因式分解的四种方法（讲义）
? 课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________；
91=__________； 102=__________．
3. 探索新知：
（1）39999-能被100整除吗？
小明是这样做的：
32299999999991
99(991)
99(991)(991)999800
9998100
-=?-?=?-=?+-=?=??
所以39999-能被100整除．
（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？
（3）3m m -能被哪些整式整除？
? 知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①公因式要提尽；
②首项为负时要提出负号；
③提公因式后项数不变．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法时需要注意两点：
①能提公因式先提公因式；
②找准公式中的a 和b ．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是
有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
? 精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ??++=++ ???； ⑥24(2)(2)m m m -=+-；
⑦2244(2)y y y -+=-．
2. 因式分解（提公因式法）：
（1）2212246a b ab ab -+；
（2）32a a a --+； 解：原式=
解：原式=
（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；
解：原式=
（4）22()()x x y y y x ---；
（5）1m m x x -+． 解：原式=
解：原式=
3. 因式分解（公式法）：
（1）249x -；
（2）216249x x ++； 解：原式=
解：原式=
（3）2244x xy y -+-；
（4）229()()m n m n +--； 解：原式=
解：原式=
（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；
解：原式=
（6）2(25)4(52)x x x -+-；
解：原式=
（7）228168ax axy ay -+-；
（8）44x y -； 解：原式=
解：原式=
（9）4221a a -+；
（10）22222()4a b a b +-． 解：原式=
解：原式=
4. 因式分解（分组分解法）：
（1）2105ax ay by bx -+-；
（2）255m m mn n --+； 解：原式=
解：原式=
（3）22144a ab b ---；
（4）22699a a b ++-； 解：原式=
解：原式=
（5）2299ax bx a b +--；
（6）22244a a b b -+-．
解：原式=
解：原式=
5. 因式分解（十字相乘法）：
（1）243x x ++；
（2）26x x +-； 解：原式=
解：原式=
（3）223x x -++；
（4）221x x +-； 解：原式=
解：原式=
（5）22512x x +-；
（6）2232x xy y +-； 解：原式=
解：原式=
（7）2221315x xy y ++；
（8）3228x x x --． 解：原式=
解：原式=
6. 用适当的方法因式分解：
（1）222816a ab b c -+-；
（2）22344xy x y y --；
解：原式=
解：原式=
（3）22(1)12(1)16a a ---+；
（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=
解：原式=
（5）2(2)8a b ab -+；
解：原式=
（6）222221x xy y x y -+-++．
解：原式=
【参考答案】
? 课前预习
1. 22()()a b a b a b +-=-；
222222()2()2a b a ab b a b a ab b
+=++-=-+； 2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2
3. （2）328989898989-=?-
289(891)
89(891)(891)899088
=?-=?+?-=??
∴38989-能被90整除
3223(1)
(1)(1)
m m m m m
m m m m m -=?-=-=+-（）
∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除
? 知识点睛
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式
2. （2）平方差公式；完全平方公式；
（3）公因式；完全平方公式；平方差公式
3. 一提二套三分四查；有理数
? 精讲精练
1. ④⑥⑦
2. （1）6(241)ab a b -+；
（2）2(1)a a a -+-；
（3）()()a b m n -+；
（4）3()x y -；
（5）1(1)m x x -+．
3. （1）(23)(23)x x +-；
（2）2(43)x +；
（3）2(2)x y --；
（4）4(2)(2)m n m n ++；
（5）29(2)x y -；
（6）(25)(2)(2)x x x -+-；
（7）28()a x y --；
（8）22()()()x y x y x y ++-；
（9）22(1)(1)a a +-；
（10）22()()a b a b +-．
4. （1）(5)(2)x y a b --；
（2）(5)()m m n --；
（3）(12)(12)a b a b ++--；
（4）(33)(33)a b a b +++-；
（5）()(31)(31)a b x x ++-；
（6）(2)(22)a b a b -+-．
5. （1）(1)(3)x x ++；
（2）(3)(2)x x +-；
（3）(3)(1)x x --+；
（4）(21)(1)x x -+；
（5）(4)(23)x x +-；
（6）()(32)x y x y +-；
（7）(5)(23)x y x y ++；
（8）(2)(4)x x x +-．
6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--；
（2）2(2)y x y --；
（3）2(5)(3)a a --；
（4）(2)(5)x x -+；
（5）2(2)a b +；
（6）2(1)x y --．
第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；
提公因式法（基础） 【学习目标】 1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即，而正好是 除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的 第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴； ⑵ ⑶； ⑷ 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． m m ( )()33 2 2 623a b a b ab -=-()ma mb c m a b c -+=-+()2 22 61266x xy y x y ++=+()()22323294a b a b a b +-=-
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
活用配方法分解因式 陈怀东 配方法是数学中极其重要的一个方法。在代数式中，利用添项的方法，给原多项式配上适当的部分，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。 配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式2 22b ab a +±，判断什么是：“a ”或“b ”，或“ab ”，怎样从ab a 22、这两项去找出“b ”，或“从22b a 、这两项去找出ab 2”，或“从ab 2去找出2a 和2 b ”。同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循。 应用配方法分解因式，常能将多项式配成2 2N M -的形式并应用开方差公式分解。 例1 分解因式8612942 2+++-b a b a 分析 第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项198-=即可。 解：原式)169()9124(2 2 +--++=b b a a ) 432)(232()13()32(2 2+-++=--+=b a b a b a 例2 分解因式4 2 2 4 n n m m ++ 分析 此式中各项均为平方式，可采用添项法将式中某一部分配方，构造平方差公式。 解：原式2 2 4 2 2 4 )2(n m n n m m -++= 2 2 22 )()(mn n m -+= ))((2 2 2 2 mn n m mn n m -+++= 例3 分解因式 )2)(2()(22+--+-n m mn t n m t 分析 将多项式中前两项t n m t )(22 +-进行配方，添上2 2 )()(n m n m +-+即可分组分解。 解：原式)2)(2()()()(22 2 2 +--+-+++-=n m mn n m n m t n m t ]4)(2)[()]([2 2 2 2 mn n m mn n m n m n m t --+++-+-= ) 2)(2() ()(] )()(2)[()(2 2 222mn m t mn n t mn n m n m t mn mn n m n m n m t --+-=+----=+?-+----= 例4 分解因式 42224)()()(b a b a b a -+-++ 分析：此题中只含b a +和b a -两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配方。 解：设t b a s b a =-=+，，则 原式2242244224 )2(t s t t s s t t s s -++=++= )] )(()())][()(()()[() )(()()(222222222 222b a b a b a b a b a b a b a b a st t s st t s st t s -+--++-++-++=-+++=-+= )3)(3(2 2 2 2 b a b a ++=
