弹塑性力学总结
弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：
一、弹性力学
1、弹性力学的基本假定
求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变
形前的尺寸代替变形后尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
2、外力和应力的概念
作用于弹性体的外力可以分为体（积）力和（表）面力。体力是分布在弹性体体积内质量上的力，例如重力和惯性力、磁力等。在物体内任一点的体力，用作用于其上的单位体积的体力沿坐标轴上的投影X Y Z
、、来表示。它们的指向以沿坐标轴正方向为正；反之为负。这三个投影称为该点的体力分量。
面力是指作用于弹性体表面上的外力，例如流体压力和接触力等。可以是分布力，也可以是集中力。在弹性表面上任一点的面力，用作用于其上的单位面积上面力沿坐标轴上的投影X、Y、Z来表示。它们的指向也以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。这三个投影称为该点的面力分量。
弹性体在外力作用下变形，而在弹性体内部为了阻止其变形就产生了内力来平衡外力。作用在单位面积上的内力称为应力。
3、一点的应力状态
为了研究弹性体内任一点P的应力，就在这一点设想从弹性体
如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为一个正面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为一个负面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。图上所示的应力分量全部都是正的。注意，虽然上述正负号规定对于正应力说来，结果是和材料力学中的规定相同（拉应力为正而压应力为负），但是，对于剪应力说来，结果却和材料力学中的规定不完全相同。
剪应力的互等关系：作用在两个互相垂直的面上并且垂直
于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。
yz zy zx xz xy yx ττττττ===，，
（1）
4、斜截面应力公式，物体表面给定力的边界条件
现在，假定物体在任一点P 的六个应力分量
x y z yz zx xy σσστττ、、、、、为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过
P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，
如图2所示。当平面ABC 趋近于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。
图2 物体内任意一点的应力状态
设斜面ABC 的向外法线为N ，而N 的方向余弦为：
()()()
cos cos cos l n x m n y n n z ===,,, （2）
由平衡条件0X F =∑、0Y F =∑及0Z F =∑可得出与上式相似的两个方程。简化后三个方程为：
N x yx zx N y zy xy N z xz yz
X l m n Y m n l Z n l m σττσττσττ=++=++=++ （3）
设三角形ABC 上的正应力为N σ，则由投影可得：
222222N x y z yz zx xy l m n mn nl lm σσσστττ=+++++
（4）
设三角形ABC 上的剪应力为N τ，则由于：
222222N N N N N N S X Y Z στ=+=++
（5）
而有：
22222N N N N N X Y Z τσ=++-
（6）
由公式（4）和（5）可见，在物体的任意一点，如果已知六个应力分量x y z yz zx xy σσστττ、、、、、，就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。因此，可以说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。
在特殊情况下，如果ABC 是物体的边界面，则N X 、N Y 、N Z 成为面力分量X 、Y 、Z ，于是由公式（3）得出：
x yx zx y zy xy z xz yz l m n X m n l Y n l m Z
σττσττσττ++=++=++= （7）
这就是弹性体的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。 5、应力分量的坐标转换关系
若物体处在某一确定的应力状态，在某一组坐标系中，这个应力状态可以用六个应力分量ij σ表示，在另一组坐标系中，同一个应力状态却以另外一组不同的应力分量kl σ表示。两组应力分量之间应力满足一定的坐标转换关系。在物体上任一点处，第一组坐标系的坐标轴为X Y Z 、、，第二组坐标系的坐标轴为
'X ,'Y ,'Z ，它们之间的夹角方向余弦见表。
两组不同坐标系中的应力分量满足以下关系：
1112131111112131
232122232222122231233132333
3
33132331
2
3l m n l l l l m n m m m l m n n n n σττστττσττστττσττσ????????
????????=????????????????????????
（8）
上式也可以表示成抽象的矩阵乘式:
kl ki ij jl σβσβ=
（9）
例如：若第一组坐标系为直角坐标系()x z 、y 、，第二组坐标系为圆柱坐标系()r z θ、、，可知两组坐标系的转换矩阵为：
cos sin 0sin cos 00
1ki θ
θβθ
θ??
