水尾中学中考专项训练（压轴题）答案
1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长．
解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F
∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝
1
2
CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4
∴BD ＝
BF 2
＋DF 2
＝
16＋3
＝19
∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝
AC 2
＋BC 2
＝
13
∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2
－AE 2
＋
AD 2
－AE 2
＝BD
即
13－AE 2 ＋
12－AE 2
＝19
∴13－AE 2 ＝19－
12－AE 2
两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2
19(12－AE 2
)
整理得：19(12－AE 2
)
＝9，解得AE ＝
7
19
57
2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵
的中点．
（1）如图1，P 为 ABC ︵
的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ；
（2）如图2，P 为 ABC ︵
上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（1）证明：连接AD
∵D 为AC ︵
的中点，P 为 ABC ︵
的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90°
D
D
P
图1 图2
∵∠B ＝60°，∴∠APC ＝60°
∵D 为AC ︵
的中点，∴∠APD ＝∠CPD ＝30°
∴PA ＝PD ·cos30°＝
3
2
PD ∵P 为 ABC ︵
的中点，∴PA ＝PC
∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下：
延长P A 到E ，使EA ＝PC ，连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180°
∴∠EAD ＝∠PCD
∵D 为AC ︵
的中点，∴AD ︵
＝CD ︵
∴AD ＝CD
∴△EAD ≌△PCD ，∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知，∠APD ＝30°
∴PH ＝PD ·cos30°＝
3
2
PD ，PE ＝2PH ＝3PD ∵PA ＋EA ＝PE ，∴PA ＋PC ＝3PD 3．（湖北模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 、PC 分别切⊙O 于A 、C ，CD ⊥AB 于D ，PB 交CD 于E ．
（1）求证：CE ＝DE ；
（2）若AB ＝6，∠APC ＝120°，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OP 、OC 、BC ∵PA 、PC 是⊙O 的切线
∴PA ＝PC ，∠PAO ＝∠PCO ＝90° 又PO ＝PO ，∴Rt △PAO ≌Rt △PCO
∴∠POA ＝∠POC ，∴∠AOC ＝2∠POA
又∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠POA ＝∠ABC
又∠PAO ＝∠CDB ＝90°，∴△PAO ≌△CDB ∴
P A
CD
＝
OA
BD
∵∠PAB ＝∠EDB ＝90°，∠PBA ＝∠EBD ∴△PAB ≌△EDB ，∴
P A
ED
＝
BA
BD
P
B
B
∵AB＝2OA，∴P A
ED＝
2OA
BD＝
2P A
CD
∴CD＝2ED，∴CE＝DE
（2）解：∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90°∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30°
∵AB＝6，∴OA＝OC＝3
∴OD＝OC·sin30°＝3
2，CD＝OC·cos30°＝
33
2
∴S阴影＝S扇形AOC－S△DOC
＝60×π×32
360－
1
2×
3
2×
33
2
＝3π
2－
93
8
4．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．
（1）求BD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当CE⊥OD时，求AO的长．
解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB
∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BD
OC＝
OD
AC
∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD
6＝
6
4，∴BD＝9
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴AB
AO＝
AO
AC
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13
x＝
x
4
∴y＝1
4x
2
－13
∵0＜y＜8，∴0＜1
4x
2
－13＜12，解得213＜x＜10
∴定义域为213＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A
∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴1