一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1：下面哪些数是方程0121022 =++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习 ()222 2b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()2 2____________8-→+-x x x (2)()2 2 ______3______129+→++x x x (3)()2 2____________+→++x px x (4) ()2 2 ____________6+→++x x x (5)()2 2____________5-→+-x x x (6) ()2 2 ____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532 =-x x 解：由已知，得：()232 =+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352 =- x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得2 2 2 65326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652 =??? ? ? -x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+ -=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+= x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练： (1)982=+x x (2)015122 =-+x x (3)044 12 =--x x (4) 03832=-+x x (5)08922 =+-x x (6) ()x x 822 =+
因式分解讲义 课 题 因式分解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．
4.4 用因式分解法解一元二次方程 一、填空题 1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或 ___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.x 2－(p+q)x ≠qp=0因式分解为____________. 6.用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 (1)移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 二、选择题 1.方程x 2－x=0的根为 A.x=0 B.x=1 C.x 1=0,x 2=1 D.x 1=0,x 2=－1 2.方程x(x －1)=2的两根为 A.x 1=0,x 2=1 B.x 1=0,x 2=－1 C.x 1=1,x 2=－2 D.x 1=－1,x 2=2 3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x=0或3x －4=0 B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1 C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 4.方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是 A.x 1=b,x 2=a B.x 1=b,x 2=a 1 C.x 1=a,x 2=b 1 D.x 1=a 2,x 2=b 2 5.已知a 2－5ab+6b 2=0，则a b b a 等于 21331D.2 31 321C.2 31B.3 21A.2或或
配方法因式分解集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分 解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2 的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3） ab b ax x 2222+--
例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公 因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝 试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因 式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】
分解因式 1、1522--x x ； 2、2 265y xy x +-． 3、3522--x x ； 4、3832-+x x ． 5、91024+-x x ； 6、 22157x x ++ 7、 2384a a -+ 8、2 61110y y -- 9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22 712x xy y -+ 12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、532 51520x x y xy -- 15、672+-x x ； 16、1232-+x x ； 17、652-+x x ； 18、9542--x x ； 19、823152+-x x ； 20、121124-+x x 21、6724+-x x ； 22、36524--x x ； 23、4 22416654y y x x +-； 24、633687b b a a --； 25、234456a a a --； 26、2224)3(x x --； 27、9)2(2 2--x x ； 28、 2222)332()123(++-++x x x x 29、60)(17)(222++-+x x x x ； 30、8)2(7)2(2 22-+-+x x x x ； 31、48)2(14)2(2++-+b a b a ． 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
33、120)8(22)8(222++++a a a a ． 34、90)242)(32(2 2+-+-+x x x x ． 35、653856234++-+x x x x ． 36、655222-+-+-y x y xy x 37、 a 2－7a+6； 38、8x 2+6x －35； 39、18x 2－21x+5； 40、 20－9y －20y 2； 41、2x 2+3x+1； 42、2y 2+y －6； 43、6x 2－13x+6； 44、3a 2－7a －6； 45、6x 2－11x+3； 46、4m 2+8m+3； 47、10x 2－21x+2； 48、8m 2－22m+15； 49、4n 2+4n －15； 50、6a 2+a －35； 51、5x 2－8x －13； 52、4x 2+15x+9； 53、15x 2+x －2； 54、6y 2+19y+10； 55、7(x －1) 2+4(x －1)－20； 56、．=-+1032x x __________． 57．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 58．=--3522 x x (x －3)(__________)． 59．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 60．22____)(____(_____)+=++a m n a ． 61．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
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3 §2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ； 2）2842 --x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ； 2）422497y y x x +-； ★3）ab b ax x 2222+-- 例2. 把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ； 2）16)5(6)5(2 22--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】