??=-??????
（10）
6、主应力、应力主方向、主剪应力
若经过物体中一点P 处的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P 点的一个主应力，该斜面称为P 点的一个主应力面，而该斜面的垂线方向称为P 点的一个主应力方向。
可以证明，在弹性体的任一点，一定存在三个相互垂直的主应力面及和它们对应的三个主应力，通常用123σσσ、、。而且，任何一个斜面上的正应力都不会大于三个主应力中最大的一个，也不会小于三个主应力中最小的一个。主应力与主方向可以用以下的方法求得：
假设N 是P 点应力状态ij σ的一个主方向，N 与原始坐标系
x y z 、、的夹角方向余弦为n l 、m 、，它们间总满足：
2221l m n ++= （11）
在垂直于N 的截面上只有正应力σ(某个主应力)作用，则由柯西公式知：
x yx zx y zy xy z xz yz l m n l m n l m n l m n σττσσττσσττσ
++=++=++= （12）
上式中n l 、m 、为待求的方向余弦，将上式移项可以得到求解的齐次线性方程组：
()()()000
x yx zx xy y zy xz yz z l m n l m n l m n σστττσστττσσ-++=+-+=++-= （13）
方程(13)零解的条件是其系数行列式值为零，即：
()()
()321230x yx
zx
xy y
zy xz
yz
z I I I σστττσ
στσσσττσσ??
-?
?
-=-+-=????
-????
（14）
式（14）称为该应力状态的特征方程式，它是一个三次代数方程，可以证明它有三个实根，称为特征根，就是应力状态ij σ所对应的主应力。可以证明，特征方程(14）式的系数13I I 2，I ，是只与应力状态有关，与所选择的原始坐标系无关的量，分别称为该应力状态的第一、第二、第三不变量。即
1x y z I σσσ=++
（15）
2x yx y zy x zx xy y yz
z xz z I στστσττστστσ??????
=++???????????? （16）
3x yx zx xy y zy xz yz z I στττστττσ??
??=??????
（17）
7、叠加原理与圣维南原理
在解决一个弹性力学问题时，我们常常利用叠加原理来有效地处理各种复杂载荷作用的情况。叠加原理是：
考虑同一物体受两组载荷作用，第一组为体力'i f ()123i =，，和
面力'i F ()123i =，，；第二组为体力''i f ()123i =，，和面力''i F ()123i =，，，它们引起的应力和全移场分别为'ij σ和'i u 以及''ij σ和''i u ()123i j =，，，。如果物体处于线弹性、小变形状态，两组载荷同时作用时物体内的应力和位移场等于它们单独作用时相应的应力与位移场之和。
弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。实际工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条件，给不出详细的载荷分布规律。另外，解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化方案。
圣维南原理指出:由作用在物体局部表面上的自平衡力系(即合力与合力矩为零的力系)，所引起的应变，在远离作用区(距离远大于该局部作用区的线性尺寸)的地方可以忽略不计。圣维南原理的另一种提法是:若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替。则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离作用区的距离增加而迅速衰减。显然，上述两种提法是完全等效的。 8、平面问题的基本方程 平衡微分方程：
00yx
x y xy X x y Y y
x τσστ???++=????
?
???++=???? （18）
几何方程：
x y
xy
u x v
y v u x y εεγ??=
???
??=???
???=+????
（19）
物理方程：
()()()111111
x x y z y y
z x z z x y yz yz
zx zx
xy
xy E E E G G G εσμσσεσμσσεσμσσγτγτγτ???=-+????
???
=-+????
???
=-+?
???
?=???=?
?=??
（20）
9、平面应力问题与平面应变问题
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如
果平面是oxy 平面，那么只有正应力x y σσ、和剪应力xy τ(它们都在一个平面内)，没有z yz zx σττ、、。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是oxy 平面，则只有正应变x y εε、和剪应变xy γ，而没有z yz zx εγγ、、。
举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。
10、弹性力学的基本方法
在弹性力学里求解问题，主要有三种基本方法，分别是按位移求解、按应力求解和混合求解。
按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，根据基本方程和边界条件求出位移分量，从而求出其他分量。
按应力求解一般有逆解法和半逆解法。所谓逆解法，就是
先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数?，从而求出应力分量。然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。所谓半逆解法，就是针对所要解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数?，然后来考察这个应力函数是否满足相容方程以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出其他应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。
相容方程：
()22220x y x y σσ??