4x
2
－13＋4＝x
∴x＝2±210（舍去负值）∴AO＝2±210 A B
D
C
E
O
A B
D
C
E
O
5．（北京模拟）如图，抛物线y＝2
m x
2
－2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与
x轴交于点C．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
解：（1）∵y＝2
m x
2
－2x＝
2
m(x－
1
2m)
2
－
1
2m
∴抛物线的顶点B的坐标为（1
2m，－
1
2m）
（2）令2
m x
2
－2x＝0，解得x1＝0，x2＝m
∵抛物线y＝2
m x
2
－2x与x轴负半轴交于点A
∴A（m，0）且m＜0. 过点D作DF x轴于F
由D为BO中点，DF∥BC，可得CF＝FO＝1
2CO
∴D＝1
2BC
由抛物线的对称性得AC＝OC，∴AF
AO＝
3
4
∵DF∥EO，∴△ADF∽△AEO，∴DF
EO＝
AF
AO
由E（0，2），B（1
2m，－
1
2m），得OE＝2，DF＝－
1
4m
∴－
1
4m
2＝
3
4，∴m＝－6
∴抛物线的解析式为y＝－1
3x
2
－2x
（3）依题意，得A （－6，0），B （－3，3），C （－3，0） 可得直线OB 的解析式为y ＝－x ，直线BC 为x ＝－3 作点C 关于直线BO 的对称点C 1（0，3），连接AC 1交BO 于M ，则M 即为所求 由A （－6，0），C 1（0，3），可得直线AC 1的解析式为y ＝
1
2
x ＋3 由 ?????y ＝
1 2
x ＋3y ＝－x
解得
?????x ＝－2y ＝2
∴点M 的坐标为（－2，2） 由点P 在抛物线y ＝－
1
3
x
2－2x 上，设P （t ，－
1
3
t
2
－2t ） ①当AM 为平行四边形的一边时
如右图，过M 作MG ⊥x 轴于G ，过P 作PH ⊥BC 于H 则x G ＝x M
＝－2，x H
＝x B
＝－3
可证△AMG ≌△PQH ，得PH ＝AG ＝4 ∴t －(－3)＝4，∴t ＝1
∴P 1（1，－
7
3
）
如右图，同理可得PH ＝AG ＝4 ∴－3－t ＝4，∴t ＝－7 ∴P 2（－7，－
7
3
）
②当AM 为平行四边形的对角线时
如右图，过M 作MH ⊥BC 于H ，过P 作PG ⊥x 轴于G 则x H
＝x B
＝－3，x G
＝x P
＝t
可证△APG ≌△MQH ，得AG ＝MH ＝1 ∴t －(－6)＝1，∴t ＝－5
∴P 3（－5，
5
3
）
综上，点P 的坐标为P 1（1，－
7
3
），P 2（－7，－
7
3
），P 3（－5，
5
3
）
6．（上海模拟）已知：如图，直线y ＝x －15与x 轴、y
＝－
1
3
x 2
＋bx ＋c 经过A 、B 两点． （1
）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为点D ，与x 轴的另一个交点为点C ，对称轴与x 轴交于点H ，求△DAC 的面积；
（3）若点E 是线段AD 的中点，
CE 与DH 交于点G ，点P 在y 轴
的正半轴上，△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能，请求出点P 的坐标；如果不能，请说明理由．
解：（1）由题意，得A （15，0），B （0，－15） ∵抛物线y ＝－
1
3
x 2
＋bx ＋c 经过A 、B 两点 ∴?????－
1 3
×15
2＋15b ＋c ＝0c ＝－15
解得
?????b ＝6c ＝－15
∴抛物线的解析式为y ＝－
1
3
x 2
＋6x －15 （2）∵y ＝－
1
3
x 2＋6x －15＝－
1
3
(
x －9)2
＋12 ∴顶点D 的坐标为（9，12） 设y ＝0，则－
1 3
(
x －9)2
＋12＝0
∴(
x －9)2
＝36，∴x 1＝3，x 2＝15 ∴C （3，0），∴AC ＝15－3＝12
∴S △DAC
＝
1
2
AC ·DH ＝
1
2
×12×12＝72 （3）∵点E 是线段AD 的中点，点H 是线段AC 的中点 ∴点G 是△DAC 的重心.，∴GH ＝
1
3
DH ＝4 ①若
PO
GH
＝
OH
CH
，则△HPO ∽△CGH
∴
PO
4
＝
9
6
，∴PO ＝6 ∴P 1（0，6） ②若
PO
CH
＝
OH
GH
，则△PHO ∽△CGH ∴
PO
6
＝
9
4
，∴PO ＝
27
2
∴P 2（0，27
2
）
∴△POH 能够与△CGH 相似，此时点P 的坐标为P 1（0，6）或P 2（0，27
2
）
7．（四川成都）如图，在平面直角坐标系xO y 中，一次函数y ＝
5
4
x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （－3，0），与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不
平行的直线交抛物线于M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）两点，试探究
M 1P ·M 2P
M 1M 2
是否为定值，
并写出探究过程．
解：（1）∵一次函数y ＝
5
4
x ＋m 的图象与x 轴交于点A （－3，0） ∴
5 4 ×(
－3
)＋m ＝0，解得m ＝
15 4
∴点C 的坐标是（0，15
4
）
∵抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且对称轴为直线x ＝1
∴?????9a －3b ＋c ＝0
c ＝
15
4
－ b 2a
＝1
解得
?????a ＝－
1
4
b ＝
1
2
c ＝
15 4
∴抛物线的函数表达式为y ＝－
1 4
x
2＋ 1 2 x ＋
15
4
（2）假设存在点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形 （ⅰ）当CE ∥AF 时，点E 在x 轴上方，y E
＝y C
