2.4 关系运算(二)——关系演算
关系代数是将整个关系看作变元，并以其作为基本运算单位，同时以集合方法为关系运算的理论基础。如果将组成关系的基本成分例如元组或者属性域看作变量，以其作为基本运算单位，同时以数理逻辑中谓词演算为相应关系演算的理论基础，就得到了另外一种形式的关系数据语言——关系演算。
关系演算基于谓词演算。在谓词演算中，如果谓词中的变元是关系中的元组，则得到所谓元组关系演算；如果谓词中的变元是关系中的属性域，则得到所谓域关系演算。这样，关系演算就分为元组关系演算和域关系演算两类。
在 2.4节和2.5节，均以本章 2.3.4节中的关系数据库{S,C,SC}为背景举例。这里S (S#,Sn,Sex,Sa,Sd)；C (C#,Cn,P#,Tn)；SC (S#,C#,G)，其中各个属性的含义见2.3.4节。
2.4.1 元组关系演算
如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算(Tuple Relation Calculus)，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。
1. 关系的元组演算表示
(1) 关系与谓词的对应
为了得到关系操作的元组关系演算表达式，需要考虑关系与谓词的联系。
z由关系R确定的谓词P
在数理逻辑中我们知道，关系可用谓词表示，n元关系可以由n元谓词表示。
设有关系R，它有元组(r1,r2,…,r m)，定义关系R对应如下一个谓词
P (x1,x2, …,x n)。
当t =(r1,r2, …,r m)属于R时，t为P的成真的真值指派，而其他不在R中的任意元组t则是P 的成假指派。即是说，由关系R定义一个谓词P具有如下性质：
P(t) = T (当t在R中)；
P(t) = F (当t不在R中)。
z由谓词P表示关系R
由于关系代数中R是元组集合，一般而言，集合是可以用满足它的某种特殊性质来刻画与表示。如果谓词P表述了关系R中元组的本质特性，就可以将关系R写为：
R={t | P(t)}
这个公式就建立了关系(元组集合)的谓词表示，称之为关系演算表达式。
(2) 元组关系演算表达式
元组关系演算表达式的严格数学描述是由“归纳定义”方式完成的。按照通常的思路，元组演算表达式是由“关系演算公式”组成；“关系演算公式”是由“原子公式”组成。
①原子公式
下述三类称为元组演算原子公式，简称原子公式：
z谓词R(t)是原子公式。
z u(i)θv(j)是原子公式。
z u(i)θa是原子公式。
其中，t =(r1,r2,…,r m)是P的成真指派；u(i)表示元组u的第i个分量，v(j)表示元组v的第j 个分量；a是常量，u(i)θa表示u的第i个分量与常量a有关系θ。
② 关系演算公式
利用原子公式可以递归定义关系演算公式：
z 原子公式是公式。
z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和?φ1均是公式。
z
如果φ是公式，r 是φ中自由变元，则?r(φ)，?r(φ)是公式。
z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。
在公式中，各种运算的优先次序规定如下：
z 比较运算符：<、>、≤、≥、=、≠。 z
量词：、?。
?z 否定词：?。
z 合取、析取、蕴含运算符：∧、∨、→。
③ 关系演算表达式
有了公式φ的概念，以公式φ作为特性就构成一个有若干元组组成的集合，即关系R ，这种形式的元组集合就称其为关系演算表达式。关系演算表达式的一般形式为： {t | φ(t)}
其中，φ(t)为公式，t 为φ中出现的自由变元。关系演算表达式也简称为关系表达式或者表达式。
2. 关系操作的元组演算表示
关系操作由5种基本操作，它们在关系代数中分别对应5种基本运算，这5种基本运算可以用一阶谓词演算中的公式表示。
设有关系R 、S ，其谓词表示为R(t)和S(t)，此时有
z R S={t | R(t)S(t)}；
∪∨z
R – S = (t | R(t)?S(t))； ∧z
σF (R)= {t | R(t)F} ，其中F 是一个谓词公式； ∧z
(k)ui1,ui2,uik (R)={t |(u)R(u)∏?…t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)t(k)=u(ik)}∧∧∧∧
其中t (k)所表示的元组有k 个分量，而t(i)表示t 的第i 个分量，u(j)表示u 的第j 个分量。
(r+s)R S={t |u v(R(u)S(v)t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)
t(r)=u(ir)t(r+1)=v(j1)t(r+2)=v(j2) t(r+s)=v(js))}
×??∧∧∧∧∧∧∧∧∧
例2-20 查询计算机科学系(CS)全体学生
S cs ={t | S(t)∧t[5]= 'CS' }
例2-21 查询年龄大于20岁的学生姓名：
S 20={t | S(t)∧t[4]<20 }
例2-22 查询学生姓名和所在系：
S 1={t (2)| (?u)(S(u)∧t[1]=u[2]∧t[1]=u[5] )
2.4.2 域关系演算
1. 关系的域演算表示
域关系演算(Domain Relation Calculus)简称为域演算，它是关系演算的另外一种形式。域关系和元组关系演算十分类似，这是因为它们都建立在谓词演算之上；两者又有区别，这
是因为有两点不同：其一是谓词变元的不同，元组演算以元组为变元，域演算以元组的分量即属性域为变元，而在实际上，人们就将关系的属性名视为域变元；其二是元组变元的变化范围为整个关系，而域变元的变化范围是某个属性域。域演算表达式的一般形式为：
{t 1,t 2,…,t k | P(t 1,t 2,…,t k )}
其中，t 1,t 2,…,t k 是域变量，P(t 1,t 2,…,t k )是域演算表达式。
为了揭示域演算表达式的语义，我们同样需要进行递归定义。
(1) 原子公式
下述三类称为域演算原子公式，简称原子公式：
z 如果R(t 1,t 2,…,t k )表示命题“以t 1,t 2,…,t k 为分量的元组在关系R 之中”，则R(t 1,t 2,…,t k )
是原子公式，其中，R 是k 元关系，t i 是t 的第i 个分量；
