二次函数与圆综合提高（压轴题）
1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，
且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图
形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解
解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
答：
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
∵a=﹣＜0，开口向下，
∴x=2时，y最大=，
∵＞，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直径，
S⊙O=π×12=π．
2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），
点B的坐标为（4，
0），点C的坐标为
（﹣4，0），点P在
射线AB上运动，连
结CP与y轴交于点
D，连结BD．过P，
D，B三点作⊙Q与
y轴的另一个交点
为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=﹣1，
则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD，
∴∠BOD=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，即y=x；
（3）当BD：BF=2：1时，
过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴===2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4﹣OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4﹣OD，
解得：OD=，
∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由得：，
则点P的坐标为（2，2）；
当=时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8﹣OD=4+2OD，
OD=4
3
，
∴点D的坐标为（0，﹣4
3
），
直线CD的解析式为：y=﹣1
3
x﹣
4
3
，
由得：，
∴点P的坐标为（8，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．
3、抛物线y=x2-bx-3b+3过A、B两点（点A在点B的左边），交
y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、
MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点
E的坐标.
解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得
2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.
∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.
抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′
∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .
∴MH =1，BG =2. ……………4′
∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，
即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′
（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .
∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .
若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′
设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：
①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；
②∵M 在AB 的垂直平分线上，
∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′
③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .
AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （4
7-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-
，0） ……………8′
4、（2013?压轴题）如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）
与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物
线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连
接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M
作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为
圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆
心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
： 解：（1）如答图1所示，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，则DE=3，OE=2．
∵tan ∠DBA=
=，
∴BE=6，
∴OB=BE ﹣OE=4，
∴B （﹣4，0）．
∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．
（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，
令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），
令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．
设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC
=BF?MF+（MF+OC）?OF+OA?OC
=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2
=﹣2n﹣m+1
∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，
∴n=m2+m﹣2，代入上式得：
S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，
∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为
9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，
解得：k=2，b=﹣2，
∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
第22章《二次函数》练习卷① 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（） A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（） A．B．C．D． 4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（） A．B．C．D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表 x﹣3﹣2﹣1012 y﹣12﹣50343利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（） A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为．
7．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（5，0）、（1，0），则抛物线的对称轴直线x＝．8．若函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m的图象与x轴有且只有一个交点，则m＝．9．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．10．如图，在平?直?坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．11．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＜0 ③c＜4b④a+b＞0，则其中正确结论的是． 13．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s． 14．如图，抛物线y=?3 8x 2+3 4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于 点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是． 15．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；
⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.
【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、
第5讲 与二次函数有关的综合问题 【思维入门】 1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( ) 图1－5－2 3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( ) 图1－5－3 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝??? ? ? -2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小 值－8 5b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 图1－5－1
【思维拓展】 5．二次函数y＝2 3x 2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n 在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________． 图1－5－4 6．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D. ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
