（VI ）同态、同构、Cayley 定理与循环群的分类
一、同态与同构
1、概念
的同态像。
为是满同态，则称【同态像】：若同态
满射【同构】：单射的同态。
为则称，有是映射，如果对【同态】：设都是群
注：G G G G f G G f b f a f ab f G b a G G f G G →++→=∈?→:)()()(,:,*
2、同态的性质 n
a f o n a o a f a f e
e f G G f |))(()()3())(()()2()(1:11?===→--）（是同态，则
设
二、Cayley 定理 任一群均同构于某一变换群
特别地，任一有限群同构于某一置换群。
三、循环群的分类
)
,(,)()2()
,(,)()1()(+?=+?∞==n Z G n a o Z G a o a G 则则，则有
分类定理：设
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是
()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则
> §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 {
授课时间十一周第 2 次课
更广泛的同态映射定义 定义设V1=
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
§3.4 群的同构定理 同态基本定理：设?是群G 到群G 的一个同态满射，则 ker G G ? ? 。 用图表示： 将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。 定理1 (第一同构定理) 设?是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ?? ，记()N N ?=，则 G G N N ?，或 () ()G G N N ??? 。 当ker N ?=时，{}()N e ?=，{} G G G e N =?，第一同构定理退化 成同态基本定理 第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G ?= 。作映射： :G G N N τ→， ()()xN x N τ?=，G xN N ?∈。 以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。 （1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11 ()()()()a b a b N N ????--=∈=，从而()()a N b N ??=， 即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N
的一个映射。 （2）是满射：()G aN a G N ?∈∈，因为? 是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ?=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。 （3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ??=，从而 1 1 ()()()a b a b N ???--=∈。但?是满同态且()N N ?= ，所以 c N ?∈，使得1 1 1 1 1 ()()()K er a b c a b c e a bc ???? -----=??=?∈。 于是由已知条件ker N ??得111 1 1 a bc N a b a bc c N -----∈?=?∈， 从而aN bN =，即是单射。 （4）又由于 ()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττ?????ττ?====?=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。 综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G N N ? 。 推论1. 设,H G N G 且N H ?，则 G G N H H N ? 。 证明 取自然同态:G G N ?→，()a aN ?=，其核K er N ? =。 在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意 ()H H N ?=，由第一同构定理得
环的同态基本定理 (1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环S R 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈?， 称为R 到S R 的自然同态； (2) R ，R '是环，?是环R 到环R '的满同态，令?Ker K =，则商环K R 与环R ' 同构． 证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η． 故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又 ()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη， 即η是满同态． (2) 首先，作为像集合()()a K a ??=+．这是因为K 中任一元k 在?下的像为零，则 ()()()()()a a k a K a ?????=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射 R S R '?→?? ()()a K a K a ??=++ ． 又 ()()K b K a +++ψψ ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψ??? ＝()()()K b K a +++ψ， ()()K b K a ++ψψ ＝()()()()K ab ab b a +==ψ??? ＝()()()K b K a ++ψ，
()()R R R K '==+111?ψ， 故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态?，只看R 与R '的加法群结 构是加法群的满同态．而?Ker K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理， ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构． 例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==． 证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式 ()()()()x r x m x q x f +=， 这里()0=x r 或()()()()x m x r ?
本科毕业论文题目群论四大定理的探讨 专业数学与应用数学 作者姓名庄静 学号2010201063 单位聊城大学数学科学学院 指导教师李令强 2014 年 05 月 教务处编
原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期：
目录 1.引言 (1) 2.群同态与同构基本定理 (2) 2.1 群同态与同构 (2) 2.2 群同态基本定理 (6) 2.3 群同构基本定理 (7) 2.4 群同态与同构的意义 (10) 3.有限群理论重要定理 (11) 3.1 Sylow定理 (11) 3.2 有限交换群的基本定理 (16) 4.定理的应用 (21) 4.1 群同态与同构定理的应用 (22) 4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23) 5.小结 (26) 6.参考文献 (27) 7.致谢 (29)
摘要 在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性. 关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理 .
