第十四讲同态与同构
§14.1. 同态
§14.2. 同态基本定理
§14.1. 同态
在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。
1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射
(1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))，
记为G∽f H
(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto
(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G
≌f H
(4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b)
(5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且
1-1&onto
1.2.例：
(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，
令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。
令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为
f(x)=2x
∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。
(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，
则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。
1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群，
(1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。
(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。
证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)
∴f a为同态
又∵f a为1-1&onto
∴f a为同构. #
1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。
证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)
∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod
6)=f i(x)+6f i(y)
∴f i为同态.
∵f i(1)=i
∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。
(2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}，
则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod
6),
令f(1)=k,故f=f k ,从而(Z 6,+6)恰有6个自同态。
(3)f 0,f 2,f 4不是满同态，故它们非同构。
f 1为同构，f 5(x)=5x(mod 6)=6-x(mod 6)为同构，f 3不是1-1故不是同构。
习题：(Z n ,+n )共有几个自同构？
解：（1）令:i n
n f Z Z →，()(mod )([/])i f x ix n ix ix n n ==-?，(0,1,2,...,1)i n =-,则,n
x y Z ?∈，()()(mod )(mod )(mod )
i n n n f x y i x y n ix n iy n +=+=+()()i n i f x f y =+，故:i n n
f Z Z →是自同态，又(1)i f i =，则i j f f ≠，i j ≠，故(,)n n Z +至少有n 个自同态。 （2）设:n n f Z Z →为自同态，则()(1)(1)...(1)(1)n n n f i f f f if =+++=（modn ），令(1)f k =，()k n <,则()(mod )f i ik n =(mod )k if n =,故(,)n n Z +有n 个自同态，自同构是其中满足一一映射的自同态。
1.5. 命题：设f 为从群(G ,*)到群(H,?)的同态
(1) f(e G )=e H
(2) f(a -1)=(f(a))-1 for all a ∈G
证明：(1)∵f(e G )=f(e G e G )=f(e G )f(e G )
∴f(e G )=f(e G )(f(e G ))-1=e H
(2)∵f(a -1)f(a)=f(a -1a)=f(e G )=e H
f(a)f(a -1)=f(aa -1)=f(e G )=e H
∴f(a -1)=(f(a))-1 # 1.6. 命题：设f 为从群(G ,*)到群(H,?)的同态
(1) 若(T,*)≤(G,*)，则(f(T),?)≤(H,?)
(2) 若(T,*) (G,*)且f 为onto ，则(f(T),?) (H,?)
证明：(1)设(T,*)≤(G,*),欲证(f(T), ?)≤(H, ?),只需证：
(1.1)f(T)≠?
(1.2)(?t,s∈T)f(t)(f(s))-1∈T
(1.3)∵T≠?∴f(T)≠?，故(1.1)成立。
对于t,s∈T,∵f(t)(f(s))-1=f(t)f(s-1)=f(ts-1),
又ts-1∈T∴f(t)(f(s))-1∈f(T),故(1.2)成立。
(2)欲证f(T)是正规的，只需证(?t∈T)(?h∈H)(hf(t)h-1∈T)
设t∈T,h∈H,∵f为onto，∴有s∈T使h=f(s)
从而hf(t)h-1=f(s)f(t)(f(s))-1=f(sts-1)
∵T正规，∴sts-1∈T,故hf(t)h-1∈f(T) # 在第十一讲“群”的例子中，我们提及群(T A,?),这里T A={f|f: A→A且f为1-1&onto},?为复合，T A被称为A上的变换群。1.7.(Cayley定理)设(G,*)为群，(G,*)同构嵌入于(T G,?),i.e.有τ:
G→T G为1-1同态映射，从而(G,*)同构于(T G,?)的某个子群。
证明：令τ: G→T G,对于a∈G,τ(a): G→G定义如下：
记τ(a)为τa, τa(x)=xa,由于群G满足消去律且对ax=b方程有解，故τa为1-1&onto, τa∈T G
(1)τ(a*b)= τ(a)?τ(b)
∵τab(x)=xab=τa(x)b=τb(τa(x))
∴τab=τa?τb
(2)τ为1-1.∵τa=τb→τa(a)= τb(a)→aa=ab→a=b∴τ为1-1.
(3)(G,*)≌τ(τ(G),?)≤(T G, ?) #
注1：Cayley 定理阐明了变换群的universality.
注2：Cayley 定理中，一般(G,*)不同构于(T G , ?)，这是因为当|G|=n 时，|T G |=n!，仅当n=1,2时，(G ,*)同构于(T G , ?). （？）习题：高斯整数加群G(={m+n 1-|m,n ∈Z }同构嵌入正有理数乘群。
证明：
:f G Q +→，2(3
m
n f m +=，易知f 是一一映射，
()(0)1G Q f e f e +===，且1212,,,m m n n Z ?∈，12(((f m n m n +++= 12
1223m m n n ++12121222((33
m m n n f m n f m n =?=+++，故f 是G 到Q +的子集的同构映射，故高斯整数加群G(={m+n 1-|m,n ∈Z }同构嵌入正有理数乘群，证毕。
1.8. 命题：设(G,*)为群，令A G ={f|f: G →G 为(G,*)之自同构}，(A G , ?)≤(T G , ?).
