二次函数与圆（一）
【经典例题】
例1．如图所示，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2,0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．
y
C
·
B E0A
D
F x
例2．已知：如图所示，直线y=3
x+3与x,y轴分别交A、B两点，⊙M经过原点O及A、3
B两点．（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程；
（2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于D点，若∠COD=∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；
（3）若延长BC到E，使DE=2，连结EA，试判断直线EA与⊙O的位置关系，并说明理由．
y
B
M
·
A
D
C
O x
在 AO 上，以 F 为圆心的圆与 y 轴，AC 边相切，切点分别为 O 、D ，⊙F 的半径为 , tan ∠CAO = ．
F
O
x
上的点 C (0,- ) ，⊙P 的圆心 P 在 y 轴上，且经过 B 、C 两点，若 b = 3a ， AB = 2 3 ．
P 例 5．在直角坐标系中，抛物线 y = - x 2 + mx + m + 与 x 轴交于 A 、B 两点．已知点 A 在
例 3．已知：如图所示， Rt ?AOC 中，直角边 OA 在 x 轴负半轴上，OC 在 y 轴正半轴上，点 F
3 3
2 4
（1）求过 A 、C 两点后一次函数解析的解析式； y （2）求过 E 、D 、O 三点的二次函数的解析式；
（3）证明（2）中抛物线的顶点在直线 AC 上．
C
D
A E
·
例 4．已知：如图所示，抛物线 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 经过 x 轴上的两点 A( x ,0), B( x ,0) 和 y 轴
1
2
3
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）D 在抛物线上，且 C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线 BD 是否经过圆心 P ？并 说明理由；
（3）设直线 BD 交⊙P 于另一点 E ，求经过点 E 的⊙P 的切线的解析式．
y
M
A
O
· B x
D
E
C
Q
4 2
5 4
9 9 9 3
·B E
x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且BO=2AO，点C为抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式和经过B、C两点的直线的解析式；
（2）点P在此抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴，直线BC都相切，求点P的坐标．
例6．如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-3,0），B点坐标为（12,0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A、B、C三点以外），求直线AD的解析式；（3）判断（2）中的直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由．
y
A O
C
P
M D
x
【拓展训练】
1．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（0,2）的直线AB与以坐标原点为圆心，
y
（
3 为半径的圆相切于点 C ，且与 x 轴的负半轴相交于点 B ．
（1）求∠BAO 的度数；（2）求直线
AB 的解析式； 3
）若一抛物线的顶点在直线 AB 上，且抛物线的顶点和它与 x 轴的两个交点构
成斜边长为 2 的直角三角形，求此抛物线的解析式．
2．已知抛物线 y = x 2 + ( 3 - 1) x - 3 ．（1）如图所示，抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，求 A 、B 、C 三点坐标．（2）若⊙E 过 A 、B 、C 三点，求
圆心 E 的坐标和 AC 的长；（3）OE 的延长线交⊙E 于 F ，求过点 F 且与⊙E 相切的直线 l 的
解析式．
y
D
A P
· O E
F
C
Q
B
x
【作业】-----二次函数与圆（一）
1 ．如图所示，抛物线 y = x
2 - px - q 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知
（ D
∠ACB = Rt ∠, ∠CAO = α , ∠CBO = β , tan α - tan β = 4 ．
（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点的坐标、对称轴方程；
（2）平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M 、N 两点，若以 MN 为直径的圆正好与 x 轴相切，求
此圆的半径．
2．如图所示，二次函数 y = ax 2 + bx + c 过 A （-1,0）、B （3,0）、C （0,-3），M 为顶点．（1） 求二次函数的解析式；（2） ?ABM 内切圆圆心为 D ，⊙D 与 AB 相切于 N 与 BM 相切于 E ，求它 的半径； 3）在（1）中二次函数图像上是否存在一点 P ，使 ?PAN 的面积为 ?ACM 面积的 2001 倍？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
y
N A O
B x
·
E
F C
M