??++= ?????
（21）
二、塑性力学
1、塑性力学的基本假设
当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分永久变形时，这中变形为塑性变形。
在实验的基础上，塑性力学一般采用以下假设： （1）材料是连续的，均匀的。
（2）平均正应力（静水压力）不影响屈服条件和加载条件。
（3）体积的变化是弹性的。
（4）不考虑时间因素对材料性质的影响。
2、变形体的模型
对于不同的材料，不同的应用领域，我们可以采用不同的变形体的模型，这种模型必须符合材料的实际性质。不同的材料有不同的拉伸曲线，但它们具有一些共同性质。其拉伸曲线图如图3。
图3 材料的拉伸曲线图
如按上面曲线来解决具体问题将异常复杂，因此将其简化，具体见图4。
3、屈服条件
对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈服条件。在应力空间将初始屈服的应力点连成的弹性和塑性的分界面称为屈服面。描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于屈雷斯卡（Tresca）屈服条件和密赛斯（Mises）屈服条件之间，而更接近于密赛斯屈服条件。
1）、屈雷斯卡屈服条件（最大切应力条件）
屈雷斯卡屈服条件为：当最大切应力达到某一极限值时，材料开始进入塑性状态，即
13s σσσ-=，123σσσ≥≥
（22）
在主应力空间，当差值12σσ-、23σσ-、31σσ-中任意一个达到2k 时，材料进入塑料性状态，即
23311
2s s s σσσσσσσσσ
?-≤?
-≤??-≤?
（23）
因此用屈雷斯卡条件表示的屈服面为由下列六个平面组成的正六边形柱体。如图5所示：
材料常数k 由实验确定。在拉伸试验时，12s k σσ==，即
/2s k σ=。在纯剪切试验时，1322s k σστ-==，即s k τ=。如果屈雷斯
卡条件成立，必有/2s s τσ=。
2）、密赛斯屈服条件
密赛斯条件为：:当切应力强度I τ等于剪切屈服极限s τ时，材料开始屈服；或者当应力强度I σ等于拉伸屈服极限s σ时，材料开始屈服，即
()()()
()()()()222
2
1223312
22
2
2
2
2262s x
y y z z x xy yz zx
s
σσσσσσσσ
σσσσστττσ
-+-+-=-+-+-+++= （24）
对于密赛斯条件，s s τσ=。密赛斯条件与屈雷斯卡条件的最大差别不超过15%。
在主应力空间，密赛斯屈服面为一外接于屈雷斯卡屈服面的圆柱面。在平面应力状态，设30σ=，则在1σ、2σ应力平面上，密赛斯条件为一椭圆，屈雷斯卡条件为内接六边形（图6）。
3
4、塑性应力应变关系
塑性应力应变关系有增量（流动）理论和全量（形变）理论两种类型。
1）、增量理论
全量理论用应力和应变的瞬时值表示的塑性应力应变关系，是塑性应力应变增量关系沿加载途径的积分形式。当满足小变形及简单加载（应力分量成比例增长）条件，应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系。
2）、全量理论
材料在塑性变形时，应力与应变之间一般不存在一一对应的关系。增量理论假设在塑性流动的任一瞬时，塑性应变增量矢量与加载面正交。
三、ANSYS求解实例
为加深对理论的理解，将书上的习题用ANSYS来实现，可以将习题的理论结果和ANSYS计算的数值结果进行对比。以下用弹性力学求解方法和ANSYS有限元分析分析书上的一个习题。
设图7中三角形悬臂梁中受重力的作用，而梁的密度为 ，试用纯三次式的应力函数求解。
弹塑性力学在岩体变形加固中的应用 姓名： xx 学号：导师： xx 弹塑性力学这门课程是《弹性力学》的延伸，经典弹塑性力学的基本要求是应力只能在屈服面以内或屈服面之上，材料在屈服面以外的力学行为是没有定义的，这意味着经典弹塑性理论只能处理稳定结构。结构需要加固力维持稳定，说明结构部分区域应力已超出屈服面。一般说来对于给定的外荷载，结构的工作区域可能是弹性区、稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区。弹性区和稳定弹塑性区可由经典弹塑性力学处理，变形加固理论处理的是非稳定弹塑性区。本文首次提出变形加固理论的基础是非平衡态弹塑性力学，它是经典弹塑性力学的增量延拓，其理论核心是最小塑性余能密度原理，在结构上反映为最小塑性余能原理。 1 变形加固理论的提出 工程结构弹塑性有限元计算表现为一系列逼近真解的迭代过程。考察某一 典型的迭代步，设某一高斯点在该迭代步的初始应力为c 0 且有f( c 0) <,当前应力为c 1。应力场c 0，c 1 都应满足平衡条件，即该应力场在结构内处处满足平衡微分方程，在边界上满足力的边界条件，在有限元分析中表示为 2/ BT c 0dV= 2/ BT c
1dV=F 式中： F为外荷载向量，e表示对结构所有单元求和。 经典弹塑性理论要求结构各点应力必须在屈服面之上或以内，即各点都要满足屈服条件，这意味着结构在外荷载作用下是稳定的。而本文讨论加固问题首先意味着结构在外荷载作用下是不稳定的，需要引入加固力以维持稳定。所以有必要对经典弹塑性理论进行延拓以容纳加固特点。受弹塑性迭代总是使范数不断减少的启发，本文提出一个最小塑性余能原理： 对于给定的外荷载，在所有和其平衡的应力场中，结构真实应力场的塑性 余能范数最小。以此而论，弹塑性有限元计算的迭代过程就是△E的一个最小化过程。 3经典弹塑性本构关系 本文讨论关联的理想弹塑性材料，且不考虑弹塑性耦合。经典弹塑性力学的本构关系为率形式。 4非平衡态弹塑性本构关系 非平衡态弹塑性力学处理应力状态处于屈服面以外的材料行为，其本构关系基本上就是上述经典弹塑性本构关系的增量化。只有增量化才能出现应力位于屈服面以外的情形，这和弹塑性数值方法的处理方法是一致的。不过弹塑性数值方法是作为弹塑性理论的近似方法，而在本文，这些增量关系作为非平衡态弹塑性力学的本构关系，是作为事先给定的基本定义和出发点。 第一和第二最小塑性余能密度原理可统称为最小塑性余能密度原理，如上所述，其实质为增量型正交流动法则。增量型正交流动法则为正交流动法则的一阶近似。正是在这个意义上，非平衡态弹塑性力学可以看作是经典弹塑性力学在非稳定弹塑性区的一阶近似。最小塑性余能密度原理式可以认为是极值问题式的增量对
应用弹塑性力学李同林第四章 这是变形理论。这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个条件: (1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)； (2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即 或者 ； 在变形过程中 (4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。 法律。 使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指
数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即: 如果使用主应力，有 等效应变的表达式为: 从这里 因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下: 展开等式(4-84): 根据胡克定律(4-33)，弹性应变为: 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得: 公式(4-86)可以缩写为: 实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。材料是各向同性的。尝试找到: (1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加； (2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。 因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 （5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上 的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?， 如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
弹塑性力学简答题 2002年 1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4 虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的， 而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6 什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？ 加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。 卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？ 协调方程和边界条件。 8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z 方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9 什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要 手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应 用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置 发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用 以描述物体在受力后任何部位的力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应 力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体A 与B 之间在截面C 的力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在的微小面积元素S ?，而S ?上的 力矢量为F ?，则力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ， 即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维 空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再 讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于 平面应力状态的应力量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略 端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
弹塑性力学读书报告 本学期我们选修了樊老师的弹塑性力学，学生毕备受启发对工科来说，弹塑性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析 各种结构物体和其构件在弹塑性阶段的应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。 但是在研究方法上也有不同，材料力学为简化计算，对构件的应力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略和近似的； 而弹塑性力学的研究通常不引入上述假设，从而所得结果比较精确， 并可验证材料力学结果的精确性。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑 性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、 解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 第一章绪论 首先是弹塑性力学的研究对象和任务。 1、弹塑性力学：固体力学的的一个分支学科，是研究可变形固体受 到外载荷、温度变化及边界约束变动等作用时，弹性变形及应力状态的科学。 2、弹塑性力学任务：研究一般非杆系的结构的响应问题，并对基于 实验的材料力学、结构力学的理论给出检验。
