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元组关系演算(补充)

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《数据库原理》知识点之关系演算运算

《数据库原理》知识点之关系演算运算

2.3.1 元组关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：元组关系演算的定义及表达式的含义 元组演算表达式的⼀般形式为：{t|P（t）} 其含义为：这是⼀个元组集合，其中的每个元组t（t是元组变量）满⾜公式P所规定的条件。

理解有关公式和原⼦公式的定义，对于公式中出现的符号，⽐如 、、=>、∧、∨、┐ 要理解其含义。

Notice：（1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（2）对于给定的关系计算元组表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） 2.3.2 域关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：域关系演算的定义及表达式的含义 域演算表达式的⼀般形式为：{t1……tk|P（t1……，tk）} 其含义为：这是⼀个域集合，其中每个域变量的取值关系满⾜公式P所规定的条件。

理解域公式的写法Notice： （1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（熟能⽣巧） （2）对于给定的关系计算域表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） （3）表达式的转换不⽤强记，关键要从语义上理解。

2.3.3 关系运算的安全性和等价性 考核要求：达到“识记” 层次知识点：安全性和等价性的含义 （1）关系运算的安全性关系代数的运算总是安全性。

关系演算则可能出现⽆限关系（概念）和⽆穷验证（概念）问题。

在数据库技术中，不产⽣⽆限关系和⽆穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。

约定：运算只对表达式中公式在涉及到的关系的值范围内操作。

有了这⼀约定后，关系演算是安全的。

（2）关系运算的等价性并、差、笛卡⼉积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最⼩完备集。

已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能⼒上是安全等价的。

元组关系演算

元组关系演算

元组关系演算元组关系演算是一种形式化的数学方法，用于描述和操作关系型数据库中的数据。

它是关系模型的一个重要组成部分，能够对数据库中的数据进行查询、插入、删除和更新操作。

在这篇文章中，我们将详细介绍元组关系演算的概念、特点和应用，并探讨它在数据库设计与管理中的指导意义。

首先，让我们来了解一下什么是元组关系演算。

元组关系演算是一种基于关系代数的形式化查询语言，它基于元组作为数据的处理单位。

元组是数据库中的一条记录，包含多个属性值，代表了现实世界中某个实体或概念的具体信息。

元组关系演算通过对关系中的元组进行操作，实现对数据库中数据的查询和处理。

元组关系演算具有以下几个特点：1. 易于理解和使用：元组关系演算采用的是直观而自然的查询语言，用户可以很容易理解和使用它。

它允许用户通过简单的查询表达式来获取他们所需的数据，而无需了解底层的数据库实现细节。

2. 严格的形式化语义：元组关系演算具有严格的形式化语义，每个查询表达式都有精确的含义。

这使得在不同的数据库系统中，相同的查询可以得到一致的结果，确保了数据处理的准确性和可靠性。

3. 闭包性：元组关系演算具有闭包性质，即对于任何在关系上操作的查询表达式，返回的结果仍然是一个关系。

这种闭包性使得可以通过多个查询的组合来完成复杂的数据处理任务，提高了查询的灵活性和表达能力。

4. 高度可组合性：元组关系演算支持查询表达式的组合，可以通过嵌套和复合的方式来构建复杂的查询。

这种可组合性使得可以将一个大的查询问题划分为多个小的子问题，并通过逐步组合子问题的查询结果来解决整个问题。

元组关系演算在数据库设计与管理中具有重要的指导意义。

首先，它提供了一种形式化的方法来描述和操作数据库中的数据，帮助数据库设计人员清晰地定义数据结构和关系之间的关系。

其次，它可以用于查询和处理数据库中的数据，帮助用户获取所需的信息。

