二元一次方程组及代入法
一、本讲教学内容及要求
了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。
会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。
灵活运用代入法解二元一次方程组。
了解代入法解二元一次方程组的思想方法。
二、本讲的重点、难点和关键：
1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。
2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。
3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。
三、本讲重要数学思想：
1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。
2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。
四、主要数学能力：
1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。
五、化归思想：
“解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。
本章中“化归”思想的突出运用有：
1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。
2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。
3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。
六、例题分析
第一阶梯
[例1]
1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的
5倍的差是1，试列出二元一次方程，并求出此两位数。
提示：
（1）设甲、乙二数分别为x、y，可列出什么方程？能到出几个方程？
（2）x、y应为什么范围的什么样的数？
参考答案：
解：设甲、乙二数分别为x、y，由题意有3x-5y=1，
说明：
二元一次方程有无数个解（或没有不定解），但就具体问题而言，可以讨论它的一些特殊解的情况，此题属于求整数解的问题。
[例2]若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=-1有公共解，求m的值？
提示：
什么是公共解？即同时满足这三个二元一次方程
参考答案：
说明：注意理解和运用公共解的概念的实质，解有关的问题。
第二阶梯
[例1]已知方程2x n-1-4y4m+n+1=0是二元一次方程，则m=___________, n=___________.
解：
据二元一次方程定义，未知数x,y的次数都是1。
即：n-1=1, 4m+n=1
评析：
利用方程（组）及其解的定义，求待定的字母的值，是数学中常见的方法，应扣紧定义，灵活应对。
[例2]
在x+3y=3中，若用x表示y，则y=_________,用y表示x,则x=_______.
解：
评析：
用含x（或y）的代数式表示y(或x)是代入消元法的基础，在化简、整理的过程中切忌产生符号错误。
第三阶梯
[例1]
求符号给定条件的二元一次方程的解。
方程7x+2y=25的正整数解。
解：
欲求方程的正整数解，25-7x必须是正偶数，则x是正奇数。
当x=1时，y=9
当x=3时，y=2.
评析：
未知数有附加条件的二元一次方程，它的解往往由无数个变为有限个，解这类题目一般要根据有关数的性质，采取最佳解题策略。
[例2]李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？
提示：
这个问题涉及到的未知量有：李平和张力分别骑车的时间，速度以及他们各自在公园游玩的
时间，根据路程=速度×时间的关系，在相同的路程内速度的大小又可以用时间长短反映出来，因此，上述未知量可以减少两个，题目中又给出了他们二人游玩和骑车所花的时间数量关系，这样只剩下两个未知量了，即李平骑车时间和张力骑车时间。
参考答案：
解：设从学校到公园李平用x小时，张力用y小时，则李平游玩时间为4y小时，张力游玩
时间为5x小时，根据题意，可以得到x + 4y = y + 5x整理后得3y = 4x
显然上面式子，从学校到公园，张力用的时间比李平长，他的速度必定慢，李平速度快！
说明：像上述中 3y = 4x这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以写成一般式ax + by = c（其中a , b , c是常数，且a , b≠0）把这个方程变形，用含x的代数式表，同样也可以用含y的代
数式表示，如上述方程。
七、检测题
1、已知x,y,z都是未知数，a,b是已知数，下列是二元一次方程的个数为（）
①y=3x2-1 ②2x-4y=3z ③2y=y+a ④xy-x=3 ⑤ax-3y=b2
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、下列各式是二元一次方程的是（）
A、2x2-y=1
B、x2+y=x2+x
C、x2=2x2-1
D、x-=1
3、下列关于二元一次方程2x-y=3的解，说法正确的是（）
A、2x-y=3的解是x=1, y=-1
B、2x-y=3的解是x=2, y=7
C、x=1, y=-1是2x-y=3的一个解
D、x=2, y=7是方程2x-y=3的一个解
4、若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程，那么m的值应是( )
A、m≠0
B、m=0
C、m是正有理数
D、m是负有理数
5、方程x+2y=7在自然数范围内的解( )
A．有无数个 B．有一个 C．有两个 D．有三个
6、两列各对数值中是方程的解是（）
A． B． C． D．
7、二元一次方程的解有_____个。
8、____________________才是二元一次方程的解。
9、若x=2,y=-1是方程3x-my=10的一个解，则m=__________________。
10、已知二元一次方程2x-y=1，若x=2时，则y=_____；若x=_____，则y=-1.