这里老师讲到过一个重点问题就是响应的理解，主要就是结构在外因的作用下产生的应力场（强度问题）、应变场（刚度问题），整体大变形(稳定性问题)。 3、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及 边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所 满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。 在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使 得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物 体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如： 应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去 以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料 服从虎克定律，应力与应变成正比。
第四章弹性变形·塑性变形·本构方程 当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。 在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。 大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。 在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示: ζ=Eε(4-1) 式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。
弹塑性力学在土力学方面的应用 1.土的弹塑性性质 传统的弹塑性理论认为，材料的全变形过程包括弹性变形和弹塑性变形两个阶段。在加载过程中，随着应力的增加，材料除了会出现弹性变形，还会有塑性变形，且弹性变形的应力范围不断加大，这也就是所谓的塑性硬化。一般认为，塑性硬化的过程不会改变卸载时的弹性性质，称为弹塑性的非耦合性。且当材料反向受力时，不会出现包辛克效应，即不会产生于正向不同的塑性变形或塑性硬化。但是，岩土材料具有不同于金属材料的一些性质，如岩土材料有时表现出极低的弹性区，屈服极限不明显；岩土除了塑性硬化之外，还可能出现塑性软化；岩土还具有弹塑性耦合性质，会出现包辛克效应等。以上这些性质也就要求岩土的弹塑性理论要比传统的理论考虑更多的问题，要求我们就要考虑传统弹塑性的理论基础，又要考虑岩土材料的特殊性质。 2.土的弹塑性理论 弹塑性理论都是采用增量法，建立应力增量与应变增量之间的关系，以适应和描述应力—应变发展的非线性规律。在一定应力条件下，由应力的变化所引起的应变增量可以分解为弹性应变增量和塑性应变增量。其表达式可以写成： p e d d d εεε=+ （1） 式中况分别表示弹性和塑性情、p e 。对于弹性应变部分，可以有弹性理论的应力—应变关系求出。而对于塑性应变部分，可需要塑性理论来解决。在应用塑性理论前，首先需要对塑性应变的标准、产生条件、应变方向、应变大小和应变发展变化的规律有一定的认识。 1）塑性判断标准。塑性判断标准常用德鲁克公设（如图1）或依留申公设（如图2）。德鲁克公设认为，一个盈利循环所做的功大于零才有塑性应变。依留申公设认为，一个应变循环中所做的功大于零才有塑性应变。
注：自己多改改啊，6月18日早上交。 1.在例3.2中，更精确地分析是假定悬臂梁在长度a+a 0处固定，根据实验测定a 0取h/3较合适。并考虑变形引起的位移，取V=1/3，试求能量释放率。 解：根据题意 V EBh a a p V EJ a a p ++=++=?3 3030)(83)(2 试件柔度 p V EBh a a p c ++=?=3 30)( 所以G I =3 22 22)3(1221h EB p h a d d p B a c += 2.某发电机转子在动平衡时发生断裂。断裂后发现垂直于最大拉应力方向的一个圆形片状缺陷。直径约在2.5~ 3.8cm 之间。缺陷处的最大拉应力为350MPa 。试估算转子的临界裂纹尺寸。经测定，转子材料的断裂韧度k 1c =（34~59）MPa m 。 解：缺陷处应力强度因子为 a k πσπ 2 1= 又k 1c =（34~59）MPa m ，350=σMPa a=（0.74~2.2）cm 所以裂纹直径为1.5~4.4cm 3.气瓶内径D=508mm ，壁厚t=35.6mm ，纵向有表面裂纹，深度a=16mm ，长度2L=508mm ，材料的屈服极限0σ=538MPa ，断裂韧度k 1c =110MPa m ，试求爆破压力。假设为理想塑性材料，考虑塑性区修正。 解：利用半椭圆表面裂纹应力强度因子 )(/]})(241[{1.121 211k E k a k s σππ+= =c a 254 16=0.063 ，查表得)(k E =1.008 21 211]})(241[{1.1) (s c k a k E k σππσ+= =21)]}8.53110(24116[{1.1110008.1ππ+ ?=14.2 kg/mm 2
