弹塑性力学读书报告
本学期我们选修了樊老师的弹塑性力学，学生毕备受启发对工科来说，弹塑性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物体和其构件在弹塑性阶段的应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
但是在研究方法上也有不同，材料力学为简化计算，对构件的应力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略和近似的；而弹塑性力学的研究通常不引入上述假设，从而所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。
弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：
第一章绪论
首先是弹塑性力学的研究对象和任务。
1、弹塑性力学：固体力学的的一个分支学科，是研究可变形固体受到外载荷、温度变化及边界约束变动等作用时，弹性变形及应力状态的科学。
2、弹塑性力学任务：研究一般非杆系的结构的响应问题，并对基于实验的材料力学、结构力学的理论给出检验。
这里老师讲到过一个重点问题就是响应的理解，主要就是结构在外因的作用下产生的应力场（强度问题）、应变场（刚度问题），整体大变形(稳定性问题)。
3、弹性力学的基本假定
求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材
料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而
物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的
物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各
点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，
在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸代替变形后
尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转
角的平方项或乘积都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都成
为线性方程。
第二章应力
作用于弹性体的外力可以分为体（积）力和（表）面力。体力是
分布在弹性体体积内质量上的力，例如重力和惯性力、磁力等。在物
体内任一点的体力，用作用于其上的单位体积的体力沿坐标轴上的投、、来表示。它们的指向以沿坐标轴正方向为正；反之为负。影X Y Z
这三个投影称为该点的体力分量。
面力是指作用于弹性体表面上的外力，例如流体压力和接触力等。可
以是分布力，也可以是集中力。在弹性表面上任一点的面力，用作用
于其上的单位面积上面力沿坐标轴上的投影X、Y、Z来表示。它们
的指向也以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。这三个投影称为该点
的面力分量。
弹性体在外力作用下变形，而在弹性体内部为了阻止其变形就产生了内力来平衡外力。作用在单位面积上的内力称为应力。
1、应力状态的描述
物体表面的外力可分为面力和体力。我们在P点处沿坐标轴x，y，z方向取一个微小的四面体，四面体上的三个正交面上的应力的表示方法：第一个字母表示应力的方向，第二个字母表示应力所在的面的方向（法线方向），当法线方向与外法线方向一致（或法线方向与外法线方向相反），应力方向与坐标轴方向一致（或应力方向与坐标轴方向相反）为正，反之为负。对于正应力，因为应力的方向与应力所在的面的方向一致，故只用一个字母。由达朗伯原理可以得到四面体的平衡方程：面力之和+体力之和=0
又因为体力之和是面力之和的高阶无穷小，从而有：面力之和=0
主要就是柯西公式：
x x xy xz x
y yx y yz y
p n
p n
σττ
τστ
??
????
?
? ?
= ?
? ?
写成张量形式：
剪应力的互等关系：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。
yz zy zx xz xy yx ττττττ===，，
2、平衡方程
主要是两种分析方法：直观法（微元分析法）取正交六面体，并对此正交六面体应用达朗伯原理；分析法：分析法的的优点是抽象，因为抽象往往一般、严谨，缺点也是抽象，因为抽象往往不直观。
写成张量形式：
3、主应力
我们知道，一点处各方向的应力由应力张量及方向数描述。柯西公式可知斜面上的三个应力分量与应力张量的线性关系，而且体积力
()
,,,i ij j
p n i j x y z σ==000x xy
xz x yx y yz z zx zy
z y x F F y F z στττσττ
τσ??? ?
????? ???
? ?? ? ?+= ? ? ? ?? ? ? ? ???
????? ? ????
平动
xy yx z xz zx y yz
zy x m m m
ττττττ?=+?