＝
15
4
由－
1
4
x
2＋ 1 2 x ＋ 15 4 ＝ 15
4
，解得x 1＝0（舍去），x 2＝
2
∴E 1（2，15 4 ），此时S □ACE 1F 1＝2×15 4
＝
15
2
（ⅱ）当AE ∥CF 时，点E 在x 轴下方，y E
＝－y C
＝－
15
4
由－
1
4
x
2＋ 1 2 x ＋ 15 4 ＝－ 15
4
，解得x 1＝1＋ 31，x 2＝1－
31
∴E 2（1＋
31，－
15 4
）
过E 2作E 2H ⊥x 轴于H ，则△E 2HF 2≌△COA ∴HF 2＝AO ＝3，AF 2＝7＋
31
∴S □ACF 2E 2＝2S □ACF 2＝AF 2·CO ＝
15(
7＋
31
)
4
综上所述，存在符合条件的点E 1（2，15 4 ），E 2（1＋
31，－
15
4
），使得以A ，C ，E ，F 为顶
点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是
15 2
，15(
7＋
31
)
4
（3）方法一：∵A ，B 两点关于抛物线的对称轴x ＝1对称
∴AP ＋CP ＝BP ＋CP
≥BC
∴当C 、P 、B 三点在一条直线上时，△ACP 此时点P 的坐标为（1，3）
分别过点M 1，M 2作直线x ＝1的垂线，垂足为N 1，N 2 在Rt △M 1PN 1中，由勾股定理得
M 1P 2＝M 1N 12＋PN 12＝(
x 1－1
)2＋(
y 1－3
)2
①
∵y 1＝－
1 4
x 12＋
1 2
x 1＋
15 4 ＝－
1 4
(
x 1－1
)2
＋4
即(
x 1－1
)2＝4(
4－y 1
)，将其代入①，得M 1P 2＝(
5－y 1
)2
∴M 1P ＝5－y 1
（y 1＜5） 同理M 2P ＝5－y 2
由M 1N 1∥M 2N 2，得△M 1PN 1∽△M 2PN 2
∴
M 1P
M 2P
＝
N 1P
N 2P
，即
5－y 1
5－y 2
＝
3－y 1
y 2－3
整理得y 1y 2＝4(
y 1＋
y 2
)－15
∴
M 1P ·M 2P
M 1M 2 ＝
(
5－y 1
)(
5－y 2
) ( 5－y 1 )＋( 5－y 2 ) ＝ y 1y 2－5( y 1＋ y 2 )＋25
10－( y 1＋ y 2 )
＝1
故
M 1P ·M 2P
M 1M 2
是定值，其值为1
方法二：
同方法一得点P 的坐标为（1，3） 设过点P 的直线表达式为y ＝kx ＋3－k
联立
?????y ＝kx ＋3－k y ＝－ 1 4
x
2＋ 1 2 x ＋
15 4
消去y ，整理得x
2
＋( 4k －2 )x －( 4k ＋3
)＝0
∴x 1＋x 2＝2－4k ，x 1x 2＝－(
4k ＋3
)
由y 1＝kx 1＋3－k ，y 2＝kx 2＋3－k ，得y 1－y 2＝k (
x 1－x 2
)
∴M1P2·M2P2＝[(x1－1)2＋(y1－3)2][(x2－1)2＋(y2－3)2]
＝[(x1－1)2＋k2(x1－1)2][(x2－1)2＋k2(x2－1)2]
＝(k2＋1)2(x1－1)2(x2－1)2
＝(k2＋1)2(x1x2－x1－x2＋1)2
＝16(k2＋1)2
M1M22＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝(k2＋1)(x1－x2)2
＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝16(k2＋1)2
∴M1P2·M2P2＝M1M22，即M1P·M2P＝M1M2
故M1P·M2P
M1M2是定值，其值为1
8（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．
（1）若点P的坐标为（－1，4），求此时抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（－1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB＋QP 取得最小值5；
（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4
将A（1，0）代入上式，得a＝－1
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4
（2）作点P（－1，k）关于y轴的对称点P′（1，k）
∴QP＝QP′
∵抛物线顶点为P（－1，k），∴抛物线的对称轴为x＝－1
∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，∴B（－3，0）
若QB＋QP最小，即QB＋QP′最小
则B、Q、P′三点共线，即P′B＝5
又AB＝1＋3＝4，连接P′A，则P′A⊥AB
∴△P′AB是直角三角形，∴P′A＝52－42＝3
∴k＝3
（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′
∴BO
BA＝
OQ
AP′
，即
3
4＝
OQ
3，∴OQ＝
9
4
∴动点Q的坐标为（0，－9 4）
10．（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，－n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x
2
－2x －3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．
①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．
解：（1）解方程x
2－2x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3 ∵m
＜n ，∴m ＝－1，n ＝3
∴A （－1，－1），B （3，－3）
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y ＝ax
2
＋bx
∴?