z t i θC 或者C θt i 是原子公式，其中t i 是元组变量的第i 个分量，C 是常量，θ是算数比较
符；
z t i θ u j 是原子公式，其中，t i 表示元组变量t 的第i 个分量，u j 表示元组变量u 的第j 个分
量，它们之间满足运算θ。
例如 t 1=>u 4表示t 的第一个分量大于等于u 的第四个分量。
(2) 域演算公式
域演算公式(简称为公式)可以递归定义如下：
z 原子公式是公式。
z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和?φ1均是公式。
z
如果φ1是公式，?t i (φl )，?t i (φl )是公式。
z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。
例如φ(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=S(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)∧(x 5>21)∨?x 4='M'是一个域演算公式。
域演算公式φ中变量的自由出现与约束出现、公式中自由变量x 的型T(x,φ)以及域演算合法公式、域常量带入公式的规则和公式的解释规则等均与元组演算类似。下面举例说明。
例2-23 设φ=z[Sex](S(x ?1 x 2 z x 4 22))∧?z='M'，则x 1，x 2，x 4在φ中为自由变量，x 3为约束变量。
例2-24 设φ=x ?2[Sn ，Sex] y ?1(C#)(S(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)∧x 5 例2-25 查询所有女生的S#、Sn ，Sex 、Sa 和Sd 。 {x 1[S#]x 2[Sn]x 3[Sex]x 4[Sa]x 5[Sd] | XS(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5) ∧x 3='F'} 例2-26 查询所有男生的S#、Sa 。 {x 1[S#]x 2[Sa] | ?y 1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1，y 2，y 3，y 4，y 5))∧x 3='M' ∧y 1=x 1 y ∧4=x 2} 例2-27 查询所有年龄小于20岁的男生的S#、C#和G 。 {x 1[S#]x 2[C#]x 3[G] |y ?1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5))∧x 3='M'∧y 4<20z ∧?1z 2z 3 (XSC(z 1z 2z 3)z ∧1=y 1 z ∧2=x 2 z ∧3=x 3)y 2=x 1} 2.4.3 关系运算的安全性 1. 安全性问题的提出 对于任何一个计算机系统来说，它都要受到两个“有限”的制约： z 系统的存储容量是有限的，它不可能存储无限关系。这里所说的“无限关系”是指 元组个数为无限的关系。 z 系统的计算速度是有限的，在计算机上进行无限次运算是无法得到正确结果的，因为运算总是不会完结。 为了使关系运算能够在一个计算机系统中有效进行，应当避免上述两种情况的发生，需要对关系运算符加上必要的限制，采取一定措施。在数据库技术中，称不出现无限关系和无限运算的关系运算过程是安全的，相应的关系运算表达式就称为是安全表达式，为了得到安全表达式所采取的措施称为安全性限制或安全性约束。 2. 关系运算中安全性分析 关系代数基于集合理论，关系演算基于数理逻辑，两者之间有着密切关系，这就使得我们可以有统一的观点来分析关系运算中的安全性问题。 在实际运算当中，人们实际上是自觉或不自觉地假定所涉及的初始对象是“有限”的，但这并不能自动得到运算过程或者运算结果就一定“不涉及”到无限。例如在集合运算中，即使初始集合是“有限”的，但如果对其进行“补”运算，有限集合的“补集”就有可能是无限集合。 在关系代数当中，任何一个关系代数表达式，只要是有限关系，由于其中只包含有限次代数运算，而这些运算只能是并运算、差运算、广义笛卡尔乘积运算、选择运算和投影运算5种基本运算，不存在集合的“补运算”，所以关系代数运算总是安全的。 在关系演算当中，尽管初始情形可以是有限的，也有可能出现无限关系的问题和无限运算的过程。例如在元组关系演算表达式中，就有下述两种情况： z 对于表达式{t| R(t)}，其语义是所有不在关系R 中的元组集合。如果关系中某一 属性的定义域是无限的，则{t|??R(t)}就是一个具有无限元组的集合，此时该式表示的关系就是一个无限关系的问题，要求出它的所有元组是不可能的。 z 另外，如果要判定表达式(?t)(w(t))为假，必须对t 的所有可能取值进行验证，当且 仅当其中没有一个值为真时，才可判定该表达式为假，如果t 的取值范围是无穷的，则验证过程就是无限的。 由此可见，在关系演算中，必须要有安全限制的相应措施，方可保证关系演算表达式是安全的。 3. 关系演算中的安全性限制 对元组演算表达式进行安全性限制，通常的做法是对其中的公式φ进行限制。对于φ来说，定义一个有限的符号集DOM(φ)，φ的符号集DOM(φ)由两类符号组成： z φ中的常量符号。 z φ中涉及的所有关系的所有元组的各个分量。 由于DOM(φ)是有限集合，如果将关系演算限制在DOM(φ)上就是安全的，不会出现任何的无限问题。 一般认为，一个表达式{t | φ(t)}要成为安全的，其中的公式φ就应该满足下面三个条件： z 若t 满足公式φ，即t 使得φ为真，则t 的每个分量必须是DOM(φ)中的元素； z 对φ中每一个形为 (?t)(w(t))的子公式，如u 满足W ，即u 使得w 为真，则u 的 每一个分量一定属于DOM(φ)； z 对φ中每一个形为(t)(w (t))的子公式，如u 不满足W ，即u 使得w 为假，则u 的每一个分量一定属于DOM(φ)；也就是说，若u 的某个分量不属于DOM(φ)，则w(u)为真。 ?对于域关系演算的安全性，也可以做类似的讨论，这里从略。 2.4.4 关系代数、元组演算、域演算的等价性 关系代数和关系演算所依据的理论基础是相同的，因此可以进行相互间的转换。 在我们讨论元组关系演算时，实际上就研究了关系代数中5种基本运算与元组关系演算间的相互转换；在讨论域关系演算时，实际上也涉及了关系代数与域关系演算间的相互转换，由此可以知道，关系代数、元组关系演算、域演算三类关系运算是可以相互转换的，它们对于数据操作的表达能力是等价的。