最后，它还可以作为数据库系统的底层实现基础，为高级查询语言和数据库管理系统提供支持。

元组演算

元组演算

(3) t[i] θ c 或 c θ t[i]
这里 c 是常量，该公式表示 “t 的第 i 个分量与常量 C 满足比较关系 θ” 。例如： t[4]=3 表示元组 t 的第 4 个分量等于 3 。
在关系演算中定义了 “ 自由元组变量 ” 和 “ 约束元组变量 ” 的概念。这些概念和谓词演算中的概念完全一样。若公式中的一个元组变量前有 “ 全称量词 ” 或 “ 存在量词 ” ，则称该变量为约束元组变量，否则称自由元组变量。
其中 R(A,B,C,D) S(C,D,E)
关 系代 数 表 达 式 为 ： π B ( σ A>E (RCROSS.gifS))
4 、把下列 关 系代 数 表 达 式 转换为 元 组 表 达 式
π 1,4 (RCROSS.gifS)
其中 R(A,B,C) S(B,D)
注： F 是公式。 F 用 t[i] 代替 运 算 对 象 i 得到的等价公式。
例 1 查询信息系 (IS 系 ) 全体学生：
S IS ={Student(t) ∧ t[5]='IS'}
例 2 查询年龄小于 20 岁的学生。
公式可以递归定义如下：
(l) 每个原子公式是公式。
(2) 如果 Φ 1 和 Φ 2 是公式，则 Φ 1 ∧ Φ 2 、 Φ 1 ∨ Φ 2 、 ﹁ Φ1 也是公式。分别表示：
① 如果 Φ 1 和 Φ 2 同时为真。则 Φ 1 ∧ Φ 2 才为真，否则为假；
② E2= π A,D ( σ R.C=S.C ( σ B<'2007' (R) ×σ E='80' (S)))
③ E3= π A,D ( σ B<'2007' (R) CROSS.gifσ E='80' (S))

第2章关系代数补充作业及答案（选做）

第2章关系代数补充作业及答案（选做）

关系代数补充习题（摘自数据库系统导论）单项选择：1. 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为________。

(1)主码(2)候选码(3)主属性(4)外码2．________由数据结构、关系操作集合和完整性约束三部分组成。

(1)关系模型(2)关系(3)关系模式(4)关系数据库3．SQL 语言属于________。

(1)关系代数语言(2)元组关系演算语言(3)域关系演算语言(4)具有关系代数和关系演算双重特点的语言4．关系演算是用________来表达查询要求的方式。

(1)谓词(2) 关系的运算(3)元组(4)域5．实体完整性要求主属性不能取空值，这一点可以通过________来保证。

(1)定义外码(2)定义主码(3)用户定义的完整性(4)由关系系统自动6．一组具有相同数据类型的值的集合称为________。

(1)关系(2)属性(3)分量(4)域7．在一个关系中，不能有相同的________。

(1)记录(2)属性(3)分量(4)域8．关系是________。

(1)型(2)静态的(3)稳定的(4)关系模型的一个实例9．所谓空值就是________的值。

(1)数值0 (2)空的字符串(3)未知的值(4)任何值10．集合R 与S 的差表示为________。

(1){t|t∈R∨t∈S} (2){t|t∈R∧フt∈S} (3) {t|t∈R∧t∈S}(4) {tｒtｓ|tｒ∈R ∧tｓ∈S}问答题2.1 本章中，我们声称并、交、积和（自然）连接都具有交互性和结合性。

证明之。

2.2 在Codd 最初定义的八个操作符中，并、差、积、选择和投影可以被认为是基本的。

试用这五种基本操作来表示自然连接、交和除。

2.3 如果A 和B 没有共同的属性，则A JOIN B 等价于A TIMES B。

对其进行证明。

如果A 和B 有相同的表头，则上述表达式等价于什么？2.4 证明2.2 中提到的五个基本操作符是基本的（证明任意一个不能被其余四个来表示）。

数据库模拟试题4(含答案)

数据库模拟试题4(含答案)

模拟题4一、填空题(每空1分，共12分)1. 数据库是长期存储在计算机内、有组织的、可_ _的数据集合。

2. 构成数据模型的三大要素是__________、数据操作和数据完整性约束。

3. SQL语言支持关系数据库的三级模式结构，其中外模式对应于和部分基本表，模式对应于基本表，内模式对应于。

4. 分布式数据库是一组数据集，逻辑上它们属于同一系统，而在物理上分散在用计算机网络连接的多个场地上，并统一由一个______________________________管理。