九年级二次函数拔高培优及解析 一、单选题 1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中： ①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有() A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】 ①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab<0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ②∵?b =1， 2a ∴b=?2a，2a+b=0，故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)，故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A(m,n)在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4； ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3 其中正确结论的个数是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数
圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,
填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不
二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，
数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2 0x +（b+1）x 0+b ﹣2 ＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣ b ＜0． 【解析】 【分析】 （1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围； （3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】 解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1， 即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0， ∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线 y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，?23 ）或（-65 ，-3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 . 【解析】（1）△直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴交于A 点， △点A 坐标为（﹣3，0）， 又△直线x=﹣1为对称轴， △点C 坐标为（1，0）， △抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3； （2）存在；
由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1）， 设点P 的坐标为（a ，﹣13 a ﹣1）， △当△AOB△△ADP 时， AD AO = DP OB ，即23 = 1 3 a+11 ， 解得：a=﹣1； 点P 坐标为（﹣1，?2 3）； △当△AOB△△APD 时， 过点P 作PE△x 轴于点E ， 则△APE△△PED ， △PE 2=AE?ED ， △（﹣1 3a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1）， 解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣6 5， △点P 坐标为（﹣6 5 ，﹣3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 ； 如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣1 2）为圆心，
二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(２，０)、B(0,－4），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转9０°至AＣ. (1）求点C的坐标; (２)若抛物线y＝-错误!x２＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P（点C除外)使△AＢP是以AＢ为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x＋3与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,抛物线ｙ=－x２＋bx+ｃ经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E,抛物
线顶点为D. (１）求抛物线的解析式; （2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为３，求点Ｆ的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ｔ秒，当t为何值时，以P、B、Ｃ为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值． 1.【解析】 试题分析：(1）过点Ｃ作ＣD垂直于x轴,由线段ＡB绕点A按逆时针方向旋转9
０°至ＡC，根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠ＯAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠ＯＡB与∠ＡBO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACＤ与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得ＡＤ=ＯB,CD=OA,由Ａ和B的坐标及位置特点求出ＯA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;（2)①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△AＢP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: （i）A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 ＝AＢ,过P １ 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示，根据一对对顶角相等,一对直角相等,ＡB=ＡP 1 ，利用AAS可证明三角 形ＡP 1M与三角形ＡCＤ全等，得出AP １ 与P 1 M的长，再由P １ 为第二象限的点,得 出此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足;（ｉｉ)当B为直角顶点,过Ｂ 作ＢＰ 2垂直于BA,且ＢＰ 2 =BA，过P 2 作P ２ N垂直于y轴,如图所示，同理证明三 角形ＢP 2N与三角形AOB全等,得出P ２ Ｎ与ＢＮ的长,由P 2 为第三象限的点,写出 P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；(iii)当B为直角顶点，过B作BP ３ 垂直于BA,且BＰ 3=BＡ,如图所示,过P 3 作P ３ H垂直于y轴，同理可证明三角形Ｐ 3BH全等于三角形AOＢ,可得出Ｐ ３ H与BH的长,由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析：（１）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵ＢA⊥AＣ,∴∠ＯＡB+∠ＣＡD=９0°, 又∠AＯＢ＝90°，∴∠OAB＋∠ＯＢA=9０°， ∴∠CAD=∠OＢA,又AＢ＝ＡC，∠AＯB=∠ADＣ=９0°, ∴△AＯB≌△CDＡ，又Ａ(1，0)，B(0，﹣2）， ∴ＯＡ=CD=1，OB=AＤ=2， ∴OＤ＝ＯＡ+ＡD=3,又Ｃ为第四象限的点, ∴C的坐标为（3，﹣1); （2）①∵抛物线y=﹣1 2 ｘ2+ax+２经过点C，且C(3，﹣1）, ∴把Ｃ的坐标代入得：﹣１=﹣9 2 +3ａ＋2,解得：a＝ 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x２＋ 1 2 x＋2； ②存在点Ｐ，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,（i）若以AB为直角边,点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1使得P 1 A=CA,得到等腰直角三角形ABP １ ，过点P １ 作Ｐ 1 M⊥x轴, 如图所示，
圆与二次函数综合题 1.已知圆P 的圆心在反比例函数k y x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 2.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的 面积. （3） （2） 3.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴 交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，点P在y轴上，半径为3的⊙P分别交x轴于A、B两点，AB=4，交y轴负半轴于点C，连接AP并延长交⊙P于点D，过D作⊙P的切线分别交x轴、y轴于点F、G； （1）求直线FG的解析式； （2）连接CD交AB于点E，求PCD ∠ tan的值； （3）设M是劣弧BC上的一个动点，连接DM交x轴于点N，问：是否存在这样的一个常数k，始终满足AN·AB+DN·DM=K，如果存在，请求出K的值，如果不存在，请说明理由； （图1） （图2） 5.已知：如图， 抛物线2 33 y x x =--x轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C ，，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积； （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由． 6.(0) A m，(0) m<，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F． （1）求证：BF DO =； （2）设直线l是BDO △的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO △的