电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案
第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e
4y z =-+B e e 52x z =-C e e
求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；
（7）()?A B
C 和()?A B
C ；（8
）()??A
B C 和()??A B C 。
解 （1）23A x y z
+-=
==+e e e A a e e
e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e
(4)y z -+=e e －11
（4）由 cos AB θ
=
14==?A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5=
（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=17
=-
A B B （6）?=A C 1235
02
x y z
-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502
x y z
-=-e e e 8520x y z ++e e e
?=A B 123041
x
y
z
-=-e e e 1014x y z ---e e e
所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e
（8）()??=A B C 1014502
x
y
z
---=-e e e 2405x y z -+e e e
()??=A B C 1
238
5
20
x
y z -=e e e 554411x y z --e e e
1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123
PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)
P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e
则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，
311367x y z =-=---R r r e e e
由此可见
1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e 故123
PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积
122312231117.1322S =?=?==R R R R
1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为
11cos (
)cos 32.31x P P x
P P φ--''===e R
R 11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R
11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R
1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。
解 A 与B 之间的夹角为 11cos (
)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 3.53277
B A ===-B A
B 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在x y z =-+
C e e e 上的分量。
解 ?=A B 234641
x y z
-=--e e e 132210x y z -++e e e
所以?A B 在C 上的分量为 ()?=C A B ()14.433
?=-=-A B C C 1.6 证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C =B C ； 解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即
()()()()-=-A B A A A B A C A A A C
由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。
解 由=?P A X ，有
()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A
A X
故得 p -?=A A P X A A
1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3
π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标
中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z = 故该点的直角坐标为(2,-。
（2）在球坐标系中
5r ==、1tan (43)53.1θ-==、2120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120) 1.9 用球坐标表示的场2
25r r =E e ，
（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；
（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。
解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故
2251
2
r r ==E e
1cos
220
x x rx E θ====-
e E E
（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以
233452525r r -+-===
e e e r E
故E 与B 构成的夹角为 11cos ()cos (153.63θ--===EB E B E B
1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2R 间夹角的余弦为
121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-
解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
得到 12
12
cos γ=
=R R R R 1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=
121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++=
121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+
1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r S
θ?e S 的值。
解 (3sin )d (3sin )d r r r S
S
S θθ==
??e S e e 22
20
d 3sin 5
sin d 75ππ
φθθθπ?=??
1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。 解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z ???=+=+??A
所以 4
25
d d d (32)d 1200z r r r π
τ
τφπ?=+=????A
又 2
d (2)(d d d )r z r r z z S
S
r z S S S φφ=+++=??A S e e e e e
42522
00
00
55d d 24d d 1200z r r ππ
φφπ?+?=????
故有 d 1200τ
τπ?=?A d S
=
?A S
1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解 （1）2222232222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z
????=++=++???A （2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为
121212
2222121212
1d (2272)d d d 24
x x y x y z x y z τ
τ---?=
++=
????
A （3）A 对此立方体表面的积分
12121212
2212121212
11
d ()d d ()d d 22S
y z y z ----=--+?
????A S
1211212
222212121212
112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+????
112
1212
2
2
322312121212
11124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=???? 故有 1d 24τ
τ?=
?A d S =?A S
1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积的积分。
解 223
d d d sin d 4r S
S
S aa a π
π
φθθπ==
=????r S r e 又在球坐标系中，221()3r r r r
??==?r ，所以
223
000
d 3sin d d d 4a
r r a ππτ
τθθφπ?=
=????r 1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的
两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
解 2
2
2
2
2
d d d 2d 0d 8C
x x x x y y =-+-=?????A l
又 2222x
y z x z yz x x y z x x y z
?
??
??==+???e e e A e e 所以 22
00
d (22)d d 8x z z S
yz x x y ??=+=???A S e e e
故有 d 8C
=?A l d S
=???A S
1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算??A 对此圆面积的积分。 解 2
d d d C
C
x x xy y =
+=
?
?A l 242
4
2
2
(cos sin cos sin )d 4
a a a π
πφφφφφ-+=
?
d ()d y
x z z S S
A A S x y ????=-=????A S e e 24222
00d sin d d 4a S a y S r r r π
πφφ==??? 1.17 证明：（1）3?=R ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A 。其中x y z x y z =++R e e e ，A 为一常矢量。
解 （1）3x y z x y z
????=++=???R
5 / 122
（2） x y z
x y z x y y
?????==???e e e R 0 （3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R ，故
()()()x
x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ???=++++++??A R e e ()z x y z A x A y A z z
?
++=?e x x y y z z A A A ++=e e e A 1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F ，那么函数()f r 会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d [()]0d rf r r r
?==F
可得到
()C
f r r
=
C 为任意常数。 在球坐标系中，由 221d [()]0d r f r r r
?==F
可得到 2
()C f r r =
1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -的线积分d ?E l ：（1）沿抛物线2x y =；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？
解 （1） d d d x y C
C
E x E y =+=??E l d d C
y x x y +=?
2
2
2
1d(2)2d y y y y +=?
2
2
1
6d 14y y =? （2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为
28
12
x x y y --=-- 即 640x y -+= 故 2
1
d d d d(64)(64)d x y C
C
E x E y y y y y =+=-+-=???E l 2
1
(124)d 14y y -=?
由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.20 求标
量函数2x yz ψ
=的梯度及
ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量
x
y z
+e e e (2,3,1)点的方向导数值。 解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y z ψ
????=+
+=???
e e e
222x y z xyz x z x y ++e e e
故沿方向
l x y z =+e e e e 的方向导数为
22
50
l l
ψψ?=?=
+?e 点(2,3,1)处沿l e 的方向导数值为
l ψ?=+=
?
1.21 试采用与推导直角坐标中y x z A
A A x y z
????=++???A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式
1()z r A A rA r r r z
φφ???
?=++???A 。
解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的表面的通量为
()d d d d z z
z z
r r
r r
r r z
z
A r r r A r r φφφφφ
φ
ψφφ+?+?+?+?+?=
+?-
≈????
[()(,,)(,,)]r r r r A r r z rA r z z φφφ+?+?-??≈
()()
1r r rA rA r z r r r
φτ?????=??? 同理
d d d d r r z z
r r z z
r
z
r
z
A r z A r z φφ
φφ
φφψ+?+?+?+?+?=
-
≈??
??
[(,,)(,,)]A r z A r z r z φφφφφ+?-??≈
A A r z r φφφτφ
φ
?????=
???
d d d d r r r r z z
z z
z z r
r
A r r A r r φφ
φφ
φ
φ
ψφφ+?+?+?+?+?=
-
≈????
[(,,)(,,)]z z A r z z A r z r r z φφφ+?-???≈
z z A A
r r z z z
φτ?????=??? 因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为
()1[]r z
r z A rA A ΨΨΨΨr r r z
φφτφ???=++≈++????
故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1lim r z
A rA A r r r z
φτψτφ?→?????==++????A
1.22 方程222
222
x y z u a b c =++给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。
解 由于 222
222x y z
x y z u a b c ?=++e e e
u ?=
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
222(x y z u x y z a b c u
?=
=++?n e e e 1.23 现有三个矢量A 、B 、C 为
sin cos cos cos sin r θφθφθφφ=+-A e e e
22sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e 22(32)2x y z y x x z =-++C e e e
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
22
111()(sin )sin sin r A r A A r r r r φ
θθθθθφ????=
++=???A
22
111(sin cos )(sin cos cos )(sin )sin sin r r r r r θφθθφφθθθφ
???
++-=???
2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r r r r φθφφθφθθ
+--= 2sin 1sin sin r r r r r r A rA r A θφ
θφ
θθθφ
θ???
??==???e e e A
2
sin 10sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r θφ
θθθφ
θφθφθφ
???
=???-e e e 故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中 11()z r B B rB r r r z
φφ????++=???B =
2211(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r r z
φφφφ???++=???
22sin sin 2sin 2sin z z r r r r φφ
φφ-+= 22110sin cos 2sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz θθθφφφφφ
??????
??===??????e e e e e e B
故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
y x z C C C x y z
????++=???C =
22(32)()(2)0y x x z x y z
???
-++=??? 22
(26)322x
y z
z x y x y z y x
x z
??
?
??==-???-e e e C e 故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。
（2）这些矢量的源分布为 0?=A ，0??=A ；
2sin r φ?B =，0??=B ； 0?=C ，(26)z x y ??=-C e
1.24 利用直角坐标，证明
()f f f ?=?+?A A A
解 在直角坐标中
()()y x z x y z A A A f f f
f f f A A A x y z x y z
???????+?=+++++=??????A A
()()()y x z x y z A A A f f f
f A f A f A x x y y z z ??????+++++=?????? ()()()()x y z fA fA fA f x y z
???
++=????A