同态基本定理的应用 摘要：通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程. 关键词：同态基本定理;同构;商群;商环 证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5μGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明. 本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ; H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理 想) ; G1 μG2表示G1与G2同构. 以下是同态基本定理的应用举例. 例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKμHP(H HK) . 证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义. ( ? ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元. 若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即 5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射. ( ? ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射. ( ? ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK = h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态. ( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H H K } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK μH PH H K . 例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHμ(GPK)P(H PK) . 证明( ? )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映 射,且容易看出5是满射. (? )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) = [ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算. (? )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { g I G | 5 ( g) = H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH μ( GPK )P( H PK ) . 例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)μ(S+I)PI. 证明( ? )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理 一、正规子群（不变子群） G H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为 为则称， 有如果 、定义：设=∈?≤,,1 ·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。 ·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H aHa H aHa H h G a H aha G H G H =?∈∈?∈? ≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法 Eg1.)()(R GL R SL n n Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈?== Eg3.44S A Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。 二、商群 的商群 关于称为是群 则在上述条件下上定义代数运算： 在、【商群】：设H G H G H G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/} |{/,1?∈?=?∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ） 三、群同态基本定理 1、同态的像、同态核 设G G f →:是群同态，
同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有： （1）G f ≤Im （2）G f ker 2、群同态基本定理 设G G f →:是群同态?群同构：f f G Im ker /? 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ?ker /
第十四讲同态与同构 §14.1. 同态 §14.2. 同态基本定理 §14.1. 同态 在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。 1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射 (1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))， 记为G∽f H (2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto (3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G ≌f H (4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b) (5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且 1-1&onto 1.2.例： (1)(Z,+),(Z2,+2)为群， 令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。 令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为 f(x)=2x ∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。 (3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x， 则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。 1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群， (1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。 (2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。 证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y) ∴f a为同态 又∵f a为1-1&onto ∴f a为同构. # 1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。 证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5) ∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod 6)=f i(x)+6f i(y) ∴f i为同态. ∵f i(1)=i ∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。 (2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}， 则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod 6),
代数结构同态的方法及应用 摘要 本文简要介绍了群论的相关概念，其中主要介绍了群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法。重点介绍了群同态概念、群同态的基本定理以及群同态基本定理的运用。利用子群、不变子群以及群同态基本定理推出一系列与同态基本定理相关定理。是同态基本定理的延伸和运用，对群论和群同态的后续研究起到了非常重要的作用。最后通过一系列典型例子进一步讨论了群同态基本定理的运用。 关键字：群；子群；不变子群；群同态
Algebraic structure and its application with the state Abstract This paper introduces the concepts of group theory which introduces the group concept, the concept of subgroups, and the concept of invariant subgroups and sub-group discrimination method and the same sub-group discrimination method. Focuses on the concept of group homomorphisms, groups, and the fundamental theorem of homomorphisms of the fundamental group of the application. Use of subgroups, invariant subgroup, and the fundamental theorem of groups launched a series of correlation of the fundamental theorems. Is the fundamental theorem of the extension and application of group theory and group follow-up study with the state played a very important role. Finally, a typical example of a group to further discuss the application of the fundamental. Keywords：group; subgroup; invariant subgroup; group homomorphism
环同态及同态基本定理 定义2.设21:R R →?是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象 }0)(|{)0(11=∈=-a R a ??叫作?的模,通常记??Ker =-)0(1. 定理1.设R R ?→??是一个环同态满射,令?Ker I =那么 (ⅰ) I R (ⅱ)R I R ? 证明:(ⅰ)对加法而言,?显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可. . ,R r I k ∈?∈?那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈?===????同理 I kr ∈.∴ I R (ⅱ)由第二章知,存在R I R ?Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈? ),(])([a a ?=Φ下面只需证明:I R b a ∈?][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但 ][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φ???. ∴ R I R →Φ:是环同构.即R I R ?Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:?.使得?是满同态且模I Ker =?.称这样的?为环的自然同态. 证明:令I R R →:?,其中][)(a a =?, 显然?是个满射.而且R b a ∈?,. )()(][][][)(b a b a b a b a ???+=+=+=+ )()(]][[][)(b a b a ab ab ???=== ∴I R R ～.至于I Ker =?是显然的. 注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环. 与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.设R R →:?是环同态映射,那么
习题八: 同态与同构 1．证明：如果f 是由到<*,B >的同态映射，g 是由*??,B 到???,C 的同态映射，那么，f g 是由到???,C 的同态映射。 2．设*??,G 是一个群，而G a ∈，如果f 是G 到G 的映射，使得对于每一个G x ∈，都有 1)(-**=a x a x f 试证明f 是一个从G 到G 上的自同构。 3．试证由表5-8.9所给出的两个群
4．设1f ，2f 都是从代数系统到代数系统<*,B >的同态。设g 是从A 到B 的一个映射，使得对任意A a ∈，都有 )()()(21a f a f a g *= 证明：如果<*,B >是一个可交换半群，那么g 是一个由到<*,B >的同态。 5．+??,R 是实数集上的加法群，设 R x e x f ix ∈→,:2π f 是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。 6．证明：循环群的同态象必定是循环群。 8．{}??-?,0R 与+??,R 同构吗？ 8．证明：一个集合上任意两个同余关系的交也是一个同余关系。 9．证明定理5-8.4中在B 上所定义的二元运算*是唯一确定的。 10．考察代数系统+??,I ，以下定义在I 上的二元关系R 是同余关系吗？ a)R y x ∈??, 当且仅当)00()00(≥∧≥∨<∧
第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构（2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A到A的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一
一映射（双射）。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?， 其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?： a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。 1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。 1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?， 这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。 综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。
群同态定义,单、满同态,同构 群同态定义，单、满同态，同构 群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是 它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群 与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质. 定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即 称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称 是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为 ，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射 称为自同构. 需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式 中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令 则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例 2 设是虚数单位，令 则是到的同态. 例3 设是虚数单位，令 .
则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令 注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示. 例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令 则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到. 例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令 则是到模剩余类加群的同构映射，因此. 我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立. 命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态. 证明:是到的映射, 又 ，故是到的同态. 实际上我们还有如下性质: 命题2