5. 在关系数据库的规范化理论中，在执行“分解”时，必须遵守规范化原则：既要保持_________关系，又要具有________连接性。

6. 在数据库系统中，数据的完整性是指数据的、和。

7. 并发操作带来数据不一致性包括三类：丢失修改、和。

二、单选题(每空1分，共12 分)1. 关系数据库管理系统都是基于（）理论。

A. Codd的数据关系模型B. 数据结构C. 计算机操纵系统D. 信息管理2. 元组关系演算表达式{t| R(t) ∧S(t)}表达的是（）A. R∪SB. R∩SC. R-SD. S-R3. 在数据库中，与查询有关的是（）A. 数据依赖B. 进程管理C. 索引D. 数据压缩4. 在关系模式R（U，F）中，如果X→U，则X是R的（）A. 候选码B. 主码C. 超码D. 外码5. 语句 delete from sc 表明（）A. 删除sc中的全部记录B. 删除基本表scC. 删除基本表sc中的列数据D. 删除基本表sc中的部分行6. 数据库设计阶段分为（）A. 物理设计阶段、逻辑设计阶段、编程和调试阶段B. 模型设计阶段、程序设计阶段和运行阶段C. 方案设计阶段、总体设计阶段、个别设计和编程阶段D. 概念设计阶段、逻辑设计阶段、物理设计阶段、实施和调试阶段7. 关系笛卡尔积运算记号R×S，( )A. R为关系名，S为属性名B. R和S均为属性名C. R为属性名，S为关系名D. R和S均为关系名8. 在DB应用中，一般一条SQL 语句可产生或处理一组记录，而DB主语言语句一般一次只能处理一条记录，其协调可通过哪种技术实现（）A. 指针B. 游标C. 数组D. 栈9. 下列说法中不正确的是（）。

数据库——关系演算

数据库——关系演算

练习
查询CS系的学生名
GET W(STUDENT.SNAME):STUDENT.SDEPT='CS'
查询选1号课的学号，成绩
GET W(SC.SNO, SC.GRADE):O=1
查询先行课为6的课名
GET W(AME):COURSE.CPNO=6
查询选过课的学生名
RANGE SC X GET W(Student.Sname): 存在 X (X.Sno=Student.Sno)
查询没有选过课的学生名
RANGE SC X GET W(Student.Sname): 不存在 X (X.Sno=Student.Sno)
查询没有选1号课的学生名
RANGE SC X GET W(Student.Sname): 不存在 X (X.Sno=Student.Sno∧o=1)
查询CS系没有选1号课的学生名
（ 11） 改 为 不 用 蕴 函
查询语义： 对所有的课, 95002不选或者该学生选了。
RANGE Couse CX SC SCX SC SCY
GET W (Student.Sno): 任意 CX( 不存在 SCX(SCX.Sno='95002'∧o=o) 或者 存在 SCY(SCY.Sno=Student.Sno ∧ o= o))
RANGE SC X GET W(Student.Sname): Student.Sdept='CS' ∧ 不存在 X (X.Sno=Student.Sno∧o=1)
题型没有...，用不存在
（ 9） 用 两 种 量 词 的 检 索
[例13] 查询选修了全部课程的学生姓名。
求解思路：对于STUDENT中的一个学生， 如果对所有的课程元组CX，都存在着SC的元组SCX，表明这个学生选修了CX， 则这个学生属于查询范围。

第02章关系数据库(习题课)


课程名
教师姓名
办公室
SC表
学号
课程号
成绩
(1) π2,6,7(籍贯＝‘上海’(S ⊳⊲SC)) (2) π2,6,7(S ⊳⊲ SC ⊳⊲ 课程名＝‘操作系统’(C)) (3) π2,4(S ⊳⊲ (π1,2 (SC) ÷π1 (C) )
15
6.设有3个关系运算是S、C和SC，试用关系代数表达式表 示下列查询语句： SC表 Sname Sage Sex S表 Sno
等价的关系表达式是_______.
A.π3,4(R⊳⊲S) C.π3,4(R ⊳⊲S).
1=1
B. π2,3(R 1=3 ⊳⊲S) D.π3,4(1=1( R×S))
14
5.设有3个关系运算是S、C和SC，将下列关系代数表达式 用汉字表示出来，并求其结果。 S表
学号 姓名 年龄 性别 籍贯
C表
课程号
课程号
课程名
教师姓名
办公室
学号
课程号
成绩
(1) π2,6,7(籍贯＝‘上海’(S ⊳⊲SC)) 查询籍贯是上海的学生姓名和选修课程的课号及成绩
26
练习
5.设有3个关系运算是S、C和SC，将下列关系代数表达式 用汉字表示出来，并求其结果。 S表 C表 SC表
学号 姓名 年龄 性别 籍贯
课程号
课程名
1 2 3 李强 刘丽 张友 Cname C语言 数据库系统 编译原理 23 22 21 男 女 男 Teacher 王华 程军 程军 Sno Cno Gread
1
2 5 2
K1
K1 K1 K1
83
85 92 90
C表
Sdept AO(1) .
P.李勇