=+??=+?转动
z y x z y x m m m 式中、、、分别为体积力矩沿、、三个坐标轴的的分量。()
,0
,,ij j i F i x y z σ+==
矩为零时，应力张量对称。由对称矩阵的性质，我们想到，它有三个正交的特征向量。写出特征方程：
简单形式为：
称为主应力，按值的大小排列，分别称为第一主应力、
第二主应力、第三主应力，他们的方向与坐标轴的方向一致。
第三章 应变 1、变形
首先大家都懂，在外力作用下，物体各点的位置要发生变化，即发生位移变形后是否改变了各点间初始状态的相对位置，则来分辨是刚体位移还是变形。 2、对位移张量
显然，变形由相对位移引起而，而且变形的程度与下述相对位移张量相关。
1122330x xy xz x yx y yz y zx zy z z l p l l p l l p l σλττλτσλτλττσλλ??-???????? ? ? ? ? ?-=?= ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?-??????????
1
2
3x x y y z z p n p n p n σσσ??????
? ? ?=
? ? ? ? ? ?????
??123σσσ，，
式中：u 、v 、w 分别为x ，y ，z 方向的位移。 3、应变率
因为塑性变形与历史相关，对应的求解方法之一就是增量法，因此提出应变率的概念。在无穷小的时间区间内，变形微小，因此，可用小变形张量对时间的偏导数定义应变率张量。
可见，只要在应变张量的各项讨论中每个应变符号上加一个圆点，便可以得到关于应变率的各种公式。 4、应变协调方程
应变分量只确定物体中各点间的相对位置，而刚体位移并不包含在应变分量之中。无应变状态下，可以产生任一种刚体移动。另一方面，如果能求出物体各点的位移函数u ，v ，w ，根据应变位移方
程求出各应变分量，则应变协调方程y
x x y xy
y x ???=??+??γεε2
2222自然可以满足。
因为变形协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然是可以协调的。
第四章 本构关系 1、广义胡克定律
在材料力学课程中，我们已经详细讨论了在单向应力状态时材料处于线性弹性阶段的应力应变关系。而在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，与之相应的应变状态也要用9个应变分量。
x 11x 12y 13z 14xy 15yz 16zx
y 21x 22y 23z 24xy 25yz 26zx z
31x 32y 33z 34xy 35yz 36zx xy 41x 42y 43z 44xy 45yz 46zx yz
51x 52y 53z 54xy 55yz c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεγγγσεεεγγγσεεεγγγ
τεεεγγγτεεεγγ=+++++=+++++=+++++=+++++=++++56zx
zx 61x 62y 63z 64xy 65yz 66zx c c c c c c c γ
τεεεγγγ??
????
??+??=+++++?
坐标系绕y 轴旋转180°得:
113322121321233132
11
0l l l l l l l l l ==-??
=??======? 由坐标变换得：
'222111213111212131311'''''
y
''''''
2(),,,,,,,,,xy yz zx xy x x y z xy yz zx x y z z xy yz zx x x y y z z xy yz yz zx zx l l l l l l l l l σσσστττσσσσσττττττεεεεεεγγγγγγ?=+++++=???===-=-=????====-=-=????同理
由弹性常数不变知
z xy yz zx '''''''
11121314151611x 12y 13z 14xy 15yz 16zx 1415c c c c c c c c c c c c c c 0
x x y x
σεεεγγγεεεγγγσ=+++++=++--+=?==同理
24253435c c c c 0====
'''''''41424344454641x 42y 43z 44xy 45yz 46zx 41424346c c c c c c c c c c c c c =c =c =c 0
xy x y z xy yz zx xy
τεεεγγγεεεγγγτ=+++++=++--+=-?=同理
51525356c =c =c =c 0= 6465c =c 0=
同理将坐标系绕
X
轴
Z
轴旋转时还可得
162636455461626366c =c =c =c c =c =c =c =c =0=
即得均匀各向异性介质的胡克定律：
x 11x 12y 13z
y 21x 22y 23z z 31x 32y 33z xy 44xy yz
55yz zx 66zx c c c c c c c c c c c c σεεεσεεεσεεετγτγ
τγ=++??