11、方程组的解一定是方程_____和_____的解
12、根据下列语句，列出二元一次方程：
（1）甲数的一半与乙数的和为11
（2）甲数和乙数的2倍的差为17
13、任何一个二元一次的方程都有_____解。
14、若是二元一次方程mx-2y=1、4的一个解，则m= _____
15、写出二元一次方程5x-3y=1的一个正整数解 __________
16、根据下列语句，列出二元一次方程
（1）甲数的2倍与乙数的3倍的差为21
（2）甲数的相反数与乙数的差的一半等于5
答案：
1、A
2、B
3、C
4、A
5、D
6、B
7、无数
8、能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值共解
9、4
10、3；0
11、3x-7y=8、5x+3y=1
12、(1) x+y=11 (2)x-2y=17
13、无数
14、
15、
16、
八、易错分析：
1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。
2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，这样，就会得到满足需要的数对。
3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。
4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。
5．运用代入法解方程组应注意的事项：
（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。
（2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。
（3）要判断求得的结果是否正确。
6．对二元一次方程组的解的理解：
（1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。
（2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：
①因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。
②而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程。
例1、已知方程3x m+3-2y1-2n=15是一个二元一次方程，求m和n的值。
分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；
②方程中含有未知数的项的次数都是1。
解：由题意得：m+3=1,1-2n=1
∴ m=-2,n=0
例2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？
（1）（2）（3）（4）（5）
分析：由二元一次方程组的定义可知：①方程组中的每个方程必须都是一次方程；②方程组中的未知数共有两个；③方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有3个未知数；（2）中的xy=2是二元二次方程；
（5）中的+y=6不是整式方程。
解：（3），（4）是二元一次方程组。
例3、方程组的解为（）
（A）（B）（C）（D）以上答案均不对
分析：未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解。
解：把x=-2,y=2代入方程①，
左边=3×（-2）+4×2=2=右边，
再代入方程②，
左边=2×（-2）-2=-6，右边=5
∵左边≠右边。
∴（A）满足方程①但不满足方程②，故不是原方程组的解。
同理可得，（B）满足方程①又满足方程②，所以是原方程组的解；而（C）满足方程②但不满足方程①，故不是方程组的解。
∴答案选择B。
例4．已知是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值。
分析：由是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x, y的值适合方程
3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取时方程成立。这样就可以将x=-2，y= 代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值。
解：∵ x=-2, y= 是方程3x-ay-2a=3的一个解，
∴ 3(-2)-a( )-2a=3
∴ -6- -2a=3, ∴ - a=9, ∴ a=-
例5、解方程组
分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中②式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入①中消去y。
解：由②得y=5x-3 ③
把③代入①得2x+3(5x-3)=-9,
17x=0, x=0
把x=0代入③得y=-3
∴
例6、解方程组
分析：由于两个方程中x的系数都是2，代入时可把方程②直接代入方程①，而不必写成x=
。
解：把②代入①，得3y+1-4y=3,
∴ y=-2
把y=-2代入②，得2x=3×(-2)+1,
∴ x=-2 ∴
说明：此题也可由①得2x=4y+3，代入②求解，由此题的解法可看出，解方程组时根据题目的具体特点采取灵活的方法会使问题简化。
例7、解方程组
分析：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数。
解：整理原方程组，得
由④得，y=3x-4 (5)
把⑤代入③，得3x-2(3x-4)=2,
x=2
把x=2代入⑤，得y=3×2-4=2，
∴
练习：
填空题：
（1）已知方程2x2n-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，则m=__________,n=____________。
（2）方程①y=3x2-x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=1;⑤+y=0;⑥x+y+z=1;⑦+x=4中，是二元一次方程的有________________。
（3）二元一次方程x- y=5有____________个解。
（4）用代入法解二元一次方程组
最为简单的方法是将________式中的_________表示为__________，再代入__________。
答案：
（1），1 （2）②③⑤（3）无穷多（4）①，x , x=6-5y ,②
测试
选择题
1．方程5x-3y=6的解是（）。
A、只有一个
B、只有二个
C、有无数个
D、无解
2．方程x+2y-3=0中，x,y均为非负整数，那么x,y的值分别是（）。
A、3，0
B、1，2
C、1，1
D、1，1或3，0
3．方程3a+b=9，在正整数范围内的解的个数是（）。
A、1个
B、2个
C、3个
D、无数个
4．如果是方程2x=3y+2k的一组解，那么k的值为（）。
A、4
B、2
C、
D、
5．对于方程3x-5=7y，用含x的代数式表示y，是（）。
A、3x=7y+5
B、y=
C、7y=3x-5