????－1＝a －b －3＝9a ＋3b 解得a ＝－
1 2 ，b ＝
1
2
∴抛物线的解析式为y ＝－
1
2
x
2＋
1 2
x （2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∴?
????－1＝－k ＋b －3＝3k ＋b 解得k ＝－
1 2 ，b ＝－
3
2
∴直线AB 的解析式为y ＝－
1
2
x －
3 2
∴C 点坐标为（0，－
3
2
）
∵直线OB 过点O （0，0），B （3，－3）
∴直线OB 的解析式为y ＝－x
∵△OPC 为等腰三角形，∴OC ＝OP 或OP ＝PC 或OC ＝PC 设P （x ，－x ）
（i ）当OC ＝OP 时，x
2＋(－x
)2
＝
9 4
解得x 1＝
32 4
，x 2＝－ 32 4 （舍去），∴P 1（32 4 ，－
32
4
） （ii ）当OP ＝PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，∴P 2（3
4
，－
3
4
）
（iii ）当OC ＝PC 时，x
2
＋(－x ＋
3
2
)2＝
9
4
解得x 1＝
3 2
，x 2＝0（舍去），∴P 3（3 2
，－
3
2
）
∴P 点坐标为P 1（32 4
，－ 32 4 ）或P 2（3 4 ，－ 3 4 ）或P 3（3 2 ，－
3
2
）
②过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H
设Q （x ，－x ），则D （x ，－
1
2
x
2＋
1
2
x ） ∴DQ ＝－
1
2
x
2＋
1 2 x ＋x ＝－ 1 2
x
2＋ 3
2
x ∴S △BOD
＝S △ODQ
＋
S △BDQ ＝
1
2
DQ ·OG ＋ 1 2 DQ ·GH ＝ 1
2
DQ ( OG ＋GH
) ＝
1 2 (－
1 2
x
2＋
3 2
x
)×3＝－
3 4 (
x －
3 2
)2＋
27
16
∵0＜x
＜3
∴当x ＝
3
2
时，S 取得最大值为
27 16 ，此时D （3 2
，－
3
8
） 11．（四川模拟）如图，抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，
抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．已知A （－2，0），tan ∠ABC ＝
3
4
，S △ABC
＝9． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是线段BC 上一点，且以B 、D 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，请你选择一个P 点求出△BDP 外接圆圆心的坐标．
解：（1）由题意得：???
OC
OB
＝
3
4
1 2
(
2＋OB
)·OC ＝9
解得：?????OB ＝4
OC ＝3（舍去负值）
∴B （4，0），C （0，3）
∴设抛物线为y ＝a (
x ＋2 )( x －4
)，把C （0，3）代入，得
3＝a (
0＋2 )( 0－4 )，解得：a ＝－
3
8
∴抛物线的解析式为y ＝－
3
8
(
x ＋2 )( x －4
)
即y ＝－
3
8
x
2＋
3
4
x ＋3 （2）存在 ∵y ＝－
3
8
x
2＋
3 4 x ＋3＝－ 3 8 ( x －1 )2＋
27 8
∴抛物线的对称轴是直线x ＝1
∴D （1，0），∴OD ＝1
备用图
∵OA ＝2，OB ＝4，OC ＝3，∴AB ＝6，BC ＝5，BD ＝3 当△BDP ∽△BAC 时，则∠BDP ＝∠BAC ∴DP ∥AC
∵D 为AB 中点，∴P 为CB 中点 ∵B （4，0），C （0，3），∴P 1（2，3
2
）
当△BPD ∽△BAC 时，则
BP
BA
＝
BD
BC
