第一章导数及其应用练习题
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第一章导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念
1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP
A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2
2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s
4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.
5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >．
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3>
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT
11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝
1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值．
1.1.3导数的几何意义
1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg
A．30° B．45° C．135° D．165°
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >．
A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6
3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X
A．2 B．－1 C．1 D．－2
4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________．
5．设y＝f(x>为可导函数，且满足条件错误!错误!＝－2，则曲线y＝f(x>在点(1，f(1>>处的切线的斜率是________．LDAYtRyKfE
6．求过点P(－1,2>且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1>处的切线平行的直线．
7．设函数f(x>在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x>( >．A．在点(x0，f(x0>>处的切线不存在B．在点(x0，f(x0>>处的切线可能存在
C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在
8．函数y＝－错误!在错误!处的切线方程是( >．Zzz6ZB2Ltk A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．
10．已知曲线y＝错误!－1上两点A错误!、B<2＋Δx，－错误!＋Δy），当Δx＝1时割线AB的斜率为________．dvzfvkwMI1 11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．
12．(创新拓展>已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1>，Q(2，－1>，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．rqyn14ZNXI
1．2 导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第1课时基本初等函数的导数公式
1．已知f(x>＝x2，则f′(3>(>．
A．0 B．2x C．6 D．9
2．f(x>＝0的导数为( >．
A．0 B．1 C．不存在 D．不确定
3．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( >．A．1 B．2 C．3 D．4
4．设函数y＝f(x>是一次函数，已知f(0>＝1，f(1>＝－3，则f′(x>＝________.
5．函数f(x>＝错误!的导数是________．
6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线y＝4x －7平行．
7．设f0(x>＝sin x，f1(x>＝f0′(x>，f2(x>＝f1′(x>，…，fn ＋1(x>＝fn′(x>，n∈N，则f2018(x>＝( >．EmxvxOtOco A．sin xB．－sin xC．cos xD．－cos x
8．下列结论
①(sin x>′＝－cos x；②错误!′＝错误!；③(log3x>′＝
错误!；④(ln x>′＝错误!.SixE2yXPq5
其中正确的有( >．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．曲线y＝错误!在点Q(16,8>处的切线的斜率是________．
10．曲线y＝错误!在点M(3,3>处的切线方程是________．
11．已知f(x>＝cos x，g(x>＝x，求适合f′(x>＋g′(x>≤0的x 的值．
12．(创新拓展>求下列函数的导数：
(1>y＝log4x3－log4x2；(2>y＝错误!－2x；(3>y＝－2sin
错误!(2sin2错误!－1>．6ewMyirQFL
第2课时导数的运算法则及复合函数的导数
1．函数y＝错误!的导数是( >．
A.错误!
B.错误!kavU42VRUs
C.错误!
D.错误!y6v3ALoS89
2．已知f(x>＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1>＝4，则a的值为( >．
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!M2ub6vSTnP
3．已知f错误!＝错误!，则f′(x>等于( >．0YujCfmUCw
A.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!eUts8ZQVRd
4．若质点的运动方程是s＝tsin t，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．
5．若f(x>＝log3(x－1>，则f′(2>＝________.
6．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．7．函数y＝(x－a>(x－b>在x＝a处的导数为( >．A．abB．－a(a－b> C．0 D．a－b
8．当函数y＝错误!(a>0>在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝( >．sQsAEJkW5T
A．aB．±aC．－aD．a2
9．若f(x>＝(2x＋a>2，且f′(2>＝20，则a＝________.