D、
6．下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。
A 、
B 、
C 、
D 、
7．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。
A 、
B 、
C 、
D 、
8．在四对数值中，是方程组 的解是（ ）。
A 、
B 、
C 、
D 、
9．如果 （其中b ≠0）是方程5x+y=0的一个解，则（ ）。
A 、a,b 一定同号
B 、a,b 一定异号
C 、a,b 可能同号，也可能异号
D 、b ≠0,a=0
10．下列各方程组中，哪此是二元一次方程组（ ）。
① ② ③ ④
A 、①②③
B 、②③
C 、③④
D 、①②
答案与解析
答案：1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.C
中考解析
二元一次方程组
考点扫描:
1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，
2．会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。
名师精讲:
1．二元一次方程:含有两个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元二次方程。它的标准形式为：ax+by=c（a,b≠0）。
2．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。一个二元一次方程有无数个解。一般地，给定方程中一个未知数的值，可求出相应的另一个未知数的值，那么，这一对数就是二元一次方程的解。
3．二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。它的一般形式是：
作为二元一次方程组中的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。
4．二元一次方程组的解
两个二元一次方程的公共解叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，它就是
方程组的解。
说明：本节是二元一次方程及二元一次方程组的有关概念，一般中考不单独命题。
用代入法解二元一次方程组
考点扫描:
1．掌握运用代入法解二元一次方程组的方法步骤。
2．了解代入法解二元一次方程组的基本思想。
名师精讲:
1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，这种方法，体现了数学的“化繁为简”的基本思想。
2．用代入法解二元一次方程组的步骤是：
（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来；
（2）将变形后的方程代入另一个方程中，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）把求得的未知数的值代入（1）所得式子中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解；
3．运用代入法解方程组应注意的事项：
（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。
（2）如果两个方程中的x，y的四个系数中，有一个系数是1或-1，选取该方程进行变形，
用另一个未知数把系数是1或-1的未知数表示出来，可使解方程的过程简单化。
（3）要检验求得的结果是否正确。
中考典例
1．（湖南长沙）解二元一次方程组：
考点：二元一次方程组的解法
评析：本题第二方程中x的系数是1，y的系数是-1，将第二方程变形，用x表示y或用y 表示x都较简单。解题具体过程如下。
解：
由（2）得x=y-5 （3）
将（3）代入（1）得2y-10+3y=40
解得y=10
将y=10代入（3）得x=5
∴
真题专练:
1．（福建福州）已知a:b=3:1，且a+b=8，则a-b=_______。
2．（江西）方程组的解_______。
答案：
1．4
解：设ａ＝3ｘ，ｂ＝ｘ
则ａ＋ｂ＝3ｘ＋ｘ＝8
∵ｘ＝2
∴ａ＝6 ｂ＝2
ａ－ｂ＝4
2．解题过程如下：由①得ｘ＝5—ｙ③，将③代入②得5—ｙ—2ｙ＝-1，
解得：ｙ＝2，将ｙ＝2代入③得ｘ＝5—2＝3 ∴
课外拓展
不定方程趣谈
一、从“百钱买百鸡”谈起
5世纪末，我国数学家张丘建写了一本《算经》，书中有一道世界数学史上有名的“百钱买百鸡”题：
一只公鸡5元，一只母鸡3元，三只小鸡1元，用100元想买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？
如果设买公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，那么可列得方程组
（2）×3—（1），得14x+8y=200,
即 7x+4y=100..........③
①和②两个方程组成一个有三个未知数的方程组，经过消元，化为含有两个未知数的一个方程③。在方程③里，如果x取一个值，就可以求出与它对应的y的一个值。例如取 x=-2, 则y=28.5；
取 x=0, 则y=25；
取 x=1.6, 则y=22.2；
取 x=4, 则y=18；
……
因为③是一个二元一次方程，它有无数个解，所以原方程组也有无数个解。例如
∵由(1)得 z=100-x-y,
∴取 x=-2, 则y=28.5, 从而z=73.5；
取x=0, 则y=25, 从而z=75；
取x=1.6, 则y=22.2, 从而z=76.2；
取x=4, 则y=18, 从而z=78；
……
一般来说，未知数的个数多于方程的个数，那么它的解就不确定，所以这类方程（组）叫做不定方程（组）。但是，不定方程（组）在特定的条件下，有时可以找到它的确定的解，如“百钱买百鸡”的问题，因为鸡的只数是非负整数，所以就有四组解。
二、二元一次方程的整数解
我们这里只讨论二元一次不定方程ax+by=c（其中a、b是非零整数，c是整数）的整数解。
7.2 二元一次方程组的解法 第一课时 教学目的 1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。 2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。 3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。 重点、难点 1．重点；用代入法解二元一次方程组。 2．难点：体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元。 教学过程 一、回顾旧知 1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解? 2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。 指名回答，其他学生补充。 二、讲授新知 回顾上一节课的问题2。 在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据 题意可列出方程组。 y-x=20000×30% ① y=4x ② 思考：怎样解这个方程组? 