=++??=++??
=??=??=?
2、屈服函数
屈服就是材料进入塑形状态。一般地，介质在应力作用下发生屈服，不仅与介质的力学性质有关而且与应力状态有关。若仅考虑屈服于应力状态的关系，可用下述函数表达屈服条件：
3、屈服曲线的性质
（1） 屈服曲线是一条包围原点的闭曲线。
（2） 初始屈服曲线与过坐标原点的直线相交一次且仅相交一次。 （3） 若不计鲍辛格效应，屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。
（4） 强化材料的屈服曲线对坐标原点是外凸曲线。 5、常用屈服条件
从材料的简单拉伸（或压缩）实验的应力应变曲线看到，当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈服条件。在应力空间将初始屈服的应力点连成的弹性和塑性的分界面称为屈服面。描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于特雷斯卡屈服条件和米泽斯屈服条件之间，而更接近于米泽斯屈服条件。 （1）特雷斯卡屈服条件（最大剪应力条件）
特雷斯卡屈服条件为：当最大剪应力达到某一极限值时，材料开始发生屈服。即
13s σσσ-=，123σσσ≥≥
在主应力空间，当差值12σσ-、23σσ-、31σσ-中任意一个达到
2k 时，材料进入塑料性状态，即
23311
2s s s σσσσσσσσσ
?-≤?
-≤??-≤?
材料常数k 由实验确定。在拉伸试验时，12s k σσ==，即/2s k σ=。在纯剪切试验时，1322s k σστ-==，即s k τ=。如果特雷斯卡条件成立，必有/2s s τσ=。 （2）米泽斯屈服条件
米泽斯条件为：当切应力强度I τ等于剪切屈服极限s τ时，材料开始屈服；或者当应力强度I σ等于拉伸屈服极限s σ时，材料开始屈服，即
()()()
()()()()222
2
1223312
22
2
2
2
2262s x
y y z z x xy yz zx
s
σσσσσσσσ
σσσσστττσ
-+-+-=-+-+-+++=
对于米泽斯条件，s s τσ=。米泽斯条件与特雷斯卡条件的最大差别不超过15%。
在主应力空间，米泽斯屈服面为一外接于特雷斯卡屈服面的圆柱面。在平面应力状态，设30σ=，则在1σ、2σ应力平面上，米泽斯条件为一椭圆，特雷斯卡条件为内接六边形。
第五章 弹塑性力学问题的提法
在弹性力学里求解问题，主要有三种基本方法，分别是按位移求解、按应力求解和混合求解。
按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，根据基本方程和边界条件求出位移分量，从而求出其他分量。
按应力求解一般有逆解法和半逆解法。所谓逆解法，就是先设定各种
形式的、满足相容方程的应力函数?，从而求出应力分量。然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。所谓半逆解法，就是针对所要解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数
?，然后来考察这个应力函数是否满足相容方程以及原来假设的应力
分量和由这个应力函数求出其他应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。 相容方程：
()22220x y x y σσ??
??++= ?????
（21）
由前面几章的讨论，我们得出了在三维情况下弹塑性力学的基本方程。 1、 基本方程 平衡方程：
,0ij j i f σ+=
几何方程： (),,1
2
ij i j j i u u ε=+
本构方程：11322ij ij ii ij ij i ij ij i E ds d de s G νσεσδννεσ?
=+?++???
=+??
2、 基本解法
（1） 位移法：即将定解问题用位移表出，求出位移场，从位移场求出应变场，从应变场求出应力场。
(),,0j ji i jj i i i
u u u F u u s s λμμ?+++=?==? （2） 应力法：将虎克定律用应力表出，再代入应变协调方程，再利用平衡微分方程：
,101ij ij ij j i n p s s σσσνσ?
?+=?
+?
?==?