10．函数f(x>＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．
11．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1>处的切线与直线L的距离为错误!，求直线L的方程．GMsIasNXkA
12．(创新拓展>求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．
1.3 导数在研究函数中的应用
1．3.1 函数的单调性与导数
1．在下列结论中，正确的有( >．
(1>单调增函数的导数也是单调增函数；
(2>单调减函数的导数也是单调减函数；
(3>单调函数的导数也是单调函数；
(4>导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．函数y＝错误!x2－ln x的单调减区间是( >．
A．(0,1> B．(0,1>∪(－∞，－1>
C．(－∞，1> D．(－∞，＋∞>
3．若函数f(x>＝x3－ax2－x＋6在(0,1>内单调递减，则实数a的取值范围是( >．
A．a≥1 B．a＝1 C．a≤1 D．0 4．函数y＝ln(x2－x－2>的递减区间为________． 5．若三次函数f(x>＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞>内是增函数，则a的取值范围是________． 6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x>． 7．当x>0时，f(x>＝x＋错误!的单调递减区间是( >．A．(2，＋∞> B．(0,2>C．(错误!，＋∞> D．(0，错误!>TIrRGchYzg 8．已知函数y＝f(x>的导函数f′(x>＝ax2＋bx＋c的图象 如图所示，则y＝f(x>的图象可能是( >． 9．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围是________．10．已知f(x>＝x2＋2xf′(1>，则f′(0>＝________. 11．已知函数f(x>＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5>，求函数y＝f(x>的递增区间． 12．(创新拓展>求下列函数的单调区间，并画出大致图象： (1>y＝x＋错误!；(2>y＝ln(2x＋3>＋x2. 1.3.2函数的极值与导数 1．下列函数存在极值的是( >． A．y＝错误!B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3 2．函数y＝1＋3x－x3有( >． A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3 3．函数f(x>的定义域为R，导函数f′(x>的图象如图所示，则函数f(x>( >． A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 4．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________． 5．已知函数y＝错误!，当x＝________时取得极大值________； 当x＝________时取得极小值________．7EqZcWLZNX 6．求函数f(x>＝x2e－x的极值． 7．函数f(x>＝2x3－6x2－18x＋7( >． A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47 B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47 C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47 D．以上都不对 8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( >． A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x 9．函数f(x>＝x3＋3ax2＋3(a＋2>x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．lzq7IGf02E 10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3， (1>求a，b的值； (2>求函数y的极小值． 12．(创新拓展>设函数f(x>＝错误!x3＋bx2＋cx＋d(a>0>，且方程f′(x>－9x＝0的两个根分别为1,4.zvpgeqJ1hk (1>当a＝3且曲线y＝f(x>过原点时，求f(x>的解读式； (2>若f(x>在(－∞，＋∞>内无极值点，求a的取值范围． 1．3.3 函数的最大(小>值与导数 1．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( >． A．0 B.错误! C.错误! D.错误!NrpoJac3v1 2．函数f(x>＝x3－3ax－a在(0,1>内有最小值，则a的取值范围为(>． A．0≤a<1 B．0 C．－1 3．设f(x>＝x(ax2＋bx＋c>(a≠0>在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( >．1nowfTG4KI A．(a，b> B．(a，c> C．(b，c> D．(a＋b，c> 4．函数y＝x＋2cos x在区间错误!上的最大值是________．fjnFLDa5Zo 5．函数f(x>＝sin x＋cos x在x∈错误!的最大、最小值分别是________．tfnNhnE6e5 6．求函数f(x>＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值． 7．函数y＝错误!＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( >．A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!HbmVN777sL 8．已知函数f(x>＝2x3－6x2＋m(m为常数>在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( >．V7l4jRB8Hs A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 9．函数f(x>＝错误!，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．83lcPA59W9 10．如果函数f(x>＝x3－错误!x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x>在[－1,1]上的最小值是________．mZkklkzaaP 11．已知函数f(x>＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1>求f(x>的单调递减区间； (2>若f(x>在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的 最小值． 12．(创新拓展>已知函数f(x>＝x2e－ax(a>0>，求函数在[1,2]上的最大值． 1.4 生活中的优化问题举例 1．如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为( >． A.错误!3π B.错误!3π C.错误!3π D.错误!错误! 3πAVktR43bpw 2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( >． A．2πr2B．πr2C．4πrD.错误!πr2 3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x>＝错误!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( >．A．150 B．200 C．250 D．300ORjBnOwcEd 4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________.2MiJTy0dTT 5．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方M的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的 墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和 宽分别为________．gIiSpiue7A 6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上， 另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方 的曲线上，求这个矩形面积最大时的边 长．uEh0U1Yfmh 7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其 表面积最小时，底面边长为( >．A.错误!B.错误!C.错误! D．2错误!IAg9qLsgBX 8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( >．WwghWvVhPE A.错误!错误! cm2B．4 cm2C．3错误! cm2D．2错误! cm2asfpsfpi4k 9．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大． 10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距mM，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为xM的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋错误!>x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．ooeyYZTjj1 (1>试写出y关于x的函数关系式； (2>当m＝640M时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 12．