分析：方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看成4x，即把②代人①(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。 解：把②代入①，得 4x-x=20000×30% 3x=6000 x=2000 把x=2000代入②，得 y=8000 所以x=2000 y=8000 答：应拆除2000 m2旧校舍，建造8000 m2新校舍。 这样就把二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗? 让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。 1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。 2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。 3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种
消元——二元一次方程组的解法（代入消元法） 学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。 三维目标 知识与技能 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元”过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成 未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归 思想。 情感态度与价值观 :通过研究解决问题的方法，培养学生合作交 流意识和探究精神。 教学重点： 用加减消元法解二元一次方程组。 教学难点： 理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。教学过程 (一）创设情境，激趣导入 在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)， 可以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中问题的数量关系。如果只 设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程
________________________[1]来解。 分析：[1]2x＋(22－x)=40。 观察 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。 （二）新课教学 可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。[3] [3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。 归纳: 上面的解法，是由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]
二元一次方程组解法练习题 一．解答题（共16小题） 1．解下列方程组 （1） （2） （3）)(6441125为已知数a a y x a y x ? ? ?=-=+ （4） （5） （6） ． （7） （8） ? ??=--+=-++0)1(2 )1()1(2 x y x x x y y x （9） （10） ?????? ?=-++=-++1 213 2 22 1 32y x y x 2．求适合的x ，y 的值． 3．已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和 ． （1）求k ，b 的值． （2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？
1．解下列方程组 （1）（2）；（3）；（4）（5）．（6） （7）（8 ） （9） （10） ； 2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.
二元一次方程组解法练习题精选参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．求适合 的x ，y 的值． 得到一组新的方程 解：由题意得： ，，∴ 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4） ． 故原方程组的解为． 故原方程组的解为 ．）原方程组可化为．所以原方程组的解为 ）原方程组可化为：x=x=代入×﹣所以原方程组的解为3．解方程组：
：原方程组可化为，所以方程组的解为 4．解方程组： ）原方程组化为 y=． 所以原方程组的解为 5．解方程组： 解： 即 解得 所以方程组的解为． 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和． （1）求k，b的值． （2）当x=2时，y的值． （3）当x为何值时，y=3？ 的二元一次方程组，再运用加减消元 ）依题意得： ， ． y=x+
解二元一次方程组（加减法）练习题一、基础过关 1．用加、减法解方程组 436, 43 2. x y x y += ? ? -= ? ，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若 先求y的值，应先将两个方程组相________． 2．解方程组 231, 367. x y x y += ? ? -= ? 用加减法消去y，需要（） A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（） A．266 B．288 C．-288 D．-124 4．已知x、y满足方程组 259, 2717 x y x y -+= ? ? -+= ? ，则x：y的值是（） A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：8 5．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（） A． 2, 2 x y = ? ? =- ? B． 2, 2 x y =- ? ? = ? C． 1 , 2 1 2 x y ? = ?? ? ?=- ?? D． 1 , 2 1 2 x y ? =- ?? ? ?= ?? 6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-1 7．若2 3 x5m+2n+2y3与- 3 4 x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________． 8．用加减法解下列方程组： （1） 3216, 31; m n m n += ? ? -= ? （2） 234, 443; x y x y += ? ? -= ? （3） 523, 611; x y x y -= ? ? += ? （4） 35 7, 23 423 2. 35 x y x y ++ ? += ?? ? -- ?+= ??
