§3.4 群的同构定理
同态基本定理：设?是群G 到群G 的一个同态满射，则
ker G
G
?
? 。
用图表示：
将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。
定理1 (第一同构定理) 设?是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ?? ，记()N N
?=，则
G G
N N
?，或
()
()G G
N
N ???
。
当ker N ?=时，{}()N e ?=，{}
G G
G
e N =?，第一同构定理退化
成同态基本定理
第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G
?= 。作映射：
:G G
N
N
τ→， ()()xN x N τ?=，G xN N
?∈。
以下验证τ是G N 到G
N
的一个同构映射。
（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是
11
()()()()a b a b N N
????--=∈=，从而()()a N
b N
??=，
即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G
N
的一个映射。 （2）是满射：()G
aN
a G N
?∈∈，因为?
是满射，所以存在
a G
∈，使得()a a ?=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=，
即是满射。
（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N
b N
??=，从而
1
1
()()()a b a b N
???--=∈。但?是满同态且()N N
?=
，所以
c N
?∈，使得1
1
1
1
1
()()()K er a
b c a b c e a bc ????
-----=??=?∈。 于是由已知条件ker N ??得111
1
1
a bc N a
b a bc
c N
-----∈?=?∈，
从而aN
bN
=，即是单射。
（4）又由于
()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττ?????ττ?====?=，
所以τ是G N 到G
N
的一个同态映射。
综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G
N
N
? 。
推论1. 设,H
G N G
且N
H
?，则
G G N
H H
N
?
。
证明 取自然同态:G G N ?→，()a aN ?=，其核K er N
?
=。
在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意
()H
H N
?=，由第一同构定理得
G G N
H H
N
?
。
例1 设,H
G K G
，证明
G G H H K H K
H
?
。
证明 由,H
G K G H K G
? 。又显然H
H K
，直接由推论得
G G H
H K H K
H
?
。
注意：交换,H K 的位置也可以得 G G K H K H K
K
?
。
定理2 (第二同构定理) 设G 是群，H
G
≤，N G ，则
H N H
，且 ()HN
H
N
H N ? 。
第二同构定理也可以用图表示： 证明：由H G
≤，N G 有HN
G
≤，且N
HN
。作映射
:HN
H
N
?→，()x xN ?=，x H ?∈，
则?显然是H 到H N N
的满同态。且
{}{}{},(),,K er x
x H x N x x H xN N x x H x N H N
??=∈==∈==∈∈= ，
于是由同态基本定理得 ()HN
H H N N
? 。
例2 34,S S 设分别为3次、4次对称群，4
K 是Klein 四元群，
证明：
4
34
S S K ?。
证明 首先44K S （见前面）。以下验证：4
34S S K = 且
34{}S K e = ，再用第二同构定理即可得证。事实上，把3
S 中
的每个置换看成保持4不动，则显然34{}S K e = 成立。于是
343434||||||6424||
S K S K S K ?==?= 。
又34
4S K S ?且4||24S =，所以4
34S S K =。于是由第二同构定理 34
3
3
4
34
4
34()
{}
S K S S S S K K S K e ???? 。
定理3(第三同构定理) 设G 是群，且N G
，G
H
N
≤，则 （1）存在G 的唯一子群,H G H N
≤?，使得H
H
N
=；
（2）当G
H
N
时，存在G 的唯一正规子群,H
G H N
? ，
使得H
H N
=，且
G G N H H
N
?
。
第三同构定理表明：商群G N 的子群仍为商群，且呈H N
的
形式，其中,H
G H N
≤?；而且是的正规子群当且仅当
H N
是G
N
的正规子群。
证明 （1）取自然同态:G G N ?→，()a aN ?=，其核K er N
?=。
由上一节定理4知，在G 的包含N 的子群与G N 的所有子群
之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当G
H
N
≤时，
必然存在G 的唯一的子群,H
G H N
≤?与之对应，即()H H ?=。 另一方面，根据?的定义有()H H N
?=，所以H
H
N =。
（2）还是由上一节定理4，当G
H N
时，存在G 的唯一的正
规子群,H G H N
? ，使得H
H
N
=。再由第一同构定理得
()
()
G
G G
N
H
H H
N
???
?