结合安全性的考虑，经过进一步的分析，人们已经证明了如下重要结论： z每一个关系代数表达式都有一个等价的安全的元组演算表达式。 z每一个安全的元组演算表达式都有一个等价的安全的域演算表达式。 z每一个安全的域演算表达式都有一个等价的关系代数表达式。 按照上述三结论，即得到关系代数、元组关系演算和域演算的等价性。 一、选择题 1关系代数运算可以分为两类：传统的集合运算和专门的关系运算?下面列出的操作符中，属于传统的集合运算是（ A ） I .n（交）n .u（并）『x（广义笛卡儿积）w?一（差）v.n（投影）w选择） A）I、n、川和w B）川、w、V和w C）I、川、V和w D）都是 2、关系数据库管理系统能实现的专门关系操作包括（B） A、显来，打印和制表 B、选择，投影和连接 C、关联、更新和排序 D、排序、索引和统计 3、在关系数据基本操作中，从表中选项出满足某种条件的记录的操作称为（ A ） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 4、元组的集合在关系数据库中称为关系，一般来说，表示元组的属性或者最小属性组称为D A、字段 B、索引 C、标记 D、主键 5、在下面3个关系中 学生S （SNO , SNAME , SEX, AGE ）课程 C （CNO , CNAME , CREDIT ）学生选课SC （SNO, CNO , GRADE ） 要查找选修“数据库”课程的女学生的姓名，将涉及到关系（D） A、S B、C, SC C、S, SC DS, C, SC 6、对于关系数据库来讲，下面（C）说法是错误的。 A、每一列的分量是同一种类型数据，来自同一个域 B、不同列的数据可以出自同一个域 C、行的顺序可以任意交换，但列的顺序不能任意交换 关系中的任意两个元组不能完全相同 7、关系数据库中有3种基本操作，从表中取出满足条件的属性的操作是（A） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 8、关系数据库在有3种基本操作，将具有共同属性的两个关系中的元组连接到一起，构成新表的操作称为（C ） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 9 若D1={a1,a2,a3} , D2={b1,b2,b3}，贝U D1*D2 集合中共有元组（C）个 A、 6 B、8 C、9 D、12 10下列（C）运算不是专门的关系运算 A、选择 B、投影 C、笛卡尔积 D、连接 11、如下两个关系R1和R2,它们进行运算后得到R3。（D ） R1 R2 B D E 1M I 2N J A__M R3 A 1 X M I D 1 Y M I 课时练习（十五） 事件之间的关系与运算 A 级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发 D ．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件， A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A ．恰有一名男生和全是男生 B ．至少有一名男生和至少有一名女生 C ．至少有一名男生和全是男生 D ．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70 D ．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥 D ．A 与A 不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为4 5 ，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以 数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案 4.1 名词解释 (1)关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。 (2)关系模式：关系模式实际上就是记录类型。它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。关系模式不涉及到物理存储方面的描述，仅仅是对数据特性的描述。 (3)关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。 (4)属性：实体的一个特征。在关系模型中，字段称为属性。 (5)域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。 (6)元组：在关系中，记录称为元组。元组对应表中的一行；表示一个实体。 (7)超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。 (8)候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。 (9)主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。（单独出现，要先解释“候选键”） (10)外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。 (11)实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。 (12)参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2的关系中， K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。这条规则在使用时有三点应注意： 1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。 2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。 3)外键值是否允许空应视具体问题而定。 (13)过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。