证明：∵f ∈A G →f 为1-1&onto,∴A G ?T G
又Id G ∈A G ,设f,g ∈A G ，下证f ?g ∈A G
∵f,g ∈A G , ∴f,g 为1-1&onto, ∴f ?g 为1-1&onto 又(f ?g)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)f(b))=g(f(a))*g(f(b))=(f ?g)(a)* (f ?g)(b)
从而f ?g ∈A G 设f ∈A G ,下证f -1∈A G ，只需证f -1(ab)=f -1(a)f -1(b)-------------------(*)
∵f(f -1(a)f -1(b))=(ff -1(a))(ff -1(b))=ab
∴(*)成立。因此(A G ,?)≤(T G, ?) # 注1：大Cayley 定理中定义的τ，在τ(G)中只有τe ∈A G ，故A G ?τ(G)={e}.
注2：自同构与对称是平行的。
1.9.命题：设(G,*)为群，a ∈G ，令f a : G →G 为f a (x)=a -1xa ，设IA G ={f a : G →G|a ∈G}，则(IA G ,?)≤(A G ,?)。这里呈形f a (x)=a -1xa 的映射被称为内自同构(inner automorphism)，其它映射被称为外自同构(outer automorphism).
证明：(1)设f a (x)=a -1xa,f a 为G 之自同构。
由消去律和方程有解知：f a 为1-1&onto.
又f a (xy)=a -1xya=a -1xaa -1ya=f a (x)f a (y)
故f a 为自同构，因此IA G ?A G (2)∵Id G (x)=e -1xe, ∴Id G ∈IA G
(3)设f a (x)=a -1xa,f b (x)=b -1xb,这里a,b ∈G
(4)∵f a (axa -1)=a -1axa -1a=x
af a (x)a -1=x
∴f a -1(x)=axa -1，从而f a -1∈IA G (IA G ,?)≤(A G ,?) #
（？）习题1：Abelian 群除恒同映射外无内自同构。
证明：设(,)G *为Abelian 群，:f
G G →为内自同构，则存在a G ∈，x G ?∈，1()f x a xa -=，又11a xa a ax x --==，故()f x x =，即f 为恒同映射。证毕。
（？）习题2：正方形的对称群有4个内自同构和4个外自同
构。
1.20. 注(Galois)设(H,*)≤(G,*),(H,*) (G,*)?H在所有G的内自同构下不变(invariant).
?(?a∈G)(f a(H)?H)?(?a∈G)(?h∈H)(a-1ha∈H) G的正规子群在所有G的内自同构下不变，故正规子群亦称不变子群(Invariant Subgroup).
正方形的旋转群为正方形对称群之不变子群。
1.21. 命题：设(G,*)为群，IA G定义如1.9，(G,*)满同态于(IA G,?).
证明：令τ: G→IA G,a∈G,τ(a)=f a∈IA G
(1)τ(ab)=τ(a)?τ(b)
∵τ(ab)(x)=f ab(x)=b-1a-1xab
(τ(a)?τ(b))(x)=f b(f a(x))=b-1a-1xab
∴(1)成立。
(2)易见τ为onto. #
§14.2. 同态基本定理
2.1.定义：设f为从群(G,*)到(H,?)的同态，同态f的核Ker(f)
定义为{x∈G|f(x)=e H}
2.2.例：令f: Z→Z n,f(x)=x-[x/n]*n=x(mod n)，
从而(Z,+)∽f(Z n,+n)，Ker(f)={x|f(x)=0}={nx|x∈Z}=n Z
2.3.事实：(1)当f为同构时，Ker(f)={e G}
(2)令Id G: G→G，Ker(Id G)={e G}
(4)令?: G→G，?(x)=e G，Ker(?)=G.
2.4.定理：设f为从(G,*)到(H,?)的同态
(1)(Ker(f),*) (G,*)
(2)f为1-1 iff Ker(f)={e G}
证明：(1.1)e G∈Ker(f)
∵f(e G)=e H∴e G∈Ker(f)
(1.2)若a,b∈Ker(f)则ab-1∈Ker(f)
a,b∈Ker(f)→f(a)=f(b)e H→f(ab-1)=f(a)(f(b))-1=e H→ab-1∈Ker(
f)
(1.3)(?a∈G)(?k∈Ker(f))(a-1ka∈Ker(f))
a∈G,k∈Ker(f)→a∈G∧f(k)=e→f(a-1ka)=(f(a))-1f(k)f(a)=(f(a))-1e
f(a)=e H
H
故(1)成立。
(2)f为1-1?(f(x)=f(y)?x=y)?(f(x)(f(y))-1=e H
?xy-1=e G?(f(xy-1)=e H?xy-1=e G)
?(xy-1∈Ker(f)?xy-1=e G)?Ker(f)={e G} # 2.5.命题：设(N,*) (G,*)，令f: G→G/N如下：f(a)=Na(a∈G)，
则
(1)f为从(G,*)到(G/N,?)的满同态，称f为典则同态。
(2)Ker(f)=N
证明：(1)∵f(a*b)=N(ab)=(Na)?(Nb)=f(a)?f(b)
∴f为同态，易见f为onto，故(1)成立。
(2)Ker(f)={x∈G|f(x)=Ne}={x∈G|Nx=Ne}={x∈G|xe-1∈N}=N
#
2.6.定理(同态基本定理)：设(N,*) (G,*),(G,*)∽f(H,?)