。
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是
()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
18.1.2 勾股定理的应用（2） 课 型：新 授 主 备：张永辉 审 核：八年级数学备课组 时 间:13年4月 班 级： 姓 名： 【学教目标】 1、利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点 2、利用数形结合的思想进行相关作图。 【学习重点】在数轴上表示无理数的点和勾股定理的应用。 【学习难点】勾股定理的灵活运用。 一、学前准备： 1、勾股定理的内容 2、13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。 二、师生探究： 探究一：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？ 分析：(1)如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。 (2)由勾股定理知，长为2的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？ 由勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示13的点。 2.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图） 探究二：1.如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所 组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。 那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ . 思考：利用课本上的方法能找出表示6和280的点吗？ 我的回答是： ， 原因是 。 三、当堂练习 1.在数轴上找出表示10和280的点. 2．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 4．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 四、拓展提高 1．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米， 又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． 2．如下图，要在河边修建一个水泵，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村 A 、李庄B 到河边的距离分别为2千米和7千米，且张、李二村相距13千米。 （1）、水站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出 水泵的位置； （2）、如果铺设水管的工程费用为每千米1500米，为使铺设水管费用 最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少？ 学教反思 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 A D E B C
第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则
> §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 {
同构式保值性：若)(x h ，))((x p h ，))((x q h 中，D x ∈，D x p ∈)(，D x q ∈)(，故)(x h ，))((x p h ，))((x q h 的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值． 同构式倍值性：在)(x h 和))(()(x p h m x g ?=满足D x ∈，D x p ∈)(，则))(()(x p h m x g ?=的最值是)(x h 的m 倍我们将这个性质概括为同构式的倍值性． 【例1】（2019?榆林一模）已知不等式1x e kx lnx -≥+，对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立， 则k 的最大值 ． 【解析】此题构造乘法的同构显然不可能，因为不等式两边同时乘以x ，kx 将变成平方，无处遁形，并且出现x e 和x ln ，常数项为1，构造函数x e x x h +=)(，根据题意，ln +ln x x e kx ex e x kx ex x ≥+?≥++x ，在此基础上进行同构式转换，即 x e k ex h ex ex ex x kx x ex kx )1()(ln ln ln -++=++-+=++，原不等式可以转化为同构式x e k ex h x h )1()(ln )(-++≥，由于)(ln )(ex h x h ≥恒成立，且当仅当1=x 时等号成立.故 10k e +-?，即1k e ?． 注意：若))(())((x q h x p h ≥恒成立，且)())(())((x x q h x p h ?+≥，则一定要满足0)(≤x ?，此方 法属于同构式的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案. 保值性定理1：若))(())((x q h x p h ≥恒成立，且满足)())(())((x x q h x p h ?+≥，则一定要满足 0)(≤x ?； 保值性定理2：若))(())((x q h x p h ≥恒成立，且满足))(())((x q h m x p h ?≥（0)(≥x h ），则一定要满足10≤≤m ； 若要满足))(())((x q mh x p h =有实根，则一定要满足1≥m ； 保值性定理3：若0))((0))((≥≥x q h x p h ，，且满足当m x =时，0))(())((==x q h x p h ，则一定满足不等式0))(())((≥+x q h x p h ；若0))((=x p h 时和0))((=x q h 时的x 取的值不相等，则0))(())((>+x q h x p h 【例13】（2018?新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1 a ≥时，()0f x ≥．
§3.4 群的同构定理 同态基本定理：设?是群G 到群G 的一个同态满射，则 ker G G ? ? 。 用图表示： 将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。 定理1 (第一同构定理) 设?是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ?? ，记()N N ?=，则 G G N N ?，或 () ()G G N N ??? 。 当ker N ?=时，{}()N e ?=，{} G G G e N =?，第一同构定理退化 成同态基本定理 第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G ?= 。作映射： :G G N N τ→， ()()xN x N τ?=，G xN N ?∈。 以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。 （1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11 ()()()()a b a b N N ????--=∈=，从而()()a N b N ??=， 即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N
的一个映射。 （2）是满射：()G aN a G N ?∈∈，因为? 是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ?=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。 （3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ??=，从而 1 1 ()()()a b a b N ???--=∈。但?是满同态且()N N ?= ，所以 c N ?∈，使得1 1 1 1 1 ()()()K er a b c a b c e a bc ???? -----=??=?∈。 于是由已知条件ker N ??得111 1 1 a bc N a b a bc c N -----∈?=?∈， 从而aN bN =，即是单射。 （4）又由于 ()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττ?????ττ?====?=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。 综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G N N ? 。 推论1. 设,H G N G 且N H ?，则 G G N H H N ? 。 证明 取自然同态:G G N ?→，()a aN ?=，其核K er N ? =。 在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意 ()H H N ?=，由第一同构定理得
17.1勾股定理 第1课时勾股定理 【学习目标】 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想． 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题； 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． 【学习重点】 探索和验证勾股定理． 【学习难点】 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理． 情景导入生成问题 旧知回顾： 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？ 自学互研生成能力
知识模块一发现勾股定理 【自主探究】 阅读教材P22，完成下面的内容： 图17.1－2 思考：图17.1－2中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 解：可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．【合作探究】 阅读教材P23探究，完成下面的内容： 思考：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 归纳：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 知识模块二证明勾股定理 【自主探究】 阅读教材P23～24，完成下面的内容： 理清证明命题1的基本思路：用面积法，拼图证明它们的面积相等，从而得到a2＋b2＝c2. 【合作探究】 如图：
解：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ， 即b 2＝12c 2＋12 (b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2； 知识模块三 勾股定理的简单应用 【自主探究】 如图所示，△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15.求BC 边上的高AD 的长． 解：设BD ＝x ，则DC ＝14－x ， 由勾股定理得AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即132－x 2＝152－(14－x )2，解得x ＝5， ∴AD ＝132－52＝12. 【合作探究】 如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE .
定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈?∈?-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈?∈∈?-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）
第十四讲同态与同构 §14.1. 同态 §14.2. 同态基本定理 §14.1. 同态 在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。 1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射 (1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))， 记为G∽f H (2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto (3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G ≌f H (4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b) (5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且 1-1&onto 1.2.例： (1)(Z,+),(Z2,+2)为群， 令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。 令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为 f(x)=2x ∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。 (3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x， 则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。 1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群， (1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。 (2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。 证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y) ∴f a为同态 又∵f a为1-1&onto ∴f a为同构. # 1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。 证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5) ∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod 6)=f i(x)+6f i(y) ∴f i为同态. ∵f i(1)=i ∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。 (2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}， 则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod 6),
2.2 同构与等价的范数 在《高等代数》上关于有限维线性空间，有一个重要的结论． 定理 数域K 上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数． 这里的同构就是在两个有限维线性空间存在保持加法和数乘的一一映射σ：12V V →满足 1,V αβ?∈,k ∈K 有 ()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=． R 上的所有n 维线性空间V 同构n R ． 2.2.1 同构问题 设X 为一线性赋范空间，如果X 作为线性空间时它的维数为n ，则称X 为n 维线性赋范空间．X 是R 上的n 维线性空间是指：在X 中存在n 个线性无关的向量12,,,n e e e ，使得x X ?∈，有唯一的表达式 1122n n x k e k e k e =+++ ，i k ∈R (1,2,,i n = ) 其中称12(,,,)n k k k 为x 关于12,,,n e e e 的坐标． 若X 为n 维线性赋范空间，自然存在从X 到n R 上的一一映射T ：X n →R ，x X ?∈，不妨设1122n n x k e k e k e =+++ ，可令 121()()(,,,)n n i i n i T x T k e k k k ===∈∑ R 易证()()()T x y T x T y αβαβ+=+，其中,αβ∈R ，,x y X ∈，即T 保持了X 与n R 的线性结构不变． 定理 2.2.1 设X 是实数域R 上的n 维线性赋范空间，则X 与n R 线性等距同构． 证明 设T 是从X 到n R 上的一一映射，且x X ?∈，121()()(,,,)n n i i n i T x T k e k k k ===∈∑ R ， 显然T 是线性同构映射．下面仅需证明T 的保距性，即对于X 上的范数X ?，在n R 上设置一种范数n ? R ，使得() n X T x x =R ． x X ?∈，x 在X 上的范数为X x ，定义() n X T x x =R ，下证n ? R 是n R 上的范数．为了书 写的方面记()x T x =，()y T y =． (1) 正定性 显然，0n X x x =≥R ，而且 0n x =R ?0X x =0x ?=12(,,,)0n x k k k ?== 0x ?=． (2) 齐次性 α?∈R ，()x T x =n ∈R ，有 () () n n n n X X x T x T x x x x αααααα=====R R R R ．
第一章勾股定理 １．探索勾股定理（三） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第一章第一节，本节课为第三课时，课题为《拼图与勾股定理》。在本章的前面几节课中，学生已经学习了勾股定理，了解了勾股定理的广泛使用，学习了利用割补法计算图形的面积来验证勾股定理。 学生的活动经验基础：学生在初一学习过基本几何图形的面积计算的一些方法，例如：割补法等，但运用面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导；在先前的学习过程中，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为本节课的活动（拼图对勾股定理进行无字的证明）奠定了一定的基础。 二、学习任务分析 本课题是学生初步认识了“勾股定理”后，对勾股定理探究的加深与提高，具有一定的挑战性。 课本上设计了丰富的拼图活动，让学生经过自己的操作和思考，既经历验证勾股定理的过程，获得相应的数学活动经验，又能了解中外多种方法，开阔视野，感受古代人民的聪明才智。为此确定如下教学目标： 知识与技能目标： 1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系； 2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。 过程与方法目标： 1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值； 2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。 3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。 情感与态度目标： 1.通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体 验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。 教学重点： 1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。 2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。 教学难点： 1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。 2．利用数形结合的方法验证勾股定理。