∴
BP
6
＝
3
5
，∴BP ＝
18 5
过点P 作PH ⊥OB 于H ，则△BPH ∽△BCO ∴
BH
BO
＝
PH
CO
＝
BP
BC
，∴
BH
4
＝
PH
3
＝
18
5
5
∴BH ＝
72
25 ，PH ＝
54 25 ，∴P 2（28 25 ，54
25
） ∴满足条件的P 点有两个，P 1（2，3
2
），P 2（28
25
，54
25
）
（3）选择P （2，3
2
），设E 为△BDP 外接圆的圆心
则点E 是线段BD 的中垂线和线段BP 的中垂线的交点 易知线段BD 的中垂线为x ＝
5 2 ，设点E 坐标为（5
2
，m ）
由ED ＝EP ，得(
5 2
－1)2＋m
2
＝( 5 2 －2)2＋(m －
3 2
)2
解得m ＝
1
12
，即E （5 2
，1 12
） ∴当点P 坐标为（2，3
2
）时，△BDP 外接圆圆心的坐标为（5
2
，1
12
）
12．（四川模拟）已知圆⊙A 的半径为
2
，圆心A （t ，0）是抛物线y ＝－
1
2
x 2
＋bx 与x 轴的交点，点P 是x 轴上方抛物线上任意一点，点Q 是线段OP 的中点．
（1）如图1，当t ＝4时，点P 在抛物线上运动，点Q 跟随点P 运动，其运动路径也是一段抛物线，直接写出点Q 运动路径的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如图2，当∠POA ＝45°
且t
＞0时，过点Q 作OP 的垂线l ，证明直线l 与⊙A 相切； （3）当∠POA ＝45°
时，使得直线l 与⊙A 相切于点M ，且四边形P AMQ 为矩形．此时，在抛物线上是否存在点B ，使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形？若存在，求出B
解：（1）y ＝－x
2
＋2x （0＜x
＜2）
提示：当t ＝4时，A （4，0），代入y ＝－
1
2
x 2
＋bx ，得b ＝2 ∴抛物线为y ＝－
1
2
x 2
＋2x 设P （m ，－
1
2
m
2＋2m ），则Q （1 2
m ，－
1 4
m
2＋m ） 设Q （x ，y ），则x ＝
1
2
m ，y ＝－
1 4
m
2
＋m ∴m ＝2x ，∴y ＝－
1 4
(
2x
)2＋2x ＝－x
2
＋2x
∵0＜m
＜4，∴0＜x
＜2
∴点Q 运动路径的函数解析式为y ＝－x
2
＋2x （0＜x
＜2）
（2）∵y ＝－
1
2
x 2
＋bx ，∴A （2b ，0） ∵∠POA ＝45°，∴直线OP 的解析式为y ＝x
联立
?
????y ＝x y ＝－
1 2
x
2
＋bx 解得
?????x 1＝0y 1＝0（舍去）?????x 2＝2b －2y 2＝2b －2 ∴P （2b －2，2b －2）
设l 与x 轴交于点D ，连接PD
由题意，l 是线段OP 的垂直平分线 ∴OD ＝PD ，∴∠OPD ＝∠POD ＝45° ∴∠ODP ＝90°，∴△OPD 是等腰直角三角形 ∴∠ODQ ＝45°，OD ＝2b －2 ∴AD ＝2b －(
2b －2
)＝2
过点A 作AM ⊥l 于M ，则∠ADM ＝45° ∴△ADM 是等腰直角三角形
∴AM ＝
2
2
AD ＝2＝⊙A 的半径 ∴直线l 与⊙A 相切
（3）∵四边形P AMQ 为矩形，∴PQ ＝AM ＝ 2 ∴OP ＝22，∴P （2，2），∴Q （1，1） ∴2b －2＝2，∴b ＝2
∴A （4，0），抛物线为y ＝－
1 2
x
2
＋2x
易得直线AQ 的解析式为y ＝－
1 3
x ＋
4
3
∵四边形ABPQ 是以AP 为对角线的梯形
∴BP ∥AQ ，∴设直线BP 的解析式为y ＝－
1
3
x ＋n
把P （2，2）代入，得n ＝
8 3
，∴y ＝－ 1 3 x ＋
8
3
联立 ???y ＝－
1
3
x ＋
8
3
y ＝－ 1 2 x 2
＋2x 解得
?