3、圣维南原理
由作用在物体局部表面上的自平衡力系(即合力与合力矩为零的力系)，所引起的应变，在远离作用区(距离远大于该局部作用区的线性尺寸)的地方可以忽略不计。圣维南原理的另一种提法是:若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替。则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离作用区的距离增加而迅速衰减。显然，上述两种提法是完全等效的。
简单的说就是：由某力系产生的应力场在离该力系分布域较远的部分，此应力场只与该力系的主矢与主矩有关。 4、迭加原理：
若算子D 满足：()1212D D D u u u u +=+，则成立迭加原理。 但是其实 ：
121211
22
121D D D D D u u u f f f u f u f u u u f f
=+=+==?=+=+
此即迭加原理。
第六章 弹塑性平面问题 1、塑性力学的基本假设
当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分永久变形时，这中变形为塑性变形。 在实验的基础上，塑性力学一般采用以下假设： （1）材料是连续的，均匀的。
（2）平均正应力（静水压力）不影响屈服条件和加载条件。 （3）体积的变化是弹性的。
（4）不考虑时间因素对材料性质的影响。 1、基本方程
平衡微分方程：????
???=+??+??=+??+??0
0by y y x
xy bx xy
x F F y x σττσ 几何方程：x
y xy
u
x v
y v u x y εεγ??=???
??=???
???=+????
物理方程：???
?
??
???+-=-=-=)()(1)(1y x z
x y y y x x E v v E v E σσεσσεσσε 及 ???
?
??
???
===zx zx yz
yz xy xy G G G τγτγτγ111 边界条件：x x xy y x xy x y y y n n p n n p σττσ+=???
+=??
2、应力函数
我们希望求出的应力场既满足几何协调方程又满足平衡方程。为此，引入应力函数，它使平衡微分方程被自然满足。
令
2
2
2
2
2
x
y
xy
y
x
x y
?
σ
?
σ
?
τ
??
=
?
?
?
??
?
=
?
?
?
??
=-
?
??
??
（?称为艾里应力函数）
将上式代入莱维方程得到：
20
?
?=
如外力为势力，即f V
=-?
令
2
2
2
2
2
x
y
xy
V
y
V
x
x y
?σ
?σ
?τ
??
-=
?
??
???
-=
?
??
??
=-
?
????
得到：()
21V
?μ
?=--?
3、用极坐标表示的基本方程
在解某些工程问题时，采用极坐标是很方便的。
平衡方程及应力函数
2
22
2
2
2
2
1
2
1
11
111
r r
r
r
r r
r
r
f
r r r
f
r r r
r r r
r
r r r r
r
θθ
θθθ
θ
θ
θ
τσσ
σ
θ
σττ
θ
??
σ
θ
?
σ
???τ
θθθ
?-
?
?
+++=
????
?
??
?+++=
???
?
???
=+
?
??
?
??
=
?
?
?
?????
??=-=-
? ?
?????
???
协调方程 20??= （不计体力）
式中：
22
22211r r r
r θ????=++
???
第七章 平面应力问题和平面应变问题
由前面讨论可知，平面塑形应变状态是物体中各点的塑形流动都平行于给定xy 平面，与z 无关。平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是oxy 平面，那么只有正应力x y σσ、和剪应力xy τ(它们都在一个平面内)，没有z yz zx σττ、、。举例说来，平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是oxy 平面，则只有正应变x y εε、和剪应变xy γ，而没有z yz zx εγγ、、。平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
第八章 柱体的弹塑性扭转
本章首先应该明确一个概念就是：翘曲函数非圆截面柱体的情况要复杂的多。由于截面非对称形式，在扭转过程中，截面不在保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。函数),,(z y x w 称为翘曲函数。
扭转变形前后的截面都是圆形而且每一个截面都只作刚体转动，
在小变形条件下，没有轴向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。这样，变形后的截面半径及柱体长度基本不变。求出一个普朗特应力函数ψ使得y
zx ??=
ψ
τ，x
zy ??-
=ψ
τ。满足边界上的值为零，在界面内满足方程：θψ
ψψG y
x 222222
-=??+??=?。则截面的剪应力分布及扭矩T M 就可以求的。
第九章 变分原理与极值原理及其应用 1、基本概念
我们研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且要知道物体中每一点的温度。若物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程。若在变形过程中，物体的温度没有什么升降，也没有损失或增加热量，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。总能量的变化为：
k E U W Q δδδδ+=+
2、虚位移原理
现在考虑一个受一组体力b F 和面力p 作用而处于平衡状态的物体，其体积Ｖ，表面积Ｓ。 平衡方程： ,0
ij j bi F σ+=
边界条件：
ij i i
n p σ=
外力的总虚功：
i i bi i S V W p u ds F u dV
δδδ=+??