二元一次方程组及代入法 一、本讲教学内容及要求 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。 会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。 灵活运用代入法解二元一次方程组。 了解代入法解二元一次方程组的思想方法。 二、本讲的重点、难点和关键： 1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。 2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。 3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。 三、本讲重要数学思想： 1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。 2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。 四、主要数学能力： 1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。 五、化归思想： “解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。 本章中“化归”思想的突出运用有： 1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。 2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。 3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。 六、例题分析 第一阶梯 [例1] 1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的
线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程问题的联系 在高等数学中，解多元方程的过程一般是杂而烦的，大量的未知数常常使我们眼花缭乱、不知所措，所能做的，就是不断的移项、消元、加加减减，最后，还不一定能得出答案，得出的答案也不一定正确。 在学完矩阵的消元法以后，顿时觉得类似解多元方程的问题用矩阵来解会简单许多。在这里，我举个例子： 例1：解线性方程组：6 2245241 3231321321=+=++=+-x x x x x x x x （见线性代 数课本P17) 解： ? ??? ? ??--??→?????? ??--?? →?????? ??--??→?????? ??---+????? ??-----????? ??-=++-?? 61001010900110106100900151106100310151101830062023423151102140131213126302452413123 22321213121 r r r r r r r r r r r r r r r r A 所以，方程有唯一解??? ??-=-==619 3 21x x x 。 用矩阵的消元法解多元线性方程明显比我们从前学习的普通方法要简单的多。虽然计算不能说变得简单了，但是至少看起来一目了然，可以减少计算错误的发生，也省去了重复地写大量的未知数，使步骤变得简单多了。 当然这仅仅是线性代数运用在解线性方程中的一个方面，下面，我再举一个例子：
例 2：解线性方程组??? ??=+=++=++7 3472232 321321x x x x x x x x （见线性代数课本 P67）。 解：26102033 1 1112 21-=---++== D ， 按照三阶行列式的定义，我们可以计算： .47 1 411 721,23 7 141271,23 1 7 114 227 321-==-==-==D D D 所以，.3,1,1332211== == == D D x D D x D D x 这里，我们有必要提一下二阶行列式的定义： 设二元线性方程组???=+=+)2(~) 1(~22 221211212111b x a x a b x a x a ，对方程组进行消元 )2()1(1222?-?a a ，有212221*********)(b a a b x a a a a -=-，当021122211≠-a a a a 时， 有 21 122112122211a a a a b a a b x --= 。 类似的，021122211≠-a a a a 时，有 21 1222112112112a a a a a b b a x --= 为了便于记忆，引入记号： 2112221122 21 1211 a a a a a a a a -=，这样2 12221b a a b -可以记为 22 2 121a b a b ，所以，当 022 21 1211≠a a a a 时，方程组???=+=+22221 211212111b x a x a b x a x a 有 唯一解D D x 11= ，D D x 22=，其中，2 21 111222 2 121 1,b a b a D a b a b D = = 。 这样，方程组的解就由系数和常数项表示出来了，这组解我们称之
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 姓名初亚兵 工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校 学科（专业）初中数学
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 一、教学内容解析： 本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析： 我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问
《消元——解二元一次方程组》教案1 第一课时 ★新课标要求 （一）知识与技能 1．知道代入法的概念． 2．会用代入消元法解二元一次方程组． （二）过程与方法 1．通过探索，了解解二元一次方程的“消元”思想，初步体会数学的化归思想． 2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力． （三）情感、态度与价值观 1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣． 2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神． ★教学重点 用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元． ★教学难点 用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉． ★教学方法 1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点． 2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性． 3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果． ★教学过程 一、引入新课 教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜x 场，负y 场． 方法一：2(22)40x x +-=； 方法二：22240 x y x y +=??+=? 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得18x =．所以该篮球队胜18场，负22184-=场． 二、进行新课 1．代入消元法的概念 方法二得到的是二元一次方程组，怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？ 学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程20x y +=说明20y x =-，
课题：8.2二元一次方程组的解法（1） 学习目标： 会用代入法解二元一次方程组，并掌握用代入法解二元一次方程组的步骤。 学习重点： 熟练地运用代入法解二元一次方程组。 学习难点： 探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。 自学指导： 消元思想：未知数由多化少，逐一解决的思想。 代入消元法（代入法）：用一个未知数的式子代替另一个未知数然后代入另一个方程，求解的方法。 代入消元法的一般步骤： 1.求表达式 2.代入消元 3.解一元一次方程 4.代入求解 5.写出答案 注意： 1.如果未知数的系数的绝对值不是1，一般选择未知数的系数的绝对值最小的 方程。 2.方程组中各项的系数不是整数时，应先进行化简即应用等式的性质，化分数 系数为整数系数。 3.将变形后的方程代入到没有变形的方程中去，不能代入原方程。 自主学习： 1.消元的概念，自学91页例1。 2.怎样用代入消元法解二元一次方程组。 学前准备: 1.已知2,2 ax y -=的解，则a= x y ==是方程24 2.已知方程28 -=，用含x的式子表示y，则y=，用含y x y 的式子表示x，则x= 导入 合作探究： 1、解方程组 y = 2x ① x + y ＝3 ②
2、用代入法解方程组 x －y ＝3 ① 3x －8y ＝14 ② 3、用代入法解下列方程： （1） 25,34 2.x y x y -=?? +=? （2）23328y x x y =-??-=? 小结： 本节课你有哪些收获？ 必做题： 1. 方程415x y -+=-用含y 的代数式表示x 是（ ） A.415x y -=- B. 154x y =-+ C. 415x y =+ D. 415x y =-+ 2..把下列方程改写成用含x 的式子表示y 的形式： 24 741)1(=+y x 46)33(2)2(+=-x y 3、用代入法解下列方程组： （1）23328y x x y =-??-=? （2）355215s t s t -=??+=? （3）231625x y x y +=??=?