关系演算

(1) 查询选修了C2课程的学生学号和成绩。
SC
sno 801 801 801 802 802 803 cno c4 c3 c2 c3 c4 c4 grade 92 78 85 82 90 88
{ t | ∃u(SC(u)∧u[2]=‘c2 ∧t[1]=u[1]∧t[2]=u[3] ) } ’ (2) 查询选修了C2课程的学生学号和姓名。
等价转换
{t |∃u ┐∃v (S (u)∧SC(v)∧(u[1]=v[1])∧v[2]=‘c2‘)∧ t[1]=u[1])}
哈尔滨工业大学（威海）计算机学院 佟晓筠
数据库系统 – Principle of DataBase System
2.5 关系演算
关系模式：
S(sno,sname,ssex,sdep,sage) C(cno,cname,credit,cpno) SC(sno,cno,grade)
原子公式：
(1). R(t1 ,t2 ,…,tk ) R是关系名， t1 ,t2 ,…,tk是域变量。 表示： (t1 ,t2 ,…,tk ) 是R中的元组。 (2). tiθuj ti ， uj为域变量，θ为比较运算符。 表示： ti 与 uj满足比较关系θ。 (3). ti θc 或 cθ ti 其中c为常量。
R2={ t | R(t)∧┐S(t)}
A 4 7 B 5 8 C 6 9
R3={ t | S(t)∧∃u(R(u)∧t[3]<u[2])}
A 1 3 B 2 4 C 3 6
R3={ t | R(t)∧∀u(S(u) → t[3]>u[1])}
A 4 7 B 5 8 C 6 9
哈尔滨工业大学（威海）计算机学院 佟晓筠
(5) 查询选修了C2和C4课程的学生学号。

第2章(2)关系演算


在ALPHA语言中，不允许修改关系的主码，例如不能 使用UPDATE语句修改教师表T中的教师号。 如果要修改主码，应该先使用删除操作删除该元组， 再插入一条具有新主码值的元组。
返回
12
（2）插入 插入操作使用PUT语句实现，具体操作分为以下两步： ①建立新元组：利用宿主语言在工作空间中建立新元组； ②写数据：使用PUT语句将元组写入到指定的关系中。 例2.24 在SC表中插入一条选课记录（S6，C1，85）。
TOTAL
MAX MIN COUNT
按列计算值的总和
求一列中的最大值 求一列中的最小值 按列值计算元组个数
返回
10
例2.21 求学号为S1学生的平均分。
GET W (AVG(SC.SCORE):S.SNO=’S1’
例2.22 求学校共有多少个系
GET W (COUNT(S.DEPT))
COUNT 函 数 自 动 消 去 重 复 行 ， 可 计 算 字 段 “DEPT“不同值的数目。 2. 数据更新 更新操作包括修改、插入和删除。 （1）修改 修改操作使用UPDATE语句实现，具体操作分为以下 三步：
2.7 关系演算
关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的，通过 谓词形式来表示查询表达式。 根据谓词变元的不同，可将关系演算分为元组关系演 算和域关系演算。 2.7.1 元组关系演算语言 元组关系演算是以元组变量作为谓词变元的基本对象。 元组关系演算语言的典型代表是E.F.Codd提出的 ALPHA语言，这种语言虽然没有实际实现，但较有 名气，INGRES关系数据库上使用的QUEL语言，就 是在ALPHA语言的基础上研制的。 这里主要介绍ALPHA语言和QUEL语言 返回
返回

