解直角三角形方法
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。在解直角三角形时，我们需要掌握一些特定的方法和公式。本文将介绍几种常见的解直角三角形方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、勾股定理
勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。根据勾股定理，直角三角形的两
条直角边的平方和等于斜边的平方。即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别表示两条
直角边的长度，c表示斜边的长度。
例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计
算斜边的长度。根据公式，3^2 + 4^2 = c^2，即9 + 16 = c^2。解方程可得c = √25 = 5。因此，该直角三角形的斜边长度为5。
二、正弦定理
正弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。根据正弦定理，三角形的任意一
条边的长度与其对应的角度的正弦值成比例。即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。
例如，已知直角三角形的一条直角边为3，斜边为5，我们可以使用正弦定理
计算另一条直角边的长度。根据公式，3/sin90° = b/sinθ，其中θ为直角边对应的角度。由于sin90° = 1，可得3/1 = b/sinθ，即b = 3sinθ。由此可见，直角三角形的另
一条直角边的长度取决于对应角度的正弦值。
三、余弦定理
余弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。根据余弦定理，三角形的任意一
条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边的乘积与对应角度的余弦值的积。
即c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c表示斜边的长度，a和b表示直角边的长度，C表示斜边对应的角度。
例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用余弦定理计算斜边的长度。根据公式，c^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos90°，即c^2 = 9 + 16 -
24cos90°。由于cos90° = 0，可得c^2 = 25，解方程可得c = √25 = 5。因此，该直角三角形的斜边长度为5。
综上所述，解直角三角形的方法包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。这些方法在解决实际问题中起到了重要的作用。通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用直角三角形的知识，解决各种与直角三角形相关的问题。
需要注意的是，在应用这些方法时，我们需要根据具体情况选择合适的公式，并注意角度的单位。此外，解直角三角形时还可以使用特殊角度的三角函数值表，以便更快地计算出结果。
总之，解直角三角形方法的掌握对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。通过不断练习和应用，我们可以更加熟练地运用这些方法，提高解决问题的能力和效率。
解直角三角形方法 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。在解直角三角形时，我们需要掌握一些特定的方法和公式。本文将介绍几种常见的解直角三角形方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。 一、勾股定理 勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。根据勾股定理，直角三角形的两 条直角边的平方和等于斜边的平方。即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别表示两条 直角边的长度，c表示斜边的长度。 例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计 算斜边的长度。根据公式，3^2 + 4^2 = c^2，即9 + 16 = c^2。解方程可得c = √25 = 5。因此，该直角三角形的斜边长度为5。 二、正弦定理 正弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。根据正弦定理，三角形的任意一 条边的长度与其对应的角度的正弦值成比例。即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。 例如，已知直角三角形的一条直角边为3，斜边为5，我们可以使用正弦定理 计算另一条直角边的长度。根据公式，3/sin90° = b/sinθ，其中θ为直角边对应的角度。由于sin90° = 1，可得3/1 = b/sinθ，即b = 3sinθ。由此可见，直角三角形的另 一条直角边的长度取决于对应角度的正弦值。 三、余弦定理 余弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。根据余弦定理，三角形的任意一 条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边的乘积与对应角度的余弦值的积。
即c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c表示斜边的长度，a和b表示直角边的长度，C表示斜边对应的角度。 例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用余弦定理计算斜边的长度。根据公式，c^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos90°，即c^2 = 9 + 16 - 24cos90°。由于cos90° = 0，可得c^2 = 25，解方程可得c = √25 = 5。因此，该直角三角形的斜边长度为5。 综上所述，解直角三角形的方法包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。这些方法在解决实际问题中起到了重要的作用。通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用直角三角形的知识，解决各种与直角三角形相关的问题。 需要注意的是，在应用这些方法时，我们需要根据具体情况选择合适的公式，并注意角度的单位。此外，解直角三角形时还可以使用特殊角度的三角函数值表，以便更快地计算出结果。 总之，解直角三角形方法的掌握对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。通过不断练习和应用，我们可以更加熟练地运用这些方法，提高解决问题的能力和效率。
解直角三角形 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。解直角三角形是指根据三角形已知的某些条件，推导出其他未知的角 度或边长。在解直角三角形时，常用到三角比例、勾股定理等概念和 公式。下面将详细介绍解直角三角形的方法和步骤。 一、已知两边长度求角度 当已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以通过求解正弦、余弦、正切等三角比例来确定其他两个角度的大小。假设已知直角三 角形的两条直角边长度分别为a和b。 1. 解正弦比例 根据正弦定理，sinA=a/c，sinB=b/c，其中c为斜边的长度。可根据 已知的a和b，解出c，然后利用反正弦函数求解出A和B的大小。 2. 解余弦比例 根据余弦定理，cosA=a/c，cosB=b/c，同样可以根据已知的a和b 解出c，然后求解出A和B的大小。 3. 解正切比例 根据正切定理，tanA=a/b，tanB=b/a，可以通过已知的a和b求解出 A和B的大小。 二、已知一边长度求其他边长和角度
当已知一个直角三角形的一个直角边和一个锐角边的长度时，可以 通过勾股定理求解出另一个直角边的长度，并进一步求解出其他角度 和边长。假设已知直角三角形的一个直角边长度为a，一个锐角边长度 为b。 1. 求解斜边的长度 根据勾股定理，a²+b²=c²，可以解出斜边c的长度。 2. 求解未知角的大小 根据已知的三边长度，利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以求 解出其他两个角的大小。 3. 求解另一个直角边的长度 根据已知的斜边长度和一个直角角度，可以利用正弦、余弦等三角 函数，求解出另一个直角边的长度。 三、应用解直角三角形的例子 解直角三角形的方法在实际生活中有广泛的应用。比如在测量、建筑、地理等领域都需要用到解直角三角形的知识。 1. 测量 在测量中，我们常常需要通过已知的边长测量出其他未知的边长或 角度。例如在测量高楼建筑的高度时，可以利用解直角三角形的方法。通过观察建筑物的倾斜角度，可以利用三角函数求解出建筑物的高度。 2. 建筑
解直角三角形的方法和技巧 直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和 应用。解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。 一、勾股定理 勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。勾股定 理的公式为：a² + b² = c²。a和b表示直角边，c表示斜边。当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。勾股定理非常广泛地应用于工程、 科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。 二、正弦定理 正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。 正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。 三、余弦定理 余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C 表示斜边对应的角度。如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个 长度。余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长 度。 四、正切定理 正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。 五、特殊直角三角形的知识 特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。其中最为常见的是边长 为3、4、5的特殊直角三角形。当我们遇到边长为这个比例的直角三角形时，可以快速地 计算出其他未知边长和角度。这个比例也可以扩展为边长是任意整数的特殊直角三角形， 只需乘以一个比例因子即可。 六、可视化解法
板块一 解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形. 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： ⑴ 三边之间的关系：222 a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a =. 三、 解直角三角形的四种基本类型 ⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠ ，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； ⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a c A =； ⑷ 已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=︒-∠. 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等. 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是： 当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦； 无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法； 既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系 （五）解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． （六）如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析； （2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等. 解直角三角形 c b a C B A
解直角三角形口诀 直角三角形是数学中常见的一种特殊三角形，它的特点是其中一个内角为90度。在解直角三角形相关题目时，我们可以利用一些口诀来辅助记忆和计算。本文将介绍一些常用的解直角三角形口诀，帮助你更好地理解和应用直角三角形的知识。 1. 度角口诀 解直角三角形时，我们常常需要根据给定的角度和边长求解其他未知量。下面是一种度角口诀，它可以帮助我们快速记忆和运用解直角三角形的相关公式。 (1) 正弦定理：sin A = 对边 / 斜边，sin B = 邻边 / 斜边，sin C = 对边 / 斜边。 (2) 余弦定理：cos A = 邻边 / 斜边，cos B = 对边 / 斜边，cos C = 对边 / 斜边。 (3) 正切定理：tan A = 对边 / 邻边，tan B = 邻边 / 对边，tan C = 对边 / 邻边。 (4) 锐角三角函数的关系：sin^2 A + cos^2 A = 1，tan A = sin A / cos A。 2. 辅助角口诀
在解直角三角形时，我们经常需要利用辅助角来求解未知量。辅助角是指与所求角度相互对应的补角、余角或同角。下面是一种辅助角口诀，帮助我们快速确定辅助角，并运用相关的解题方法。 (1) 补角关系：两个角相加等于90度。如果所求角度大于90度，可以用补角的概念求解。 (2) 余角关系：两个角相加等于180度。如果所求角度大于180度，可以用余角的概念求解。 (3) 同角关系：两个角相等。如果已知某个角度的三角函数值或长度关系，可以利用同角关系来求解。 3. 特殊直角三角形口诀 在解直角三角形时，有一些常见的特殊直角三角形口诀可以帮助我们快速计算。下面是几个常见的特殊直角三角形口诀。 (1) 30-60-90三角形：边长比例为1：√3：2。通过这个比例关系，我们可以快速求解30度和60度的三角函数值以及边长比例。 (2) 45-45-90三角形：边长比例为1：1：√2。通过这个比例关系，我们可以快速求解45度的三角函数值以及边长比例。 (3) 等腰直角三角形：等腰直角三角形的两个直角边相等。通过这个特点，我们可以利用勾股定理求解等腰直角三角形的边长。 通过掌握这些解直角三角形口诀，我们可以在解题过程中更加高效和准确。当然，在应用这些口诀时，我们也需要灵活运用，根据具体
