真，则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如X中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C：。 例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。 线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理：
定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义： 设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果 （1）H是线性无关的。 （2）H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系： 定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3，可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。 SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间 定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为
设X 是一个非空集，K 是复（或实）数域。如果下列条件满足，便称X 为一复（或实）线性空间 （1）X 是一加法交换群，即对任意的x,y 之和，适合称为记做y x y x u X U X ,,,+=∈?∈ y x y x K x K x x x x x x x x ax u X X K x a X x a K x x x x X x X x x x X x X z y x z y x x y y x βααβαβαβααββαθθθθ+=+∈?∈?+=+=?=?=∈??∈?∈=+∈?∈?+=+∈?∈?++=+++=+)() ,,())(3.2(1)2.2()(1.2,u ,,)2(-,,,)4.1(,,)3.1())(2.1(1.1;;'）（）（的数乘，适合 对称为计做）（即的数乘运算，与中的数定义了数域为记使得对对唯一的） （）（ 线性同构 Ty Tx y x T X X T X X βαβα+=+?→?)(2)1(:,1 1）（在上的即他是一对一的并且是它既是单射又是满射，都是线性空间，设 线性子空间 为线性子空间一个线性空间，则称上的加法与数乘还构成依若设E X E X E ? 线性流形 {}为线性流形则称使得及线性子空间若设E E X E 000000E x x x x E E X X x ∈+?+=?∈??线性相关 ，否则称为线性无关的 ，使得不全为存在称为线性相关的，如果一组向量0....0......1111=++∈∈n n n n x x K X x x λλλλ 线性基 中向量的线性组合 都是而且任意的， 中的向量是线性无关的向量组，即中的一个极大线性无关是若A A X A X x ∈ 维数 线性空间中的线性基的元素个数（势） 线性包 {}{}{}A x K A x x y A x i i i n n ∈∈∈+=∈λαλααλλ称为中的向量族，线性组合是是一个指标集， 设,....X A 11 线性和与直接和 {}21212121,E E E E E E y E x y x X E +∈∈+的线性和，记，为的子空间， 是设 准范数
计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级：
目录 题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 - 1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 - 1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 - 2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 - 2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 - 3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 -
计算方法（B）实验报告 姓名： 学号： 学院： 专业：
实验一 三对角方程组Tx f =的求解 一、 实验目的 掌握三对角方程组Tx f =求解的方法。 二、 实验内容 求三对角方程组Tx f =的解，其中： 4 -1 -1 4 -1 -1 4 1 -1 4T ????????=?? ?? ???? ， 3223f ?? ? ? ?= ? ? ??? 三、 算法组织 设系数矩阵为三对角矩阵 11222333111 b c a b c a b c a b c b n n n n T ---???????? =?????? ?????? 则方程组Tx f =称为三对角方程组。 设矩阵T 非奇异，T 可分解为T=LU ，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记 1 1 212 313 1 1 1111 ,11n n n n n r l r l r L U l r l μμμμμ---???? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 可先依次求出,L U 中的元素后，令Ux y =，先求解下三角方程组Ly f =得出 y ，再求解上三角方程组Ux y =。 追赶法的算法组织如下： 1.输入三对角矩阵T 和右端向量f ；
2.将Tx f =压缩为四个一维数组{}{}{}{}i i i i a b c d 、、、，{}{}{}i i i a b c 、、是T 的三对角线性方程组的三个对角，{}i d 是右端向量。将分解矩阵压缩为三个一维数组 {}{}{}i i i l r μ、、。 3.对T 做Crout 分解（也可以用Doolittle 分解）导出追赶法的计算步骤如下： 1111,b r c μ== for 2i n = 111, , ,i i i i i i i i i i i i i l a b a r r c y d l y μμ---==-==- end 4.回代求解x /n n n x y μ= for 11i n =- 1()/i i i i i x y c x μ+=- end 5. 停止，输出结果。 四、 MATLAB 程序 MATLAB 程序见附件1. 五、 结果及分析 实验结果为： (1.0000 1.0000 1.0000 1.0000)T x =