17.1勾股定理 第3课时 【教学目标】 知识与技能: 1.掌握利用勾股定理在数轴上表示无理数. 2.能用勾股定理解决求直角坐标系或网格中求线段长度的问题. 过程与方法: 经历探索用勾股定理在数轴上表示无理数探索过程,体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力. 情感态度与价值观: 培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值. 【重点难点】 重点:能用勾股定理在数轴上表示无理数.能用勾股定理解决求直角坐标系或网格中线段长问题. 难点:用勾股定理解决求直角坐标系或网格中线段长问题. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课: 如图是一美丽的海螺图,而在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案.你知道“海螺型”图案怎么画出的吗?你会画出吗?你能在数轴上画出表示的点吗?那表示的点呢?表示的点呢?这一节课我们就来研究这一问题. 二、探究归纳 活动1:探究在数轴上表示无理数 1.填空:
(1)在数轴上表示. 要在数轴上画出表示的点,只要画出长为的线段即可.利用勾股定理,长为的线段是直角边为正整数______ ,______的直角三角形的斜边. (2)如图,在数轴上找出表示3的点A,则OA=____,过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点____即为表示的点. 答案:(1)32(2)32C 2.思考:在数轴上如何画出表示的点? 提示:利用勾股定理,长为的线段是直角边为正整数10,1的直角三角形的斜边,可以作出长为 的线段,进而在数轴上画出此点. 3.归纳:在数轴上,可以画出表示,,,,,……,(n是正整数)的点. 活动2:在方格中表示无理数 如图所示,在5×5的正方形网格中,每个最小正方形的边长都等于1,则线段AB=________. 答案: 活动3:例题讲解
第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构（2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A到A的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一
一映射（双射）。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?， 其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?： a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。 1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。 1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?， 这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。 综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。
课题：1、1探索勾股定理（第三课时） 教学目标： 知识与技能目标： 1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系； 2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。 过程与方法目标： 1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值； 2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。 3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。 情感与态度目标： 1通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。教学重点： 1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。 2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。教学难点： 1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。 2．利用数形结合的方法验证勾股定理。 教学准备： 剪刀、双面胶、硬纸板、直尺（或三角板）、铅笔、多媒体课件。 三、教学过程 第一环节复习引入（3分钟，师生问答） 问题：1、勾股定理的内容？ 2、在直角三角形中，已知：∠C=900 a = 5,b = 12 求c=?
第二环节验证过程的分析与欣赏（10分钟，分组合作交流） 内容：教师引导学生对收集的验证方法进行归类整理： 验证方法一：剪切、拼接。学生利用手中的纸板、剪刀、分组分工，合作进行，全班交流 验证方法二：制作“青朱出入图”，仿造教材12页。 第三环节 尝试拼图，验证定理（12分钟，动手操作，合作探究） 内容：五巧板的制作 ·教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。 ·步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使 DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形A BDE分成五部分①②③④⑤。 沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。 B 1．利用五巧板拼“青朱出入图”。 2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？ 3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？ 4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？ 可能的拼图方案：
维数定理与容斥原理 两个有限维子空间的和的维数定理： dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理： card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2) 子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？ 可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。 那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理 card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理 dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U3)+dim(U1 ∩ U2∩ U3) 成立呢？ 循着它们之间的类比关系，我们可以先选取U1 ∩ U2∩ U3的基底，然后分别扩充到U1 ∩ U2、U2 ∩ U3和U1 ∩ U3的基底，再接着分别在U1、U2、U3中扩充成U1、U2、U3各自的基底，这种类比关系似乎可以轻松延续。 沿着另一条路似乎也可以到达目的地：即通过将U1+U2+U3写成(U1+U2)+U3，并应用两个子空间的维数定理一步一步地证明三个子空间的情形。现在先看看这条路：