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11、已知二元一次方程3x－y=1，当x=2时，y等于（） A．5 B．－3 C．－7 D．7 12、已知x＝2，y=－3是二元一次方程5x＋my＋2＝0的解，则m的值为（A）4 （B）－4 （C ）（D ）－ 13 、方程组的解是（） A. B. C. D. 14、下列方程：①xy-3z=4;②+2y=3;③x+y+=0;④5(x-1)=6(y-2);⑤x+=2是二元一次方程的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个 15、是方程ax-y=3的解，则a的取值是（）A．5 B.-5 C.2 D.1 16、下列方程中，二元一次方程是（）. (A)xy=1 (B)y=3x － 1 (C)x+=2 (D)x2＋y－3=0 17、方程 有一组解是 ，则的值是（）． （A）1 （B）—1 （C）0 （D）2． 18、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）. （A ）（B ）（C ）（D ）19、是方程ax－3y=2的一个解，则a为（）. A、8； B 、； C 、－； D 、－ 20、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）. A 、 B 、 C 、 D 、 21、已知是方程kx－y＝3的一个解,那么k的值是( )． （A） 2 （B）－2 （C） 1 （D）－1 22、二元一次方程2x+y=10的一个解是（）. （A）x=-2，y=6 （B）x=3，y=-4 （C）x=4，y=3 （D）x=6，y=-2 25、如果是方程3x－ay＝8的一个解，那么a＝_________。 26、请写出方程x+2y=7的一个正整数解是______。 27、已知方程3x＋5y－3=0，用含x的代数式表示y，则y=________. 28 、已知方程，用含 的代数式表示 ，则．29、已知 是方程的解，则。 30、若x－2y＝3，则 31、已知是方程k x-2y-1=0的解，则k=________。 32、已知方程4x+5y=8，用含x的代数式表示y为__________________。 33、已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 34、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______； 35 、在方程中，用含 的代数式表示为
消元——二元一次方程组的解法（消元法） 一、教学设计思路 在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。 二、教学目标 （一）知识目标 通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。 （二）能力目标 通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。 （三）情感目标 体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。由此感受“划归”思想的广泛应用。 三、教学重点难点疑点及解决办法
重点是用代入法解二元一次方程组。 难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。 疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。 解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。 四、教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法 五、课时安排：1课时。 六、教具学具准备：电脑或投影仪。 七、教学过程 教师活动学生活动设计意图 （一）创设情境，激趣导入 在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y 场)，可以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中 问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)， 这个问题也可以用一元一次方程 ________________________[1]来解。 分析：[1]2x＋(22－x)=40。 观察 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。看图，分 析已知条 件 思考 师生互动 列式解答 思考，同 桌交流 总结 从生活中的实 际问题引入，激 发了学生的学 习兴趣，对新课 起着过渡作用。 培养学生的合 作交流能力，分 析能力及表达。 设计意图 （二）概念教学 可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y倾听，理为概念的引出
8．2代入法解二元一次方程组（第一课时） 教学目标： 1．会用代入法解二元一次方程组. 2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”. 3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神. 教学重点：用代入消元法解二元一次方程组. 教学难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程. 教学过程： 一、知识回顾 1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？ 2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？ 判断： （1）二元一次方程组中各个方程的解一定是方程组的解（） （2）方程组的解一定是组成这个方程组的每一个方程的解（） 3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式： （1）2x－y＝3（2）3x＋y－1＝0 二、提出问题，创设情境
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组. 这个问题能用一元一次方程解决吗？ 三、师生互动，课堂探究 解：设篮球队胜了x 场,负了y 场. 我们知道，对于方程组 { , 可以用代入消元法求 解。 由①得y=10-x ③ 把③带入②，得2x+10-x=16，解得x=6 把x=6带入③，得y=4， ∴x=6，y=4 1、从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？ 归纳: 基本思路： “消元”——把“二元”变为“一元”。 主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 2、例1 用代入法解方程组 { x+y=10 ① 2x+y=16 ② x-y=3 ① 3x-8y=14 ②