一、名词解释 1.护理学 2.独立性护理功能 3.专业性护理工作 二、填空题 1.按照护理专业的划分，护士应用自己的专业知识及能力分析及解决护理问题，称为护理工作。 2.南丁格尔两本最著名的护理经典著作为及。 三、判断题 1.文艺复兴时期是西方护理界最黑暗的时期。 2.西方学者卡渤认为，护理学的知识中应包含个人知识。 3.护理专业的自主性体现为护士能自行决定所有的护理措施及护理行为。 4.南丁格尔的办学宗旨是将护理学作为一门科学的职业，采用新的教育体制及方法来培养护士。 5.解放以前，中国没有高等护理专业教育。 6.中国现代护理的发展在最初阶段主要受西方护理界的影响。 四、选择题 【A型题】 1.护理艺术、技能及行为方面的知识称为 A.个人知识 B.美学知识 C.行为知识 D.伦理学知识 E.科学知识 2.护理人员应用自己的专业知识及技能决定护理措施及护理服务，属于 A独立性护理功能 B.合作性护理功能 C.技术性护理功能 D.依赖性护理功能 E.艺术性护理功能
3.下列哪一项不属于护理专业特征 A.为人类服务为目的 B.有完善的教育体制 C.有系统而坚实的专业理论基础 D.有良好的科研体系 E.有专业自主性 4.自1964年以来，中国护理界群众性团体称为 A.中国护士会 B.中华护士学会 C.中华护理学会 D.中国护理学会 E.中华护士会 5.5月12日国际护士节命名根据是 A.南丁格尔的生日 B.南丁格尔所建立的第一所护士学校的日期 C.南丁格尔逝世的日期 D.南丁格尔受国际护士会奖励的日期 E.南丁格尔受英国政府奖励的日期 6.下列哪一项不属于以健康为中心阶段的护理特点: A.护理模式转变 B.护理理论指导护理实践 C.服务场所从医院扩展到了社区、家庭及各种机构 D.护理的服务对象为所有年龄段的健康人及病人 E.护理从属于医疗 【B型题】 (1~5题共用备选答案) A.护理学是研究帮助健康人或患病的人保持或恢复健康，预防疾病或者平静死亡的科学。 B.护理学是研究如何判断和处理人类对已经存在或潜在健康问题反应的科学。 C.护理学是一门新兴的独立科学，其理论逐渐形成体系，有其独立的学说及理论，有明确的为人民服务思想。
泛函分析和偏微分方程的广义求解 1历史和背景 1.1泛函分析简介 1.1.1什么是泛函分析 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1.1.2赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的
连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p，如果p ≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 1.1.3主要结果和定理 泛函分析的主要定理包括： 1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 1.1.4产生的历史、特点和内容 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
计算方法A 上机大作业 1. 共轭梯度法求解线性方程组 算法原理：由定理3.4.1可知系数矩阵A 是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b 的解与求解二次函数1()2 T T f x x Ax b x =-极小点具有等价性，所以可以利用共轭梯度法求解1()2 T T f x x Ax b x = -的极小点来达到求解Ax=b 的目的。 共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式： (1)()()k k k k x x d α+=+ 产生的迭代序列(1)(2)(3)x x x ，，，... 在无舍入误差假定下，最多经过n 次迭代，就可求得()f x 的最小值，也就是方程Ax=b 的解。 首先导出最佳步长k α的计算式。 假设迭代点()k x 和搜索方向()k d 已经给定，便可以通过()()()() k k f x d φαα=+的极小化 ()()min ()()k k f x d φαα=+ 来求得，根据多元复合函数的求导法则得: ()()()'()()k k T k f x d d φαα=?+ 令'()0φα=，得到: ()() ()()k T k k k T k r d d Ad α=，其中()()k k r b Ax =- 然后确定搜索方向()k d 。给定初始向量(0)x 后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第一次迭代取搜索方向(0) (0)(0)(0)()d r f x b Ax ==-?=-。令 (1)(0)00x x d α=+ 其中(0)(0)0(0)(0) T T r d d Ad α=。第二次迭代时，从(1) x 出发的搜索方向不再取(1)r ，而是选取(1) (1)(0)0d r d β=+，使得(1)d 与(0)d 是关于矩阵A 的共轭向量，由此可 求得参数0β:
护理学的基本概念 人、环境、健康、护理四个基本概念组成了护理的宗旨。 （一）人护理学研究和服务对象是人。护理是为人的健康服务的。人是生物的、心理的、社会的统一体。 1.人体是统一的整体：具有生物和社会属性。人是生物有机体，是有思维、从事劳动、过着社会生活的人。在人身上既体现出物质活动，又体现出在此基础上产生的精神活动。二者不可分割，相互影响，形成一个统一的整体。 2.人具有生理的、心理的、社会的多层次的需要。 3.人包括个体、家庭和社区的群体，包括病人，也包括健康人。 人是四个基本概念的核心人体与外环境的统一：人在自然和社会环境中生活，形成了相对稳定的生理、心理活动方式。当自然和社会环境发生变化时，人的生理、心理活动方式必须作出相应的调整，以达到适应，并调动人的内在主观能动性，以预防疾病，促进健康。 （二）环境包括内环境和外环境。 内环境指人的生理和心理变化。 外环境指自然环境和社会环境。自然环境包括居住条件、空气、目光、树木、水等。社会环境包括人的社会交往、风俗习惯以及政治、经济、法律、宗教制度等。 （三）健康 1.概念1948年世界卫生组织（WHO）给健康下的定义是：健康，不仅是没有躯体疾病，还要有完整的生理、心理状态和社会适应能力。 2.健康与疾病健康是动态的变化的过程，健康与疾病没有明显的界限，健康是相对的不是绝对的。没有绝对的健康也没有绝对的疾病。健康因人而异。 （四）护理 护理是诊断和处理人类对现存的和潜在的健康问题的反应。是指护士用护理程序的方法，实现"促进健康、预防疾病、恢复健康、减轻痛苦"护士的基本职责。使人与环境保持平衡，达到使每个人均获得保持和恢复健康的最佳状态。 人、环境、健康、护理的关系是护理对象（人、家庭、社区）存在于环境之中，并与环境互为影响。护理作用于护理对象和环境，通过护理活动为护理对象创造良好的环境，并帮助护理对象适应环境，从而促进由疾病向健康转化，以达到最佳健康状态。
《泛函分析》读书笔记 Reading Notes about Functional Analysis 崔继峰 所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.