关系数据库-关系演算

2.5 关系演算（1） 关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的。按谓词 变元的不同，关系演算可分为元组关系演算和域关系演算。 本节我们通过两个实际的关系演算语言来介绍关系演算的思 想。
第二章 关系数据库
1Hale Waihona Puke 1.元组关系演算ALPHA 元组关系演算以元组变量作为谓词变元的基本对象。一 种典型的元组关系演算语言是E.F.Codd提出ALPHA语言，这 一语言虽然没有实际实现，但关系数据库管理系统INGRES 所用的QUEL语言是参照ALPHA语言研制的，与ALPHA十 分类似。 ALPHA语言主要有GET、PUT、HOLD、UPDATE、 DELETE、DROP六条语句。
(4)带定额的检索 例5 取出一个信息系学生的学号 GET W (1) (Student.Sno): Student.Sdept='IS' 所谓带定额的检索是指指定检索出元组的个数，方法是在W 后括号中加上定额数量。
第二章 关系数据库
5
排序和定额可以一起使用。 例6 查询信息系年龄最大的三个学生的学号及其年龄
第二章 关系数据库 8
(8)用全称量词的检索 例12 查询不选1号课程的学生名字 RANGE SC SCX GET W (Student.Sname): ∨ SCX (SCX.Sno≠Student.Sno ∨ o≠'1') (9)用两种量词的检索 例13 查询选修了全部课程的学生姓名 RANGE Course CX SC SCX GET W (Student.Sname): ∨CXヨSCX (SCX.Sno=Student.Sno ∧ o=o)
第二章 关系数据库
10
例15 查询学生所在系的数目 GET W (COUNT(Student.Sdept)) COUNT函数在计数时会自动排除重复的Sdept值。 例16 查询信息系学生的平均年龄 GET W (AVG(Student.Sage): Student.Sdept='IS')
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R3 = { t |（u）（S（t）∧R（u）∧t[3]<u[2]}}
[2]=v[3]∧t[3]=u[1]）}
R4 = { t |（u）（R（t）∧ S（u）∧t[3]>u[1]）} 11
2020/9/8
元组关系演算语言ALPHA
由E.F.Codd提出
INGRES所用的QUEL语言是参照ALPHA语言研制的
语句
检索语句
GET
更新语句
PUT，HOLD，UPDATE，DELETE，DROP
12
2020/9/8
元组关系演算语言ALPHA
检索操作 GET
GET 工作空间名 [（定额）]（表达式1） [：操作条件] [DOWN/UP 表达式2]
插入操作
建立新元组--PUT
修改操作
HOLD--修改--UPDATE
删除操作
HOLD--DELETE
13
2020/9/8
2.4 关 系 演 算
2.4.1 元组关系演算 2.4.2 域关系演算
14
2020/9/8
域关系演算
域关系演算的查询表达式为： {<x1,x2,…,xn>|φ(x1,x2,…,xn)}，
其中x1,x2,…,xn代表域变量，φ代表演算公式， 是由关系、域变量、常量及运算符组成的公式。 域关系演算的结果是符合给定条件的域变量值 序列的集合，也就是一个关系。 域关系演算以元组变量的分量，即域变量，作 为谓词变元的基本对象。
3
2020/9/8
元组关系演算 (1)
在元组关系演算（Tuple Relational Calculus）中， 元组关系演算表达式简称为元组表达式，其一般形式为
{ t | P（t）}
（元组成为谓词变元）
其中，t是元组变量，表示一个元数固定的元组；
P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机 语言中的条件表达式。
8
2020/9/8
元组关系演算 (6)
关系代数表达式到元组表达式的转换 例2.17
R∪S可用{ t | R（t）∨S（t）}表示； R-S可用{ t | R（t）∧┐S（t）} 表示； R×S 可 用 { t | （ u ） （ v ） （ R （ u ） ∧ S(V) ∧t[1]=u[1]