4 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ； 2）2 2484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-； 2 ） 432234ab b a b a b a --+； 3）142222---+xy y x y x
因式分解 知识点1：因式分解的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： 例如： 1．的公因式是 -aby +_________ abx- 3ab 多项式9 6 2．多项式32232 a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（） 81624 A．2 2ab D．33 24a b c -C．3 -B．3 4ab c 8ab
3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如： 用到平方差公式时） 如： 22188y x +- 练习： 1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )
y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431-- 2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)3 3. 公因式只相差符号的类型： 公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负 (1 2A ．))(3(x x y +- B ．))(3(x x y -- C ．)1)(3(x y x +- D ．)1)(3(x y x --3．分解因式： （1）)(()()(y x x y n y x m -=-+-________) （2）－6(x －y)4－3y(y －x)5 知识点4公式法分解因式
§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2 的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3）ab b ax x 2222+-- 例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x
说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-；2）432234ab b a b a b a --+；
因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1．平方差公式：___________________；完全平方公式：_______________________； _______________________． 2．对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3．探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100-=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ 知识点睛 1．__________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽；②首项为负时要提出负号；③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式；②找准公式中的a 和b ． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
第6讲 因式分解 -----配方法与主元法、换元法 知识要点】 配方法：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。 换元法：换元法是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。 【经典例题】 例1、分解因式:（1）2616x x +- （2）()444y x y x +++ 例2、已知,19911990,19901990,1989 1990+=+=+=x c x b x a 那么ca bc ab c b a ---++2 22的值是多少？ 例3、若c b 、、a 是不全相等的实数，且ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，求证：z y 、、x 中至少有一个大于0
例4、分解因式：2910322-++--y x y xy x 例5、分解因式：)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 例6、分解因式：2005)12005(200522---x x 例7、2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 例8、分解因式：262234+---x x x x
【经典练习】 1、分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 2、分解因式：90)384)(23(22+++++x x x x 3、分解因式：222222)3(4)5()1(+-+++a a a 4、分解因式：56422-++-y x y x 5、分解因式：67222-+--+y x y xy x 6、分解因式：613622-++-+y x y xy x
因式分解 知识网络详解： 因式分解的基本方法： 1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个： 平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式 ()2 222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、 凑、拆、分”等技巧。 4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， （A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（ ） （A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2 （C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()222y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )． （A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 经典例题讲解：
因 式 分 解 专 题 课 题 因 式 分 解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
环球雅思学科教师辅导教案
(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； (2 )取相同的字母，字母的指数取较低的； (3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的 (4 )所有这些因式的乘积即为公因式? 4、注意事项： 多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示： 1、将下列各式分解因式： (1)3a(x y)-2b(x y); (2)12(m n)218(m n)3 4; (3)3(2x y)6( y 2x)3; (4) 1 2 a b(2P 3 2 2 2 q) . ab (q p ) 4 8 2、下列分解因式结果正确的是() A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x) B. x3 2x2 x x(x22x) 2 2 C. a(a b) ab(a b) a(a b) D. 3x n 6xn 3xn(x 2) 提高练习 1、如果b-a=—6, ab=7，那么a2b ab2的值是() A.42 B. —42 C.13 D. —13 3 2 2 2、若4x —6x =2x(2 x+k)，贝U k= ______ . 3.2( a—b)3—4(b—a)2=2(a—b)2( ________ ). 4.36 X 29—12X 33=
5、分解因式 2 2 ⑴(x y)(x y) (x y) ⑵8a(x y) 4b(y x) 6. 计算与求值 29X 20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 —14X 20.03. 7、.先化简，再求值 1 1 a(8 —a)+ b(a—8) —c(8 —a)，其中a=1, b= , c=. 2 2 1 8、已知2x y - , xy 2，求2x4y3 x3y4的值. 8 方法二?公式法 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 F面我们就来学习用公式法进行因式分解