因式分解的四种方法（讲义）
? 课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________；
91=__________； 102=__________．
3. 探索新知：
（1）993 ? 99 能被 100 整除吗？
小明是这样做的：
993 ? 99 ? 99?992 ? 99?1
? 99?(992 ?1)
? 99?(99 ?1)(99 ?1)
? 99?9 800
? 99?98?100
所以993 ? 99 能被 100 整除．
（2）893 ?89 能被 90 整除吗？你是怎样想的？
（3） m3 ? m 能被哪些整式整除？
? 知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①___________________________；
②___________________________；
③___________________________．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法的时候需要注意两点：
①___________________________；
②___________________________．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑
____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
x2 ? ( p ? q)x ? pq ? (x ? p)(x ? q)
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是
有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
? 精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
① ?3x2 y2 ? ?3? x2 ? y2 ； ② (a ? 3)(a ? 3) ? a2 ? 9 ；
③ a2 ? b2 +1 ? (a ? b)(a ? b) ?1； ④ 2mR ? 2mr ? 2m(R ? r) ；
⑤ x2 ? xy ? x ? x(x ? y) ； ⑥ m2 ? 4 ? (m ? 2)(m ? 2) ；
⑦ y2 ? 4y ? 4 ? (y ? 2)2 ．
2. 因式分解（提公因式法）：
（1）12a2b ? 24ab2 ? 6ab ； （2） ?a3 ? a2 ? a ；
解：原式= 解：原式=
（3） (a ? b)(m ?1) ? (b ? a)(n ?1) ；
解：原式=
（4） x(x ? y)2 ? y(y ? x)2 ； （5） xm ? xm?1 ．
解：原式= 解：原式=
3. 因式分解（公式法）：
（1） 4x2 ? 9 ； （2）16x2 ? 24x ? 9 ；
解：原式= 解：原式=
（3） ?4x2 ? 4xy ? y2 ； （4）9(m ? n)2 ? (m ? n)2 ；
解：原式= 解：原式=
（5） (x ? 3y)2 ? 2(x ? 3y)(4x ? 3y) ? (4x ? 3y)2 ；
解：原式=
（6） x2 (2x ? 5) ? 4(5 ? 2x) ；
解：原式=
（7） ?8ax2 ?16axy ?8ay2 ； （8） x4 ? y4 ；
解：原式= 解：原式=
（9） a4 ? 2a2 ?1； （10） (a2 ? b2 )2 ? 4a2b2 ．
解：原式= 解：原式=
4. 因式分解（分组分解法）：
（1） 2ax ?10ay ? 5by ? bx ； （2） m2 ? 5m ? mn ? 5n ；
解：原式= 解：原式=
（3）1? 4a2 ? 4ab ? b2 ； （4） a2 ? 6a ? 9 ? 9b2 ；
解：原式= 解：原式=
（5）9ax2 ? 9bx2 ? a ? b ； （6） a2 ? 2a ? 4b ? 4b2 ．
解：原式= 解：原式=
5. 因式分解（十字相乘法）：
（1） x2 ? 4x ? 3； （2） x2 ? x ? 6 ；
解：原式= 解：原式=
（3） ?x2 ? 2x ? 3 ； （4） 2x2 ? x ?1；
解：原式= 解：原式=