解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。 一、基本类型 1. 已知两边求斜边 在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。 2. 已知斜边求直角边 如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。 3. 已知三角形内角求其它角的大小 在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。因为在直角三角形中，除直角外的另外两
个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。 二、解法 1. 勾股定理解法 勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。 2. 直角三角形定理解法 在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。如果仅知道斜边和其中一个直 角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。 3. 正弦定理及余弦定理解法 在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。余弦定理是指a²=b²+c²-2bc*cosA，其中A、B、C为的三角形的任一角度，a为对应边的长度，以此类推。 4. 高中几何及余弦角公式解法 在高中数学学习的几何学中，还可以使用高中的角公式和余弦角公式来解直角三角形。高中的角公式是指正切公式
解直角三角形的几种方法 解直角三角形是中考必考内容，其中需构造含特殊角的直角三角形再解直角三角形的问题是最受命题者青睐的。本文以近几年全国各地中考题为例说明解这类问题常用的方法。 一. 三角形作高法 若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。 例1. 如图1所示，一渔船正以每小时30n mile （海里）的速度由西向东航行，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°方向，40min 后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°方向，若以小岛C 为中心，周围10n mile 是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？ 图1 分析：在△ABC 中，∠CAB 和其外角∠CBM 均为特殊角，因此，过非特殊角的顶点C 作CD AM D ⊥于，可构造出含特殊角的Rt CDA Rt CDB ∆∆和。若设CD x =，通过解Rt CDA Rt CDB ∆∆和可获解。 解：作CD AB ⊥，垂足为D ，设CD x x =>()0 在中，°，故在中，°，故由，得Rt CDB BD CD BD x Rt CDA AD CD AD x AB AD BD x x ∆∆cot cot 6033 3033333023103= ====-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=⨯= CD =>10310，故这艘轮船继续向东航行不会进入危险区。 二. 梯形作高法 若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。 例2. 如图2所示，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。
解直角三角形的方法与技巧 直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。在解决 几何问题时，了解解直角三角形的方法与技巧能够帮助我们更高效地 推导和计算相关的问题。本文将介绍一些解直角三角形的方法和技巧，希望能够对读者有所启发。 1. 边长关系 在直角三角形中，三条边的关系是解题的关键。根据勾股定理，直 角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这一关系可以表示 为c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角 边的长度。 2. 比例关系 直角三角形中，两个角的比例关系也是解题时需要注意的重点。根 据正弦定理和余弦定理，我们可以得到解直角三角形的更多方法。 2.1 正弦定理 在直角三角形中，通过正弦定理，我们可以得到以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。其中a、b、c分别表示三个边的长度，A、B、C分 别表示与边a、b、c相对的角度。这一定理可以帮助我们在已知两个边和一个角度的情况下求解其他未知量。 2.2 余弦定理
直角三角形中，通过余弦定理，我们可以得到以下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。其中c表示斜边的长度，a和b表示两条直角边的长度，C表示两条直角边之间的夹角。这一定理可以帮助我们在已知三 个边的长度时求解角度。 3. 特殊角度的解法 解直角三角形时，特殊角度的解法也是十分常用的。例如，当一个 直角角度等于30度时，另外两个角度分别为60度和90度。我们可以 利用特殊角度的性质，直接计算边长和角度的数值。 4. 应用于实际问题 解直角三角形的方法和技巧可以应用于各种实际问题中。例如，在 测量建筑物高度时，可以通过测量直角三角形的底边和仰角来计算建 筑物的高度。在导航中，可以利用直角三角形的边长关系来计算两点 之间的距离。 5. 示例与练习 为了更好地理解和应用解直角三角形的方法与技巧，我们可以通过 一些实例和练习来加深学习。以下是一些示例题目： 5.1 已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一直角边长为6厘米，求另一直角边的长。 解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两个直角边的平方和，即 10^2 = 6^2 + b^2。解得b ≈ 8厘米。
解直角三角形问题的步骤 直角三角形是初中数学中非常重要的一个概念，解直角三角形问题是数学学习 的基础。本文将介绍解直角三角形问题的步骤，帮助中学生或他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。 一、确定已知条件和所求 在解直角三角形问题时，首先需要确定已知条件和所求。已知条件是指我们已 经知道的信息，而所求是我们需要求解的未知量。通常，已知条件包括直角三角形中的两个角度或两个边长，所求一般是剩下的一个角度或一个边长。 举个例子，如果已知一个直角三角形的一个锐角为30度，另一个锐角为60度，我们需要求解的可能是三角形的边长。 二、利用三角函数求解 在确定已知条件和所求后，我们可以利用三角函数来求解直角三角形的问题。 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们与角度和边长之间有着特定的关系。 以已知一个直角三角形的一个锐角为30度，另一个锐角为60度为例，我们可 以利用正弦函数求解。正弦函数的定义是对于一个锐角，其正弦值等于对边与斜边的比值。在这个例子中，我们可以利用已知的30度角和对边的长度，求解斜边的 长度。 三、应用勾股定理 当已知直角三角形的两个边长时，我们可以应用勾股定理求解剩下的边长。勾 股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