????x 1
＝2
y 1
＝2（舍去）???x 2＝
8
3
y 2
＝
16 9
∴B （8
3
，16
9
）
∴存在点B （8
3
，16
9
），使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形
13．（四川模拟）如图，抛物线y ＝
1
2
x
2＋bx ＋c 与直线l ：y ＝
3
4
x －1交于点A （4，2）、B （0，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在直线l 下方的抛物线上，过点D 作DE ∥y 轴交l 于E 、作DF ⊥l 于F ，设点D 的横坐标为t ，△DEF 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式，并求p 的最大值及此时点D 的坐标；
（3）点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若△BMN 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求点M 的坐标．
解：（1）由题意知：
?????1 2 ×4
2＋4b ＋c ＝2c ＝－1 ∴?????b ＝－
5 4
c ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝ 1 2 x 2－ 5
4
x －1
（2）∵点D 在抛物线y ＝
1
2
x
2－
5
4
x －1上 ∴设D （t ，1 2 t
2－
5 4 t －1），则E （t ，3
4
t －1）
∴DE ＝
3
4
t －1－(1 2 t
2－
5 4 t －1 )＝－ 1 2
t
2＋2t 在y ＝
3
4
x －1中，令y ＝0，得x ＝
4 3
∴直线AB 与x 轴交于点C （4
3
，0）
∴BC ＝
1
2
＋(
4
3
)2
＝
5
3
∴△OBC的周长为为1＋4
3＋
5
3＝4
∵DE∥y轴，DF⊥l，∴△DEF∽△CBO
∴p
4＝
－
1
2t
2
＋2t
5
3
∴p＝－6
5t
2
＋
24
5t＝－
6
5(t－2)
2
＋
24
5
∴当t＝2时，p有最大值为24 5
此时D（2，－3 2）
（3）过点M作MG⊥x轴于G，过点B作BH⊥MG轴于H 易证△MGN≌△BHM，∴MG＝BH
∴1
2x
2
－
5
4x－1＝x或
1
2x
2
－
5
4x－1＝－x
解得x1＝9＋113
4，x2＝
9－113
4，x3＝
1＋33
4，x4＝
1－33
4
∴M1（9＋113
4，
9＋113
4），M2（
9－113
4，
9－113
4）
M3（1＋33
4，－
1＋33
4），M4（
1－33
4，－
1－33
4）
九年级数学 二次函数 单元试卷（一） 时间90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y
二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根
二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；
⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x
1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是(
11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________
二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y
二次函数、圆综合检测题 %1. 选择题（共10小题每小题3分） 1.对于二次函数y=- （x- 1） 2+2的图象与性质，下列说法正确的是（） A.对称轴是直线x=l,最小值是2 B.对称轴是直线x=l,最大值是2 C.对称轴是直线x=-l,最小值是2 D.对称轴是直线x= - 1,最大值是2 2.己知二次函数y=ax2+bx+c （a^O）的图象如图所示，以下四个结论：①a>0；②c>0；（3）b2 - 4ac>0；④- Evo,正确的是（） 2a A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 3.若抛物线y= - x2+bx+c经过点（-2, 3）,则2c - 4b - 9的值是（ ）/ A. 5 B. - 1 C. 4 . D. 18 4 .如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后， 痕AB 的长为（）A. 2cm B. /cm 5.如图，。。中，弦AB、CD相交于点P, 的大小是（）A. 43° B. 35° C. 34° 6.AB是。。的直径，PA切。0于点A, P0交。0于点C；连接 BC,若ZP=40°,则匕B等于（） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 7.如图，。。是ZiABC的外接圆，BC=2, ZBAC=30°,则劣弧而的 圆弧恰好经过圆心0,则折
长等于（）
A尧容?斗”写 8.如图，在Rt^ABC 中，ZBCA=90°, ZBAC=30°, BC=2,将RtAABC 绕A 点顺时针旋 转90。得到RtAADE,则BC扫过的面积为（） A. — B. （2-如）n C.空邕 D. R 2 2 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c （a乂0）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点.坐标为 （-1, 0）,其部分图象如图所示，下列结论：①4ac
二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函
数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
砺智教育二次函数 一、选择题：(共30分) 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点), (a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）
B x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元． 二次函数典型例题——找规律 1、如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 2、二次函数223 y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上，点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1C 1，△A 1B 2C 2，△A 2B 3C 3，…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形，则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015 3、如图，点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上，点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n －1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐 标原点），则△A 2014B 2013B 2014的腰长= ． （石景山区）已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负 整数. （1）求m 的值； （2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的 表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围． （石景山区）解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根， ∴0≠m 且0≥?， ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数， ∴1=m . ………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2 )(，……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ， 同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为（322-n n ，）， ………………6分 当n x 2=时，1122 1+=+?= n n y ， 由题意，132+>-n n ， 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2 - = x B. 2 = x C. 1 - = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：_____________________.二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
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