(创新拓展>如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方 体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？ 最大容积是多少？BkeGuInkxI 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。 第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（ ）． 第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2 e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的 第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （） | A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（） A．B． ， C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （） A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）！ A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（） A．B． C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 , 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 。 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率． 导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是() 3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数 数学选修2-2第一章 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1 x 2在 同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[1 2 ，2]上的最大值是( ) A.13 4 B.54 C ．8 D ．4 3．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2 3 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为 α，则α的取值围是( ) A ．[0，π 2] B ．[0，π2]∪[3 4π，π) C ．[3 4 π，π) D ．[π2，3 4 π] 4．已知函数f (x )＝1 2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立， 则实数m 的取值围是( ) A ．m ≥32 B ．m ＞32 C ．m ≤32 D ．m ＜32 5．函数f (x )＝cos 2 x －2cos 2 x 2 的一个单调增区间是( ) A.? ????π3，2π3 B.? ???? π6 ，π2 C.? ???? 0，π3 D.? ???? －π6 ，π6 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0 f x 0＋3Δx －f x 0 Δx ＝1， 则f ′(x 0)等于( ) A ．1 B ．0 C ．3 D.13 7．经过原点且与曲线y ＝x ＋9 x ＋5 相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0 C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 第一章导数及其应用练习题 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 第一章导数及其应用 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念 1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3> 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝ 1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值． 1.1.3导数的几何意义 1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg A．30° B．45° C．135° D．165° 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >． A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6 3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________． 第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在 点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3. 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议 广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具． 在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有： (1)导数概念及其几何意义； (2)导数的运算； (3)导数在研究函数中的应用； (4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)； (5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求) 本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章. 一、课标要求 导数及其应用的基本教学要求是： 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x =的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表． 3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求) 7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求) 8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值． 二、课时安排 1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下： 变化率与导数 约3课时 导数及其应用测试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.函数()2 sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.2 2sin x C.2cos x D.sin2x 2．已知()2 1 cos 4 f x x x =+，() ' f x为() f x的导函数，则() ' f x的图像是（） 3.若2 x=-是函数21 ()(1)x f x x ax e- =+-的极值点，则() f x的极小值为（） A.1 - B.3 2e- - C.3 5e- D.1 4．若曲线() ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b为正实数，则 2 e a b + + 的取值范围是（） A. 2 , 2 e e ?? ++∞ ? ?? B.[) ,e+∞ C.[) 2,+∞ D.[) 2,e 5．已知函数2x y=的图象在点) , (2 x x处的切线为l，若l也与函数x y ln =，)1,0( ∈ x的 图象相切，则 x必满足（） A． 2 1 < 第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值． 第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ?曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 《导数及其应用》单元测试题（理科） （满分150分 时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2 8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()() ()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4． =-+? dx x x x )1 11(322 1 （ ） (A)8 7 2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln + 5．曲线1 2 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 2 9e 2 Ｂ．24e Ｃ．2 2e Ｄ．2 e 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)
高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]
第三章导数及其应用单元测试(带答案)
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2
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【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
第一章导数及其应用练习题
第三章导数及其应用
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《导数及其应用》测试卷
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