举个例子，假设我们已知一个直角三角形的一个直角边长为3，另一个直角边 长为4，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。根据勾股定理，斜边的平方等于 3的平方加上4的平方，即斜边的平方等于9加16，所以斜边的长度为√25，即5。 四、检验解的合理性 在解直角三角形问题后，我们需要检验解的合理性。通常可以通过计算各个角 度的和是否等于180度，以及计算各个边长是否符合勾股定理来检验解的合理性。五、总结解题步骤 解直角三角形问题的步骤可以总结为以下几个关键步骤： 1. 确定已知条件和所求； 2. 利用三角函数求解； 3. 应用勾股定理求解； 4. 检验解的合理性。 通过掌握这些步骤，中学生或他们的父母可以更好地解决直角三角形问题，提 高数学解题的能力。 总之，解直角三角形问题是数学学习的基础，掌握解题步骤对于中学生的数学 学习至关重要。希望本文所介绍的解题步骤能够帮助读者更好地理解和掌握直角三角形问题的解题方法，提高数学解题的能力。
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°， ⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ． 简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理 222b c a +=求解． 解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=， 又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=． ⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=． 评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生． 二、巧设参数，化繁难为简易 例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45 ，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只 有“sin A =35 ”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决． 解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）． ∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=， ∴tan AC B BC ==3344 k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路． 三、巧建模型，以不变应万变 例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向 东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处 又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那 么它会有触礁危险吗？ 简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问
例析运用三角函数解直角三角形的技巧 金湖 高峰 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略，现举例予以说明，供参考。 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是字直角三角形中求解。本题 图中有三个三角形，直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以 先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BCE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二、构造直角三角形 在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后利用直角三角形的相关知识解决问题。 例2、如图，在四边形中，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∠ADC=120°，AD=3，求DC 的长。 分析：原图中没有直角三角形,但通过延长BA ，CD 交于 点P ，从而构造出两个直角三角形Rt △PBC 和Rt △PAD,再利用 锐角三角形函数的相关知识求解. 解：延长BA ，CD 交于点P ，∵AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴ ∠C=∠PAD=90°，∵∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴∠ P=30°，在Rt △PAD 中，sin 30°=PD AD ，PD=2AD=6m ，由于路宽为28 m ，∴BC=14m ，在Rt △PBC 中，tan30°= PC BC =33，PC=143m ，∴DC=PC-PD=143-6≈18.25。 三、借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后立方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母 参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90°
解直角三角形中的数学思想方法 常有一些同学疑惑：“老师，你是如何想出解题思路的？”这是一个数学思想方法的问题。下面就解直角三角形中常用的数学思想方法举例说明，供同学参考。 一、转化思想 所谓转化思想，就是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决。 1.将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题 例1 如图1，在A B C 中，5A B =，7A C =，60B ∠= ，求BC 的长。 解：过A 点作A D B C ⊥于D 。 在R t A B D 中， sin 6052 2 AD AB ==⨯ = ， 5cos 602 B D A B == 。 在R t A D C 中， 11 2D C = ==。 51182 2B C B D D C ∴=+= +=。 2.将梯形问题转化为解直角三角形的问题 例2 如图2，在梯形ABCD 中，//A B D C ，AD =2D C B C ==，30A ∠= ， 60B ∠= ，求A B 。 分析：方法一，通过作梯形的两条高，可将梯形转化为熟悉的直 角三角形和矩形。 方法二，因为90A B ∠+∠= ，可通过延长梯形两腰AD 、BC 交于E ，构造直角三角形，然后解R t E A B 、R t E D C 来求AB 。 3.将实际问题转化为三角形问题 例3 如图3，在两墙之间有一个底端为A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点。已知 60BAC ∠= ，45DAE ∠= ，点D 到地面的垂直距 离 DE =，求点B 到地面的垂直距离。 分析：本题实际上就是如图3所示，A C B C ⊥，AE BE ⊥， AB AD = ，DE =，60BAC ∠= ，45DAE ∠= ，求BC 。 解：在R t D A E 中， 图 1 D C B A 60︒7 5图 2 F E D C B A 60︒30︒45︒60︒图 3 E D C B A
