解直角三角形3d一计算
1.解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形。
在直角三角形中，共有三条边和三个角共6个元素，除直角外的5个元素中，由已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素。
2.解直角三角形的依据有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos）
无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan或余切cot）取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）
宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）
解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1
解直角三角形总结 解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。 1、明确解直角三角形的依据和思路 在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。 如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是 （1）边角之间的关系: sinA＝cosB＝a c ， cosA＝sinB＝ b c ,tanA＝cotB＝ a b ，cotA＝tanB＝ b a 。 （2）两锐角之间的关系： A＋B＝90°。 (3）三条边之间的关系： 。 以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。 2、解直角三角形的基本类型和方法 我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？
事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下： 已知条件 解法 一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c= sin a A 斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA 两边 两条直角边a和b ，B＝90°—A, 直角边a和斜边c sinA=a c ，B＝90°-A， 例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。 分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC 中只知一个锐角A＝α，暂不可解。而在Rt△ADE中,已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。 解法一:在Rt△ADE中，∵cosA=AE AD ,且∠A＝α，AE＝1,∴AD= cos AE A = 1 cos ,
解直角三角形（计算题） 1、计算：﹣（π﹣2016）0+|﹣2|+2sin60°． 2、（1）计算：（3﹣π）0﹣2﹣2+2sin30°； （2）计算：． 3、计算：． 4、（2015秋•安徽月考）计算：cos30°•tan60°﹣（sin45°）2． 5、计算： （1）sin260°+cos260°； （2）4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2． 6、计算： （1）|﹣|﹣（π﹣）0+tan45° （2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a） 7、（2016-π）0-∣1-︳+ 8、如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在、两点测得塔顶的仰角为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度为1．5米，计算塔的高度．（参考数据：取0．8， 取0．6，取1．2）
9、计算：． 10、如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A 北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．，）． 11、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC=60°． （1）求B、C两点间的距离． （2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1．732，≈1．414） 12、（8分）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
解直角三角形 一、知识点讲解： 1．解直角三角形的依据 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2．其他有关公式 面积公式：（hc为c边上的高） 3．解直角三角形的条件 在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。 4．解直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 （3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5．解直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 （2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 （3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 二、例题解析： 例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积， 解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意， 有c+a=16 ，b=8 说明： （1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。 （2）由于是求解未知量问题，所以要运用方程思想，把问题转化为与未知量相关的方程问题，用方程知识求解。 例2、在△ABC中， 求：a、b、c的值及∠A。
初中数学专项练习《解直角三角形》 100道计算题包含答案 一、解答题(共100题) 1、学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，是高为的测角仪，在处测得塔顶端的仰角为40°，向塔方向前进在处测得塔顶端的仰角为 63.4°，求纪念塔的高度(结果取整数)． 参考数据：． 2、梧桐山是深圳最高的山峰，某校综合实践活动小组要测量“主山峰”的高度，先在梧桐山对面广场的A处测得“峰顶”C的仰角为45o，此时，他们刚好与峰底D在同一水平线上。然后沿着坡度为30o的斜坡正对着“主山峰”前行700米，到达B处，再测得“峰顶”C的仰角为60o，如图，根据以上条件求出“主山峰”的高度？（测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：（ 1.4， 1.7）
3、某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 4、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （Ⅰ）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1 C 1 ； （Ⅱ）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A 2B 2 C 2 ，请在图 中y轴右侧，画出△A 2B 2 C 2 ，并求出∠A 2 C 2 B 2 的正弦值． 5、如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73) 6、如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东
初中数学专项练习《解直角三角形》100道计算题包含答案 一、解答题(共100题) 1、如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C 两点的俯角分别为60°和30°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留根号） 2、如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度． 参考数据：≈1.41，≈1.73． 3、已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值． 4、求满足下列条件的锐角α（精确到0.01°）．
（1）sinα=； （2）cosα=0.2； （3）tanα=3． 5、高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732） 6、如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）若AP= ，求CF的长． 7、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长． 8、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈ 0.97，tan15°≈0.27） 9、如图，AB是⊙O的弦，半径OA=10cm，∠AOB=120°，求△AOB的面积． 10、如图，有一铁塔A、B,为了测量其高度,在水平面选取C、D两点，在C处测得A的仰角为45度，距C点10米D处测得A的仰角为60度，且C、D、B在同一水平直线上.求铁塔AB的高(结果精确到0.1米, ).
第25章 解直角三角形知识点复习及练习题 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ⇒CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 如图：已知 ∠ACB=90° CD ⊥AB 则有 BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 2 3 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A) ， cosA=sin(90°—A) ， tanA=cot(90°—A) ，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系：1cos sin 2 2 =+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA= A A cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
课题解直角三角形 授课时间：备课时间： 1. 了解勾股定理 教学目标 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求各考点教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1 2 可表示如下：BC= ∠C=90° AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：CD= D 为AB的中点 4、勾股定理1 2 AB=BD=AD 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即5、摄影定理a 2b2 c 2 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条 直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90°CD AD BD 2 2 AC AD AB CD⊥AB BC2 BD AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB CD=AC BC 7. 图中角可以看作是点 A 的角 也可看作是点B的角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的铅直高度（h）和水平长度（l ）的比。 h 记作i, 即i = l ； h （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c 有关系考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC中，∠C=90° 2 b2 c 2 a ，那么这个三角形是直角三角形。 ①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记为sinA ，即 sin A A 的对边 斜边 a c ②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记为cosA ，即 cos A A 的邻边 斜边 b c ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记为tanA ，即 tan A A的对边 A的邻边 a b ④锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA ，即 2、锐角三角函数的概念cot A A的邻边 A的对边 b a 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数0 °30 °45 °60 °90 ° sin α0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 tanα0 3 1 3 3 不存在 cotα不存在 3 1 3 0 3 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90 —°A) ，cosA=sin(90 —°A) tanA=cot(90 —°A) ，cotA=tan(90 —°A) （2）平方关系 sin 2 A A cos 2 1 （3）倒数关系 tanA tan(90 —°A)=1
解直角三角形教案 解直角三角形教案篇一 1、教学目标 1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力； 3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯。 2、学情分析 本班学生对前面学过的三角函数根本知识点掌握较好，可以继续进行新授课。 3、重点难点 本节的重点和难点是直角三角形的解法。为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系。正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键。 4、教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1 课前预习 活动2 完成以下题目 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？ 〔1〕边角之间关系：sinA=＿cosA=＿tanA=＿cotA=__ 〔2〕三边之间关系：勾股定理_______
〔3〕锐角之间关系：________。 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12,求∠A的各个三角函数值。 3、自述30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切、余切值。 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，c=15,∠B=60°，求a. 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，b=3，求c. 你有哪些疑问？小组交流讨论。 生甲：如果不是特殊值，怎样求角的度数呢？ 生乙：我想知道哪些条件能解出直角三角形？ ◆师：你有什么看法？ 生乙：从课前预习看，知道了特殊的一边一角也能解，那么两边呢？两角呢？还有三边、三角呢？ ◆师：好！这位同学不但提的问题非常好，而且具有非凡的观察力，那么他的意见对不对？这正是这一节我们要来探究和解决的：怎样解直角三角形以及解直角三角形所需的条件。 ◆师：把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的问题了，这节课我们就来学习“解直角三角形〞，解决同学们的疑问。 设计意图：数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。 例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，由以下条件解直角三角形： a＝5，b＝ ◆师：〔1〕题目中哪些条件，还要求哪些条件？ 〔2〕请同学们独立思考，自己解决。 〔3〕小组讨论一下各自的解题思路，在班内交流展示。 ▲解〔1〕利用勾股定理，先求得c值。由a=c，可得∠A=30°， ∠B=60°。
解直角三角形教案 解直角三角形教案1 教材与学情： 解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。 信息论原理： 将直角三角形中边角关系作为已有信息，通过复习（输入），使学生更牢固地掌握（贮存）；再通过例题讲解，达到信息处理；通过总结归纳，使信息优化；通过变式练习，使信息强化并能灵活运用；通过布置作业，使信息得到反馈。 教学目标： ⒈认知目标： ⑴懂得常见名词（如仰角、俯角）的意义 ⑵能正确理解题意，将实际问题转化为数学 ⑶能利用已有知识，通过直接解三角形或列方程的方法解决一些实际问题。 ⒉能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生思维能力的灵活性。 ⒊情感目标：使学生能理论联系实际，培养学生的对立统一的观点。 教学重点、难点： 重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题
难点：正确理解题意，将实际问题转化为数学问题。 信息优化策略： ⑴在学生对实际问题的探究中，神经兴奋，思维活动始终处于积极状态 ⑵在归纳、变换中激发学生思维的灵活性、敏捷性和创造性。 ⑶重视学法指导，以加速教学效绩信息的顺利体现。 教学媒体： 投影仪、教具（一个锐角三角形，可变换图2－图7） 高潮设计： 1、例1、例2图形基本相同，但解法不同；这是为什么？学生的思维处于积极探求状态中，从而激发学生学习的积极性和主动性 2、将一个锐角三角形纸片通过旋转、翻折等变换，使学生对问题本质有了更深的认识 教学过程： 一、复习引入，输入并贮存信息： 1.提问：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。 ⑴三边a、b、c有什么关系？ ⑵两锐角∠A、∠B有怎样的关系？ ⑶边与角之间有怎样的关系？ 2.提问：解直角三角形应具备怎样的条件：