弹塑性断裂力学 在本文总共分四部分，第一部分断裂力学习题，第二部分为断裂力学在岩石方面的研究及应用，第三部分为断裂力学的学习总结，第四部分为个人总结及建议。 一、断裂力学习题 1、某一合金构件，在275℃回火时，01780MPa σ=，52k K MPa m =，600℃回火时，01500MPa σ=，100Ic K MPa m =，应力强度因子的表达式为 1.1I K a σπ=，裂纹长度a=2mm ，工作应力为00.5σσ=。试按断裂力学的观点评 价两种情况下构件的安全性。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P7） 解：由断裂失稳判据K<错误！未找到引用源。c ，临界条件K=错误！未 找到引用源。c 且a=2mm ，工作应力0=0.5σσ错误！未找到引用源。， 1.1I K a σπ=得 在275℃回火时，152Ic K MPa m =，得 111.117800.50.00277.6I Ic K MPa m K π=????=> 在600℃回火时，2100Ic K MPa m =，得 221.115000.50.00265.4I Ic K MPa m K π=????=< 由断裂准则可知，在275℃时K ＞错误！未找到引用源。c ，即裂纹会发 生失稳破坏；在600℃回火时K<错误！未找到引用源。K c ，即裂纹不会 发生失稳破坏。 2、有一长50cm 、宽25cm 的钢板，中央有长度2a =6cm 的穿透裂纹。已知材料的K Ic =95MPa m ，其屈服强度为ys δ=950MPa 。试求裂纹起裂扩展时的应力。（《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P51） 解：（1）不考虑塑性区修正，但考虑有限宽度修正
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）
（ （ = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程（含3-5 个关键人物和主要贡献）。 答：1）断裂力学的思想是由Griffith 在1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作，提出了能量理论思想。（2）断裂 力学作为一门科学，是从1948 年开始的。这一年Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic（断裂动力学）”，研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。（3） 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于Irwin。他于1957 年提出了应力强度因子的概念，在 此基础上形成了断裂韧性的概念，并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样，作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。（4）1963 年，Wells 提出了裂纹张 开位移（COD）的概念，并用于大范围屈服的情况。研究表明，在小范围屈服情况下COD 法与LEFM 是等效的。（5）1968 年，Rice 等人根据与路径无关的回路积分，提出了J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量，它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出，标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义，研究对象和主要任务。 答：1）断裂力学的定义：断裂力学是一门工程学科，它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 （2）研究对象：断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 （3）主要任务：研究裂纹尖端附近应力应变分布，掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律；了 解带裂纹构件的承载能力，进而提出抗断设计的方法，保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态，二者有什么特点？请举例说明之。 答：（1）平面应力：薄板问题，只有xoy 平面内的三个应力分量σ x、σ y、τ xy； ε z ≠ 0， 属三向应变状态。 （2）平面应变：长坝问题，与oz 轴垂直的各横截面相同，载荷垂直于z 轴且沿z 轴方向无 变化； ε z = 0， σ z ≠ 0，属三向应力状态；材料不易发生塑性变形，更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理，并证明之。掌握工程应用的方法。 答：（1）应力强度因子的叠加原理：复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷T2作用下，裂纹前端应力场为 σ2，则相应的应力强度因子为K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷T1和T2联合作用，则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2，则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛？如何对应力强度因子进行修正？ 答：裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区（设塑性区是以裂纹尖端为圆心，半径为r0 的圆 π a 形区域），材料屈服后，多出来的应力将要松驰（即传递给r>r0 的区域），使r0 前方局部地 区的应力升高，又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念a eff = a + r y对应力强度因子进行修正，在小范围条件下，
1 弹塑性力学中的边值问题 塑性本构关系有全量和增量两种理论，简单分析一下这两种理论的边值问题的提法及解法、全量理论的边值问题及解法。 设在物体V 内给定体力 ，在应力边界 上给定面力 ，在位移边界 上给定 ，要求物体内部各点的应力 、应变 、位移 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） 2） 3） ， ， 4） 5） 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 代入用位移表示的平衡 微分方程得： 其中 或 在弹性状态时，上式右端等于零，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求精度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。 