课题：消元——解二元一次方程组的解法（1）课型：新授课课时： 1 授课人：班级：授课时间： 【学习目标】会运用代入消元法解二元一次方程组 【重点难点预测】 1、会用代入法解二元一次方程组。 2、灵活运用代入法的技巧． 【知识链接】二元一次方程元的概念。 【学法指导】自主学习、探究、合作交流。 一、自主学习、预习交流（约10分钟） 1、已知232 x y -=，当x=1时，y= ；当y=2时，x= . 2、将方程5x-6y=12变形：若用含y的式子表示x，则x=______，当y=-2 时，x=_______；若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。 3、把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式。 （1）23 x y -=（2）310 x y +-= 解：解： 4、基本概念 1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就 把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未 知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的 思想，叫做____________。 2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式 子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组 的解，这种方法叫做________，简称_____ 。 二、合作探究、展示提升（约20分钟） 1、用代人法解方程组 3, 237.(2) y x x y -= (1) ? ? += ? 的解题步骤：先把方程____变形 为，再代入方程____，可以消去未知数_____，求得的值，最后求的值。 2、用代入法解下列方程组，把下面的解题过程补充完整 ⑴ 25, 28.(2) y x x y -= (1) ? ? += ? ⑵ 25,(1) 328.(2) x y x y += ? ? += ? （1）解：由（1），得 (2) 解：由（1），得 y= （3）y= （3）把（3）代入（2），得把（3）代入（2），得 2x+ =8 3x+ =8 教师复备（学生笔记）
七年级数学导学案 课题：代入法解方程组练习 第1课时 班级________ 姓名_________ 学习过程： 一、基本概念 1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。 2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做________，简称_____。 3、代入消元法的步骤：代入消元法的第一步是：将其中一个方程中的某个未知数用____的式子表示出来；第二步是：用这个式子代入____，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 二、自学、合作、探究 1.将方程5x-6y=12变形：若用含y 的式子表示x ，则x=______，当y=-2时，x=_______；若用含x 的式子表示y ，则y=______，当x=0时，y=________ 。 2.用代人法解方程组? ??=+-=7y 3x 23 x y ①②，把____代人____，可以消去未知 数______，方程变为： 3.若方程y=1-x 的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。 4.若? ? ?-=-=+???-==1by ax 7 by ax 2y 1x 是方程组的解，则a=______，b=_______。 5.已知方程组?? ?=-=-1y 7x 45y x 3的解也是方程组???==-5 by -x 34 y 2ax 的解，则 a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。 6.已知x=1和x=2都满足关于x 的方程x 2 +px+q=0，则p=_____， q=________ 。 7.用代入法解下列方程组: ⑴???=+=5x y 3x ⑵???==+y 3x 2y 32x ⑶???=-=+8 y 2x 57 y x 3 二、训练 1．方程组{ 1 y 2x 11 y -x 2+==的解是（ ） A.???==0y 0x B.???==37y x C.???==73y x D.? ??-===37 y x 2.若2a y+5b 3x 与-4a 2x b 2-4y 是同类项，则a=______，b=_______。 3.用代入法解下列方程组
消元法解线性方程组 学校：青海师范大学 院系：数学系 专业：数学与应用数学 班级：10B 指导教师：邓红梅 学号：20101611218 姓名：梅增旺
摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。 关键字：线性方程组消元法求解 Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the unknown element number and the number of equations can be hundreds, so itis important in the theory, its application is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has a contact, the basic idea ofelimination method is through the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations. Keywords:elimination method for solving linear equations
二元一次方程的解法 1.用一个未知数表示另一个未知数 (1)24x y +=，所以________x =； (2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) ５x-2y=10，所以x = ，________y =． 2.用代入法解二元一次方程组 例1：方程组（1）92x y y x ……①………②ì+=??í?=?? （2） ???-=+=1521 2x y y x （3）???-=+=-.154,653y x y x （4）???=-=-.43,532y x y x （5）?? ?=-=+. 72, 852y x y x 练习巩固：解下列方程组： （1）???-==+236y x y x （2）???=+-=-10235y x y x （3）? ? ?-=-=-2.32872x y y x （4） ?? ?-==+. 2,72y x y x （5） ?? ?=-=+. 2,6y x y x （6） ?? ?=+=-4 23,52y x y x (7) ???=+=-.63,72y x y x (8) ???=+=-.543,72y x y x (9) ???-==+. 1, 623x y y x