θ，和，┐，∧和∨，。在公式外还可以加括号，以改 变上述优先顺序。 ⑤ 公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不 是公式。
6
2020/9/8
元组关系演算 (4)
例2.16 图2.20的（a）、（b）是关系R和S，（c）～（g）分别是下面
五个元组表达式的值
ABC
ABC
ABC
ABC
123
123
346
456
456
346
569
789
789
569
（a）关系 R
（b）关系 S
（c）R1
（d）R2
ABC
ABC
R.B
ห้องสมุดไป่ตู้
S.C
R.A
123
456
5
3
4
346
789
8
3
7
8
6
7
8
9
7
（e）R3
（f）R4
（g）R5
图2.20 元组关系演算的例子
R1 = { t | S（t）∧t[1]>2 } R2 = { t | R（t）∧┐S（t）}
9
2020/9/8
10
2020/9/8
元组关系演算的例子
例2.16 图2.20的（a）、（b）是关系R和S，（c）～（g）分别是下面
五个元组表达式的值
ABC
ABC
ABC
ABC
123
123
346
456
456
346
569
789
789
569
（a）关系 R
（b）关系 S
（c）R1
（d）R2
ABC
ABC
R5 = { t |（u）（v）（R （u）∧ S（v）
∧u[1]>v[2]∧t[1]=u[2]∧t
R3 = { t |（u）（S（t）∧R（u）∧t[3]<u[2]}} R4 = { 7t |（u）（R（t）∧ S（u）∧t[3]>u[1]）}
[2]=v[3]∧t[3]=u[1]）} 2020/9/8
∧t[2]=u[2]∧t[3]=u[3]∧t[4]=v[1] ∧t[5]=v[2] ∧t[6]=v[3]）} 表示。 设投影操作是π2,3（R），那么元组表达式可写成： { t |(u)（R（u）∧t[l]=u[2]∧t[2]=u[3]）}
σF（R）可用{ t |R(t)∧F‘}表示，F’是F的等价表示形式。譬如 σ2=‘d’（R）可写成{ t |（R（t）∧t[2]=‘d’）。
{ t | P（t）}表示满足公式P的所有元组t的集合。
4
2020/9/8
元组关系演算 (2)
在元组表达式中，公式由原子公式组成。 定义2.4 原子公式（Atoms）有下列三种形式：
① R（s） ② s[i]θu[j] ③ s[i]θa或aθu[j]。
（R是关系，s和u是元组，a是常量） 在一个公式中，如果元组变量未用存在量词或全称量
R.B
S.C
R.A
123
456
5
3
4
346
789
8
3
7
8
6
7
8
9
7
（e）R3
（f）R4
（g）R5
图2.20 元组关系演算的例子
R1 = { t | S（t）∧t[1]>2 }
R5 = { t |（u）（v）（R
R2 = { t | R（t）∧┐S（t）}
（u）∧ S（v） ∧u[1]>v[2]∧t[1]=u[2]∧t
元组关系演算 (5)
在元组关系演算的公式中，有下列三个等价的转换规 则：
① P1∧P2等价于┐(┐P1∨┐P2)； P1∨P2等价于┐（┐P1∧┐P2）。
② （s）（P1（s））等价于┐(s)（┐P1（s））； （s）（P1（s））等价于┐(s）（┐P1（s））。
③ P1P2等价于 ┐P1∨P2。
2.5 关 系 演 算
2.5.1 元组关系演算 2.5.2 域关系演算
1
2020/9/8
2.4 关系演算
关系演算
以数理逻辑中的谓词演算为基础
常见的谓词如下表所示
比较谓词
＞、≥、＜、≤、＝、≠
包含谓词
IN
存在谓词
EXISTS
2
2020/9/8
种类：按谓词变元不同分类 1.元组关系演算： 以元组变量作为谓词变元的基本对象 元组关系演算语言ALPHA 2.域关系演算： 以域变量作为谓词变元的基本对象 域关系演算语言QBE
词符号定义，那么称为自由元组变量（Free） ，否则 称为约束元组变量（Bound） 。
5
2020/9/8
元组关系演算 (3)
定义2.5 公式（Formulas）的递归定义如下： ① 每个原子是一个公式。其中的元组变量是自由变量。 P②1P如2也果都P1是和公P2是式公。式，那么┐P1、P1∨P2、P1∧P2和 ③ 如果P1是公式，那么(s)(P1)和(s)(P1)也都是公式。 ④ 公式中各种运算符的优先级从高到低依次为：