第一章导数及其应用测试题
一、 选择题
1.设x
x y sin 12-=,则='y ( ).
A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---
B .x
x x x x 2
2sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .x
x x x sin )
1(sin 22---
2.设1ln
)(2+=x x f ,则=)2('f ( )
. A .
54 B .52 C .51 D .5
3 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3
)
(32lim
3--→x x f x x 的值为( ).
A .4-
B .0
C .8
D .不存在 4.曲线3
x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).
A .126-=x y
B .1612-=x y
C .108+=x y
D .322-=x y
5.已知函数d cx bx ax x f +++=2
3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,
)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22
131)(2
3,
当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则
1
2
--a b 的取值范围是( ). A .)1,4
1( B .)1,2
1( C .)4
1,21(- D .)2
1,21(-
7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=
在区间]2
,0[π
的值域为( ). A .]21,21[2π
e B .)2
1
,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2π
e
8.积分
=-?
-a
a
dx x a 22( ).
A .
24
1
a π B .
22
1
a π
C .2a π
D .22a π
9.由双曲线122
22=-b
y a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体
积为( )
A .
23
8
ab π B .
b a 2
3
8π C .
b a 234π D .23
4
ab π 10.由抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18
B .
3
38
C .
3
16 D .16
11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 二、填空题
13.曲线3x y =在点)0)(,(3
≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为
6
1
,则=a _________ 。 14.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移是23
425
341t t t S +-=,那么速度为零的时刻是_______________。 16.
=-+-?
dx x x 4
|)3||1(| ____________。
三、解答题
(17)(本小题满分10分)
已知向量),1(),1,(2t x x x -=+=,若函数x f ?=)(在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;
(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.
(19)(本小题满分14分)
设a x ≤≤0,求函数x x x x x f 24683)(2
3
4
+--=的最大值和最小值。
(20)(本小题满分12分)
用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大?
(21) (本小题满分12分)
直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.
第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
(13)、 1± (14)、 0=t (16)、 10
三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分) 解:由题意知:t tx x x x t x x x f +++-=++-=2
3
2
)1()1()(,则
t x x x f ++-=23)('2
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (3分) ∵)(x f 在区间)1,1(-上是增函数,∴0)('>x f
即x x t 232
->在区间)1,1(-上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (5分)
设x x x g 23)(2-=,则3
1
)31(3)(2-
-=x x g ,于是有 5)1()(max =-=>g x g t
∴当5>t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 又当5=t 时, 3
14)3
1(3523)('2
2
+
--=++-=x x x x f , 在)1,1(-上,有0)('>x f ,即5=t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 当5 ∴5≥t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分) (18)(本小题满分12分) 解:(1)323)('2 -+=bx ax x f ,依题意, 0)1(')1('=-=f f ,即?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得 0,1==b a ┅┅ (3分) ∴x x x f 3)('3 -=,∴)1)(1(333)('2 -+=-=x x x x f 令0)('=x f ,得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈Y x ,则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数; 若)11(,-∈x ,则0)(' 所以2)1(=-f 是极大值,2)1(-=f 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分) (2)曲线方程为x x y 33 -=,点)16,0(A 不在曲线上。 设切点为),(00y x M ,则03 003x x y -= 由)1(3)('2 00-=x x f 知,切线方程为 ))(1(302 00x x x y y --=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (9分) 又点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(1602 0030x x x x --=-- 化简得 83 0-=x ,解得 20-=x 所以切点为)2,2(--M ,切线方程为 0169=+-y x ┅┅┅┅┅┅ (12分) (19)(本小题满分14分) 解:)2)(1)(1(1224122412)('23 --+=+--=x x x x x x x f 令0)('=x f ,得:2,1,1321==-=x x x ┅┅┅┅┅┅┅ (2分) 当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表: 又0)0(=f ,故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分) 最大值与a 有关: (1)当)1,0(∈a 时,)(x f 在),0(a 上单调递增,故最大值为: a a a a a f 24683)(2 3 4 +--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) (2)由13)(=x f ,即:013246832 34=----x x x x ,得: 0)1323()1(2 2 =---x x x ,∴1=x 或3 10 21±= x 又0>x ,∴1=x 或3 10 21+= x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分) ∴当1[∈a ]3 10 21, +时,函数)(x f 的最大值为:13)1(=f ┅┅ (12分) (3)当( ∈a ),3 10 21+∞+时,函数)(x f 的最大值为: a a a a a f 24683)(2 3 4 +--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (14分) (20)(本小题满分12分) 解:设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,则 由2 2 2 R r h =+,所以 )0(,31 31)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-== ππππ ∴22 3 1'h R V ππ-= ,令0'=V 得 R h 33= ┅┅┅┅┅┅┅ (6分) 易知:R h 3 3 = 是函数V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 ∴当R h 3 3 = 时,容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 把R h 33= 代入222R r h =+,得 R r 3 6= 由r R πα2=得 πα3 6 2= 即圆心角πα3 6 2= 时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ (11分) 答:扇形圆心角πα3 6 2= 时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅ (12分) (21) (本小题满分12分) 解:解方程组???-==2 x x y kx y 得:直线kx y =分抛物线2 x x y -=的交点的横坐标为 0=x 和k x -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4分) 抛物线2 x x y -=与x 轴所围成图形为面积为 6 1|)3121()(10321 2 =-=-= ?x x dx x x S ┅┅┅┅┅ (6分) 由题设得 dx kx dx x x S k k ??----=1010 2 )(2 6 )1()(3 10 2 k dx kx x x k -=--= ? - ┅┅┅┅┅┅┅ (10分) 又6 1=S ,所以21)1(3 =-k ,从而得:2413-=k ┅┅┅┅┅ (12分) 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练(十) 一、选择题 1. 设函数f (x )存在导数且满足,则曲线y=f (x )在点 (2,f (2))处的切线斜率为( ) A .﹣1 B .﹣2 C .1 D .2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ,则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A .1y e x =-?+ B .1y x =-+ C . y x =- D .y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为( ) A .3 B .3 C. 32 D .6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ,则点P 的横坐标的取值范围为( ) A . []0,1 B .[]1,0- C .11,2??--???? D .1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ,则(0)f '=( ). A . n B .1n - C . (1)2 n n - D . 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为( ) A . B .2 C .3 D .2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线,则这样的切线条数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ,且a 2014,a 2016是函数f (x )= +6x ﹣1的极值点,则log 2(a 2000+a 2012+a 2018+a 2030)的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ,若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线,则实数m 的取值范围是( ) A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f (x )的图象如图所示,则导函数 y=f'(x )的图象可能是( ) A . B . C . D . 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数,且(2)0f =,当0x >时,有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立,则不等式()0xf x >的解集为( ) A .(-2,0)∪(2,+∞) B . (-∞,-2)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0)∪(0,2) 12.设f (x )=cosx ﹣sinx ,把f (x )的图象按向量=(m ,0)(m >0)平移后,图象恰好为函数y=﹣f′(x )的图象,则m 的值可以为( )导数练习题 含答案
导数及导数应用专题练习题
(完整word版)导数单元测试(含答案)