（10）???=-=+.102,8y x y x （11）???=+=+.52,42y x y x （12）? ??=-=-.1383,32y x y x 将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数； ②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把这个未知数的值代入一方程，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解. 例2、（1）? ??-=-=+8547 32y x y x （2）541538x y x y -=?? +=?①② 1.对于方程432=-y x ,用含x 的代数式表示y ，则结果是 ；如果用含y 的代数式表示x ，结果是 ， 2.已知方程25-=-y x ，如果用含x 的代数式表示y ，则结果是 ；如果用含y 的代数式表示x ，结果是 . 3.根据你的喜爱，把下列方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. 131=-y x ）（ (2)15105=-y x (3)1267=+y x （4）1035=-y x 4.解下列方程组：
消元—解二元一次方程组知识点教案 1．代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想的概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）代人法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方 程组的解． 2．加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转 化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值， 从而得到方程组的解．
Matlab之Gauss消元法解线性方程组 1.Gauss消元法 function x=DelGauss(a,b) %Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);%计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1%回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);
end Example: >>A=[1.0170-0.00920.0095;-0.00920.99030.0136;0.00950.0136 0.9898]; >>b=[101]'; >>x=DelGauss(A,b) x= 0.9739 -0.0047 1.0010 2.列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) %Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0;%选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return;
完成情况 消元——解二元一次方程组 班级：_____________姓名：__________________组号：_________ 第一课时 一、旧知回顾 1．对课本引言中出现的“篮球联赛”的问题，先列出一元一次方程解决，再列出二元一次方程组。如何来解这样的方程组呢，请认真进行对比。 二、新知梳理 2．探究活动一：一元一次方程与二元一次方程组的关系： （1）观察方程x ＋y ＝2①与y ＝2－x ②，思考①是如何转化到②的？ （2）二元一次方程组，如何化为一元一次方程2x ＋(10－x)＝22？通过预习 ???=+=+22210 y x y x 仿照例1请写出完整的解题过程。 学前准备
（3）归纳代入消元法： 三、试一试 3．把下列方程改成用含x 的式子表示y 的形式（1）， 。 52=+y x =y （2）， 。 450x y --==y 4．用代入法解下列方程组：（解题格式请参照P91－92页例1） ① ② ★通过预习你还有什么困惑？ 25342x y x y -=??+=? ① ②23328y x x y =-?? +=?①②
一、课堂活动、记录 1．解二元一次方程组的基本思想是什么？2．用代入法解方程组的基本步骤是什么？ 二、精练反馈A 组： 1．把下列方程改成用含y 的式子表示x 的形式：（1）x ＋2y ＝1 （2）5x －3y=x 2．用代入法解下列方程组： （1） （2）3759y x x y =+??+=? ①②21235x y x y -=?? +=?① ② B 组： 3．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛。篮、排球队各有多少支参赛？ 课堂探究
二元一次方程组的解法——代入消元法 ●教学内容 人教版七年级下第八章二元一次方程组第二节 ●教学目标 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会解二元一次方程组的基本思想——消元 3、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探索 精神 ●教学重点、难点 重点：用代入法解二元一次方程组 难点：探索如何用代入法将二元转化为一元的消元过程 ●教学过程 一、提出问题，探究方法 问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得一分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个队胜负场数分别是多少？
法一：可列一元一次方程来解 法二：可列二元一次方程组来解 解:设这个队胜了x 场，解：设这个队胜场数分别为x 场， 则负了（22-x ）场，由题意的得 负了y 场，由题意得 2x+（22-x ）=40（以下略）???←-=x y 22? ??=+=+40222y x y x 二、代入法解二元一次方程组的一般步骤 ???=+=+)2(402)1(22y x y x 解：由（1）得y=22-x (3) 。。。。。选择变形 把（3）代入（2）得
2x+(22-x)=40 。。。。。。代入消元 解得x=18 。。。。。。。解一元方程 把x=18代入（3）得y=4 。。。。。返代求值 ∴???==4 18y x 。。。。。。。规范写解 师生一起归纳代入消元法的一般步骤并强调注意事项：选择一个系数较为简单的方程变形，将变形后的式子代入另一个方程得一个一元一次方程，解这个一元一次方程（不需详细步骤），将一元一次方程的解代入（3）求出另一未知数的值（代入（1）（2）也可，但代入（3）往往要简便些），然后规范写解。 三、 尝试练习