物体内的总虚应变能：
0ij ij V V U U dV dV
δδσδε==??
虚位移原理：对平衡状态的物体，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
3、应力张量对称的情形条件下，从虚位移原理导出平衡微分方程与边界条件。 由
W U δδ=
知
bi i i i ij ij V
S
V
F u dS P u dS dV
δδσδε+=?
?? ①
在应力张量对称的条件下 (),,1
2
ij ji ij i j j i u u σσδεδδ=??
?=+?? 故 ,,,1
(2
ij i j ij i j j i ij ij u u u σδσδδσδε=?+）=
所以①式化为,bi i i i ij i j V S V F u dV P u dS u dV δδσδ+=??? ②
()(),,,,,ij
i j
ij i j ij j i ij j i ij i ij j i j
V
V
V
V
V
u
dV u u dV u dV u dV u dV
σδσδσδσδσδσδ=+-=-?????，③
由高斯散度定理知
()
ij
i ij j i j
V
S
u dV n u dS σδσδ=??， ④
联立②③④式得
,bi i i i ij j i ij j i V
S S V
F u dV P u dS n u dS u dV δδσδσδ+=-?
???
及()()
,bi ij j i ij j i i V S F u dV n P u dS σδσδ+=-??
要使上式对一切虚位移恒成立则要求 ,0ij j bi F σ+= i ij j P n σ= （在
S S σ
=上）
4、极限分析定理及其应用
弹塑性静力学问题的精确解，必须满足几个基本方程，包括平衡条件，变形协调条件和材料的本构关系，屈服条件，弹塑性交界面的连续条件，以及边界条件等。如果所求得的解不能完全满足这几个条件，就称为近似解。
有限元法与里茨法有相似之处，其差别仅在于选择位移函数上。里茨法中，位移函数是用整体范围内的某些参数给出的，而在有限元法中，它是由单位范围内的节点位移给出的。位移函数的任一变更影响的范围差别很大。因而，里茨法仅适用于简单形状的物体，而有限元法，则只需在划分单元时，选用简单的便于分析的单元形状。
在近似解中有所谓限界解。限界解分为两类，即上限解与下限解。上限解高于精确解，下限解低于精确解，有了解的上下限也就有了精确解所处的范围。对于不易求出精确解的问题，讨论问题的限界解是很有必要的。
定理一（下限定理）：如有任意静力许可的应力场存在，则极限载荷ｐ０是所有ｐ－中最大的一个，即ｐ－≤ｐ０（９－７５）
此处ｐ－与一种静力许可的应力场相对应，为极限载荷的下限。
定理二（上限定理）：如有任意的机动许可的速度场存在，则极限载荷是所有ｐ＋中最小的一个，即ｐ０≤ｐ＋（９－７６）此处ｐ＋与一种机动许可的速度场相对应，可证明为极限载荷的上限。
有限元分析法的主要步骤：
将结构离散化，划分单元并编号；
②写出单元体刚度矩阵；
③形成总体刚度矩阵；
④位置结构载荷；
⑤引入支撑条件；
⑥解总体平衡方程；
⑦计算结果并整理。
以上是我对弹塑性力学的总结，还有诸多纰漏之处，理解不够透彻，望老师批评指正。