解直角三角形的方法技巧 解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。 例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形， 且∠==A AE α，1，求AB 的长。 图1 思路1：所求AB 是Rt ABC ∆的斜边，但在Rt ABC ∆中只知一个锐角A 等于α，暂不可解。而在Rt ADE ∆中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt ADE ∆入手。 解法1Rt ADE ∆中，因cos A AE AD =，且∠=A α，AE ＝1 AD AE A ==cos cos 1α Rt ADC ∆中，由cos A AD AC =，得AC AD A ===cos cos cos cos 1 12ααα Rt ABC ∆中，由cos A AC AB =，得AB AC A ===cos cos cos cos 1 123ααα 思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是Rt ABC ∆和Rt ACD ∆斜边上的高，具备应用
射影定理的条件，可以利用射影定理求解。 解法2：同解法1得AD =1cos α 在Rt ACD ∆中，由AD AE AC 2=⋅，得AC AD AE ==221cos α 在Rt ABC ∆中，由AC AD AB 2 =⋅，得AB AC AD ==231cos α 点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。 例2.如图2，在Rt ABC ∆中，∠=C 90 ，AD 是BC 边上的中线。 （1）若BD =2，∠=B 30 ，求AD 的长。 （2）若∠=∠=ABC ADC αβ，，求证：tan tan βα=2 图2 分析：（1）由AD 是BC 边上的中线，只知DC 一条边长，仅此无法直接在Rt ADC ∆中求解AD 。而在Rt ABC ∆中，由已知BC ∠B 可以先求出AC ，从而使Rt ADC ∆可解。 （2）α和β分别为Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中的锐角，且都以直角边AC 为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明tan tan βα=2 解：（1）在Rt ABC ∆中，BC BD ==222，∠=B 30
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形． (1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3. 2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长． 图8－ZT－1
►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形 3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形． (1)∠A＝60°，a＝6； (2)∠A＝30°，b＝10 3.
4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号) 图8－ZT －2 ► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝3 4， ∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．
图8－ZT －3 6．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4 5，BC ＝8，D 是AB 的中点， 过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E . (1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值． 图8－ZT －4
►方法四“化斜为直法”解三角形 7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长． 图8－ZT－5 8．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝ 2 2，tan A ＝1 2，AC＝3 5. (1)求∠B的度数及AB的长； (2)求tan∠CDB的值．
专训1 解直角三角形的五种常见类型 名师点金： 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形． . 已知两直角边解直角三角形 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝23，b ＝6，解这个直角三角形． 1．解：∵a ＝23，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝12＋36＝48＝4 3. ∵tan A ＝a b ＝236＝33 ，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝60°. 已知一直角边和斜边解直角三角形 2．如图，∠ACB ＝90°，AB ＝13，A C ＝12，∠BCM ＝∠BAC ，求sin ∠BAC 的值和点B 到直线MC 的距离． 2．解：∵AB ＝13，AC ＝12，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝169－144＝25＝5. ∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝5 13.过点B 作BD ⊥MC 于点D. 设点B 到直线MC 的距离为d ，则BD ＝d. ∵∠BCM ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin ∠BCM. ∴sin ∠BCM ＝d BC ＝5 13， 即d 5＝513.∴d ＝2513 ， 即点B 到直线MC 的距离为2513 . 已知一直角边和一锐角解直角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝3. (1)求AC 的长； (2)求BC 的长． 3．解：(1)由题意知sin C ＝ AB AC ，即12＝3 AC ，则AC ＝6. (2)由题意知ta n C ＝AB BC ，即33＝3 BC ，则BC ＝3 3. 已知斜边和一锐角解直角三角形 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°，a ，b ，c 分别为∠A ，