增量理论的边值问题及解法 设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 ，求在此基础上， 给定体力增量 、 上面力增量 、 上位移增量 时，物体内部各点的应 力增量 、应变增量 、位移增量 。确定这些增量的基本方程组有： 1） 2） 3）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区 塑性区 4） 5） 此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。 塑性力学中比较简单的问题，包括用平衡微分方程、屈服条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题，以及屈服条件为线性的情况，求解时并不需要处理整套方程（因为其中许多方程已自动满足），需要处理的方程也可用较简单的数学方法求解属于这类问题的有纯拉伸、纯弯曲、纯扭转平面弯曲、厚壁筒和旋转圆盘等。 ,0 ij i j f σ+=(),,12ij i j j i u u ε=+ij i j l f σ=i i u u =()21ij ij S G e ω=-i ij ij u 、、εσi df T S i f d u S i u d ij d σij d εi du ,0 ij i j d df σ+=()0ij f σ?2ij ij kk ij d d d G E σμεσδ=-ij i j d l df σ=i f T S i f u S i u ij σij εi u ()0ij f σ=
弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
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弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题
（ （ = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程（含 3-5 个关键人物和主要贡献）。 答： 1）断裂力学的思想是由 Griffith 在 1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作，提出了能量理论思想。（2）断裂 力学作为一门科学，是从 1948 年开始的。这一年 Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic （断裂动力学）”，研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。（3） 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于 Irwin 。他于 1957 年提出了应力强度因子的概念，在 此基础上形成了断裂韧性的概念，并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样，作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。（4）1963 年，Wells 提出了裂纹张 开位移（COD ）的概念，并用于大范围屈服的情况。研究表明，在小范围屈服情况下 COD 法与 LEFM 是等效的。（5）1968 年，Rice 等人根据与路径无关的回路积分，提出了 J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量，它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出，标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义，研究对象和主要任务。 答： 1）断裂力学的定义：断裂力学是一门工程学科，它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 （2）研究对象：断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 （3）主要任务：研究裂纹尖端附近应力应变分布，掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律；了 解带裂纹构件的承载能力，进而提出抗断设计的方法，保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态，二者有什么特点？请举例说明之。 答：（1）平面应力：薄板问题，只有 xoy 平面内的三个应力分量σ x 、σ y 、τ xy ； ε z ≠ 0 ， 属三向应变状态。 （2）平面应变：长坝问题，与 oz 轴垂直的各横截面相同，载荷垂直于 z 轴且沿 z 轴方向无 变化； ε z = 0 ， σ z ≠ 0 ，属三向应力状态；材料不易发生塑性变形，更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理，并证明之。掌握工程应用的方法。 答：（1）应力强度因子的叠加原理：复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷 T 2 作用下，裂纹前端应力场为 σ2，则相应的应力强度因子为 K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷 T 1 和 T 2 联合作用，则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2 ，则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛？如何对应力强度因子进行修正？ 答：裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区（设塑性区是以裂纹尖端为圆心，半径为 r0 的圆 π a 形区域），材料屈服后，多出来的应力将要松驰（即传递给 r>r0 的区域），使 r0 前方局部地 区的应力升高，又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念 a eff = a + r y 对应力强度因子进行修正，在小范围条件下，