(1)(G,*)满同态于(G/N,?)
(2)(f(G),?)≤(H,?)
(3)G/Ker(f)同构于(f(G),?)
证明：(1),(2)由前面定理易得。
(3)G/Ker(f)≌(f(G),?)。设K=Ker(f)
令τ: G/K→f(G)如下：τ(Ka)=f(a)
(3.1)τ is well-defined且τ为1-1，i.e. Ka=Kb?f(a)=f(b)
∵
Ka=Kb?ab-1∈K?f(ab-1)=e H?f(a)(f(b))-1=e H?f(a)=f(b)
∴(3.1)成立。
(3.2)τ为onto，易见。
(3.3)τ为同态，i.e. τ((Ka)?(Kb))=τ(Ka)?τ(Kb)
∵τ((Ka)?(Kb))=τ(Kab)=f(ab)=f(a)?f(b)=τ(Ka)?τ(Kb)
∴(3.2)成立。
故τ为同构。
图示如下：
注：设
(N,*)(G ,*)且σ
N : G →G/N 为典则映射，i.e. σN (a)=Na 。这样
σ
N 把正规子群变换成满同态，反之，Ker(f)把满同态f 变换成正规子群Ker(f)。我们有σKer(f)?τ=f 且Ker(σN )=N ，这提示了正规子群与满同态之间的对应关系。
例：设(H,*)(K,*)(G ,*)，证明G/K ≌(G/H)/(K/H).
证明：Try to find f: G/H →G/K 为满同态且Ker(f)=K/H ，从而由同态基本定理得证。
令f(Ha)=Ka for all a ∈G
(1)f s well-defined.
Ka=Kb ?ab -1∈K ←ab -1∈H ?Ha=Hb
(2)f is onto 易见。
(3)f 为同态。
f((Ha)(Hb))=f(Hab)=K(ab)=(Ka)(Kb)=f(Ha)f(Hb) (4)Ker(f)={Ha|f(Ha)=K ∧a ∈G}={Ha|Ka=K ∧a ∈G}={Ha|a ∈K
}=K/H #
第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则
授课时间十一周第 2 次课
更广泛的同态映射定义 定义设V1=
第十四讲同态与同构 §14.1. 同态 §14.2. 同态基本定理 §14.1. 同态 在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。 1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射 (1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))， 记为G∽f H (2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto (3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G ≌f H (4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b) (5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且 1-1&onto 1.2.例： (1)(Z,+),(Z2,+2)为群， 令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。 令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为 f(x)=2x ∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。 (3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x， 则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。 1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群， (1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。 (2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。 证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y) ∴f a为同态 又∵f a为1-1&onto ∴f a为同构. # 1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。 证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5) ∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod 6)=f i(x)+6f i(y) ∴f i为同态. ∵f i(1)=i ∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。 (2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}， 则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod 6),
习题八: 同态与同构 1．证明：如果f 是由到<*,B >的同态映射，g 是由*??,B 到???,C 的同态映射，那么，f g 是由到???,C 的同态映射。 2．设*??,G 是一个群，而G a ∈，如果f 是G 到G 的映射，使得对于每一个G x ∈，都有 1)(-**=a x a x f 试证明f 是一个从G 到G 上的自同构。 3．试证由表5-8.9所给出的两个群
4．设1f ，2f 都是从代数系统到代数系统<*,B >的同态。设g 是从A 到B 的一个映射，使得对任意A a ∈，都有 )()()(21a f a f a g *= 证明：如果<*,B >是一个可交换半群，那么g 是一个由到<*,B >的同态。 5．+??,R 是实数集上的加法群，设 R x e x f ix ∈→,:2π f 是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。 6．证明：循环群的同态象必定是循环群。 8．{}??-?,0R 与+??,R 同构吗？ 8．证明：一个集合上任意两个同余关系的交也是一个同余关系。 9．证明定理5-8.4中在B 上所定义的二元运算*是唯一确定的。 10．考察代数系统+??,I ，以下定义在I 上的二元关系R 是同余关系吗？ a)R y x ∈??, 当且仅当)00()00(≥∧≥∨<∧
第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构（2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A到A的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一
一映射（双射）。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?， 其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?： a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。 1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。 1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?， 这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。 综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。
群同态定义,单、满同态,同构 群同态定义，单、满同态，同构 群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是 它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群 与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质. 定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即 称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称 是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为 ，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射 称为自同构. 需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式 中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令 则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例 2 设是虚数单位，令 则是到的同态. 例3 设是虚数单位，令 .
则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令 注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示. 例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令 则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到. 例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令 则是到模剩余类加群的同构映射，因此. 我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立. 命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态. 证明:是到的映射, 又 ，故是到的同态. 实际上我们还有如下性质: 命题2