如Pascal和C语言等。 (14)非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必给出具体的操作步骤。各种关系查询语言均属于非过程性语言。 (15)无限关系：当一个关系中存在无穷多个元组时，此关系为无限关系。如元组表达式{t|┐R(t)}表示所有不在关系R中的元组的集合，这是一个无限关系。 (16)无穷验证：在验证公式时需对无穷多个元组进行验证就是无穷验证。如验证公式(u)(P(u))的真假时需对所有的元组u进行验证，这是一个无穷验证的问题。 4.2 为什么关系中的元组没有先后顺序? 因为关系是一个元组的集合，而元组在集合中的顺序无关紧要。因此不考虑元组间的顺序，即没有行序。 4.3 为什么关系中不允许有重复元组? 首先讲讲运算的约束条件，在《数据库系统原理》一书中，假设RS÷S，那么一般情况下S 的属性集是RS属性集的真子集。而楼主给出的原题不符合这个条件（关系R的属性集为{A,B,C}，关系S的属性集为{A,C,D}，实际上S中只有S－R＝{A,C}这些属性参与了运算），这种情况很少发生 要理解除法这个比较复杂的运算，得明白为什么需要它，也就是在什么场合下需要。就本人目前所学中，这种场合只有一个，就是在两个实体的联系关系中查找实体。算法的数学语言描述很令人费解，楼主看个例子就容易懂了。假设有这么三个关系R、S、RS： 关系R: 学生名 -------- 张三 李四 王五 关系S： 课程名 ------ 语文 数学 关系RS： 学生名课程名 -------------- 张三语文 张三数学 李四语文 可以看出，关系R代表实体“学生”，关系S代表实体“课程”，关系RS代表学生和课程之间的联系“选课”。 RS÷S的意义就是“在R和S的联系RS中，找出与S中所有的元组有关系的R元组”。用例子说明： R的元组有<张三>、<李四>、<王五>，S的元组有<语文>、<数学>； 那么RS中的元组<张三，语文>就意味着R的元组<张三>与S中的元组<语文>有关系；元组<张三，数学>意味着R的元组<张三>与S中的元组<数学>有关系； 这样，R中的<张三>与S中所有元组都有联系，所以它是RS÷S的结果之一，也是这个例子中唯一的结果（楼主可以自己分析<李四>和<王五>）。 所以RS÷S的结果是： 学生姓名 -------- 张三 而RS÷S的意义是“选修了所有课程的学生”，楼主自己理解理解吧，其实很简单的。 至于楼主给出的例题，关系S中的属性D实际上是没用的（因为作为被除方的R关系中没有这个属性），那么S的属性只保留A和C，其元组有 数据库系统原理关系运算习题答案 1、笛卡尔积、等值联接、自然联接三者之间有什么区别? 笛卡尔积对两个关系R和S进行乘操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。 等值联接则是在笛卡尔积的结果上再进行选择操作，从关系R和S的笛卡儿积中选择对应属性值相等的元组； 自然连接则是在等值联接(以所有公共属性值相等为条件)的基础上再行投影操作，并去掉重复的公共属性列。当两个关系没有公共属性时，自然连接就转化我笛卡尔积。 2、设有关系R和S（如下：） 计算： 3、设有关系R和S（如下：） 计算： 4、如果R是二元关系，那么下列元组表达式的结果是什么? {t|(u)(R(t)∧R(u)∧(t[1]≠u[1]∨t[2]≠u[2]))} 这个表达式的意思是：从关系R中选择元组，该元组满足：第1分量值或第2分量值至少有一个不等于其他某元组。由于R是二元关系，只有两个分量，由于没有重复元组，上述条件显然满足。所以，这个表达式结果就是关系R。 5、假设R和S分别是三元和二元关系，试把表达式π 1,5(σ 2=4∨3=4 (R×S))转换成 等价的：(1)汉语查询句子；(2)元组表达式；(3)域表达式。 (1)汉语表达式： 从R×S关系中选择满足下列条件的元组： 第2分量（R中第2分量）与第4分量（S中第1分量）值相等，或第3分量（R 中第3分量）与第4分量（S中第1分量）值相等；并取第1列与第5列组成的新关系。 (2)元组表达式：{t|(u)( v)(R(u)∧S(v)∧(u[2]=v[1]∨u[3]=v[1])∧t[1]=u[1]∧t[2]=v[2])} (3)域表达式:{xv|(y)(z)(u)(R(xyz)∧S(uv)∧(y=u∨z=u))} 6、假设R和S都是二元关系，试把元组表达式{t|R(t)∧( u)(S(u)∧u[1]≠t[2])}转换成等价的： (1)汉语查询句子；(2)域表达式：(3)关系代数表达式。 (1)汉语表达式：选择R关系中元组第2分量值不等于S关系中某元组第1分量值的元组。 新教材高中数学课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算新 人教B版必修第二册 课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算 A级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( ) A．全部击中B．至少击中1发 C．至少击中2发D．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( ) A．A＋B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥D．A与A不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A∪B是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的 §1.3事件的关系及运算 ⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作 B A A B ??或. ⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即 B A A B ??且； 也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作 B A =. ⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作 B A . “n 个事件n A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作 。或AB B A “n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作 ).(12121i n i n n A A A A A A A = 简记为或 ⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即 ,φ=AB 则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的). 通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作 B A +. 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即 ),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ 则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的). 通常把n 个互不相容事件n A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n i i n A A A A 简记为 ⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即 ,Ω=+=B A AB 且φ 则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作 - -==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有 关系运算-- #TRS_AUTOADD_1224564607879{ MARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px } #TRS_AUTOADD_1224564607879P{ MARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px } #TRS_AUTOADD_1224564607879TD{ MARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px } #TRS_AUTOADD_1224564607879DIV{ MARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px } #TRS_AUTOADD_1224564607879LI{ MARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px } /**---JSON-- {"":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"p":{" margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"td":{"margi n-top":"0","margin-bottom":"0"},"div":{"margin-to p":"0","margin-bottom":"0"},"li":{"margin-top":"0 ","margin-bottom":"0"}} --**/ 第三章关系代数与关系运算 关系数据语言有三类： 1．关系代数语言 2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言） 3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL 一．关系代数 关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。用对关系的运算来表达查询。 运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果 运算三要素：运算符、运算对象、运算结果 关系代数的运算对象和结果都是：关系 关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符 集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩） 传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行 专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除 专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列 比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠ 逻辑运算符：￢∧∨ 用来辅助专门的关系运算符 二．传统的集合运算符 传统集合运算符是二目运算符 设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域 1．并（Union） 记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。 例： （a）（b） （c）（d） (e) 2.差 关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。如图E 3.交 关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S) 4．广义笛卡尔积 两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作 R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目 如图例 事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列 说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2 7．打靶三次，事件A i表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击 课时20 事件之间的关系与运算 知识点一事件的运算 1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( ) A．E?F B．G?F C．E＋F＝G D．EF＝G 答案 C 解析根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C. 2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么？ 解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A. 知识点二事件关系的判断 3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件： ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数； ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 其中，为互斥事件的是( ) A．①B．②④ C．③D．①③ 答案 C 解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件； ②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件； ③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件； ④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． (2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立． (4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 知识点三互斥事件的概率 5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红 球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3 10，P(B)＝ 1 2 ， 则这3个球中既有红球又有白球的概率是________． 答案4 5 解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的， 所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3 10＋ 1 2 ＝ 4 5 . 6．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示： 新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习（含解析）新人教B版必修第 二册 知识点一事件的运算 1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( ) A．E?F B．G?F C．E＋F＝G D．EF＝G 答案 C 解析根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C. 2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么？ 解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A. 知识点二事件关系的判断 3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件： ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数； ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 其中，为互斥事件的是( ) A．①B．②④ C．③D．①③ 答案 C 解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件； ②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件； ③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件； ④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． (2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立． (4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 知识点三互斥事件的概率 5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红 球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3 10，P(B)＝ 1 2 ， 则这3个球中既有红球又有白球的概率是________． 答案4 5 解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的， 所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3 10＋ 1 2 ＝ 4 5 . 高中数学必修二考点知识专题讲解 （四十一）事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的 对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2关系代数运算习题
事件之间的关系与运算课时练习-新人教B版高中数学必修2
数据库原理 关系运算 习题答案
数据库专门关系运算-除
关系运算习题答案及作业要求
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事件的关系及运算
关系运算
第三章-关系代数与关系运算复习课程
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