解直角三角形（一） ◆基础训练 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______． 5．菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（） A．sinα=4 5 B．cosα= 3 5 C．tanα= 4 3 D．sinα= 3 5 6．如图，钓鱼竿AC长6米，露出水面的鱼线BC长32米，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此 时露出水面的鱼线B′C′长33米，则鱼竿转过的角度是（） A．60°B．45°C．15°D．90° 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=26，b=62，解这个直角三角形． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 3 2 ，AC=4，求∠A，∠B和BC．
◆提高训练 9．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，CD=93，•对角线CA⊥AB，求AD和BC的长度． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠BAC的平分线AD=16 3 3，求∠B• 的度数及BC，AB的长度． 11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BAC=60°，∠ADC=135°，BC=123，•求梯形的面积．
12．如图，红星中学数学课外小组在测量学校国旗旗杆的高度时，在地面上选择点D处放置测角仪，测角仪的高CD为1．5米，利用测角仪测得旗杆顶端A•点的仰角为30°，点D到旗杆底端B点的距离为15米，求旗杆的高度． ◆拓展训练 13．已知在△ABC中，AB=AC，BC=8cm，tanB=3 4 ，一动点P•在底边上从点B•向点C• 以0.25cm/s的速度移动，当PA与腰垂直时，P点运动了_______s．14．如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 1）2+1=2 S1 1 2）2+1=3 S2= 2 2 3）2+1=4 S3= 3 2 …… （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长； （3）求出S12+S22+…+S102的值．
2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【赵老师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
板块一 解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形. 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： ⑴ 三边之间的关系：222 a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a =. 三、 解直角三角形的四种基本类型 ⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠ ，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； ⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a c A =； ⑷ 已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=︒-∠. 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等. 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是： 当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦； 无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法； 既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系 （五）解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． （六）如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析； （2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等. 解直角三角形 c b a C B A
中考专题训练——解直角三角形 1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标． 2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F． （1）求∠ABD的正弦值； （2）求BG的长． 3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E． （1）求sin A的值； （2）求EF的长． 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等
腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则： （1）求证：DE∥AB； （2）若cos B＝，求证：CE＝2AD． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长； （2）求sin∠BAD的值． 6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D． （1）求∠D的正弦值； （2）求点C到直线DE的距离． 7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3． （1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积． 8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值； （2）连接BD，求BD的长． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E． （1）求∠EBD的正弦值； （2）求AD的长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值．
初三数学解直角三角形试题答案及解析 1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点 A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考 数值：，） 【答案】53米. 【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解． 试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD， ∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴AD=BD=62（米）． 在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）． 答：小岛的高度约为53米． 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC， 设CD=x． （1）求证：△ABC∽△BCD； （2）求x的值； （3）求cos36°-cos72°的值． 【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出 ∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角 形ABC与三角形BCD相似； （2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例 求出x的值即可； （3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐 角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD； （2）∵∠A=∠ABD=36°，