本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容
实验一 矩阵的分解 一、实验目的 掌握矩阵的分解原理和一般方法，学会利用矩阵分解直接求解线性方程组。 二、实验内容 求矩阵() 2020 =ij A α?的T LDL 分解与Cholesky 分解，其中 ,min(,),ij i i j i j i j α=?=? ≠? 。 三、问题分析 1． Cholesky 分解 Cholesky 分解是针对被分解矩阵为对称正定的情况给出的。 分解步骤如下： 11g =1111/y b g =，1111i i g g α= 2i n = ； DO 2j n = jj g = IF 0jj g < STOP ，JUMP TO (5) DO 1i j n =+ 1 1j ij ik kj k ij jj g g g g α-=??- ? ? ?=∑ ji ij g g = 1 1j i ik k k i jj b g y y g -=??- ? ? ?=∑ END DO END DO
2． T LDL 分解 T LDL 分解是针对Cholesky 分解中的开平方运算进行的改进。 分解步骤如下： 11i i r α=，1111/i i r r r =，11y b = 1i n = DO 2i n = DO j i n = 1 1i ij ij ik kj k r l r α-=??=- ??? ∑ /ji ij ii l r r = 1 1i i i ik k k y b l b -=??=- ??? ∑ END DO END DO 四、matlab 求解 分别写出T LDL 分解和Cholesky 分解的函数程序gaijinsqrt.m 和.cholesky m ，调用格 式如下： 1. [index,x,r]=gaijinsqrt(A,b) 参数说明： A 和b 分别是线性代数方程组Ax =b 的系数矩阵和右端向量；输出x 为解向量。 [index,x,g]=Cholesky(A,b) 参数说明： A 和b 分别是线性代数方程组Ax =b 的系数矩阵和右端向量；输出x 为解向量。 然后写出主程序2homework .m 如下： %生成矩阵A A=zeros(20,20); for i=1:20 for j=1:20 if i~=j if i>j A(i,j)=j; else A(i,j)=i; end
计算方法上机报告 姓名: 学号:
班级: 目录 题目一-------------------------------------------------------------------- 4- 1.1题目内容 ---------------------------------------------------------- 4- 1.2算法思想 ----------------------------------------------------------- 4- 1.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- 5 - 1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------ 5- 题目二---------------------------------------------------------------- 7- 2.1题目内容 ----------------------------------------------------------- 7- 2.2算法思想 ------------------------------------------------------------ 7 2.3 Matlab 源程序 -------------------------------------------------- 8 - 2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------ 9- 题目三------------------------------------------------------------------- 11- 3.1题目内容 --------------------------------------------------------- 11- 3.2算法思想 --------------------------------------------------------- 11- 3.3Matlab 源程序------------------------------------------------------- 13- 3.4计算结果及总结 -------------------------------------------------- 14- 题目四------------------------------------------------------------------- 15- 4.1题目内容 --------------------------------------------------------- 15- 4.2算法思想 --------------------------------------------------------- 15- 4.3Matlab 源程序------------------------------------------------------- 15- 4.4计算结果及总结 ----------------------------------------------- 16- 题目五------------------------------------------------------------------- 18- 5.1题目内容 --------------------------------------------------------- 18- 5.2算法思想 ---------------------------------------------------------- 18 5.3 Matlab 源程序 ------------------------------------------------------ 18 5.3.1 非压缩带状对角方程组----------------------------------- 18 - 5.3.2压缩带状对角方程组--------------------------------------- 20- 5.4实验结果及分析 ----------------------------------------------- 22-